湖南娄底市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题卷含答案详析
【点睛】本题考查了余弦型函数的周期性、对称性.解题的关键是牢记余弦函数的图象特征.
对称,
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知 （1）化简 ；
（2）若 为第四象限角，且
【答案】（Ⅰ） 【解析】
（Ⅱ）
求 的值.
试题分析：(Ⅰ)利用诱导公式进行化简；（Ⅱ）先利用诱导公式得到 系式进行求解.
[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为 2,3,1；（3） 【解析】 【分析】
（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率 乘以样本容量，求出频数； （2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数； （3）先求出从(2)中抽取的 6 个路段中任取 2 个，有多少种可能情况，然后求出至少有 1 个路段为轻度拥 堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出. 【详解】(1)由频率分布直方图得，这 20 个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的 路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有 6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从 18 个路段抽取 6 个，则抽取的三个级别路
2019 年上学期高一期中大联考数学试题
一、选择题（每小题 5 分，每小题只有一个正确选项）
1.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为 ，从而可得到正确的选项． 【详解】∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，
，求出它的单调区间，比对选项，
【详解】
，由
，得
，即
，所以
是减区间，
是增区间．结合选项可知选 A. 【点睛】本题考查了三角函数图象变换，以及正弦型函数的单调性.本题的关键是变换后的解析式要写对， 要准确理解记忆变换规律.
12.将函数
的图像向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到 的图像．若
，且
2分 （1）设恰好有一件次品为事件 A，事件 A 中基本事件数为：8
则 P（A）＝ 6 分 （2）设都是正品为事件 B，事件 B 中基本事件数为：6
则 P（B）＝
10 分
（3）设抽到次品为事件 C，事件 C 与事件 B 是对立事件，
则 P（C）＝1－P（B）＝1－ 考点：古典概型概率
14 分
19.已知关于 的一元二次方程
二、填空题（每小题 5 分）
13.已知 【答案】 【解析】 试题分析：因为 用秦九韶算法 考点：秦九韶算法．
,当 时，用秦九韶算法求 =____．
,故答案为 ．
，当 时，
14.某产品的广告费用 (万元)与销售额 (万元)的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程
中的 为 7。据此模型预测广告费用为 10 万元时销售额为__________万元。
【分析】
从 6 个篮球、2 个排球中任选 3 个球，显然必有一个篮球，根据这个事实对四个选项逐一判断.
【详解】解析：从 6 个篮球、2 个排球中任选 3 个球，A，B 是随机事件，C 是不可能事件，D 是必然事件，
故选 D.
【点睛】本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.
5.袋中装有白球和黑球各 3 个，从中任取 2 个，则至多有一个黑球的 概率是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先考虑小青蛙在 3 处，它三次跳动后，有多少种可能出现的结果；然后再找三次跳动后首次跳到 5 的情
况，最后计算出概率.
【详解】按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有 4 种，跳动三次，可能的结果共有 16 种，而三次跳
动后首次跳到 5 的只有 3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3 种可能，所以，它在第三次跳动后，首次
依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数； (2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取 6 个路段，求依次抽取的三个级 别路段的个数； (3)从(2)中抽取的 6 个路段中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率. 【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为 6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，
A.
B.
C.
D. 4
【答案】D
【解析】
由题意，执行如图所示的程序框图，可得：
第一次循环：满足条件 ，
；
第二次循环：满足条件 ，
；
第三次循环：满足条件 ，
；
第八次循环满足条件 ，
，
此时再循环时，不满足判断条件，输出
，故选 D.
8.若点
在第一象限， 则在 内 的取值范围是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
.
【答案】 【解析】
,
,则
.
16.关于函数
,有下列命题:
①
的表达式可改写为
;②
是以 为最小正周期的周期函数;③
的图象
关于点 对称;④
的图象关于直线
正确的命题的序号都填上).
【答案】①③
【解析】
【分析】
对称.其中正确的命题序号是__________(注:把你认为
①根据诱导公式
，进行判断；
② 根据最小正周期公式
进行判断；
③把
，代入解析式中，看函数值是否为零进行判断；
④把
，代入解析式中，看函数值是否最大值或者最小值进行判断.
【详解】①
②因
,故命题②不正确;
③将
代入函数解析式中,得
故命题③正确;
,即点
,因此命题①正确; 是函数图象与 轴的 交点,函数图象关于点
④
,不是
综上知①③正确.
的最大值或最小值,故④不成立.
A. ， C. ， 【答案】D 【解析】
B.
，
D.
，
试题分析：均值为
;
方差为
考点：数据样本的均值与方差.
,故选 D.
10.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在 3 处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在 5 处，跳动一次，只能进入 3 处，若在 3 处，则跳动一次可以等机会地进入 1,2,4,5 处)，则它在第三次跳 动后，首次进入 5 处的概率是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
从袋中任取 2 个球,有 15 种等可能取法(不妨将黑球编号为黑 1、黑 2、黑 3,将白球编号为白 1、白 2、白
3).取出的两个球都是白球有 3 种等可能取法,取出的两个球一白一黑有 9 种等可能取法,则事件 A={取出的
两个球至多有一个黑球},共有 9+3=12(种)取法,故 P(A)=
≥0，即 a＞2,-4＜b＜4,
设”一元二次方程有两个正实数根“为事件 A，则事件 A 所包含的基本事件为（6,1），（6,2），（6,3），（5,3）
共 4 个，故所求概率为 P(A)= ＝ . (2)设“一元二次方程无实数根”为事件 B，则构成事件 B 的区域为
B={（a,b）∣2≤a≤6,0≤b≤4,
进入 5 处的概率是 . 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生的运算能力.
11.将函数
的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）.
A. 在区间
上单调递增
B. 在区间
上单调递减
C. 在区间 【答案】A 【解析】 【分析】
上单调递减
D. 在区间
上单调递增
函数 选出答案.
的 图象向右平移 个单位长度，得到
即 a＞2,-4＜b＜4,
得到符合题意的事件的基本事件数为 4 个，故可以求解得到。
（2）设“一元二次方程无实数根”为事件 B，则构成事件 B 的区域为
B={（a,b）∣2≤a≤6,0≤b≤4,
＜16}，利用面积比得到概率值。
解：（1）基本事件（a,b）共有 36 个，且 a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个证实数根等价于 a-2＞0,16- ＞0,△
.
6.化简
等于（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先用诱导公式对
)进行化简，然后把
比较
的大小，最后化简.
进行代换，变成完全平方差形式，
【详解】原式 ,
因为
,
所以
.
所以
.故选 A.
【点睛】本题考查了诱导公式、同角的三角函数关系.重点考查了同角的正弦值、余弦值的比较.
7.执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是
∴第一个打电话给甲的概率为 ． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出
现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．
2.已知
，则
的值是( )
A.
B. 3
C.
D.
【答案】C
【解析】
由已知可得 3.计算机执行下面的程序，输出的结果是（ ）.
