中考数学压轴题全集题目
2024-2025年安徽省中考数学压轴题集
2024-2025年安徽省初中学业水平考试数学压轴题集（本卷收录近10年安徽省中考的第10、14、22、23题）一、选择题每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的. 1.如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3.动点P 满意13PABABCDS S=矩形 .则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A.29B.34C.52D.412.如图，Rt △ABC ，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满意∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ） 32 B.2 C.81313D.121313A.第1题图 第2题图3.如图，一次函数1y x =和二次函数22+y ax bx c =+图象相交于P ，Q 两点，则函数2(1)y ax b x c=+-+的图象可能是（ ）A. B. C. D.第3题图4.如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满意： ①点D 到直线l 的距离为3；②A ，C 两点到直线l 距离相等.则符合题意的直线l 的条数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.45.如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上点，在以下推断中，不正确的是（ ） A.当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形 B.当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C.当PO ⊥AC 时，∠ACP =30°D.当∠ACP =30°时，△BPC 是直角三角形第4题图第5题图6.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A.10B.45C.10或45D.10或217第6题图7.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形态是A. B.第7题图C. D.8.甲、乙两个打算在一段长为1200米的笔直马路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（）A. B. C. D.9.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是A.120°B.125°C.135°D.150°10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于A.65B.95C.125D.125第10题图第11题图二、填空题11. 在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），剪去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得绽开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__________cm.12. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG =45°；②△DEF ∽△ABG ；③3=2ABG FGH S S △△；④AG +DF =FG ．其中正确的是 ．（把全部正确结论的序号都选上）第12题图 第14题图13.已知实数a 、b 、c 满意a b ab c +==，有下列结论：①若c ≠0，则111ab+=；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是 ．（把全部正确结论的序号都选上）14. 如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中肯定成立的是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上） ①12DCF BCD ∠=∠；②EF =CF ；③=2BEC CEF S S △△；④∠DFE =3∠AEF ．15.已知矩形纸片ABCD 中，AB =1，BC =2，将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点（E ，F 是该矩形边界上的点），折叠后点A 落在点A ’处，给出以下推断： ①当四边形A’CDF 为正方形时，EF =2;②当EF =2时，四边形A’CDF 为正方形； ③当EF =5时，四边BA’CD 为等腰梯形；④当四边形BA’CD 为等腰梯形时，EF =5. 其中正确的是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上） 16.如图，P 是矩形ABCD 内的随意一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，得到△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：①S 1+S 2=S 3+S 4；②S 2+S 4= S 1+S 3；③若S 3=2S 1，则S 4=2S 2 ④若S 1=S 2，则P 点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上）第15题图 第16题图 第18题图 17.定义运算(1)a b a b ⊗=-，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2(2)6⊗-=；②a b b a ⊗=⊗；③若0a b +=，则()()2a a b b ab ⊗+⊗=；④若0a b ⊗=，则a =0.其中正确结论的序号是 .(填上你认为全部正确结论的序号)18.如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是 ________ _．（把全部正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD =∠ACD ；②∠BAD =∠CAD ；③AB +BD =AC +CD ；④AB －BD =AC －CD ．19.已知二次函数的图象经过原点及点11(,)24--，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．20.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①a c ＜0；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++＞；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上)第20题图三、解答题21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满意一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克） 50 60 70 销售量y （千克） 100 80 60（1）求y 与x 之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数表达式（利润=收入-成本）； （3）试说明（2）中总利润W 随售价x 的改变而改变的状况，并指出售价为多少元时获得最大 利润， 最大利润是多少？22.已知正方形ABCD ，点M 为AB 的中点.（1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且∠AGB =90°，延长AG 、BG 分别与边BC 、CD 交于点E 、F .①求证：BE =CF ；②求证：2BE BC CE =⋅.（2）如图2，在边BC 上取一点E ，满意2BE BC CE =⋅，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 并延长交CD 于点F ，求tan ∠CBF 的值.第22题图 1 第22题图223.如图，二次函数2+y ax bx =的图象经过点(2,4)A 与(6,0)B ．（1）求a ，b 的值； （2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值.24.如图，A ，B 分别在射线OA ，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和ABPQ的值．第24题图1 第24题图2 第24题图325.为了节约材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？第25题图26.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD ＝BC ；（2）求证：△AGD ∽△EGF ；（3）如图2，若AD 、BC 所在直线相互垂直，求ADEF的值.第26题图1 第26题图227.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数2212421y x mx m =-++和225y ax bx =++，其中1y 的图象经过点(1,1)A ，若12y y +与1y 为“同簇二次函数”，求函数2y 的表达式，并求出当0≤x ≤3时，2y 的最大值.28.如图1，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 边上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于M ，作PN ∥CD 交DE 于N ．（1）①∠MPN = ；②求证：PM +PN =3a ；（2）如图2，点O 是AD 的中点，连接OM 、ON ，求证：OM =ON ；（3）如图3，点O 是AD 的中点，OG 平分∠MON ，推断四边形OMGN 是否为特别四边形？并说明理由.第28题图1 第28题图2 第28题图329.某高校生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示.销售量p （件）50p x =- 销售单价q （元/件）当1≤x ≤20时，1302q x =+;当21≤x ≤40时，52520q x=+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？30.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”；如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”；其中∠B =∠C .（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形；（画出一种示意图即可） （2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B =∠C ．E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：AB BEDC EC=； （3）在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ．若EB =EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，状况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）第30题图1 第30题图2 第30题图331.如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC =a 、AC =b 、AB =c . （1）求线段BG 的长；（2）求证：DG 平分∠EDF ；（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相像，求证：BG ⊥CG .第31题图1 第31题图232.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满意关系式2(6)y a x h =-+.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m. （1）当h =2.6时，求y 与x 的关系式；（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球肯定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.第32题图33.