《参数估计基础》PPT课件
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第八章 参数估计PPT课件
16
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
点估计
最大似然估计法
如 果 似 然 函 数 L (x 1 ,x 2 ,...,x n ; )在 ˆ 处 取 得 最 大 值 ,则 称 ˆ 为 总 体 参 数 的 最 大 似 然 估 计 .
由于函数y lnx在定义域内单增,则如果当
ˆ时似然函数L(x1, x2,..., xn;)取得最大值,则 当 ˆ时lnL(x1, x2,..., xn;)也取得最大值;反之 亦然.因此我们只需考虑lnL(x1, x2,..., xn;)的最
(1) X n1 X1 n2 X 2 是的无偏估计 ;
n1 n2
(2)S
2
(n1
1)S12
(n2
1)SLeabharlann 2 2是2的无偏估计
.
n1 n2 2
9
估计量优劣标准
有效估计
设 和 都是的无偏估计，若样本容量为n， 的
方差小于 的方差，则称 是比 有效的估计量。
如果在的一切无偏估计量里中， 的方差达到最小， 则称为的有效估计量。
(1) 设为连续型随机变量 , 其概率密度函数为
( x; ), 其中 为未知参数 ,由于样本的独立性 , 样
本( X 1, X 2 ,..., X n )的联合概率密度函数为
n
L( x1, x2 ,..., xn ; ) ( xi ; ) i 1
对于样本 ( X 1, X 2 ,..., X n )的一组观测值 ( x1, x2 ,..., xn )
是 向 量 ,则 求 偏 导 数 );
第 四 ,令 导 数 等 于 零 ,解 出 即 可 .
18
点估计
最大似然估计法的例题
1. 0—1分布中p的最大似然估计；
2. Poisson分布的参数 的最大似然估计； 3. 指数分布的参数 的最大似然估计;
第七章 参数估计PPT资料77页
最先出现的事件是发生概率最大的事件。或者说， 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。
10
以总体X为连续型随机变量为例说明参数的 最大似然估计。 定 义 (似 然 函 数 ) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f X (, ) ( 为 未 知 参 数 ), 若 的 取 值 使 样 本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的 联 合 密 度 函 数 在 样 本 观 测 值 ( x1, x2 ,L , xn ) 处 取 得 最 大 ， 记 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为 L ( x1 , x 2 ,L , x n , )， 由 样 本 的 特 性 (独 立 同 分 布 — 简 单 随 机 样 本 )， 有
本章引言
统计推断的基本问题可以分为两大类：
一类是估计问题；另一类是假设检验问题。
在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，
但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，
才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？
这就是统计推断中的“参数估计”问题。
借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问
2
12
a
EX
3V a r X
b E X 3V a r X
用
X
代
替
EX
，
用
S
2 n
代
替
Var
X
，
再
用
aˆ 代
替
a，
bˆ代
替
b，
aˆ M bˆM
X X
3 S n ,
3
S
。
n
1
其
中
Sn
(
S
2 n
)
10
以总体X为连续型随机变量为例说明参数的 最大似然估计。 定 义 (似 然 函 数 ) 设 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为 f X (, ) ( 为 未 知 参 数 ), 若 的 取 值 使 样 本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的 联 合 密 度 函 数 在 样 本 观 测 值 ( x1, x2 ,L , xn ) 处 取 得 最 大 ， 记 样 本 的 联 合 密 度 函 数 为 L ( x1 , x 2 ,L , x n , )， 由 样 本 的 特 性 (独 立 同 分 布 — 简 单 随 机 样 本 )， 有
本章引言
统计推断的基本问题可以分为两大类：
一类是估计问题；另一类是假设检验问题。
在实际问题中，往往已知总体X的分布函数的形式，
但其一个或几个参数未知，因此只有在确定这些参数后，
才能通过其分布来计算概率。如何确定这些参数的数值呢？
这就是统计推断中的“参数估计”问题。
借助总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问
2
12
a
EX
3V a r X
b E X 3V a r X
用
X
代
替
EX
，
用
S
2 n
代
替
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X
，
再
用
aˆ 代
替
a，
bˆ代
替
b，
aˆ M bˆM
X X
3 S n ,
3
S
。
n
1
其
中
Sn
(
S
2 n
)