【解析】
【分析】
根据点的位置，可以列出不等式组，根据单位圆，解这个不等式组，得出答案，也可以用排除法，根据这
个不等式组，对四个选项逐一判断，得出答案.
2018-2019学年湖南省娄底市高一下学期期中考试数学试题(含答案)
湖南娄底2018-2019年上学期期中考试试卷高一数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）4.从6个篮球、2个排球中任选3个球，则 下列事件中，是必然事件的是( )A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.12 6.化简等于( )A.cos4-sin 4B.sin 4-cos 4C.-sin 4-cos 4D.sin 4+cos 47．执行如右图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )A ．-1B ．23 C ．32D ．4 8．若点P （sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭π，5π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4C ．⎝ ⎛⎭π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 9．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 210.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )A.12B.14C.316D.16 11．将函数y ＝3sin （2x ＋π3）的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间[π127π12]上单调递增 B ．在区间[π127π12]上单调递减 C ．在区间[－π6，π3]上单调递减 D ．在区间[－π6，π3]上单调递增12.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移12π 个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x = ，且[]12,2,2x x ππ∈- ，则122x x - 的最大值为( )A. 174πB. 256πC. 356πD. 4912π二、填空题（每小题5分）13．已知5432()5101051f x x x x x x =+++++,当2x =时，用秦九韶算法求2v =______________．14．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．15.已知α∈(π,),tan α=2,则cos α=_______．16.关于函数f (x )=4sin(2x +)(x ∈R ),有下列命题:①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -);②y =f(x )是以2π为最小正周期的周期函数;③y =f (x )的图象关于点(-,0)对称;④y =f (x )的图象关于直线x =-对称.其中正确的命题序号是_____ (注:把你认为正确的命题的序号都填上). 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知()()()()()sin sin tan 2.tan sin f πααπαααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-- （Ⅰ）化简()f α；（Ⅱ）若α为第四象限角，且32cos ,23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求()f α的值.18.(本小题满分12分)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品.现随机抽出两件产品.(1)求恰好有一件次品的概率； (2)求都是正品的概率； (3)求抽到次品的概率.19.(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率.20.(本小题满分12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)，畅通；T ∈[2,4)，基本畅通；T ∈[4,6)，轻度拥堵；T ∈[6,8)，中度拥堵；T ∈[8,10]，严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数； (3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.21．（本小题满分12分）函数f 1（x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的一段图象过点（0，1），如图所示．（1）求函数f 1（x ）的表达式；（2）将函数y ＝f 1（x ）的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2（x ）的图象，求y ＝f 2（x ）的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．22．(本小题满分12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：2(1)画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； (2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．2019年上学期高一期中考试数学参考答案给三人打电话的不同顺序有2 C3 A4 D解析从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.5 B解析把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个．其中至多一个黑球的事件有12个．由古典概型公式得P＝1215＝4 5.6. 答案：A解析:原式===|sin 4-cos 4|,因为π<4<π,所以cos 4>sin 4.所以|sin 4-cos 4|=cos 4-sin 4.故选A. 7．D【解析】试题分析：第一次循环后S=-1，i=2；第二次循环后S=23，i=3; 第三次循环后S=32，i=4；第四次循环后S=4，i=5; 第五次循环后S=-1，i=6；第六次循环后S=23，i=7; 第七次循环后S=32，i=8；第八次循环后S=4，i=9;由题意此时要输出，故s=4，故选D 考点：本题考查了循环框图的运用 8 A9 D 解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x－＋100，方差不变，故选D. 10 答案 C解析 按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果共有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3种可能，所以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是316.11．y ＝3sin[2（x －π2）＋π3]＝3sin （2x ＋π3－π）＝－3sin （2x ＋π3），由2kπ－π2≤2x ＋π3≤2kπ＋π2，得2kπ－5π6≤2x ≤2kπ＋π6，即kπ－5π12≤x ≤kπ＋π12，所以[kπ－5π12，kπ＋π12]（k ∈Z ）是减区间，[kπ＋π12，kπ＋7π12]（k ∈Z ）是增区间．结合选项可知选A. 12.D【解析】由已知可得()()()122sin 2+1322,332g x x g x g x x k k πππππ⎛⎫=+⇒==⇒+=+∈⇒ ⎪⎝⎭x =()1212max23111349,,,,2121212121212k x x x x πππππππ⎧⎫+⇒∈--⇒-=⎨⎬⎩⎭，故选D.13 【解析】因为5432()5101051((((5)10)10)5)1f x x x x x x x x x x x =+++++=+++++，当2x =时，用秦九韶算法2(25)21024v =+⨯+=,故答案为24．考点：秦九韶算法．14解析：由题表可知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程y ^＝7x ＋a ^，得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，所以当x ＝10时，y ^＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．答案：73.515.解析:由tan α==2,sin 2α+cos 2α=1联立得cos 2α=,由α∈(π,)知cos α<0,所以cos α=-.答案:-16.解析:①y=4sin(2x+)=4cos[-(2x+)]=4cos(2x-), 因此命题①正确;②因T==π,故命题②不正确;③将x=-代入函数解析式中,得y=0,即点(-,0)是函数图象与x 轴的交点,函数图象关于点(-,0)对称,故命题③正确;④f(-)=0,不是y=f(x)的最大值或最小值,故④不成立. 综上知①③正确. 答案:①③17.（Ⅰ）cos ;α-（Ⅱ）解析：（Ⅰ）()()()()()sin sin tan 2tan sin f πααπαααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-- ()()()cos sin tan cos .tan sin αααααα--==--（Ⅱ）由32cos ,23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得2sin .3α=-又因为α为第四象限角，所以cos α==所以此时()f α= 18 解 将6件产品编号，abcd(正品)，ef(次品)，从6件产品中选2件，其包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种.(1)设恰好有一件次品为事件A ，事件A 包含的基本事件为ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，共有8种， 则P(A)＝815. (2)设都是正品为事件B ，事件B 包含的基本事件数为6，则P(B)＝615＝25. (3)设抽到次品为事件C ，事件C 与事件B 是对立事件，则P(C)＝1－P(B)＝1－25＝35. 19 解 (1)a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，总的基本事件(a ，b)共有36个. 设事件A 表示“方程有两正根”，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a －2>0，16－b 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＋b 2≥16，a>2，－4<b<4，则事件A 包含的基本事件有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故方程有两正根的概率为P(A)＝436＝19.(2)试验的全部结果构成的区域Ω＝{(a ，b)|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S Ω＝4×4＝16.设事件B 表示“方程无实根”，则事件B 的对应区域为⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤6，0≤b ≤4，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16，如图所示，其面积S B ＝14×π×42＝4π，故方程没有实根的概率为P(B)＝4π16＝π4. 20解 (1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，抽取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，抽取的1个严重拥堵路段为C 1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915＝35. 21．解：（1）由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝Asin2x 的图象向左平移π12，得y ＝Asin （2x ＋φ）的图象， 于是φ＝2×π12＝π6， 将（0，1）代入y ＝Asin ⎝ ⎛⎭2x ＋π6，得A ＝2，故f 1（x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6； （2）依题意，f 2（x ）＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以y ＝f 2（x ）的最大值为2，当2x ＋π6＝2kπ＋π（k ∈Z ），即x ＝kπ＋5π12（k ∈Z ）时，y max ＝2， x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝kπ＋5π12，k ∈Z ， 因为y ＝cosx 的减区间为x ∈[2kπ，2kπ＋π]，k ∈Z ，所以f 2（x ）＝－2cos （2x ＋π6）的增区间为{x |2kπ≤2x ＋π6≤2kπ＋π，k ∈Z}， 解得{x|kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k ∈Z}， 所以f 2（x ）＝－2cos （2x ＋π6）的增区间为x ∈[kπ－π12，kπ＋5π12]，k ∈Z ．22 解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．(2)设回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^.由题中的数据可知y －＝3.4，x －＝6.所以＝1020＝0.5.a ^＝y －－b ^x －＝3.4－0.5×6＝0.4.所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)知，当x ＝4时，y ^＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该商场的利润额为2.4百万元．。
2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
，则
，
所以
，所以
，
，得出
，求得
，再
， ，
又因为
，所以三角形的面积为
，
故选 D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记正弦定理的边角互化， 以及合理利用三角恒等变换的公式化简求解 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题.