在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)θθ︒︒＜＜，得到△A’B’C’..第33题图1 第33题图2 第33题图3 （1）如图（1），当AB ∥BC 时，设BA 与CD 相交于点D ，证明：△CDA 是等边三角形； （2）如图（2），连接A’A 、B’B ，设△ACA’和△BCB’的面积分别为'ACA S和'BCB S.求证：'':1:3ACA BCB SS=.（3）如图（3），设AC 中点为E ，B’A’中点为P ，AC =a ，连接EP ，当θ= °时，E P 长度最大，最大值为 .34.如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）. （1）求证h 1=h 3；（2）设正方形ABCD 的面积为S .求证22231()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当h 1改变时，说明正方形ABCD 的面积S 随h 1的改变状况.第34题图35.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采纳每天降低水位以削减 捕捞成本的方法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九（1）班数学建模爱好小组依据调查，整理出第x 天（1≤x ≤20且x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：鲜鱼销售单价（元/kg ） 20单位捕捞成本（元/kg ） 55x - 捕捞量（kg ）950x - （1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕劳量相比是如何改变的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x 天的收入y （元）与x （天）之间的函数关系式；（当天收入＝日销售额－日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y 随x 的改变状况，并指出在第几天y 取得最大值，最大值是多少？36.如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相像比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1.（1）若c =a 1，求证：a =kc（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k=2？请说明理由.第36题图37.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相像三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，假如α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．第37题图38.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．第38题图1 第38题图239.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示.第39题图1 第39题图240.刚回营地的两个抢险分队又接到救灾吩咐：一分队马上动身往30千米的A镇；二分队因疲惫可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参与救灾.一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形困难，必需由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时.（1）若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？（2）若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？（3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为全部可能合理的代号，并说明它们的实际意义.（a）（b）（c）（d）第40题图。
(完整)中考数学压轴题精选及答案
一、解答题1．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A （﹣1，0），B （m ，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点E 在x 轴上，且∠ECB ＝∠CBD ，求点E 的坐标．(3)若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ． ①求线段PM 长度的最大值．②在①的条件下，若F 为y 轴上一动点，求PH +HFCF 的最小值．2．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点B 作BE CD ⊥，交AC 于点H ，交CD 于点E ．过点C 作//CF BD ，交BE 的延长线于点F ，过点F 作//FG BC ，交BD 的延长线于点G ．（1）若8AC =，6BD =，求BE 的长；（2）如图2，连接AF ，交BG 于点K ，若GFA BFC ∠=∠，求证：2BF BC CD -． （3）如图3，当点D 与点G 重合时，若9AB =，将BOH 沿射线BC 方向平移，当点B 到达点C 时停止平移．当平移结束后（即点B 到达点C 时），将BOH 绕点B 顺时针旋转一个角度()0360αα<<︒，O 的对应点'O ，H 的对应点'H ，直线'CH 与直线BF 的交点为M ，直线''O H 与直线BF 的交点为N ，在旋转过程中，当'MNH △是直角三角形，且'90MNH ∠=︒时，直接写出'MNH △的面积．3．如图1，在菱形ABCD 中，∠D ＝120°，AB ＝8，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥DC ，交AC 于点Q ． （1）当t ＝2时，求线段NQ 的长；（2）设△AMQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围；（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得△AMQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线2-2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（P 不与点A ，B ，C 重合），过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M 是否存在点P ，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图1，矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的动点（点E 不与点C 、D 重合），连接AE ，过点A 作AF ⊥AE 交CB 延长线于点F ，连接EF ，点G 为EF 的中点，连接BG ． （1）如图2，若四边形ABCD 为正方形，其面积为S ，四边形BCEG 的面积为S 1，当S 1＝14S 时，求DE DC 的值．（2）如图1，若AB ＝20，AD ＝10，设DE ＝x ，点G 到直线BC 的距离为y ，求出y 与x 的关系式；当EC BG ＝2413时，求x 的值．6．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点()0,10A ，点B 是x 轴的正半轴上的一个动点，连接AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ．过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D ．设点B 坐标是(),0t （1）当6t =时，点M 的坐标是 ； （2）用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）是否存在点B ，使四边形AOBD 为矩形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在点B 的运动过程中，平面内是否存在一点N ，使得以A 、B 、N 、D 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由．7．如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若22,3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由． 8．等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 为BAC ∠的角平分线，交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结CD 交AE 于点G ，过点C 作CF AE ⊥，垂足为点F ，交AB 于点H ．（1）如图1，AG 与CH 的数量关系为__________；CFAG的值为__________； （2）如图2，以点C 为位似中心，将CAE 做位似变换，得到CA E ''△，使CA E ''△与CAE 的相似比为()01k k <<，A E ''与CD 、CH 的交点分别为G '，F '，隐去线段AE ，试求'''CF A G 的值； （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形，30B ∠=︒，且其他条件不变， ①CF A G '''的值为__________； ②若'3CF =，直接写出A G C ''△的面积．9．有一边长为6cm 的正方形ABCD 和等腰直角PQR ，PQ ＝PR ，QR ＝8cm ．点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上．当C ，Q 两点重合时，等腰直角PQR 以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰直角PQR 重合部分的面积为S cm 2．解答下列问题．（1）当t ＝3秒时，求S 的值；当t ＝6秒时，求S 的值； （2）当6秒≤t ≤8秒时，求s 与t 的函数关系式． （3）若重合部分的面积为152cm 时，求t 的值．10．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝a 2x ＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝﹣32且经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线解析式；(2)在第四象限的抛物线上找一点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ．若△AMN 与△ABC 相似，求点M 的坐标；(3)如图2，P 为抛物线上一点，横坐标为p ，直线EF 交抛物线于E ，F 两点，其中∠EPF 为直角，当p 为定值时，直线EF 过定点D ，求随着p 的值发生变化时，D 点移动时形成的图象解析式．11．如图，已知正方形ABCD ，直线BC 上任意一点E ，连接AE ，将△ABE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△AFG ，直线BF 、EG 交于点M ．（1）如图1，当点E 在线段BC 上，α＝90°时，求证：M 为GE 的中点； （2）如图2，当点E 在射线BC 上，（1）中的结论是否发生变化，说明理由． （3）当AB ＝4，BE ＝5，BM ＝41时，求DM 的长（直接写出结果）．12．已知顶点为A 的抛物线交y 轴于点()0,2B ，且与直线l 交于不同的两点M 、N （M 、N 不与点A 重合)． (1)求抛物线的解析式； (2)若，①试说明：直线l 必过定点；②过点A 作，垂足为点E ，求点B 到点E 的最短距离．13．综合与探究．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1与x 轴交于A ，C 两点，点A （﹣1，0），C （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线的顶点为D ，直线l 经过B ，C 两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若P 为抛物线上一点，横坐标为m ，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，交线段BC 于点N ，当N 是线段BC 的黄金分割点时，求点P 到x 轴的距离；(3)若将抛物线向上平移个单位长度，点D 的对应点为D ′，坐标轴上是否存在点Q ，使∠BD ′Q ＝30°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线21=-++2y x bx c 的图象经过点C (0，2)，交x 轴于点A (﹣1，0)和B ，连接BC ，直线y ＝kx +1与y 轴交于点D ，与BC 上方的抛物线交于点E ，与BC 交于点F ．