上海市-建平中学高三期中数学考试试卷(含答案)(2018.11)
2018学年上海市建平中学高三(上)9月月考数学试卷 解析版
2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷一、填空题1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为．2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为．5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=．6．（3分）设，则=．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=．9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是．11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．二、选择题13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）A．数列{a n}中一定存在一项为0B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja jC．数列{a n}一定是等差数列D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．上述结论正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为1．【分析】利用（x+a）5二项式展开式的通项公式写出展开式中含x2的系数和x3的系数，列方程求出a的值．=•x5﹣r•a r，【解答】解：（x+a）5的二项式展开式中，通项公式为T r+1∴含x2的系数为•a3，x3的系数为•a2，由题意知•a3=•a2，即10a3=10a2，解得a=1或a=0；∴非零实数a的值为1．故答案为：1．2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．【分析】从袋中任取2个球，基本事件总数n=，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，由此能求出所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率．【解答】解：袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n==105，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p==．故答案为：．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为{0}∪（，+∞）．【分析】利用分类讨论的思想①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根，故△＜0，进一步求出结果．【解答】解：集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则：①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根．故△＜0，即1﹣4a＜0解得：a．综合①②得：，故答案为：{0}∪（，+∞）5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=4，或﹣1．【分析】由x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，得x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，进而得到答案．【解答】解：∵x∈C，且x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，故x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，当x=1时，=4，当x4+x3+x2+x+1=0时，==﹣1，故=4，或﹣1故答案为：4，或﹣1．6．（3分）设，则=1+．【分析】由已知求出|z n|，再由无穷递缩等比数列所有项和的求解方法求解．【解答】解：∵，∴=，则==．故答案为：1+．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．【分析】设出z=a+bi（a，b∈R），则由，得z在复平面内对应点的轨迹，再由|z﹣1﹣i|的几何意义求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由，得a2+b2+2a≤0，即（a+1）2+b2≤1．复数z在复平面内对应点的轨迹如图：∴复数|z﹣1﹣i|的最大值为|PC|+1=．故答案为：．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得Q（﹣1，1）由即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|==3，故答案为：3．9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．【分析】满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．【解答】解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立．对于②，可取满足题意．对于③，经验证不满足．故答案为：②．10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是{a|1＜a} ．【分析】根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：集合，化简集合A={x|x2﹣5x+4≤0}=[1，4]．∵B⊆A，当B=∅时，则4（a﹣2）2﹣4a＜0，可得：1＜a＜4．当B≠∅时，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x+a≤0有解．则4（a﹣2）2﹣4a≥0，f（1）≥0，f（4）≥0，，可得：3＜a综上可得：实数a的取值范围是{a|1＜a}．故答案为：{a|1＜a≤}．11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．【分析】由三角形的面积公式，S△ABC=2S△MBC，则S△MBC=，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴A到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴S△ABC =2S△MBC，而△ABC的面积1，则△MBC的面积S△MBC=，S△MBC=丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=，∴丨MB丨×丨MC丨=．∴•=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨×丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，]∪{} ．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，则：；解得，≤a≤．由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故答案为：[，]∪{}．二、选择题13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：ab（a﹣b）＜0⇔a2b﹣ab2＜0⇔a2b＜ab2⇔⇔＜故选：D．14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）A．数列{a n}中一定存在一项为0B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja jC．数列{a n}一定是等差数列D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，由于a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0），可得a3﹣a4=a4，即a3=2a4，以此类推可得：a2=3a4，a1=4a4．分析选项即可判断出结论．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，∴a i﹣a i=0，∴当a5=0时，则a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0）．必有a3﹣a4=a4，即a3=2a4，而a2﹣a3=a3或a4，若a2﹣a3=a3，则a2﹣a4=3a4，而3a4≠a3，a4，a5，舍去；若a2﹣a3=a4∈{a n}，此时a2=3a4，同理可得a1=4a4．可得数列{a n}为：4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）；据此分析选项：易得A、B、C正确；对于D、集合A={x|x=a i+a j，1≤i≤j≤5}={8a4，7a4，6a4，5a4，4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）}中共有9个元素，D错误；故选：D．16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．