11.已知
（其中
）,
则（ ）
，在
上是减函数， 在
上是增函数，故
①为真命题.令
，
，画出
的图像如下图所示，由图可知，两个函数有 个
交点，故
有两个零点，即②为真命题.由
得
，而
为定义域上的减函数，故
，故③是真命题.综上所述，真命题的个数为 个，故选 D.
【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性，考查函数零点个数的判断方法，考查对数不等式的解法以及对
.
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式，列出方程组，求得
，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1），求得
，再利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为
，
，所以
，解得
，
所以数列 通项公式为
.
（2）由（1）知
，所以
，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
16.已知函数
若存在实数
当
时，满足
，则
的取值范围是_________________.
【答案】
.
【解析】
【分析】
画出分段函数的图象，作出直线 ，结合函数的图象可得实数 的取值范围，再运用对数的运算性质和余
湖南省娄底地区高一下学期期中数学试卷
湖南省娄底地区高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·武邑月考) 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）PRINTA . 4B . 1C . 2D . 32. （2分）(2017·柳州模拟) 甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲958792938794乙888085788672丙696371717474全班888281807577下列说法错误的是（）A . 甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B . 乙同学的数学成绩平均值是81.5C . 丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D . 在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三3. （2分）某中学从已编号(1~60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A . 6,16,26,36,46,56B . 3,10,17,24,31,38C . 4,11,18,25,32,39D . 5,14,23,32,41,504. （2分）一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·双鸭山期末) 下列四个数中，数值最小的是（）A . 25B . 111C . 11 100(2)D . 10 111(2)6. （2分） (2017高一上·东城期末) 若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）A .B .C . 67. （2分）将角α的终边顺时针旋转，则它与以原点为圆心，1为半径的单位圆的交点的坐标是（）A . （cosα，sinα）B . （cosα，﹣sinα）C . （sinα，﹣cosα）D . （sinα，cosα）8. （2分） (2017高一下·兰州期中) 下面程序运行后输出的结果为（）A . 3B . 5C . 4D . 09. （2分）(2017·晋中模拟) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a=（）A . 2C . 6D . 810. （2分）(2020·广东模拟) 已知，且，则（）A . 2B .C . 3D .11. （2分） (2015高一下·南阳开学考) 的值为（）A .B . -C .D .12. （2分） (2017高一下·郴州期中) sin120°的值为（）A .B .C .D . ﹣二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2020高三上·浙江月考) 已知角终边上一点，则 ________；________.14. （1分）(2017·赤峰模拟) 已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为________．15. （1分）(2018·石嘴山模拟) 已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在中的学生人数为________．16. （2分） (2019高二上·浙江期中) 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则________， ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·绍兴期末) 已知 .（1）若，求的值；（2）若，求的值.18. （5分） (2019高一下·湖北期中) 已知 .（）求求的值.19. （10分）某校高一年级学生身体素质能测试的成绩（百分制）分布在[40，100]内，同时为了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了n名学生，这n名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示．组数体能成绩分组爱好数学的人数占本组的频率第一组[50，60）1000.5第二组[60，70）195p第三组[70，80）1200.6第四组[80，90）a0.4第五组[90，100]30 0.3（1）求n、p的值；（2）用分层抽样的方法，从体能成绩在[70，90）的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，求两名领队中恰有1人体能成绩在[80，90）的概率．20. （10分）(2019·桂林模拟) 某校为了调查高三男生和女生周日学习用时情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他们的周日学习时间进行了统计，分别得到了高三男生的学习时间（单位：小时）的频数分布表和女生的学习时间的频率分布直方图.）（学习时间均在内）男生周日学习时间频数表学习时间频数8107942女生周日学习时间频率分布直方图（1）根据调查情况，该校高三年级周日学习用时较长的是男生还是女生？请说明理由；（2）从被抽到的80名高三学生中周日学习用时在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.21. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 近来景德镇市棚户区改造进行的如火如荼，加上城市人居环境的不断改善，我市房地产住宅销售价格节节攀升，一部分刚需住户带来了不小的烦恼，下表为我市2017.1﹣2017.5这5月住宅价格与月份的关系．月份x12345住宅价格y4.85.46.2 6.67千元/平米（1）通过计算线性相关系数判断住宅价y千元/平米与月份x的线性相关程度（精确到0.01）（2）用最小二乘法得到的线性回归直线去近似拟合x，y的关系．①求y关于x的回归方程；②试估计按照这个趋势下去，将在不久的哪个年月份，房价将突破万元/平米的大关．22. （10分）高三某班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学B 得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 (2)word文档逐题详解
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）1.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：因为点在第三象限，因此则有利用三角函数的符号可知，角所在的象限是第二象限2.若角的终边所在直线上有一点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角函数的定义，有tan420°=．∵tan420°=tan（360°+60°）=tan60°=，∴，∴a=–4，故选B．3.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：个位数与十位数之知为奇数一两位数共有个，从中任取一个共有45个不同的结果，由于是随机抽取的，每个结果出现的可能性是相等的，其中个位数为的有个，由古典概型的概率公式得所求概率为：，故选D.考点：1、排列组合；2、古典概型.【此处有视频，请去附件查看】4.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的( )A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，依次判断符合的条件运算，直到时输出.【详解】根据程序框图运行程序，输入，且此时且此时且此时且此时且此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果的问题，属于基础题.5.圆在点处的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：圆的方程化为标准方程是(x-2)2+y2=4,点P是圆上的点,由圆的切线的几何性质知,圆心与切点的连线与切线垂直,所以切线的斜率为,故切线方程是(y-)=x-1，即.考点：直线与圆的位置关系.6.设计一个计算的算法．如图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是( )A. 13B. 13.5C. 14D. 14.5 【答案】A【解析】【分析】依次填入各个选项中的数字，根据算法验证输出的结果即可.【详解】当填入数字为时，根据算法输出的，不符合题意填入选项的数字时，都能保证输出的，符合题意本题正确选项：【点睛】本题考查算法中的语言，属于基础题.7.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为．考点：1．古典概型；8.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（，）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y 与x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选：D．【此处有视频，请去附件查看】9.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.【此处有视频，请去附件查看】10.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC、CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】设AC="x" cm (0<x<12)则CB="12-x" cm，则矩形面积，即，解得，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为，故选C考点定位：本题考查概率问题，意在考查考生对概率中的几何概型的理解能力【此处有视频，请去附件查看】11.已知某运动员每次投篮命中的概率等于．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15 【答案】B【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C．【此处有视频，请去附件查看】12.采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为A. B. C. D.