(1)求抛物线的表达式及点B 的坐标； (2)求EFDF的最大值及此时点E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点M 为直线DE 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．抛物线2y x 2x 3=-++交x 轴于点A ，B （A 在B 的左边），交y 轴于点C ，顶点为M ，对称轴MD 交x 轴于点D ，E 是线段MD 上一动点，以OB ，BE 为邻边作平行四边形OBEF ，EF 交抛物线于点P ，G （P 在G 的左边），交y 轴于点H ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，当EG FP =时，求DE 的长； (3)如图2，当1DE =时，①求直线FC 的解析式，并判断点M 是否落在该直线上．②连接CG ，MG ，CP ，MP ，记CGM △的面积为1S ，CPM △的面积为2S ，则12S S =__________． 16．问题提出（1）如图①，折叠矩形ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为A ．若4CF =，3EC =，求ABF 的面积；问题解决（2）如图②，某生态农庄计划建造一个形状为矩形ABCD 的休闲区域，并在矩形区域内规划出一个AMN 区域开发成垂钓中心，其余区域开发成休息区，使点M ，N 分别在CD 、BC 上（点N 可与端点重合），AM MN ⊥，3BC MC =，400AB =米．根据设计需求，要使AMN 的面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的AMN ？若存在，求AMN 面积的最小值并求此时DM 的长；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，抛物线y12=-x22x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC的垂线，交对称轴于E．(1)如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP 的最小值；(2)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F 落在点F′处，在平面上找一点G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．(1)求证：△DEF∽△GDF：(2)求证：BC是⊙O的切线：(3)若cos∠CAE ＝32，DF ＝102，求线段GF 的长． 19．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（ 点A 在点B 的左侧），点B 坐标()3,0，抛物线与y 轴交于点()0,3C -，点D 为抛物线顶点，对称轴1x =与x 轴交于点E ，连接BC 、EC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是BC 下方异于点D 的抛物线上一动点，若PBCEBCS S=，求此时点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一动点，点M 是平面上一点，若以点B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q 的横坐标．20．我们把方程（x ﹣m ）2＋（y ﹣n ）2＝r 2称为圆心为（m ，n ）、半径长为r 的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x ﹣1）2＋（y ＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C 与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为（8，0），与y 轴相切于点D （0，4），过点A ，B ，D 的抛物线的顶点为E ．(1)求⊙C 的标准方程；(2)试判断直线AE 与⊙C 的位置关系，并说明理由； (3)连接CE ，求sin∠AEC 的值．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1．(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)点E的坐标是（32，0）或（6，0）(3)①PM有最大值为94；②PH+HF CF的最小值是【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的结论化为顶点式，即可求得顶点D的坐标，进而令0y=，求得B的坐标，连接BD，求得BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，由已知可得CE∥BD，即可求得CE的直线解析式，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，当点E在点B的右侧时，取点，过点F作与点G，证明BCD△是直角三角形，根据，即可点E的坐标是（6，0）；（3）①根据题意求得BC的解析式为：y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示出PM，根据二次函数的性质求得PM的最大值，②在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，当N、F、H三点共线时，PH+NH最小，即PH+HF CF的值最小，由Rt△KNH中，∠KHN＝45°，可得PH+HF CF的最小值是PH+NH．(1)把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴顶点D（1，﹣4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或﹣1，∴B（3，0）；如图1，连接BD，设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D点坐标代入函数解析式，得﹣2k＝﹣4，解得k＝2，故BD所在直线的解析式为：y＝2x﹣6，∵∠ECB＝∠CBD，∴CE∥BD，设CE所在直线的解析式为：y＝2x+b，将C点坐标代入函数解析式，得b＝﹣3，故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，x32 ．当点E在点B的右侧时，如图，取点，过点F作与点G，，，是直角三角形，则1OF=∠ECB＝∠CBD，是等腰直角三角形，设则解得或a>则点E的坐标是（6，0）．∴综上所述，点E的坐标是（32，0）或（6，0）；(3)①如图2，∵B（3，0），C（0，﹣3），设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，BC的解析式为：y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x32-）294+，当x32=时，PM有最大值为94；②当PM有最大值，P（32，154-），在x轴的负半轴了取一点K，使∠OCK＝45°，过F作FN⊥CK于N，∴FN2=，当N、F、H三点共线时，PH+NH最小，即PH+HF CF的值最小，Rt△OCK中，OC＝3，∴OK＝3，∵OH32 =，∴KH392 =，Rt△KNH中，∠KHN＝45°，∴KN2=，∴NH＝KN，∴PH+HF CF的最小值是PH+NH．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数图象的平移，根据二次函数的性质求最值，两点之间线段最短，掌握二次函数的性质，在（3）②中线段转换是解题的关键．2．（1）245；（2）见解析；（3）815434+或543814- 【解析】【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分，得到直角三角形及其两条直角边的长，再由勾股定理求出边CD 的长，利用菱形的面积列方程即可求解；（2）延长AD 交BF 于点L ，根据平行四边形的判定和性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的每条对角线平分一组对角等，可得：45BLA BAL ∠=∠=︒，进而得出2BF BC CD -=；（3）在0360α<<︒范围内，O H BF ''⊥即90MNH ∠='︒的情况有两种，准确的画出相应图形进行求解即可．【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形，∴90COD ∠=︒，118422OC AC ==⨯=，116322OD BD ==⨯=， ∴22435CD =+=，∴15862BE =⨯⨯， 解得245BE =．（2）如图2，延长AD 交BF 于点L ．∵//CF BD ，//FG BC ，∴四边形BCFG 是平行四边形，∵90ABF DEF ∠=∠=︒，90AOB ∠=︒，∴90GBF ABO BAC DAC ∠=︒-∠=∠=∠，∵////FG BC AD ，GFA BFC ∠=∠，∴LAF GFA BFC ∠=∠=∠，∵BFC GBF ∠=∠，∴GFA BFC LAF BAC DAC ∠=∠=∠=∠=∠，设GFA BFC LAF BAC DAC β∠=∠=∠=∠=∠=，∵AKD FKG ∠=∠，DAK GFK ∠=∠，FG AD =，∴()AKD FKG AAS ≅△△，∴AK FK =， ∴12BK AF AK ==， ∴3KAB KBA GBC GFC β∠=∠=∠=∠=，∴LFA LAF β∠==∠，∵90LFA LAF BAC DAC ∠+∠+∠+∠=︒，∴45LFA LAF BAC DAC ∠=∠=∠=∠=︒，∴LF LA =，45BLA BAL ∠=∠=︒，∴22LA AB LB ==，∵BC AB BL ==，∴2BF BC BF BL LF LA AB -=-===，∵AB CD =，∴2BF BC CD -=．（3）当点D 与点G 重合时，则四边形ABCD 和四边形BCFD 都是菱形，∴60ADB BDC CDF ∠=∠=∠=︒，30DAO ∠=︒，∵9AD AB ==，∴1922BO DO AD ===，9332AO CO DO ===． 当0180α<≤︒，且'90MNH ∠=︒时，如图3， ∵9'2EN CO BO ===，932ME CO ==， ∴993993222MN +=+=， ∵'30NMH ∠=︒， ∴9933339'tan 30232NH MN ++=⋅︒=⨯=， ∴'1993339815432224MNH S +++=⨯⨯=△．当180360α︒<<︒，且'90MNH ∠=︒时，如图4，则9399392MN -==， 9393933'tan 30NH MN --=⋅︒== ∴'1939933543812MNH S ---==△．综上所述，'MNH△81543+54381-．81543+54381-【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及全等三角形的性质和判定、二次根式和化简等知识点，综合运用这些知识点是解题关键．3．（143；（2）S=()()22330434348t tt⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩＜；（3）存在，当t=247s或（32-3s或163s时，△AMQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；（3）分三种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，∵在△ACD中，AD=DC，∴∠DCA=1801202︒-︒=30°，在直角△CNQ中，NQ=CN•tan343（2）由题意得，AM=t，当0≤t≤4时，CN=2t，∵∠D=120°，AB=CD=8，∴∠DCA=30°，连接BD，与AC相交于点定O，过点Q作QG⊥AB于点G，∴OC=CD•cos30︒=43，则AC=83，∴在Rt△CNQ中，NQ=233t，CQ=433t，∴AQ=AC-CQ=83-433t，QG=12AQ，∴S=12AM• QG =23233t t-+，当4＜t≤8时，延长QN，交AB于G，交CD延长线于H，如图：ND=2t-8，∠HDN=60°，∴HD=12ND=t-4，∴CH=t-4+8=t+4，∴CQ=23cos30CH=︒(t+4)，∴AQ=AC-CQ323t+4)，QG=12AQ，S=12•AM• QG2343=．