上述结论正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过函数的基本性质﹣﹣奇偶性和单调性，对选项进行逐一验证即可【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R）是奇函数，∴任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立，故①正确；令m=，|f（x）|=，可解得，x=1或x=﹣1，故②正确；当x≥0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在[0，+∞）单调递增当x＜0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在（﹣∞，0）单调递增，故函数在R上单调递增，对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；故③错误；由③中分析可得：f'（x）∈（0，1]，故对任意k∈（1，+∞），函数y=f（x）的图象与y=kx只有原点一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣kx有一个零点，故④错误．故选：B．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，证明HG⊥AM，推出AM⊥平面EFGH．通过计算求出AM=4．AF，设直线AF与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（6分），第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，…（2分），…（4分）所以，．…（6分）（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，由题意，HG⊥平面ABB1A1，故HG⊥AM，所以AM⊥平面EFGH．…（2分）=10，）因为，，所以S△AEH因为EH=5，所以AM=4．…（4分）又，…（6分）设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），…（2分）故，，…（3分）设平面α一个法向量为，则即所以可取．…（5分）设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【分析】（1）公比q∈N*，q≠1，由S4=5S2．可得=，解得q．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，利用等差数列的求和公式可得数列{b n}的前n项和T n=log a2，对a分类讨论，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）公比q∈N*，q≠1，∵S4=5S2．∴=，解得q=2．∴a n==2n﹣5．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，∴数列{b n}的前n项和T n=log a2=log a2，a＞1时，（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．0＜a＜1时，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【分析】（1）利用正弦定理，即可求解；（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q 的轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）由正弦定理，得：所以…（4分）所以所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，设Q（x，y）（y≥0）…（8分）由题意，知AQ=2EQ，所以所以（x﹣3）2+y2=36（y≥0）…（11分）即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．【分析】（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，A点坐标为（﹣a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．（2）求出AP的方程x﹣y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设，然后利用三角形的面积求解最大值即可．（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE的方程，利用直线系得到定点坐标．（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty﹣2，推出直线DE过定点（﹣2，0）．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a=1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1=0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）=当，即时，S取最大值．△APQ的最大值为．…（10分）故S△APQ（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得，，又x A=﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y=0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1=0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s=﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s=﹣2．所以DE的方程为x=ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．【分析】（1）先求出集合A，B，进而可得集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}（2）C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，进而可得答案；（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．去除满足P⊊Q和Q⊊P的元素个数，可得答案．【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}={﹣2，1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}={﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2}．（2）n∈N*时，对C的任一元素a，因为C共有6个元素，故含有元素a的子集为25个，故C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，故S（C1）+S（C2）+…+S（C n）=（﹣4﹣2﹣1+0+1+2）•25=﹣128；（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．若P⊊Q，并设Q中含有k（1≤k≤n，k∈N•）个元素，则满足P⊊Q的有序集合对（P，Q）有=36﹣26个．同理，满足Q⊊P的有序集合对（P，Q）有36﹣26个．故满足条件的有序集合对（P，Q）的个数为n（P，Q）=26（26﹣1）﹣2（36﹣26）=2702．。
2018届上海市建平中学高三上学期期中考试数学试题(3)
上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0}，则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ，则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中，中心角• AOB二幺，若弧AB的长为2二，则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1，x • ［0「］的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0，u >0 )在［0,二］上至少取到一次振幅，则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足：对任意a,b R，a中b，都有af (a) bf (b) af (b) bf (a)，则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立，则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R，若对任意x1,x^ R，且x1：：：x2，具有f (x1^l f (x2)，则称函数f (x)为R上的单调非减函数，给出以下命题：①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称，则f (x)为周期函数，且2(b - a)是f(x)的一个周期；②若f(x)是周期函数，且关于直线X二a对称，则f(x)必关于无穷多条直线对称；③若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则f(x)的图像是一条直线；④若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y轴的直线对称，则f (x)是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数，若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解，则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位，得到函数（）的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数的是（15.