【答案】C【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．考点：系统抽样.此处有视频，请去附件查看】第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）13.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．【答案】15【解析】【分析】根据概率计算出球的总数，再根据频率计算出白球的个数，从而可得黑球个数.【详解】由题意可知，球的总数为：个白球的个数为：个黑球的个数为：个本题正确结果：【点睛】本题考查频率、频数、总数的关系，属于基础题.14.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．【答案】33【解析】【分析】根据几何概型的基本原理可构造方程求得结果.【详解】设阴影部分面积为由几何概型可知：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型基本原理的应用，属于基础题.15.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，输出，若输入的为20，依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则________．【答案】30【解析】【分析】根据程序框图可知和分别为中最大和最小的数，通过已知中的取值得到和的具体值，从而求得差值.【详解】由于，且时将值赋给，因此为中最大的数由于，且时将值赋给，因此为中最小的数，本题正确结果：【点睛】本题考查根据程序框图判断框图的作用，属于中档题.16.当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.【详解】为恒过的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点与半圆相切，可得：解得：又本题正确结果：【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.三、解答题（本大题共6 小题，共70分）17. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （）A. B. C. D.2. sin 20 °cos 40 ° ＋cos 20 °s in 40 ° 的值等于（）A．______________________________________ B．C． D．3. 已知角的终边过点，，则的值是（）A．1或－1___________________________________ B．或C．1或___________________________________ D．－1或4. 下列命题正确的是（）A．若，则 =0B．若 = ，则 =C．若 // ， // ，则 //D．若与是单位向量，则 =15. 函数 f(x)=sin2x cos2x是（）A．周期为π的偶函数____________________________ B．周期为π的奇函数C ．周期为的奇函数.________________________ D．周期为的偶函数6. 将函数的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A． B．C．___________________________________ D．7. 若| ，且（）⊥ ，则与的夹角是（）A． B． C．D．8. 已知 , 且点在的延长线上, ,则点的坐标为（）A． B ． C ．___________________________________ D．9. 已知 , , 则的值为（）A ．______________ ______________B ．___________________________________________________ C ．______________________________ D ．10. 化简 + ，得到（）A．2sin5 B．－2cos5 C．－2sin5 D．2cos511. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A. B.C. D.12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B． C．－D．二、填空题13. 已知向量 a＝(3，2) ， b＝(0，－1) ，那么向量 3b－a 的坐标是．14. 设－， , 则．15. 已知向量设 X 是直线 OP 上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________16. 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：_________________________________ ．三、解答题17. 已知，，，，求的值.18. 已知 , ,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( ,).（I）若| |=| |，求角α的值；（II）若，求的值.20. 已知， , 且 f(x)= . （1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.21. 已知关于x的方程的两根为和，∈（0，π）. 求：（I）m的值；（II）的值；（III）方程的两根及此时的值.22. 设，其中．（1）用a表示f(x)的最大值M(a)；（2）当M(a)=2时，求a的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的班级、姓名、学号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡.上对应题目选项的答案信息涂黑，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）1.已知，，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】∵，∴∵∴∴故选D2.在中，角，，所对边分别是，，，若，，，则角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理，，选C.3.是顶角为的等腰三角形，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：是顶角为的等腰三角形，且，则，则．故选：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及运算，是基本知识的考查．4.在数列中，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，可求出，当时，得，即可得数列为等比数列．【详解】解：当时，则，当时，由得故数列是以为首项等比数列故选【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，属于基础题．5.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A. 2B. 3C. 6D. 7【答案】B【解析】【详解】,6.等比数列中，，则等于( )A. 16B. ±4C. -4D. 4【答案】D【解析】分析：利用等比中项求解．详解：，因为为正，解得．点睛：等比数列的性质：若，则．7.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果.【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.8.数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用裂项相消法求数列的前项和为．【详解】解：故选【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前项和为，属于基础题．9.中，角，，对边分别为，，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角求得，再利用余弦定理求边．【详解】，，，又，由余弦定理得故选【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．10.若两个等差数列，的前项和分别为，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把转化为，然后借助于已知得答案．【详解】解：等差数列、前项和分别为，，且，得．故选．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和，考查数学转化思想方法，是中档题．11.在中，，，，在边的中线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【详解】解：由题意，画图如下：可设，，，．，．．由二次函数的性质，可知：当时，取得最小值．故选：．【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．12.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图所示，三角形数,，，……在这个自然数中三角形数的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出这一列数的通项，即可求出在中三角形数的个数．【详解】解：由题意知，，……可归纳为则，故在中三角形数的个数为个．故选【点睛】本题考查数列的通项公式，及数列的项的计算，属于基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.在ΔABC中，已知a=1，b=, A=30°，则B等于____________；【答案】或【解析】分析：根据正弦定理求解即可．详解：由正弦定理可知，解得，故解得或点睛：本题为易错题，根据大角对大边，正弦值在一、二象限均有取值，只要角大于角即可．14.如果数列的前项和，则此数列的通项公式__________．【答案】【解析】【分析】利用数列中与关系，得出，但，由此判定数列从第项起为等比数列，通项公式可求．【详解】解：当时，，得．当时，，得，当时，不成立，故数列为从第项起为等比数列．故答案为【点睛】本题考查利用数列中与关系求数列通项，考查等比数列判定，通项公式求解．需具有转化、变形、计算能力．15.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是______.【答案】【解析】【分析】连结，由余弦定理可求，在中由正弦定理可求，利用面积公式分别求出，，即可求出四边形的面积．【详解】解：如图，连结，由余弦定理可知，故，，，，在中由正弦定理得：，即，故.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于基础题．16.已知等差数列中，，公差d>0，则使得前n项和取得最小值时的正整数n 的值是______．【答案】6或7【解析】【分析】将转化为的形式，得到，即，由此判断前或项的和最小.详解】]由且得，，且，即，即，即，故且最小.【点睛】本题主要考查利用基本元的思想，求等差数列的前项和取得最小值时的值.直接用等差数列的通项公式，将已知条件转化为的形式，由此得到为零，从而求得使等差数列的前项和取得最小值时的值.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.如图，在中，，是边上一点，，，，为锐角.(1)求角大小；(2)求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中，利用正弦定理表示出，求出，确定出的度数；（2）在中，设，由余弦定理可得，即可求出的长．【详解】（1）在中，，，由正弦定理可得，，即，，为锐角，，（2）在中，设，由正弦定理可得，，即，，即.【点睛】考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19.