综上，S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜； （3）①当0＜t ≤4时，只有MA =MQ 符合条件，过点M 作ME ⊥AC 于点E ，则AE =EQ =AM •cos30︒=32t ， ∴AQ =3t ，由（2）知AQ 343， 3433， 解得t =247； ②当4＜t ≤8时，由（2）知AQ 323t +4)， AQ =AM 时，)23834t +=t ， 解得t 3AQ =MQ 时，AM 3， t )233834t ⎤+⎥⎦， 解得t =163． 综上所述，当t =247s 或（3s 或163s 时，△AMQ 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．4．（1）215222y x x =-+-；（2）存在，符合条件的点P 为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式，把点坐标代入解析式组成方程组，解方程组即可；（2）分三种情况，当1<m <4，m <1， m >4时，由∠PMA =∠COA =90°，根据两边成比例，夹角相等判定定理可得12PM OC AM OA ==或PM OA AM OC =2列方程求解即可． 【详解】解：（1）把A （4，0），B （1，0）代入2-2y ax bx =+， 得，1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩， 解得，1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式得，215222y x x =-+- （2）由（1）知215222y x x =-+-， 当x =0时，y =-2，∴C (-2，0)，OA =4，OC =2设P (m ，215222m m ) 当1<m <4时，AM =4-m ，PM =215222m m -+- PM ⊥x 轴，∴∠PMA =∠COA =90°当12PM OC AM OA ==， 则△PAM ∽△CAO ， 即2152(2)422m m m ． 解得，m =2或m =4（舍去）PMOA AM OC=2， 则△PAM ∽△ACO ，即215222m m -+-=2（4-m ） 解得，m =4或m =5（均不合题意，舍去）∴当1<m <4时，P （2，1）．当m <1时，AM =4-m ，PM =215222m m -+ 由PMOA AM OC=2， ()2152=2422m m m -+- 解得34m m =-=，舍去解得，P （-3，-14）．由AMOA PM OC=2， 21522=422m m m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭解得m =0或m =4均舍去m >4时，AM =m-4 ，PM =215222m m -+由PMOA AM OC =2， ()2152=2-422m m m -+ 解得m =5或m =4舍去解得，P （5，-2）．由AMOA PM OC=2， 21522=-422m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭解得m =2或m =4均舍去综合上述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合，相似三角形判定与性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题，与相似三角形的判定方法与性质的应用．5．（1）CEDE51-；（2）x的值为22029或2019．【解析】【分析】（1）如图，连接BE，根据正方形的性质可得∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，利用角的和差关系可得∠DAE=∠BAF，利用SAS可证明△DAE≌△BAF，可得DE=BF，根据中点的性质可得S△FGB=S△EGB=12S△FBE，根据S1＝14S，S△FCE=S△FBG+S1即可得答案；（2）如图，过点G作GH⊥BC于H，根据点G为EF中点可得GH为△FCE的中位线，可得GH=12EC，由DE=x可得EC=20-x，即可得出y与x的关系式，根据ECBG＝2413可得BG=1324EC，利用勾股定理可得BH=5(20)24x-，根据∠DAE=∠BAF，∠D=∠ABF可证明△DAE∽△BAF，根据相似三角形的性质可得BF=2x，分点H在点B左侧和右侧两种情况，根据FH=CH列方程求出x的值即可得答案．【详解】（1）如图，连接BE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAF，在△DAE和△BAF中，DAE BAF AD ABD ABF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE ≌△BAF ，∴DE =BF ，∵点G 为EF 的中点，∴S △FGB =S △EGB =12S △FBE ， ∵S 1＝14S ，S △FCE =S △FBG +S 1， ∴S △FCE -S △FBG =14S 正方形ABCD ， ∴12FC ·CE -12×12BF ·CE =14BC 2， ∵FC =BC +BF ，BC =CD =CE +DE ，∴2（CE +2DE ）CE-DE ·CE =（CE +DE ）2，整理得：CE 2+DE ·CE -DE 2=0， ∵DE ≠0， ∴2()10CE CE DE DE+-=， 解得：CE DE =512-或CE DE =512--（舍去）， ∴CE DE 的值为512-．（2）如图，过点G 作GH ⊥BC 于H ，∵∠C=∠ABF=90°，∴GH //CD ，∵点G 为EF 中点，∴GH 为△CFE 的中位线，∴GH =12CE ，∵DE =x ，GH =y ，CD =20，∴EC =CD -DE =20-x ，∴GH =12（CD -DE ），即y =12（20-x ），∴y 与x 的关系式为：y =12-x +10， ∵EC BG ＝2413，∴BG =1324EC ， 在Rt △GHB 中，BH =22GB GH -=22131()()242EC EC -=524EC =5(20)24x -， ∵∠DAE +∠BAE =90°，∠BAF +∠BAE =90°，∴∠DAE =∠BAF ，∵∠D =∠ABF =90°，∴△DAE ∽△BAF ，∴2010BF AB DE AD ==， ∴BF =2DE =2x ，当点H 在点B 左侧时，∵FH =CH ，∴BF -BH =BC +BH ，即2x -5(20)24x -=10+5(20)24x - 解得：x =22029，如图，当点H 在点B 右侧时，∵FH =CH ，∴BF +BH =BC -BH ，即2x +5(20)24x -=10-5(20)24x -， 解得：x =2019，综上所述：x 的值为22029或2019． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．6．（1）(3,5)M ，（2）1(5,)2C t t +；（3）(20,0)B ；（4）154或10． 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式计算即可．（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．证明()MEB BFC AAS ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可解决问题． （3）如图2中，存在．由题意当CF OA =时，可证四边形AOBD 是矩形，构建方程即可解决问题．（4）分三种情形：①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为6．③因为BD AB ≠，所以不存在以AD 为对角线的菱形．【详解】解：（1）如图1中，(0,10)A ，(6,0)B ，AM BM =，(3,5)M ∴，（2）如图1中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．//ME OA ，AM BM =，12OE EB t ∴==，152ME OA ==， 90MEB CFB CBM ∠=∠=∠=︒，90MBE CBF ∴∠+∠=︒，90MBE BME ∠+∠=︒，BME CBF ∴∠=∠，BM BC =，()MEB BFC AAS ∴∆≅∆，5BF ME ∴==，12CF BE t ==， 5OF OB BF t ∴=+=+，1(5,)2C t t ∴+．（3）存在．如图2中，作ME OB ⊥于E ，CF x ⊥轴于F ．理由：由题意当=10CF OA =时，//OA CF ，∴四边形AOFC 是平行四边形，90AOF ∠=︒，∴四边形AOFC 是矩形，90DAO AOB DBO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AOBD 是矩形，又∵由（2）得12CF BE t ==，即：1102t =，解得：20t =．(20,0)B ∴． （4）①如图3中，当AD BD =时，以AB 为对角线可得菱形ADBN ，此时点N 在y 轴上．AD BD =，BAD ABD ∴∠=∠，//BD y 轴，OAB ABD ∴∠=∠，OAB BAD ∴∠=∠．tan tan OAB BAD ∴∠=∠，∴12OB BC OA BA ==，即1102t =，5t ∴=，5OB ∴=，设AN NB m ==，在Rt OBN △中，则有2225(10)m m =+-， 解得254m =， 25151044ON OA AN ∴=-=-=， ∴点N 的纵坐标为154． ②如图4中，当AD AB =时，以BD 为对角线可得菱形ABND ．此时点N 的纵坐标为10．③BD AB ≠，∴不存在以AD 为对角线的菱形．综上所述，满足条件的点N 的纵坐标为154或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．（1）ABD △是等腰直角三角形，证明见解析；（2383）2,AF DE =证明见解析【解析】【分析】（1）先求解45,ACD BCD ∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG 再证明,,,A C B D 在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，从而可得答案.（2）如图， 把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F 证明45,32,DQQ QQ ∠=︒='' 证明120,60,BQQ FQQ ∠=︒∠='︒' 求解3236·cos 60?sin 60QF QQ FQ QQ =︒=︒=''' 再利用勾股定理可得答案； （3）如图，连接,BF 证明 ,DPE ABF ∽ 可得,DP DE AB AF = 结合（1）问的结论可得答案. 【详解】解：（1） 90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，45,ACD BCD ∴∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG90,ACB ADB ∠=∠=︒,CG AG BG DG ∴===,,,A C B D ∴在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，45,ABD ACD ∴∠=∠=︒ABD ∴为等腰直角三角形.（2）如图，,90,AD BD ADB =∠=︒把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F3,90,,DQ DQ QDQ AQ BQ ''∴∠=︒='==2245,3332,DQQ QQ ''∴∠=︒=+=75,BQD ∠=︒120,60,BQQ FQQ ∴∠=︒∠='︒' 3236·cos 60,?sin 60,22QF QQ FQ QQ ∴=︒==︒=''' 327222,22BF BQ QF ∴=+=+= 22723638,22BQ ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' 38.AQ BQ '∴==（3）2,AF DE =理由如下：如图，连接,BF2,90,45,BD AD BD ADB ABD BAD AB =∠=︒∠=∠=︒= ,,,DB DP BDP DE BP α=∠=⊥ 11,,90,,22BE PE BDE PDE DBE FB FP αα∴=∠=∠=∠=︒-= ,90,AD DP ADP α=∠=︒+145,2DAP DPA α∴∠=∠=︒- 114545,22BAP PDE αα⎛⎫∴∠=︒-︒-==∠ ⎪⎝⎭ 11180459045,22APB αα⎛⎫∴∠=︒--︒-︒-=︒ ⎪⎝⎭,FB FP =45,90,FBP FPB BFP BFA ∴∠=∠=︒∠=︒=∠90,BFA DEP ∴∠=∠=︒,DPE ABF ∴∽,DP DE AB AF∴=DE DB AF AB ∴== 即.AF = 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.8．