参数估计PPT课件
如何根据数据选择合适的模型，以及如何进行有效的假设检验是 参数估计面临的重要挑战。
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
参数估计基础
p =黑球数/50 每次摸出黑球的比例p服从二项分布，表示为：
p ~ B(n,π), 给定n=50, π =0.20. 共抽取100个样本，计算黑球的比例， p1,p2,…,p100.结果见表5-3。
表5-3 从B(n=50 =0.20)抽取的100 个样本频率的频数分布
黑球比例(%) 8.010.012.014.016.018.020.022.024.026.0-
试估计：该样本频率的抽样误差。 已知：p=41.5%,n=776,代入公式(5-4)得到标准误估 计值：
S pp 1 n p 0 .4 1 5 7 1 7 6 0 .4 1 5 0 .0 1 7 7 或 1 .7 7 %
标准误的估计值较小，说明用样本患病率 41.5%估计总体患病率的可靠性较好。
组段（cm） 152.6～
153.2～ 153.8～ 154.4～ 155.0～ 155.6～ 156.2～ 156.8～ 157.4～ 158.0～158.6
合计
频数 1
4 3 19 25 23 18 4 1 2 100
频率（％） 1.0
4.0 3.0 19.0 25.0 23.0 18.0 4.0 1.0 2.0 100.0
= 时，t分布就完全等于标准正态分布。 3、标准正态分布有两个固定常数（0，1）,t分 布只有一个参数 。
❖ 练习：
❖ 1、ν＝10，双侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 2、ν＝100，单侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 3、ν＝∞，双测尾部面积和单侧尾部面积分别 为0.05的界值是？
❖1、t 0.05/2，10＝2.228
两侧越分散； ➢ 随着 逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布；
当 趋于 时，t分布就完全成为标准正态分布。
p ~ B(n,π), 给定n=50, π =0.20. 共抽取100个样本，计算黑球的比例， p1,p2,…,p100.结果见表5-3。
表5-3 从B(n=50 =0.20)抽取的100 个样本频率的频数分布
黑球比例(%) 8.010.012.014.016.018.020.022.024.026.0-
试估计：该样本频率的抽样误差。 已知：p=41.5%,n=776,代入公式(5-4)得到标准误估 计值：
S pp 1 n p 0 .4 1 5 7 1 7 6 0 .4 1 5 0 .0 1 7 7 或 1 .7 7 %
标准误的估计值较小，说明用样本患病率 41.5%估计总体患病率的可靠性较好。
组段（cm） 152.6～
153.2～ 153.8～ 154.4～ 155.0～ 155.6～ 156.2～ 156.8～ 157.4～ 158.0～158.6
合计
频数 1
4 3 19 25 23 18 4 1 2 100
频率（％） 1.0
4.0 3.0 19.0 25.0 23.0 18.0 4.0 1.0 2.0 100.0
= 时，t分布就完全等于标准正态分布。 3、标准正态分布有两个固定常数（0，1）,t分 布只有一个参数 。
❖ 练习：
❖ 1、ν＝10，双侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 2、ν＝100，单侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 3、ν＝∞，双测尾部面积和单侧尾部面积分别 为0.05的界值是？
❖1、t 0.05/2，10＝2.228
两侧越分散； ➢ 随着 逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布；
当 趋于 时，t分布就完全成为标准正态分布。
统计学--参数估计 ppt课件
误差是Δ，即：
PPT课件
5
• 极限误差是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来 确定的在一定概率下的允许误差范围。
• 参数估计的两个要求：
– 精度：估计误差的最大范围，通过极限误差来反映。显然，Δ越小， 估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。极限误差的 确定要以实际需要为基本标准。
• 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不 按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代 替。例如计算得到：n=56.03，那么，样本容量取57， 而不是56。
PPT课件
32
例：对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标准 差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式，要 求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极限误 差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过5%，问 必要的样本单位数应该是多少？
PPT课件
22
总体成数估计区间估计总结
• 总体成数估计区间的上下限
只考虑大样本情况（请记住大样本条件）