数列满足，，.(1)设，证明是等差数列；(2)求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证是等差数列，即证，即由已知可得．（2）由（1）可得，利用累加法，求出数列的通项公式．【详解】（1）由得，又，所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，，由得，，则，，，，，所以，又，所以的通项公式.【点睛】本题考查：①用定义法证明等差数列；②等差数列的通项公式；③累加法求数列的通项公式；形如“”的递推关系式，求通项时一般利用累加法，属于中档题．20.的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．（2）可设，，由余弦定理可得，再由余弦定理，得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．【详解】（1）由及正弦定理可得：，即.由余弦定理可得，又，.（2），所以可设，，则由余弦定理可得，，再由余弦定理得，故，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知是等差数列，是各项为正数的等比数列，且，，.⑴求数列和的通项公式；⑵若，求数列的前项和.【答案】(1) ，;(2) .【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，结合已知条件，，.可列出关于的方程组，解方程组求出的值，最后求出数列和的通项公式；(2)用错位相消法，结合等比数列前项和公式，可以求出数列的前项和.【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，，所以有，所以，.(2)因为，.，所以，因此①，②，①—②得：，.【点睛】本题考查了等比数列和等差数列的通项公式，考查了用错位相消法求数列前项和.22.已知、、、为同一平面上的四个点，且满足，，设，的面积为，的面积为.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（I）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，即可求解的值；（II）由，得到，从而，由此能求出．试题解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得所以在中，由余弦定理得所以所以.（Ⅱ）因为，所以所以解得考点：余弦定理；三角函数的恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法等问题，其中解答中涉及到三角形的面积，余弦定理，三角恒等变换等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想，解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
2018-2019高一下学期期中考试数学试题(解析版)
（1）由向量的平行关系可以得到 ,再由正弦定理可以解出答案。
（2）由（1）的答案，再根据余弦定理可以求得 ，根据面积公式算出答案。
【详解】(1)因为 ，所以asinB－ bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－ sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝ .
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
试题解析：
（1）由正弦定理得
= = = AC= =5。
（2）由余弦定理得
cosA= = =- ，所以∠A=120°。
20.已知数列 的前 项和为 且 .
（1）求数列 的通项公式
【详解】记 点正下方为 ，
由题意可得 ， ， ，
在 中，由 ，
得到 ；
在 中，由 得到 ，
所以河流的宽度 等于 米.
故选B
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记特殊角对应的三角函数值，已经两角和的正切公式即可，属于常考题型.
12.设 是 的重心， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ，则角 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理，结合题中数据求出 ，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，
由正弦定理 ，可得 ，
所以 或 ；且都满足 .
故选C
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.
7.设 ， ，点 与 关于点 对称，点 与 关于点 对称，则向量 ( )
A. B. C. D.
学2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.的值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求值．【详解】．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式化简求值，还考查了运算求解的能力,属于基础题．2.函数的周期，初相分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式，可求出它的周期和初相.【详解】解：因为函数，所以周期，初相为.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像中周期、初相的意义，属于基础题.3.设第二象限的角的终边经过点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据角度终边上一点的坐标，写出余弦值，求得参数与正弦值，再利用诱导公式，即可求得结果.【详解】因为角终边经过点，故可得解得，或，又因为是第二象限的角，故，故可得.有.故选：C.【点睛】本题考查由角度终边上一点，求三角函数值，涉及诱导公式的使用，属基础题.4.已知向量，，若与共线，则在方向上的投影是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和，利用共线向量求出值，再用在方向上的投影公式即可.【详解】解：因为，因为与共线，所以，解得.所以在方向上的射影.故选: C.【点睛】本题考查向量的运算法则、考查向量共线和向量的投影，属于基础题.5.下列说法中正确的是（）A. 圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B.C. 若，，则D. 把表示成（）的形式，且使，则的值为【答案】C【解析】【分析】根据弧度角的定义与弧长公式、正弦函数的单调性、向量的传递性、任意角的转换，对选项中的问题进行分析、判断即可.【详解】解：对于A，由于，所以圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等不正确，故A不正确；对于B，正弦函数，单调递增，单调递减，所以不正确；故B不正确；对于C，向量的传递性，故C正确；对于D，把表示成（）的形式，且使，则的值为，故D不正确.故选：C.【点睛】本题考查弧度角的定义与弧长公式、正弦函数的单调性、向量的传递性、任意角的转换，属于基础题.6.已知，为锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出与的值，进而求出与的值，利用两角和差的正切函数公式化简，即可求出.【详解】解：因为，为锐角，，，所以，.所以，.所以.故选：A.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题.7.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.8.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.9.设函数（其中a，b，，为非零实数），若，则的值是（）A. 3B. 5C. 8D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式，求得，再利用诱导公式求得的值.【详解】解：因为函数，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.10.若向量且若则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，即，即，，根据条件，所以，故选B.考点：三角函数的化简和求值11.已知函数（，，），M是函数图象的一个最高点，K，N是函数图象上与它距离最近的两个对称中心，是边长为1的正三角形，，若函数为偶函数，则的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意可求出函数的表达式，再利用函数为偶函数，写出函数的表达式，利用偶函数的性质可得，解出的集合，再求的最小值.【详解】解：因为M是函数图像的一个最高点，K，N是函数图像上与它距离最近的两个对称中心，又因为是边长为1的正三角形，所以正三角形的高是点的纵坐标，即,所以,，即，又因为，所以，因为，所以.故.因为函数为偶函数，所以，，所以当时，最小为.故选：B.【点睛】本题考查求三角函数表达式，考查抽象函数为偶函数时，求参数的最值问题，属于中档题.12.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和正弦公式展开得，根据同角三角函数关系，求得，平方处理求得，考虑角的范围即可得解.【详解】∵即，又∵，∵，解得或，所以，平方得所以，.∵，∴，∴，∴.故选：A.【点睛】此题考查三角函数求值问题，关键在于根据已知条件求解三角函数的取值，熟练掌握同角三角函数关系尤其是正余弦之和差积的转化关系.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.把答案填在答题纸的相应位置）13.已知向量，，则______；______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用向量数量积运算可求出，向量减法运算求出的坐标，即可计算出.【详解】解：因为向量，，所以，，.故答案为：；.【点睛】本题考查向量数量积运算、向量减法运算和向量模长的计算公式，属于基础题.14.已知，则x的取值集合为______.【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值或，结合正弦函数图像以及正弦函数的周期性，即可写出结果.【详解】因为，所以，即x的取值集合为【点睛】本题主要考查三角函数图像和性质，属于基础题型.15.已知向量，，．若，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】由向量共线的运算得：=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解．【详解】因为，．又，则不妨设=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），设与的夹角为θ，则cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°，故答案为70°【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题．16.在平面直角坐标系中，已知任意角以x轴正半轴为始边，终边经过点，设（），定义，给出四个下列结论：①方程无解；②该函数图象的一个对称中心是；③该函数的图象关于y轴对称；④该函数在区间是上为增函数.其中不正确的结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】根据题意，求出函数，再利用三角函数的图像与性质对题目中的命题进行分析判定即可.