下列关于充分必要条件的判断中，错误的是（）A. “ x • （0,二）”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0， b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题（1） 若cosB讨，求b 的值；（2） 若a =讦3，求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ，1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x)；(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点，求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算，软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期； (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx ， a,b R .(1 )若a=0，判断f (x)的奇偶性，并说明理由; (2 )若b=0，求f(x)在［1,3］上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x)，定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x))：(2 )若 f(x) =si n2x-cosx ， g(x) =si n2x cosx ，证明：F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ，in 2x ， A=0，- - 0 , i =1,2，证明：f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0， 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试卷+Word版含答案
绝密★启用前上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．。
建平中学数学高三试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，有理数是：（）A. √2B. πC. -1/3D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数形式。
C选项-1/3可以表示为-1除以3，是有理数。
2. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(-1)的值是：（）A. 1B. 0C. -1D. -3答案：C解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x + 1中，得到f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1。
3. 下列不等式中，正确的是：（）A. 3x > 6B. 2x ≤ 4C. 5x < 10D. 4x ≥ 8答案：B解析：将不等式两边同时除以相同的正数或负数，不等号的方向不变。
B选项2x ≤ 4，除以2得到x ≤ 2，不等式成立。
4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项an的值是：（）A. 15B. 17C. 19D. 21答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
将首项a1=3，公差d=2，项数n=10代入，得到第10项an = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
5. 下列各式中，能表示圆的方程是：（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. x^2 - y^2 = 1D. x^2 + y^2 = 9答案：B解析：圆的标准方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
B选项x^2 + y^2= 4表示半径为2的圆。
二、填空题6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值是：（）答案：-1解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 3中，得到f(2) = 2^2 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，那么∠C的度数是：（）答案：75°解析：三角形内角和为180°，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合，，则___________．2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．4.若方程组无解，则实数_____．5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．上海高三高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.集合，，则___________．【答案】【解析】2.复数所对应的点在复平面内位于第________象限．【答案】四【解析】3.已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则_____．【答案】【解析】【点睛】本题主要等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式及极限，涉及方程思想、极限思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.先利用等差数列的通项公式、等差数列的前项和化简，再利用极限公式进行求解.4.若方程组无解，则实数_____．【答案】【解析】由已知可得 .5.若的二项展开式中，含项的系数为，则实数_________．【答案】1【解析】由已知可得 .6.已知双曲线,它的渐近线方程是,则的值为_______．【答案】2【解析】由已知可得 .7.在中，三边长分别为，，，则 ___________．【答案】【解析】8.在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【点睛】本题主要直线的方程、直线的定点问题和点到直线的距离，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先求出直线得到定点，再利用数学结合思想，利用两点的距离公式即可求得正解.9.函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则_______．【答案】4【解析】10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_______．【答案】【解析】11.在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值______________．【答案】【解析】由已知可得 .【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.将已知条件两边平方得.12.无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_________个．【答案】91【解析】由已知可得最多由个.二、选择题1.已知，，都是实数，则“，，成等比数列”是“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由成等比数列可得；但是当时可得，而不成等比数列，故正确答案为A.2.、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A．如果∥，∥，则一定有∥．B．如果，，则一定有．C．如果，，则一定有∥．D．如果，∥，则一定有．【答案】D【解析】选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、具有一定的综合性，属于中档题型. 本题可采用排除法进行求解：选项A可能，故A错；选项B可能，故B错；选项C可能，故C错，故正确答案为D.3.已知函数，、、，且，，，则的值（______）A．一定等于零．B．一定大于零．C．一定小于零．D．正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得为奇函数，且在上是增函数，由，同理可得，.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得为奇函数，且是增函数，由，同理可得，，三式相加化简即可得正解.4.已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.图（1）图（2）图（3）【点睛】本题考查可行域、线性规划和直线的斜率等知识，涉及函数与不等式思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.