（1）AG =CH ；12；（2）'''CF A G 的值为12；（3【解析】【分析】（1）由已知条件ASA 推论出CDH ADG ≅△△，得出AG =CH ；再推论出ACF AHF ≅△△，得出CF HF =，因为12CF CH =，所以12CF AG =； （2）过点A '作//A B AB ''，同（1）理得：CH AG '='' 所以12CF A G '=''； （3）①由已知条件推论出CD H A D G '''''△△，得出CH CD A G A D ''=''''，因为30B ∠=︒，推出CH A G '=''，由12CF CH '='可转化得，CF A G '=''；②由CF A G '=''，'CF 6AG ''=，由面积公式得到12A G C S A G CF ''='''=△ 【详解】解：（1）AC AB = 90ACB ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ AD DB CD ==90DCH CHD ∴∠+∠=︒CF AE ⊥90GAD CHD ∴∠+∠=︒DCH GAD ∴∠=∠在CDH △和ADG 中90DCH GAD CD AD CDH ADG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩CDH ADG ∴≅△△ CH AG ∴=AE ∵为BAC ∠的角平分线 CF AE ⊥CAF HAF CFA AFH ∴∠=∠∠=∠在ACF 和AHF △中 CAF HAF AF AFCFA AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACF AHF ∴≅△△CF HF ∴=12CF CH ∴= 12CF AG ∴= （2）过点A '作//A B AB ''，交CD 于D '，CH 于H '，CB 于B ′在CA B ''△中A E '为CAB ∠''的角平分线 CF A E ⊥''同（1）理得：CH AG '='' 12CF A G '∴='' '''CF A G ∴的值为12； （3）过点A '作//A B AB ''，交CD 于D '，CH 于H '，CB 于B ′①AC AB = 30ABC ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ //A B AB ''CD A B ∴⊥'' 30A B C ABC ∠''=∠=︒ 30CA B CAB ∠''=∠=︒ 90D CH CH D ∴∠''+∠''=︒ 60AC D ∠'''=︒ CF A E '⊥''90G A D CH D ∴∠'''+∠''=︒ D CH G A D ∴∠''=∠''' 90CD H G D A ∠''=∠'''=︒ CD H A D G ∴'''''△△CH CD A G A D ''∴=''''tan 30CD A D '︒==''CH CD A G A D ''∴=='''CH A G ∴'='' 由题意知A E ''为B AC ∠''的角平分线 CF A E '⊥''CA F H A F CF A A F H ∴∠''=∠'''∠''=∠'''在A CF ''△和A H F '''△中 CA F H A F A F A F CF A A F H ∠''=∠'''⎧⎪''=''⎨⎪∠''=∠'''⎩ACF A H F ∴''≅'''△△ CF H F ∴'=''12CF CH '∴='12=CF A G '∴=''②CF A G '='''CF =6A G ∴''===11633322A G C S A G CF ''∴='''=⨯⨯=△ 【点睛】本题是相似形的综合题目，考察了等腰三角形、直角三角形以及全等三角形的判定和性质、和相似三角形判定和性质等知识；本题难度较大，综合性强．9．（1）92cm 2，14cm 2；（2）21434S t t =-+-；（3）7【解析】 【分析】（1）当3t =时，3CQ =，过P 作PE QR ⊥于E ，易求得PE 的长和QPE ∆的面积，设PQ 交CD 于G ，由于//CG PE ，证明出Rt QGC 为等腰直角三角形，可得到S 的值；当6t =时，Q 、B 重合，线段PR 与CD 相交，设PR 与CD 相交于G ，利用相似的方法求得RCG ∆的面积，从而由RPQ ∆、RCG ∆的面积差求得阴影部分的面积．（2）当68t ≤≤时，AB 与PQ 相交，RP 与CD 相交，仿照（2）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S 、t 的函数关系式；（3）由（2）中的解析式，令2143415S t t =-+-=，求解即可． 【详解】：（1）作PE QR ⊥，E 为垂足．PQ PR =，22264PQ QR ∴==， 2PQ PR ∴==142QE RE QR ∴===，在Rt PEQ 中，45PQE ∠=︒，4PE QE ∴==，当3t =时，3QC =，设PQ 与DC 交于点G ，45,90GQC GCQ ∠=︒∠=︒， Rt QGC ∴为等腰直角三角形， 3GC QC ∴==，11933222S QC GC ∴=⨯⨯=⨯⨯=cm 2；当6t =时，2CR =， 设PR 与DC 交于G ，2CG =，所以，12222RCG S ∆=⨯⨯=cm 2，1842142S =⨯⨯-=cm 2． （2）当68t ≤≤时，6QB t =-，8RC t =-，设PQ 交AB 于点H ，,Q Q QBH QEP ∠=∠∠=∠，QBH QEP ∴∆∆∽，4EQ =， :(6):4BQ EQ t ∴=-，22:(6):4BQH PEQ S S t ∆∆∴=-，又14482PEQ S ∆=⨯⨯=， 212(6)BQH S t ∆∴=-，由RCG REP ∆∆∽，同理得212(8)RCG S t ∆=-，2216(6)(8)1122S t t ∴=----，即21434S t t =-+-，（3）若重合部分的面积为152cm 时，2143415S t t =-+-=，解题：7t =． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）．10．(1)213222y x x =--+(2)M （2，﹣3）或（5，﹣18） (3)【解析】 【分析】(1) 利用函数的对称轴确定点B 的坐标，再用待定系数法求解即可．(2) 利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，根据三角形相似，对应边不确定时，分类求解即可． (3) 设E （，），F （，），P （p ，），过P 作y 轴平行线l ，分别过E ，F 作直线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，构造一线三直角相似模型，证明相似，再构造方程组，转化为一元二次方程的根与系数关系定理，求解即可 ． (1) ∵直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝2，即C （0，2）， 当y ＝0时，12x ＋2=0，解得x ＝﹣4，即A （﹣4，0）． 由A 、B 关于对称轴x ＝﹣32对称，得 B （1，0）．将A 、B 、C 点坐标代入函数解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为213222y x x =--+．(2) 连接BC ，设M（m，），则N（m，0）．AN＝m+4，MN＝．由勾股定理，得AC＝，BC＝，AB=1-(-4)=5，∴，∴∠ACB＝90°，①当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，∵tan∠CAB＝tan∠MAN，tan∠CAB＝，∴tan∠MAN＝，整理，得，解得：＝﹣4（舍去），＝2，∴M（2，﹣3），②当△ANM′∽△BCA时，∠CBA＝∠MAN，∵tan∠CBA＝tan∠MAN，tan∠CBA＝，∴tan∠MAN＝，整理，得，解得：＝﹣4（舍去），＝5，∴M（5，﹣18），综上，点M的坐标是M（2，﹣3）或（5，﹣18）．(3)设E（，），F（，），P（p，），过P作y轴平行线l，分别过E，F作直线l的垂线，垂足分别为M，N，∵∠EPF 为直角， ∴∠MPE +∠NPF ＝90°， ∵∠PFN +∠NPF ＝90°， ∴∠MPE ＝∠NPF ， ∵∠PME ＝∠FPN ＝90°， ∴△PME ∽△FNP ， ∴，∴ME •NF ＝PM •PN ，（，），F （，），P （p ，），∴（﹣p ）（﹣p ）＝（﹣）（﹣）①， ∵﹣＝＝﹣（﹣p ）（+p +3），﹣＝＝（﹣p ）（+p +3），代入①式得•+（p +3）（+）++6p ＝﹣13②，设直线EF 的解析式为y ＝kx +m ，联立213222y x x =--+得，∴，∴、是该方程的两个根， ∴+＝﹣2k ﹣3，•＝2m ﹣4，代入②，整理，得 ∴m ＝（p +3）k ﹣，则直线EF 的解析式为y ＝kx +（p +3）k ﹣，∴当p 为定值时，直线EF 过定点D （﹣p ﹣3，﹣），∴x=﹣p﹣3，y=﹣，∴，∴随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图象解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定和性质，一元二次方程根与系数关系定理，定点的意义，熟练运用待定系数法，灵活用三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理是解题的关键．11．（1）见解析；（2）不发生变化，理由见解析；（3）1【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，当点E在线段BC上，α＝90°时，过E 作EH BC⊥，证明四边形HEDG是平行四边形，即可得M是GE的中点；（2）过点E作//EN GF,交BM的延长线于点N，连接GN,EF，方法同（1）证明四边形FEGN是平行四边形即可；（3）根据勾股定理求得AE，①当E在射线BC上时，根据（2）的结论，取AE的中点BP MP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，可P，连接,得AE BM=，进而证明ABEM是矩形，进而求得DM，②当E在射线CB上时，可得此情况不符合题意，综合①②可得结果．【详解】（1）过E作EH BC⊥,如图，四边形ABCD是正方形，AB CD∴∠=︒//45DBC∴∠=︒45BHE∴=EH EB将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，,∴=BE GD∴=HE GD⊥⊥GF AD AD DC,G D C∴三点共线,,∴⊥GC BC∴//GD HE∴四边形HEDG是平行四边形∴为GE的中点；M（2）（1）中的结论，M是GE的中点，仍然成立，理由如下：如图，过点E作//EN GF,交BM的延长线于点N，连接GN,EF将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△AFG，,=AB AF∴=,BE FG∠=设ABFβ∴∠=∠=ABF AFBβ四边形ABCD是正方形，∴∠=∠=︒ABC AFG90∠=︒-∠-∠=︒-GFN AFB AFGβ∴∠=︒-,1809090EBNβEN GF//90∴∠=∠=︒-BNE GFNβ∴∠=∠EBN ENBBE FG = FG EN ∴=∴四边形FEGN 是平行四边形 ∴M 是GE 的中点（3）AB ＝4，BE ＝5，BM ＝41 四边形ABCD 是正方形，90ABC AFG ∴∠=∠=︒,4AD AB BC === Rt ABE △中，22224541AE AB BE =+=+= AE BM ∴=将△ABE 绕点A 逆时针旋转α得到△AFG ,AB AF ∴=,BE FG =,AE AG =①当E 在射线BC 上时，如图，取AE 的中点P ，连接,BP MP 则PA PE =∴114122BP AE ==由（2）可知M 为GE 的中点， ∴114122PM AG == BP PM ∴= PA PE =∴四边形ABEM 是平行四边形 41BP PM AE BM ∴+===即AE BM =∴四边形ABEM 是矩形即,,B P M 三点共线，如图，541DM AM AD BE BC ∴=-=-=-=②当E在射线CB上时，，由已知，AE41BM41由题意，AE≠BM故此情况不存在综上所述，1DM【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，等边对等角，三线合一，旋转的性质，综合运用以上知识，并能正确的添加辅助线是解题的关键．12．