【详解】解：根据三角函数定义可知，，所以即，所以方程无解，故①正确；当时，，故②不正确；因为，所以该函数的图象不关于y轴对称，故③不正确；当时，，函数单调递增，所以函数在区间是上为增函数.故④正确.故答案为：②③【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质问题，解决问题的关键是求出函数的表达式，是综合性题目.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）化简：；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)运用诱导公式化简整理即可得出结果；(2)原式分子分母同除以,即可求出结果.【详解】（1）原式(2)原式【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系和诱导公式，属于基础题型.18.已知平面上三点A，B，C的坐标依次为，，.（1）若为直角三角形，且角A为直角，求实数k的值；（2）在（1）的条件下，设，，若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】分析】（1）根据为直角三角形，且角A为直角，可知，即，解得值；（2）利用向量三角形法则得出和，由知，利用向量平行性质即可证明.【详解】解：（1）因为A，B，C的坐标依次为，，.所以，，因为为直角三角形，且角A为直角，所以，所以，所以（2），因为，所以，所以，整理得.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数乘，平行向量的坐标关系，属于基础题.19.是否存在实数，使函数的定义域为R 时，值域为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，当时，，当时，.【解析】【分析】先由换元，再利用一次函数的单调性以及定义域、值域求出a，b的值．【详解】由条件可知．令，则，则函数可化为．当时，有解得当时，有解得故存在实数，b，当时，当时，符合题意．【点睛】本题给出三角函数表达式，讨论使得函数值域为已知区间的参数取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的最值等知识，属于中档题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为（2）单调递增区间是和【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正余弦公式、二倍角降幂公式化简函数，即可求出最小正周期；（2）根据题意，对函数进行伸缩变换，得到函数的图像，由的单调递增区间，求出时，的单调递增区间.【详解】解：（1）所以函数的最小正周期为（2）由（1）可知，将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，由，得，，，或者，因此在的单调递增区间是和.【点睛】本题考查两角和与差的正余弦公式、二倍角降幂公式、最小正周期公式，考查图像的伸缩变换，考查三角函数在区间范围内的单调递增区间.21.已知向量，，，，.（1）求的值；（2）若，均为锐角，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行得到，利用二倍角降幂公式、同角三角函数的平方关系化简，把代入即可；（2）根据题意可求出的值，由可求出的值，由，均为锐角可得与的值，再根据即可求出结果.【详解】解：（1）因为，，且，所以，即，所以.（2）因为，，，所以，因为，为锐角，所以，因为，均为锐角，所以，又，所以，.所以.【点睛】本题考查二倍角降幂公式、同角三角函数的基本关系和两角差的正切公式，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）若方程在上至少存在8个解，求的取值范围；（2）若函数在上为增函数，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦的和角公式，以及诱导公式，对三角函数进行化简，将其整理为正弦型函数，再根据的根的情况与周期之间的关系，列出不等式，即可求解.（2）求出函数的单调区间，再根据是其子集，夹逼出参数的范围即可.【详解】.（1）由在上至少存在8个解，所以.故.（2）函数的周期，因为函数在上为增函数，令，解得.又因为是其子集，故可得，求得，且，故最大值为.【点睛】本题考查利用余弦的和角公式，以及降幂扩角公式对三角函数进行化简，涉及三角函数由单调区间求参数的问题，属综合性基础题.学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.的值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求值．【详解】．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式化简求值，还考查了运算求解的能力,属于基础题．2.函数的周期，初相分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式，可求出它的周期和初相.【详解】解：因为函数，所以周期，初相为.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像中周期、初相的意义，属于基础题.3.设第二象限的角的终边经过点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据角度终边上一点的坐标，写出余弦值，求得参数与正弦值，再利用诱导公式，即可求得结果.【详解】因为角终边经过点，故可得解得，或，又因为是第二象限的角，故，故可得.有.故选：C.【点睛】本题考查由角度终边上一点，求三角函数值，涉及诱导公式的使用，属基础题.4.已知向量，，若与共线，则在方向上的投影是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和，利用共线向量求出值，再用在方向上的投影公式即可.【详解】解：因为，因为与共线，所以，解得.所以在方向上的射影.故选: C.【点睛】本题考查向量的运算法则、考查向量共线和向量的投影，属于基础题.5.下列说法中正确的是（）A. 圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B.C. 若，，则D. 把表示成（）的形式，且使，则的值为【答案】C【解析】【分析】根据弧度角的定义与弧长公式、正弦函数的单调性、向量的传递性、任意角的转换，对选项中的问题进行分析、判断即可.【详解】解：对于A，由于，所以圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等不正确，故A不正确；对于B，正弦函数，单调递增，单调递减，所以不正确；故B不正确；对于C，向量的传递性，故C正确；对于D，把表示成（）的形式，且使，则的值为，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题考查弧度角的定义与弧长公式、正弦函数的单调性、向量的传递性、任意角的转换，属于基础题.6.已知，为锐角，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出与的值，进而求出与的值，利用两角和差的正切函数公式化简，即可求出.【详解】解：因为，为锐角，，，所以，.所以，.所以.故选：A.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题.7.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.8.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.9.设函数（其中a，b，，为非零实数），若，则的值是（）A. 3B. 5C. 8D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式，求得，再利用诱导公式求得的值.【详解】解：因为函数，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.10.若向量且若则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以，即，即，，根据条件，所以，故选B.考点：三角函数的化简和求值11.已知函数（，，），M是函数图象的一个最高点，K，N是函数图象上与它距离最近的两个对称中心，是边长为1的正三角形，，若函数为偶函数，则的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意可求出函数的表达式，再利用函数为偶函数，写出函数的表达式，利用偶函数的性质可得，解出的集合，再求的最小值.【详解】解：因为M是函数图像的一个最高点，K，N是函数图像上与它距离最近的两个对称中心，又因为是边长为1的正三角形，所以正三角形的高是点的纵坐标，即,所以,，即，又因为，所以，因为，所以.故.因为函数为偶函数，所以，，所以当时，最小为.故选：B.【点睛】本题考查求三角函数表达式，考查抽象函数为偶函数时，求参数的最值问题，属于中档题.12.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和正弦公式展开得，根据同角三角函数关系，求得，平方处理求得，考虑角的范围即可得解.【详解】∵即，又∵，∵，解得或，所以，平方得所以，.∵，∴，∴，∴.故选：A.【点睛】此题考查三角函数求值问题，关键在于根据已知条件求解三角函数的取值，熟练掌握同角三角函数关系尤其是正余弦之和差积的转化关系.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.把答案填在答题纸的相应位置）13.已知向量，，则______；______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用向量数量积运算可求出，向量减法运算求出的坐标，即可计算出.【详解】解：因为向量，，所以，，.故答案为：；.【点睛】本题考查向量数量积运算、向量减法运算和向量模长的计算公式，属于基础题.14.已知，则x的取值集合为______.【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值或，结合正弦函数图像以及正弦函数的周期性，即可写出结果.【详解】因为，所以，即x的取值集合为【点睛】本题主要考查三角函数图像和性质，属于基础题型.15.已知向量，，．若，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】由向量共线的运算得：=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解．【详解】因为，．又，则不妨设=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），设与的夹角为θ，则cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°，故答案为70°【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题．16.在平面直角坐标系中，已知任意角以x轴正半轴为始边，终边经过点，设（），定义，给出四个下列结论：①方程无解；②该函数图象的一个对称中心是；③该函数的图象关于y轴对称；④该函数在区间是上为增函数.其中不正确的结论的序号是______.【答案】②③【解析】【分析】根据题意，求出函数，再利用三角函数的图像与性质对题目中的命题进行分析判定即可.【详解】解：根据三角函数定义可知，，所以即，所以方程无解，故①正确；当时，，故②不正确；因为，所以该函数的图象不关于y轴对称，故③不正确；当时，，函数单调递增，所以函数在区间是上为增函数.故④正确.故答案为：②③【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质问题，解决问题的关键是求出函数的表达式，是综合性题目.