上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题

上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月

考数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、填空题

1. 双曲线的焦距是________

2. 已知集合，，则

________

3. 设是等差数列，且，，则的通项公式为

__________．

4. 若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为________

5. 函数的定义域为________

6. 的展开式中项的系数为_______．

7. 已知、为锐角，，，则________

8. 在上海进口博览会期间，要从编号为1，2，3，，8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作，则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为________（结果用分数表示）

9. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，

，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．

10. 设函数在区间的最大值和最小值分别为

、，则________

11. 若实数是实数与的等比中项，则的最大值为________

12. 已知函数（），若存在实数，使得函

数有3个零点，则实数的取值范围是________

二、单选题

13. 已知直线在平面内，直线不在平面内，则“”是“”（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既非充分条件又非必要条

14. 的内角的对边分别为，，，若的面积为

，则

A．B．C．D．

15. 下面的四个命题中，真命题的个数是（）

①向量、、，若∥且∥，则∥；②向量、、，若

，则；③复数、，若，则；④公比

为等比数列，令，，，

，，则数列（）是公比为的等比数列. A．0 B．1 C．2 D．3

16. 已知向量、，满足，，若对任意模为2的向量，均有

，则向量、夹角的取值范围是（）

A．B．C．D．

三、解答题

17. 设函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．

18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角表示）

19. 如图，已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点、.

（1）求直线的斜率的取值范围；

（2）设为原点，直线交轴于，直线交轴于，，，求证：为定值.

20. 如图，已知两个城市、相距，现计划在两个城市之间合建一个垃圾处理厂，立即处理厂计划在以为直径的半圆弧上选择一点建造（不能选在点、上），其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城的距离为（单位是），建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为100，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理厂建在上距离城20公里处时，对城和

城的总影响度为.

（1）将表示成的函数；

（2）求当垃圾处理厂到、两城市距离之和最大时的总影响度的值；（3）求垃圾处理厂对城和城的总影响度的最小值，并求出此时的值.（计算结果均用精确值表示）

21. 等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数

（且，、均为常数）的图像上.

（1）求的值；

（2）当时，记（），求数列的前项和；

（3）数列满足：，（），若对恒成立，求实数的取值范围.