由已知可得，故①错；由图（1）可得无最值，故②错；由图（2）可得，故③对；由图（3）可得，或，故④对，综上正确命题个数为，故选B.三、解答题1.如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为．（1）求异面直线、所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）;（2）体积单位.【解析】（1）先建系，再求出的坐标，然后代入公式即可求得正解；（1）以A为坐标原点，、、分别为轴和轴建立直角坐标系.（2）利用等积法，再进一步求解.试题解析：依题意有（2，2，4），（0，0，0），（2，2，0），（0，4，2）所以.设异面直线、所成角为角，所以，所以异面直线、所成角的大小为线段的中点为，线段的中点为，由，高，得，，由为线段的中点，且,,由面,，得面,三棱锥的体积为体积单位.2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．（1）求在区间上的解析式；（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．【答案】（1） ;（2）.【解析】（1）由奇函数定义得，从而求出是的表达式，进而求得定义域上的表达式；（2）先利用换元法求出是的值域为，再利用奇函数的性质可求得的值域为，从而定义域内的值域为，故的取值范围为.试题解析：（1）设，则，是奇函数，则有（2）设，令，则，而.，得，从而，在的取值范围是.又设，则，由此函数是奇函数得，，从而.综上所述，的值域为，所以的取值范围是.3.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设且，求数列的前项和的最值．【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1）先建立方程求得公比，再代入通项公式即可求得正解；（2）由（1）得，然后对进行分类讨论.试题解析：（1），，.整理得，解得或（舍去）..（2）.1）当时，有数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由，得.所以.的没有最大值.2）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.，得，.的没有最小值.4.已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．【答案】（1） ;（2）;（3） .【解析】(1)利用相关点代入法求解；（2）先由已知求得椭圆方程为，设；（3）设, 1)当直线的斜率存在时,设方程为，由以为直径的圆经过原点，又到直线的距离；2) 当直线的斜率不存在时,设方程为的面积是定值 .试题解析：（1）解.设（）由题意则，又，从而得（2）由，得.又，得.点在椭圆上，，，且，，由于，的取值范围是（3）设,则;1)当直线的斜率存在时,设方程为, 由得；有①由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；整理得:②将①式代入②式得: ,又点到直线的距离所以2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得；代入得，解得,从而,综上:的面积是定值.【点睛】本题考查椭圆的方程、向量的数量积、直线与圆和三角形的面积，涉及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第一小题利用相关点代入法求解；第二小题设；第三小题利用舍而不求法思想和分类讨论思想，紧扣进行求解.5.对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：02（1）求；（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ()．【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】(1) ；(2)周期为；(3)由题意得.试题解析：(1)(2),周期为4 , 所以=.(3)由题意得由又而从而有此函数的最小正周期为6,1)当时..2)当时..【点睛】本题考查函数的解析式、复合函数、数列的通项公式和三角函数，涉及函数与方程思想、分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型.第二小题通过计算发现数列的周期性，并利用周期性解题；第三小题通过待定系数法求得，从而，再利用周期性结合分类讨论思想进行求解.。
建平中学高三期中(2018.11)
建平中学高三期中数学试卷2018.11一. 填空题1. 设函数2(5)1()cos 1x x f x xx π⎧-≥=⎨<⎩，则((2))f f =2. 在各项为实数的等比数列{}n a 中，5280a a +=，则公比q 的值为3. 若(1,2)m =u r ，(2,1)n =-r ，(cos ,sin )p αα=u r ，3m p n p ⋅=⋅u r u r r u r，则tan α=4. 设集合2{|20}A x x x =-≥，1{|21}x B x -=≤，则()C A B =R I5. 某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的 家庭，那么不同的的邀请方案的种数是6. 从原点向圆2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长为7. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：对于任意*,m n ∈N ，都有2n m n m S S S mn ++=+，若11a =，则2018a =8. 已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-，当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，当12x >时，11()()22f x f x +=-，则(6)f = 9. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，若实数a 满足2(log |1|)(2)f a f ->-，则a 的取值范围是10. 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，226cos a b ab C +=，则1tan tan 1tan tan CBCA=- 11. 已知关于x 的不等式220ax x b ++>的解集为{|}x x c ≠，则227a b a c+++（0a c +≠）的取值范围是12. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知2()1g x x =-()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是二. 选择题13. 已知实数x 、y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ）A.221111x y >++ B. 22ln(1)ln(1)x y +>+ C. sin sin x y> D. 33x y > 14. 已知点(2,0)A -、(3,0)B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=u u u r u u u r，则点P 的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线15. 已知数列{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，则数列：①{2}n a ；②2{}na ；③21{}na ； ④1{}n n a a +；⑤1{}n n a a ++；等比数列的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 16. 设函数21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2,,99i =⋅⋅⋅，记10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-，1,2,3k =，则（ ） A. 123I I I << B. 213I I I << C. 132I I I << D. 321I I I <<三. 解答题17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =.（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小； （2）求点D 到平面PBC 的距离.18. 设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到 的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.19. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一 条曲线段，为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示，若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为 10千米，以1l 、2l 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.20. 