(1)(2)①见解析；②【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）①依题意可设A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，过点M、N向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点A的坐标为（2，0），判定△APM∽△NQA，可得比例式，用x1，x2表示出y1y2；设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将其与抛物线解析式联立，解方程组，用k和b表示出x1+x2和y1y2，从而可得关于k和b的方程，解得k与b的关系，则可得结论；②由题意可得点E在以DA为直径的圆上，由勾股定理求得BG的值，在△BEG中，由三角形的三边关系可得答案．(1)解：把点B（0，2）代入y=a（x-2）2，得：4a=2，，∴a=12∴抛物线的解析式为；(2)①证明：依题意可设M（x1，y1），N（x2，y2），y1y2≠0，过点M、N向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，顶点A坐标为（2，0），∴∠APM=∠AQN=90°，∵∠MAN=90°，∴∠MAP+∠NAQ=90°．∠MAP+∠AMP=90°，∴∠AMP=∠NAQ，∴△APM∽△NQA，∴，即，∴y1y2=2（x1+x2）-x1x2-4．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），，得x2-（2k+4）x+（4-2b）=0，∴△=（2k+4）2-4（4-2b）=4k2+16k+8b＞0，∴x1+x2=2k+4，x1x2=4-2b，∴y1y2=2（2k+4）-（4-2b）-4=4k+2b=2（2k+b），∵抛物线与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合），∴2k+b≠0，∵y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=k2（4-2b）+kb（2k+4）+b2=4k2+4kb+b2=（2k+b）2，∴（2k+b）2=2（2k+b），∴（2k+b）（2k+b-2）=0，∴2k+b=0（不合题意，舍去），或2k+b-2=0，当2k+b-2=0，即b=2-2k时，y=kx+2-2k=k（x-2）+2，令x-2=0，则y=2，∴直线l必过定点（2，2）；②∵点A（2，0），点D（2，2），点B（0，2），∴AD=2，∵AE⊥l，∴点E在以AD为直径的圆上，设圆心为G，则点G（2，1），∴BG=，如图，连接BG、EG，则BE≥|BG-EG|=，当且仅当点E在线段BG上时，上式取“=“，∴BE的最小值为，即点B到点E的最短距离是．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，直线与抛物线的交点坐标、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理及三角形的三边关系等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．13．(1)。
2024广东中考数学压轴题
2024广东中考数学压轴题一、在直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)，且与y 轴交于点C(0,3)。
下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 抛物线的对称轴是直线x = -1（答案：D）二、已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2 + b2 + c2 = 10a + 6b + 8c - 50。
则下列判断三角形ABC的形状中，正确的是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案：D）三、函数y = (x - 1)/(x + 2)中，当x的值增大时，y的值会：A. 一直增大B. 一直减小C. 在某个区间内增大，在另一个区间内减小D. 保持不变（答案：C）四、已知四边形ABCD是平行四边形，且AB = 6，BC = 8，对角线AC与BD相交于点O，则下列关于O点到AB和BC的距离d1和d2的说法正确的是：A. d1 + d2 = 14B. d1 × d2 = 24C. d1/d2 = AB/BCD. d12 + d22 = AB2 + BC2（答案：B）五、圆O的半径为5，点P在圆O外，且OP = 8。
过点P作圆O的两条切线，分别与圆O 相切于点A和B。
则弦AB的长度为：A. 6B. 4√3C. 5√2D. 2√15（答案：A）六、在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3。
若点C表示的数为x，且满足AC + BC = 8，则x的值为：A. -3或4B. -4或3C. -3或-1D. 2或-5（答案：B）七、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)。
下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 函数的顶点在x轴上（答案：A）八、正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且AE = 1。
中考数学28道压轴题含答案解析
中考数学选填压轴题练习一．根的判别式（共1小题）1．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（）A．﹣1B．1C．﹣1﹣2k D．2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，整理得：﹣8k+8≥0，∴k≤1，∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，∴＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）＝﹣1．故选：A．二．函数的图象（共1小题）2．（2023•温州）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．【解答】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣40＝45（分钟），小温游玩行走的时间为205﹣100＝105（分钟），设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米由图象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为：（2700﹣2100）÷10＝60 （米/分），由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故选：B．三．动点问题的函数图象（共1小题）3．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x 轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC ＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D （﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）5．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣B．C．D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．6．如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．（1）k＝；（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为4．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC＝，∴C（，1）．∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k＝．故答案为：．（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0），则，解得，∴AC的解析式为y＝﹣x+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（2+3，）时，BD2＝＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；当D的坐标为（2﹣3，）时，BD2＝+＝9+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4．故答案为：4．六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）7．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点A（t，p）和点B（t+2，q）在函数y＝k1x的图象上（t≠0且t≠﹣2），点C（t，m）和点D（t+2，n）在函数的图象上．当p﹣m与q﹣n的积为负数时，t的取值范围是（）A．或B．或C．﹣3＜t＜﹣2或﹣1＜t＜0D．﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得k1＝k2．令k1＝k2＝k，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式，代入解不等式（p﹣m）（q﹣n）＜0并求出t的取值范围即可．【解答】解：∵y＝k1x（k1＞0）的图象与反比例函数（k2＞0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴k1＝k2．令k1＝k2＝k（k＞0），则y＝k1x＝kx，＝．将点A（t，p）和点B（t+2，q）代入y＝kx，得；将点C（t，m）和点D（t+2，n）代入y＝，得．∴p﹣m＝kt﹣＝k（t﹣），q﹣n＝k（t+2）﹣＝k（t+2﹣），∴（p﹣m）（q﹣n）＝k2（t﹣）（t+2﹣）＜0，∴（t﹣）（t+2﹣）＜0．∵（t﹣）（t+2﹣）＝•＝＜0，∴＜0，∴t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0．①当t＜﹣3时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＜﹣3不符合要求，应舍去．②当﹣3＜t＜﹣2时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴﹣3＜t＜﹣2符合要求．③当﹣2＜t＜0时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴﹣2＜t＜0不符合要求，应舍去．④当0＜t＜1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＜0，∴0＜t＜1符合要求．⑤当t＞1时，t（t﹣1）（t+2）（t+3）＞0，∴t＞1不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是﹣3＜t＜﹣2或0＜t＜1．故选：D．七．二次函数图象与系数的关系（共3小题）8．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．9．（2023•丹东）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc＞0；②E（x1，y1），F（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx（a≠0）上的两个点，若x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；③在x轴上有一动点P，当PC+PD的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程ax2+b（x﹣2）+c ＝﹣4（a≠0）无实数根，则b的取值范围是b＜1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．【解答】解：根据所给函数图象可知，a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0，故①错误．因为抛物线y＝ax2+bx的图象可由抛物线y＝ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，所以抛物线y＝ax2+bx的增减性与抛物线y＝ax2+bx+c的增减性一致．则当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，又x1＜x2，且x1+x2＜﹣2，若x2＜﹣1，则E，F两点都在对称轴的左侧，此时y1＞y2．