P1 P
P z 2
n
P1 P N n
P z 2
n
N 1
PPT课件
23
对总量指标的区间估计
• 在对总体平均数进行区间估计的基础 上，可进一步推断相应的总量指标， 即用总体单位总数N分别乘以总体平均 数的区间下限和区间上限，便得到相 应总量（Nμ）的区间范围。
P
91 100
91%
P
p(1 n
p)
(总体成数未知,用样本成数代替)
P(1 n
P)
2.86%
F(z) 95%,z 1.96 zP 1.962.86%5.61%
PPT课件
5
• 极限误差是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来 确定的在一定概率下的允许误差范围。
• 参数估计的两个要求：
– 精度：估计误差的最大范围，通过极限误差来反映。显然，Δ越小， 估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。极限误差的 确定要以实际需要为基本标准。
• 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不 按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代 替。例如计算得到：n=56.03，那么，样本容量取57， 而不是56。
PPT课件
32
例：对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标准 差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式，要 求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极限误 差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过5%，问 必要的样本单位数应该是多少？
PPT课件
22
总体成数估计区间估计总结
• 总体成数估计区间的上下限
只考虑大样本情况（请记住大样本条件）
P1 P
P z 2
n
P1 P N n
P z 2
n
N 1
PPT课件
23
对总量指标的区间估计
• 在对总体平均数进行区间估计的基础 上，可进一步推断相应的总量指标， 即用总体单位总数N分别乘以总体平均 数的区间下限和区间上限，便得到相 应总量（Nμ）的区间范围。
P
91 100
91%
P
p(1 n
p)
(总体成数未知,用样本成数代替)
P(1 n
P)
2.86%
F(z) 95%,z 1.96 zP 1.962.86%5.61%
统计学参数估计PPT课件
实际应用中需要注意的问题
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
连续性变量的统计描述与参数估计PPT课件
连续性变量的统计描述与参数估计 ppt课件
目录
• 连续性变量的统计描述 • 参数估计基础 • 参数估计方法 • 实例分析
01 连续性变量的统计描述
均值
总结词
描述数据集的中心趋势
详细描述
均值是一组数据之和除以数据的数量，表示数据的平均水平。在连续性变量中， 均值用于描述数据集的中心趋势，反映数据的平均值。
最小二乘法估计的缺点是对于非 线性模型和异方差性，估计结果
可能不够准确。
04 实例分析
实例一：正态分布的统计描述与参数估计
均值
表示数据的“平均水平”或“中心趋 势”。
方差
表示数据离散程度，即数据分布的宽 度或广度。
实例一：正态分布的统计描述与参数估计
标准差
方差的平方根，也是衡量数据离 散程度的重要指标。
03 参数估计方法
矩法估计
矩法估计是一种基于样本矩的 参数估计方法，通过样本矩来 估计总体矩，进而得到参数的 估计值。
矩法估计的优点是简单易行， 不需要复杂的数学推导和计算， 适用于多种分布类型。
矩法估计的缺点是对于非线性 模型和复杂分布类型，估计结 果可能不够准确。
极大似然估计
极大似然估计是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化似然函数来估计参 数。
方差
总结词
描述数据离散程度
详细描述
方差是一组数据与其均值的离差平方和的平均值，用于衡量数据离散程度。方差越大，表示数据点与均值的离散 程度越高；方差越小，表示数据点越接近均值。
标准差
总结词
方差的平方根，衡量数据离散程度
详细描述
标准差是方差的平方根，与方差一样，用于衡量连续性变量的离散程度。标准差是实际应用中常用的 一种离散程度指标。
目录
• 连续性变量的统计描述 • 参数估计基础 • 参数估计方法 • 实例分析
01 连续性变量的统计描述
均值
总结词
描述数据集的中心趋势
详细描述
均值是一组数据之和除以数据的数量，表示数据的平均水平。在连续性变量中， 均值用于描述数据集的中心趋势，反映数据的平均值。
最小二乘法估计的缺点是对于非 线性模型和异方差性，估计结果
可能不够准确。
04 实例分析
实例一：正态分布的统计描述与参数估计
均值
表示数据的“平均水平”或“中心趋 势”。
方差
表示数据离散程度，即数据分布的宽 度或广度。
实例一：正态分布的统计描述与参数估计
标准差
方差的平方根，也是衡量数据离 散程度的重要指标。
03 参数估计方法
矩法估计
矩法估计是一种基于样本矩的 参数估计方法，通过样本矩来 估计总体矩，进而得到参数的 估计值。
矩法估计的优点是简单易行， 不需要复杂的数学推导和计算， 适用于多种分布类型。
矩法估计的缺点是对于非线性 模型和复杂分布类型，估计结 果可能不够准确。
极大似然估计
极大似然估计是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化似然函数来估计参 数。