对于函数1()1f x x=-，定义1()()f x f x =，1()[()]n n f x f f x +=（*n ∈N ），已知偶函 数()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，(1)0g =，当0x >且1x ≠时，2018()()g x f x =. （1）求2()f x ，3()f x ，4()f x ，2018()f x ； （2）求出函数()y g x =的解析式；（3）若存在实数a 、b （a b <），使得函数()g x 在[,]a b 上的值域为[,]mb ma ，求实数m 的取值范围.21. 对于无穷数列{}n a ，记{|,}j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使 得只要m k a a t -=（*,m k ∈N ，m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列具有性质()P t .（1）若数列{}n a 满足22253n nn a n n ≤⎧=⎨-≥⎩，判断数列{}n a 是否具有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？说明理由；（2）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质(0)P ”的必要不充分条件； （3）已知{}n b 是各项均为正整数的数列，且{}n b 既具有性质(2)P ，又具有性质(5)P ， 求证：存在正整数N ，使得N a ，1N a +，2N a +，⋅⋅⋅，N K a +，⋅⋅⋅是等差数列.参考答案一. 填空题1. 1-2. 2-3. 74. (0,1]5. 821，4454102C C ⋅ 6. 2π，1(23)23ππ⋅= 7. 4033-，112(1)23n n n S S S n a n -+=+-⇒=-+ 8. 2，(6)(1)(1)(2)2f f f ==--=--= 9. 35(3,)(,5)44-U ，22log |1|2a -<-<10. 4，22232()c a b =+，2222tan tan 24tan tan C C c A B a b c +==+-11. (,6][6,)-∞-+∞U ，1c a =-，1b a =，设1t a a=-，∴227(,6][6,)t t ++∈-∞-+∞U 12. [5,)+∞，转化条件，即()()g x f x ≤要恒成立，[1,1]x ∈-，∴212x x b -≤+， 参变分离，即212b x x ≥--，设cos x θ=，21sin x θ-=， ∴sin 2cos b θθ≥-恒成立，即5b ≥二. 选择题13. D 14. D 15. B 16. B三. 解答题 17.（1）3π；（2）22.18.（1）2；（2）min 3()()42g x g π=-=-.19.（1）8y x=，定义域[1,10]；（2）2210p <≤. 20.（1）21()1f x x =-(0,1)x x ≠≠；3()f x x =(0,1)x x ≠≠；41()1f x x=-(0,1)x x ≠≠；201821()()1f x f x x ==-(0,1)x x ≠≠；（2）1()1||g x x =-；（3）1(,0)4-.21.（1）不具有性质(2)P ，具有性质(4)P ；（2）略；（3）公差为1，略.。
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．6103515++B ．610+35+14C ．6103515++D ．4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．3． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．24． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD =C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为455． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R AB =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 8． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 9． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个 10．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设全集______.14．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集 为___________.15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 16．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海高三高中数学期中考试带答案解析
上海高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A．如果，，那么B．如果，那么C．如果，，那么D．如果，，那么2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是（）A．B．C．D．3.对于函数，有下列五个命题：①若存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线上；②若在上有定义，则一定是偶函数；③若是偶函数，且有解，则解的个数一定是偶数；④若是函数的周期，则，也是函数的周期；⑤是函数为奇函数的充分不必要条件。
从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（）A．B．C．D．4.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）。
设顶点（x，y）的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积的正确结论是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题1.方程的解是2.函数的最小正周期=3.不等式的解是_______4.若，则行列式5.若定义在上的函数是偶函数，则实数6.已知函数的周期为2，当时，，则当时，____________7.在中，已知，，，则=8.若为等比数列的前n项的和，，则=9.参数方程化为普通方程是10.函数（）在区间上有反函数的一个充分不必要条件是=11.函数的递增区间是12.函数的值域是______13.设且。
若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是14.设函数，其中（，）为已知实常数，.下列所有正确命题的序号是．①若，则对任意实数恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则三、解答题1.已知△的周长为，且．（1）求边长的值；（2）若（结果用反三角函数值表示）．2.设函数。
（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，试判断函数的单调性，并证明。
3.已知函数，且．（1）求实数c的值；（2）解不等式4.已知是公差为的等差数列，它的前项和为, 等比数列的前项和为，,，（1）求公差的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若,判别方程是否有解？说明理由．5.若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：⑴任取，有（是常数）；⑵对于内任意，当，总有。
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建平中学高三期中数学试卷
2018.11 一. 填空题
(x2
1.设函数，则f f(
cos x
2.在各项为实数的等比数列{a n} 中，a5 2 ，则公比q 的值为
3.若，，,sin ) ，，则
tan
4.设集合A 2 0}，，则(C A R )
5.某校邀请 5 位同学的父母共 10 人中的 4 位来学校介绍经验，如果这 4 位来自 4 个不同的家庭，那么不同的的邀请方案的种数是
6.从原点向圆x2 2 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长
为
7.已知数列{a n} 的前n项和S n 满足：对于任意*，都有S n m
2mn ，若
a 1 ，则a2018
8.已知函数f x( ) 的定义域为R，当时， 3 1，当时，
1 1
，当时，) ，则
2 2
9. 已知f x( ) 是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足
f (log2 ，则a的取值范围是
10.在锐角三角形ABC 中，A、B、C 的对边分别为a、b、c，a2 2
6abcosC ，
1
tanC
则tan B
1
A
2 2
2 的解集为{x x|，则（）11.已知关于x的不等式
的取值范围是
12.若定义域均为D 的三个函数f x( ) 、g x( ) 、h x( ) 满足条件：对任意，点(x
(x h x, ( )) 关于点(x f x, ( )) 对称，则称h x( ) 是g x( ) 关于f x( )
的“对称函数”，已知 2 ，，h x( ) 是g x( ) 关于f
x( ) 的“对称函数”，且恒成立，则实数b的取值范围是
二. 选择题
13.已知实数x、y满足a x y （），则下列关系式恒成立的是（）
1 1
2 2
3 3
A. 2 2
B.