故②错误．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小．将A（﹣3，0）代入二次函数解析式得，9a﹣3b+c＝0，又，即b＝2a，所以9a﹣6a+c＝0，则c＝﹣3a．又抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），则点C坐标为（0，﹣3a），所以点C′坐标为（0，3a）．又当x＝﹣1时，y＝﹣4a，即D（﹣1，﹣4a）．设直线C′D的函数表达式为y＝kx+3a，将点D坐标代入得，﹣k+3a＝﹣4a，则k＝7a，所以直线C′D的函数表达式为y＝7ax+3a．将y＝0代入得，x＝．所以点P的坐标为（，0）．故③正确．将方程ax2+b（x﹣2）+c＝﹣4整理得，ax2+bx+c＝2b﹣4，因为方程没有实数根，所以抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2b﹣4没有公共点，所以2b﹣4＜﹣4a，则2b﹣4＜﹣2b，解得b＜1，又b＞0，所以0＜b＜1．故④错误．所以正确的有③．故选：A．10．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A．2B．m2C．4D．2m2【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m＞0，则m2＝2m，∴m＝2，若m＜0时，则m2＝﹣2m，∴m＝﹣2．∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．故选：A．八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）11．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac 的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．九．二次函数与不等式（组）（共1小题）12．（2023•西宁）直线y1＝ax+b和抛物线（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②抛物线与x轴一定有两个交点；③关于x的方程ax2+bx＝ax+b有两个根x1＝﹣4，x2＝1；④若a ＞0，当x＜﹣4或x＞1时，y1＞y2.其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③C．②③D．①④【分析】根据直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．得到b＝4a，于是得到＝ax2+4ax，求得抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；根据Δ＝16a2＞0，得到抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；把b＝4a，代入ax2+bx＝ax+b得到x2+3x﹣4＝0，求得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；根据a＞0，得到抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，于是得到结论．【解答】解：∵直线y1＝ax+b经过点（﹣4，0）．∴﹣4a+b＝0，∴b＝4a，∴＝ax2+4ax，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣﹣＝2；故①正确；∵＝ax2+4ax，∴Δ＝16a2＞0，∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；∵b＝4a，∴方程ax2+bx＝ax+b为ax2+4ax＝ax+4a得，整理得x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；故③正确；∵a＞0，抛物线的开口向上，直线y1＝ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4，1，∴当x＜﹣4或x＞1时，y1＜y2.故④错误，故选：B．一十．三角形中位线定理（共1小题）13．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4．【分析】依据题意，根据三角形中位线定理可得DE＝AM＝1.2；设AM＝x，从而DE＝x，由DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，进而DE∥FG，DE＝FG，从而四边形DEFG是平行四边形，结合题意可得DE边上的高为（4﹣x），故四边形DEFG面积S＝4x﹣x2，进而利用二次函数的性质可得S的取值范围．【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点，∴DE是三角形ABM的中位线．∴DE＝AM＝1.2．如图，设AM＝x，∴DE＝AM＝x．由题意得，DE∥AM，且DE＝AM，又FG∥AM，FG＝AM，∴DE∥FG，DE＝FG．∴四边形DEFG是平行四边形．由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8，∴DE边上的高为（4﹣x）．∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4．∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案为：1.2；3≤S≤4．一十一．矩形的性质（共2小题）14．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG＝ED•AG﹣FG•ED＝BC•AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选：C．15．（2023•河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为2或1+．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．一十二．正方形的性质（共2小题）16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（）A．B．C．D．【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG＝3CG，可求出BG的长，进而求出AG的长，证△ADE∽△GAB，利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长，证△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根据线段的和差求得EF的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AG＝，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AE＝，DE＝，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝，∴EF＝AF﹣AE＝，∴tan∠EDF＝，故选：A．17．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【分析】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH ＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH 的值．【解答】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．一十三．正多边形和圆（共1小题）18．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝30度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为2（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE＝，由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2，故答案为：2．一十四．扇形面积的计算（共1小题）19．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．一十五．轴对称-最短路线问题（共1小题）20．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．P A+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM 是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB＝P A'+PB最小，即可得P A+PB 最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF 最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，P A+PB ＝P A'+PB最小，此时P A+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC ＝（m+2﹣m）•2＝2，∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）21．（2023•乐至县）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD ＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．22．（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝cm．【分析】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD ＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sin B＝sin D＝，＝cos B＝cos D＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE ＝5，则BE＝cm．【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4cm，FB′＝1cm，∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD于点F，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，∵＝sin B＝sin D＝＝，＝cos B＝cos D＝＝，∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，∴BE+BE＝5，∴BE＝cm，故答案为：．一十七．旋转的性质（共1小题）23．（2023•西宁）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接P A，将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝2．【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，根据旋转的性质得到P A＝P A′，再证明△ABP≌△PHA′得到PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝4﹣x，然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+（4﹣x）2＝（2）2，于是解方程求出x即可．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′，∴P A＝P A′，∵∠P AB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠P AB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）24．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DF A，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DF A，∴∠FDE＝∠DF A，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．25．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积＝（HK+GF）•GH＝（1+4）×6＝15．故答案为：15．一十九．相似三角形的应用（共1小题）26．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB 的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得＝，过点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得＝，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，故选：A．二十．解直角三角形（共1小题）27．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x 轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为（﹣2，0）；点D的坐标为（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC ＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．二十一．解直角三角形的应用（共1小题）28．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．。