方差
总结词
描述数据离散程度
详细描述
方差是一组数据与其均值的离差平方和的平均值，用于衡量数据离散程度。方差越大，表示数据点与均值的离散 程度越高；方差越小，表示数据点越接近均值。
标准差
总结词
方差的平方根，衡量数据离散程度
详细描述
标准差是方差的平方根，与方差一样，用于衡量连续性变量的离散程度。标准差是实际应用中常用的 一种离散程度指标。
统计学(参数估计)ppt课件
相应地，用最大似然法求得的估计量称为 最大似然估计量，简记为MLE。
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
17
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；
13
令最大似然估计的求法
14
3、矩法和最大似然法的比较
令矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息；
令最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息；
在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
通常可以认为，区间估计是在点估计的基 础上，给出未知总体参数的一个取值范围，及 这个范围的可靠程度。
24
区间估计——就是用一个区间去估计未知 总体参数，把未知总体参数值界定在两个数值 之间。即根据样本估计量，以一定的置信度估 计和推断总体参数的区间范围。
令总体参数的估计区间，通常是由样本统 计量加减抽样极限误差而得到的。
44
【解】 本题的总体方差未知，但属于大样本 抽样极限误差为： 所以，在90%的置信水平下，置信区间为：
表明在90%的置信水平下，投保人的平均年龄在 37.37至41.63岁之间。
45
【练习2】在大兴安岭林区，随机抽取了100块面 积为1公顷的样地，根据调查测量求得每公顷林 地平均出材量为88m3 ，标准差为10m3。
17
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于 θ ，有时会小于 θ ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
令样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量；
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mm MIDPOINT
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
n=30
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90
均数也为仍等于原来的总体均数 ，样
本均数的标准误为仍满足（5-1）式 ；
当样本量n较小时，样本均数的分布当然
并非正态分布，样本量足够大时（例如，
n 50），样本均数的分布近似于正态分
布。
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 x MIDPOINT
抽样分布与抽样误差
n=5 PERCENT
30
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 mm MIDPOINT
体中作随机抽样，共抽100次。每次均抽取30
例（ni = 30）组成一份样本，可以算出每一份
样本的平均身高.最终计算得到153.6, 153.1, 154.9,····157.7等100个样本均数,列于表5-1第 2栏。现将这100个样本均数看成新的随机变量 绘制频数分布表，如表5-2所示
抽样分布与抽样误差
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
n=10
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90
样本均数的抽样分布具有以下特点： 1. 各样本均数未必等于总体均数; 2. 样本均数之间存在差异; 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体
均数（155.4cm），中间多、两边少，左 右基本对称，也服从正态分布。 4．样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小
抽样分布与抽样误差
抽样误差：抽样造成的这种样本均数与 样本均数之间、样本均数与总体均数之 间的差异。
标准误：用于表示均数抽样误差大小的 指标，也叫样本均数的标准差，它反映 了样本均数之间的离散程度。
抽样分布与抽样误差
抽样分布与抽样误差
表5-2 从正态总体N (155.4, 5.32)抽样得到中的100个样本均数的频数分布（ni =30）
组段下限值(cm)
频数
频率%
152.6~ 153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~
小样本均数的标准误，从而降低抽样误差。
抽样分布与抽样误差
非正态总体样本均数的抽样实验（实验52）。 图5-1（a）是一个正偏峰的分布， 用电脑从中随机抽取样本含量分别为5， 10，30和50的样本各1000次，计算样本 均数并绘制4个直方图
抽样分布与抽样误差
图5-1（b）~ (e) 显示，样本均数的总体
1
1.0
4
4.0
4
4.0
22
22.02525.0 Nhomakorabea21
21.0
17
17.0
3
3.0
2
2.0
1
1.0
合计
100
100.0