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）化简：；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)运用诱导公式化简整理即可得出结果；(2)原式分子分母同除以,即可求出结果.【详解】（1）原式(2)原式【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系和诱导公式，属于基础题型.18.已知平面上三点A，B，C的坐标依次为，，.（1）若为直角三角形，且角A为直角，求实数k的值；（2）在（1）的条件下，设，，若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】分析】（1）根据为直角三角形，且角A为直角，可知，即，解得值；（2）利用向量三角形法则得出和，由知，利用向量平行性质即可证明.【详解】解：（1）因为A，B，C的坐标依次为，，.所以，，因为为直角三角形，且角A为直角，所以，所以，所以（2），因为，所以，所以，整理得.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数乘，平行向量的坐标关系，属于基础题.19.是否存在实数，使函数的定义域为R时，值域为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，当时，，当时，.【解析】【分析】先由换元，再利用一次函数的单调性以及定义域、值域求出a，b的值．【详解】由条件可知．令，则，则函数可化为．当时，有解得当时，有解得故存在实数，b，当时，当时，符合题意．【点睛】本题给出三角函数表达式，讨论使得函数值域为已知区间的参数取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的最值等知识，属于中档题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为（2）单调递增区间是和【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正余弦公式、二倍角降幂公式化简函数，即可求出最小正周期；（2）根据题意，对函数进行伸缩变换，得到函数的图像，由的单调递增区间，求出时，的单调递增区间.【详解】解：（1）所以函数的最小正周期为（2）由（1）可知，将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，由，得，，，或者，因此在的单调递增区间是和.【点睛】本题考查两角和与差的正余弦公式、二倍角降幂公式、最小正周期公式，考查图像的伸缩变换，考查三角函数在区间范围内的单调递增区间.21.已知向量，，，，.（1）求的值；（2）若，均为锐角，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行得到，利用二倍角降幂公式、同角三角函数的平方关系化简，把代入即可；（2）根据题意可求出的值，由可求出的值，由，均为锐角可得与的值，再根据即可求出结果.【详解】解：（1）因为，，且，所以，即，所以.（2）因为，，，所以，因为，为锐角，所以，因为，均为锐角，所以，又，所以，.所以.【点睛】本题考查二倍角降幂公式、同角三角函数的基本关系和两角差的正切公式，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）若方程在上至少存在8个解，求的取值范围；（2）若函数在上为增函数，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦的和角公式，以及诱导公式，对三角函数进行化简，将其整理为正弦型函数，再根据的根的情况与周期之间的关系，列出不等式，即可求解.（2）求出函数的单调区间，再根据是其子集，夹逼出参数的范围即可.【详解】.（1）由在上至少存在8个解，所以.故.（2）函数的周期，因为函数在上为增函数，令，解得.又因为是其子集，故可得，求得，且，故最大值为.【点睛】本题考查利用余弦的和角公式，以及降幂扩角公式对三角函数进行化简，涉及三角函数由单调区间求参数的问题，属综合性基础题.。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)_1
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.选择题:(每题5分,共60分)1.下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】C【解析】分析：根据不等式性质逐一分析即可.详解：A. 若，则 ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第五节的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】C【解析】由题设可得，由此可得，故应选答案C ．4.在中分别为角所对的边,若,则此三角形一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【解析】在中，，，此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.已知数列满足，，则数列的前6项和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得数列是以为公比的等比数列，所以，故6.函数的最大值为( )A. 1B.C. 2D.【解析】【分析】化简得到，得到答案.【详解】，故当时，函数有最大值.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力.7.已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x 的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1， ]C. [- ，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且 ,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为,选C.8.已知等比数列满足，则=A. 1B.C.D. 4【解析】依题意有，故.9.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. B. 5 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【详解】∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴acsinB＝2，即c＝4，∴由余弦定理得：﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，则由正弦定理得：2R5．故选C．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．10.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D. （0，4）【答案】C【解析】当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则解得：，综上的取值范围是，故选C.11.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.12.化简的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】原式===二.填空题(每题5分,共20分)13.已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】16【解析】由题可得：，故14.在等差数列{an}中,若a1+a7+a13 = 6,则S13 = ______ .【答案】26【解析】【分析】根据得到，，得到答案.【详解】，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.15.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．【答案】【解析】已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.16.在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.【答案】【解析】【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.【详解】，故..故答案为：.【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.三.解答题(6个小题,共70分)17.解不等式:.【答案】答案不唯一，详见解析【解析】【分析】变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论三种情况，计算得到答案.【详解】x2>(k+1)x-k变形为(x-k)(x-1)>0,当k>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>k}；当k=1时,不等式的解集是{x|x≠1}；当k<1时,不等式的解集是{x|x<k或x>1}；综上所述：时，解集为{x|x<1或x>k}；时，解集是{x|x≠1}；时，解集是{x|x<k或x>1}.【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【答案】（1）；（2）6.【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，∴；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1）∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）∵的面积为，∴，∴.由，及，得，∴.又，∴.故其周长为.19.已知公差不为零的等差数列{an}满足：，且是与的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn .【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴，解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n-1）=2n-1．（2）bn==（），∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（1-）=．点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.20.在我校高二年段即将准备开展数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？【答案】本次活动购买奖品最小费用为190元.【解析】【分析】先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为，目标函数为：，约束条件为画出满足条件的平面区域，联立，得设直线：，通过平移直线，易知z在点处取得最小值190，本次活动购买奖品的最小费用为190元．【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系．21.设．（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，的对边分别为，若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出的最大值，可得面积的最大值．【详解】解：（1）．，由．可得：，函数的单调递增区间是：（2）由，即，可得，．由余弦定理：，可得．，当且仅当时等号成立．，．面积的最大值．故得三角形面积最大值为．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．22.