C.
D.
14.已知点A( 、B(3,0) ，动点P x y( , ) 满足2，则点P的轨迹
是（）
A.圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
a n 2 ；③{ 12 }； 15. 已知数列{a n} 是公比为q（）的等比数列，则数列：①{2 }；②{a n}
a n
④{a a}；⑤{a n }；等比数列的个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2x | ，a i
2 ，f2 2 ) ，f3，
，16. 设函数f x1
3 99
记I k k (a1k (a0k (a2k ( 1k (a99k (a98) | ，k ，则（）
A. I1 2 3
B. I2 1 3
C. I1 3 2
D. I3 2 1
三. 解答题
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥ AD，，
，平面ABCD ，，
.
（1）求异面直线PB与CD 所成角的大小；
（2）求点D 到平面PBC 的距离.
18. 设函数) ，其中，已知f ( )
.
6 2 6
（1）求；
（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到
3 的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求g x( ) 在
]上的最小值.
4 4 4
19. 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1 、l2 ，海岸边界MPN 近似地看成一
条曲线段，为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB
与曲线MPN 有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示，若曲线段MPN 是a
函数图像的一段，点M 到l1 、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米，点N 到l2 的距离为x
10 千米，以l1 、l2 分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P的横坐
标为p .
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O 沿公路至点P观景，要使得沿折线
OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围.
1 * ），已知偶函20. 对于函数，定义f x1，f n( )]x （
数 g x( )
的定义域为
， ，
当
且
时，
2018
( )x .
（1） 求 f 2 ( )x ， f x 3( ) ， f 4 ( )x ， f 2018( )x ； （2） 求出函数
的解析式；
（3） 若存在实数a 、b （
），使得函数 g x( ) 在[a b, ]上的值域为[mb ma, ] ，
求实数m 的取值范围.
21. 对于无穷数列{a n } ，记j
a i i ，若数列{a n } 满足：“存在
，
使得只要a m
k
（
*，
），必有
a
”，则称数列
具有性质P t( ) .
（1）若数列{a n } 满足a n
性质P(4) ？说明理由；
，判断数列{a n } 是否具有性质P(2) ？是否具有
（2）求证：“T 是有限集”是“数列{a n } 具有性质P(0) ”的必要不充分条件；（3）已
知{b n }是各项均为正整数的数列，且{b n }既具有性质P(2) ，又具有性质P(5) ，求证：
存在正整数 N ，使得a N ，a ，a
，
，a
，是等差数列.
参考答案
一. 填空题
4 4
8 C5
1. 2. 3. 7 4. (0,1] 5. ，4
21 C10
6. 2，(2
7. ，S 1 n n
3 5
8. 2 ， 9. ) ( ,5) ，log 2
4 4
2 2
2 ，
2 2c 22
2
10. 4 ，
)
tan A
tan B
2
1
1
1
11.
6]
，
，
，设
，∴
,
6
]
a a
a t
12. ，转化条件，即
要恒成立，
，∴
2
2x b ，参变分离，即
2
2x
，设
，
2
sin
，
∴
恒成立，即
二. 选择题
13. D 14. D 15. B 16. B
三. 解答题
17.（1） ；（2） .
3
2 3
18.（1） 2 ；（2） g x( )min .
4
2
8
19.（1）
，定义域[1,10]；（2.
x
1 1
2
20.（1）f2 ；f x3；f4
；x
1 1 1
f2018 2 ；（2）；（3）
,0) . x | x | 4
21.（1）不具有性质P(2) ，具有性质P(4) ；（2）略；（3）公差为 1，略.。