抽样分布与抽样误差
标准误的计算公式(5-1),(5-2)：
X
n
sX
s n
样本均数标准误的大小与标准差成正比，则与
样本含量n的平方根成反比，即在同一总体中 随机抽样，样本含量n越大，抽样误差越小。 所以在实际应用中可通过增加样本含量n来减
mm MIDPOINT
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
n=50
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90
第五章 参数估计基础
抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的是用样本信息推断总体 特征，即用样本资料计算的统计指标推 断总体参数
常用的统计推断方法有参数估计（总体 均数和总体概率的估计）和假设检验
抽样分布与抽样误差
样本均数的抽样分布与抽样误差
假定某年某地所有13岁女学生身高服从总
体均数 =155.4cm, 总体标准差 =5.3cm的 正态分布N（，2）。在这样一个有限的总
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
n=30
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90
均数也为仍等于原来的总体均数 ，样
本均数的标准误为仍满足（5-1）式 ；
当样本量n较小时，样本均数的分布当然
并非正态分布，样本量足够大时（例如，
n 50），样本均数的分布近似于正态分
布。
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 x MIDPOINT
抽样分布与抽样误差
n=5 PERCENT
30
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 mm MIDPOINT
体中作随机抽样，共抽100次。每次均抽取30
例（ni = 30）组成一份样本，可以算出每一份
样本的平均身高.最终计算得到153.6, 153.1, 154.9,····157.7等100个样本均数,列于表5-1第 2栏。现将这100个样本均数看成新的随机变量 绘制频数分布表，如表5-2所示
抽样分布与抽样误差
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
n=10
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90
样本均数的抽样分布具有以下特点： 1. 各样本均数未必等于总体均数; 2. 样本均数之间存在差异; 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体
均数（155.4cm），中间多、两边少，左 右基本对称，也服从正态分布。 4．样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小
抽样分布与抽样误差
抽样误差：抽样造成的这种样本均数与 样本均数之间、样本均数与总体均数之 间的差异。
标准误：用于表示均数抽样误差大小的 指标，也叫样本均数的标准差，它反映 了样本均数之间的离散程度。
抽样分布与抽样误差
抽样分布与抽样误差
表5-2 从正态总体N (155.4, 5.32)抽样得到中的100个样本均数的频数分布（ni =30）
组段下限值(cm)
频数
频率%
152.6~ 153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~
小样本均数的标准误，从而降低抽样误差。
抽样分布与抽样误差
非正态总体样本均数的抽样实验（实验52）。 图5-1（a）是一个正偏峰的分布， 用电脑从中随机抽取样本含量分别为5， 10，30和50的样本各1000次，计算样本 均数并绘制4个直方图
抽样分布与抽样误差
图5-1（b）~ (e) 显示，样本均数的总体
1
1.0
4
4.0
4
4.0
22
22.02525.0 Nhomakorabea21
21.0
17
17.0
3
3.0
2
2.0
1
1.0
合计
100
100.0
抽样分布与抽样误差
标准误的计算公式(5-1),(5-2)：
X
n
sX
s n
样本均数标准误的大小与标准差成正比，则与
样本含量n的平方根成反比，即在同一总体中 随机抽样，样本含量n越大，抽样误差越小。 所以在实际应用中可通过增加样本含量n来减
mm MIDPOINT
抽样分布与抽样误差
PERCENT 30
n=50
0 0 0 00 00 0 00 01 1 11 11 1 11 12 2 22 22 22 2 23 33 3 33 33 3 34 44 4 44 44 4 45 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. 0 1 23 45 6 78 90 1 23 45 6 78 90 1 23 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90 12 3 45 67 8 90
第五章 参数估计基础
抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的是用样本信息推断总体 特征，即用样本资料计算的统计指标推 断总体参数
常用的统计推断方法有参数估计（总体 均数和总体概率的估计）和假设检验
抽样分布与抽样误差
样本均数的抽样分布与抽样误差
假定某年某地所有13岁女学生身高服从总
体均数 =155.4cm, 总体标准差 =5.3cm的 正态分布N（，2）。在这样一个有限的总