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由写出当时，，两式相减可得数列的递推式，再求得，从而确定数列是等比数列，得通项公式；（Ⅱ）数列可以看作是一个等差数列和等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得．试题解析：（Ⅰ）由，①得，，②①②，得，即（，），所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（）．（Ⅱ），，作差得，∴（）．点睛：本题考查错位相减法求和，对一个等差数列与一个等比数列相乘所得数列，其前项和可用错位相减法求解，首先写出和，然后在此式两边乘以等比数列的仅比，并错位，两式相减，可把和式转化为中间部分项是等比数列的和，应用等比数列求和公式可得结论．数列求和方法除直接应用等差数列和等比数列前项和公式外还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等等．2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.选择题:(每题5分,共60分)1.下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】C分析：根据不等式性质逐一分析即可.详解：A. 若，则 ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第五节的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】C【解析】由题设可得，由此可得，故应选答案C ．4.在中分别为角所对的边,若,则此三角形一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】C在中，，，此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.5.已知数列满足，，则数列的前6项和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得数列是以为公比的等比数列，所以，故6.函数的最大值为( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到答案.【详解】，故当时，函数有最大值.故选：.【点睛】本题考查了三角函数的最值，意在考查学生的计算能力.7.已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为A. [-1，2]B. [-1， ]C. [- ，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且 ,所以 ,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8.已知等比数列满足，则=A. 1B.C.D. 4【答案】B【解析】依题意有，故.9.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A. B. 5 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【详解】∵在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴acsinB＝2，即c＝4，∴由余弦定理得：﹣2accosB＝1+32﹣8＝25，即b＝5，则由正弦定理得：2R5．故选C．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题10.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（）A. B. C. D. （0，4）【答案】C【解析】当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则解得：，综上的取值范围是，故选C.11.已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为（）．A. 1B. 6C. 7D. 6或7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.12.化简的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】原式===二.填空题(每题5分,共20分)13.已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】16【解析】由题可得：，故14.在等差数列{an}中,若a1+a7+a13 = 6,则S13 = ______ .【答案】26【解析】【分析】根据得到，，得到答案.【详解】，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.15.如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．【答案】【解析】已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.16.在数列{an}中,a1=3, ,则通项公式an = ______.【答案】【解析】【分析】变换得到，利用累加法计算得到答案.【详解】，故..故答案为：.【点睛】本题考查了裂项相消法，累加法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用.三.解答题(6个小题,共70分)17.解不等式:.【答案】答案不唯一，详见解析【解析】【分析】变换得到(x-k)(x-1)>0，讨论三种情况，计算得到答案.【详解】x2>(k+1)x-k变形为(x-k)(x-1)>0,当k>1时,不等式的解集是{x|x<1或x>k}；当k=1时,不等式的解集是{x|x≠1}；当k<1时,不等式的解集是{x|x<k或x>1}；综上所述：时，解集为{x|x<1或x>k}；时，解集是{x|x≠1}；时，解集是{x|x<k 或x>1}.【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【答案】（1）；（2）6.【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，∴；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1）∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）∵的面积为，∴，∴.由，及，得，∴.又，∴.故其周长为.19.已知公差不为零的等差数列{an}满足：，且是与的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn .【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和.试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴，解得a1=1，d=2，∴an=1+2（n-1）=2n-1．（2）bn==（），∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=（1-+-+…+）=（1-）=．点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.20.在我校高二年段即将准备开展数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？【答案】本次活动购买奖品最小费用为190元.【解析】【分析】先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为，目标函数为：，约束条件为画出满足条件的平面区域，联立，得设直线：，通过平移直线，易知z在点处取得最小值190，本次活动购买奖品的最小费用为190元．【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系．21.设．（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，的对边分别为，若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出的最大值，可得面积的最大值．【详解】解：（1）．化简可得：，由．可得：，函数的单调递增区间是：（2）由，即，可得，．由余弦定理：，可得．，当且仅当时等号成立．，．面积的最大值．故得三角形面积最大值为．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．22.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由写出当时，，两式相减可得数列的递推式，再求得，从而确定数列是等比数列，得通项公式；（Ⅱ）数列可以看作是一个等差数列和等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得．试题解析：（Ⅰ）由，①得，，②①②，得，即（，），所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（）．（Ⅱ），，作差得，∴（）．点睛：本题考查错位相减法求和，对一个等差数列与一个等比数列相乘所得数列，其前项和可用错位相减法求解，首先写出和，然后在此式两边乘以等比数列的仅比，并错位，两式相减，可把和式转化为中间部分项是等比数列的和，应用等比数列求和公式可得结论．数列求和方法除直接应用等差数列和等比数列前项和公式外还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等等．。
2018-2019学年湖南省新选(A卷)高一下学期数学期中检测试卷答案
2019年4月湖南省新高考高一选科摸底测评试卷数学（A卷）参考答案1、【答案】C．【解析】解：样本间隔为64﹣14＝50，共抽取800÷50＝16个，则最大的编号应该为14+15×50＝764，故选：．C【难度】基础题【知识点】考察系统抽样。
2、C【解析】1 cos(1320)cos1320cos(13203603)cos240cos602 -==-⨯==-=-【难度】基础题【知识点】考查诱导公式3、D【解析】分析：在A中，事件“至少有一个是男生”是随机事件；在B中，事件“都是女生”是随机事件；在C中，事件“都是男生”和“至少一个男生”能同时发生；在D中，事件“至少一个是女生”和“都是男生”是对立事件．解：在8个同学中，有6个是男生，2个女生，从这8个同学中任意抽取2个同学，在A中，事件“至少有一个是男生”是随机事件，故A错误；在B中，事件“都是女生”是随机事件，故B错误；在C中，事件“都是男生”和“至少一个男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，事件“至少一个女生”和“都是男生”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故D正确．【难度】基础题【知识点】考查命题真假的判断，考查随机事件、互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力。
4、C【解析】利用方差的性质直接求解.∵数据x1，x2，x3的方差S2＝4，∴x1+2，x2+2，x3+2的方差为22×S2＝16．故选：C．【难度】基础题【知识点】考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想。
5、B【解析】利用特殊角的三角函数值的符号，直接判断点所在象限即可．解：sin1035°＝sin（360°×3﹣45°）＝sin452-=-，cos1035°＝cos（360°×3﹣45°）＝()2cos452-=．∴P在平面直角坐标系中位于第二象限．故选：B．【难度】基础题【知识点】考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用。