2024长沙中考数学压轴题
选择题在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, -4)B. (3, -4)（正确答案）C. (-3, 4)D. (4, 3)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个等腰三角形的周长为：A. 8B. 11C. 13（正确答案）D. 11或13函数y = -2x + 1与y = x2 - 3x的交点个数是：A. 0个B. 1个（正确答案）C. 2个D. 3个下列四边形中，不一定是平行四边形的是：A. 两组对边分别平行的四边形B. 两组对角分别相等的四边形C. 一组对边平行且相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形中，仅有一组对边相等的四边形（正确答案）若a、b为实数，且满足a2 + b2 - 2a + 4b + 5 = 0，则(a + b)2024的值为：A. 1（正确答案）B. -1C. 0D. 22024设集合A = {x | x2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | ax - 1 = 0}，若B是A的真子集，则a的值为：A. 0或1/2B. 0或1/3（正确答案）C. 1/2或1/3D. 1/2或-1/3在圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，若AP = 2:3，CP = 2cm，DP = 12cm，则弦AB的长为：A. 10cmB. 15cm（正确答案）C. 20cmD. 25cm已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象经过点A(1,0)，B(3,0)，且顶点到x轴的距离为2，则这个二次函数的解析式为：A. y = x2 - 4x + 3B. y = -x2 + 4x - 3（正确答案）C. y = x2 - 4x + 5D. y = -x2 + 4x - 1正n边形的一个外角等于36°，则n的值为：A. 8B. 9C. 10（正确答案）D. 11。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
一、解答题1．（1）回归教材：北师大七年级下册P 44，如图1所示，点P 是直线m 外一点，，点O 是垂足，点A 、B 、C 在直线m 上，比较线段PO ，PA ，PB ，PC 的长短，你发现了什么？最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．（2）小试牛刀：如图2所示，Rt ABC △中，AB c =，，．则点P 为AB 边上一动点，则CP 的最小值为______． （3）尝试应用：如图3所示ABC 是边长为4的等边三角形，其中点P 为高AD 上的一个动点，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ，连接PE 、DE 、CE ．①请直接写出DE 的最小值．②在①的条件下求的面积．（4）拓展提高：如图4，顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动，连接AE ．．3AB =，4BC =，请求出AE 的最小值．2．如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．（1）求抛物线解析式；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，MN ⊥x 轴交BC 于点N ，当点M 运动到某一位置时，线段MN 的长度最大，求此时点M 的坐标及线段MN 的长度；（3）如图2，以B 为圆心，2为半径的⊙B 与x 轴交于E 、F 两点（F 在E 右侧），若P 点是⊙B 上一动点，连接PA ，以PA 为腰作等腰Rt PAD △，使90PAD ∠=︒（P 、A 、D 三点为逆时针顺序），连接FD ．①将线段AB 绕A 点顺时针旋转90°，请直接写出B 点的对应点的坐标；②求FD 长度的取值范围．3．在ABC 中，AB BC =，45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高．（1）如图1，若1AD =，求线段CD 的长度；（2）如图2，点E ，点F 在AB 边上，且满足AE BF =，连接CE ，CF 分别交线段AD 于点M ，点N ，若点M 为线段CE 的中点，求证：2AN CD AB +=；（3）在（2）问条件下，若2AC =，点K 为AC 边上一动点，点Р为ACF 内一点且满足ACP CAD ∠=∠，当PK PA +取最小值时，请直接写出CPK S △的值．4．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．5．如图，抛物线26y ax bx =+-交x 轴于(2,0),(6,0)A B -两点，交y 轴于点C (0,6)-，点Q 为线段BC 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求QA QO +的最小值；（3）过点Q 作QP AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为12,S S ，设12S S S =+，当S 最大时，求点P 的坐标，并求S 的最大值．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线483y x =-+交x 轴正半轴于点C ．（1）写出C 点坐标 ；（2）若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝ S △AOB ，请求出点M 的坐标；（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴正半轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求出点G 的坐标．7．已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标．8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒后，点A 的对应点'A 恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．9．问题发现如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．（1）填空： ①BE AD的值为______； ②DBE ∠的度数为______．（2）类比探究如图2，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请求出BE AD的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在Rt ABC △和Rt CDE △中，90ACB DCE ∠=∠=︒，CAB CDE ∠=∠，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ，M 为DE 中点．若4BC =，3AC =，在点D 从A 点运动到B 点的过程中，请直接写出M 点经过的路径长．10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣3经过A 、B 、C 三点，点A （﹣3，0）、C （1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．11．如图1，直线y12=-x+b与地物线y＝ax2交于A．B两点，与y轴于点Ｃ，其中点A的坐标为（﹣4，8）．(1)求a，b的值；(2)将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．①试说明点D在抛物线上；②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若GEF DBA∽（点G，E，F分别与点D，B，A对应），直接写出点G的坐标．12．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y12=x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．(1)求二次函数的表达式．(2)如图2，连接AC，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两者交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN'．①当点N'落在线段AB上，求此时t的值；②求△MCN′与△ACB重叠的面积S与t的函数关系式．(3)如图3，点D在直线BC下方的二次函数图象上，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且ABD的面积为，求点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，若APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．14．等腰△ABC中，BA＝BC，过点A作AD⊥BC于点D，平面上有一点E，连接ED，EB，ED＝2EB，作∠BED的角平分线交BC于点F．(1)如图1，当∠EBC ＝90°时，若∠BAD ＝45°，BE ＝23，求线段DC 的长；(2)如图2，当∠EBC ＞90°时，过点F 作FG ⊥AC ，分别交AC ，AD 于点G ，H ，若AD ＝2BF ，P 为EF 中点，连接BP ，求证：AB ﹣3BP ＝DH ；(3)如图3，在（1）问的条件下，BE 上取点O ，BO ，点M ，N 为线段BD 上的两个动点（点M 在点N 的左侧），连接AN ，将△AND 绕点D 逆时针旋转得到△A ′N ′D ，若满足A ′D ⊥AN 于点P ，连接OM ，MP ，当OM +MP 的值最小时，直接写出△OMP 的面积．15．已知抛物线24y ax bx =++（a ≠0）与x 轴交于点A （3-，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，直线y mx n =+经过两点A 、C ．(1)求a ，b 的值；(2)如图1，点Р在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC 的面积最大时，求点P的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为2'y，若抛物线'y与原抛物线的对称轴交于点Q．点E是新抛物线'y的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置，点E是边BC上一点（不含点B、C），将△OCE 沿着OE翻折，点C落在点P处．(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是．(2)连接DE，设△OPE的面积为S1，△ODE的面积为S2，在点E取边BC上每一点（除点B、C）的过程中，S1+S2的值是否变化？如果变化，请求出它的取值范围；如果不变，请求出S1+S2的值；(3)分别连接PD、PC，当点P与点B重合时，易知PO•PC＝PE•PD，当点P不与点B重合时，PO•PC＝PE•PD是否成立？请在图3、图4中选一种情况进行证明．17．抛物线2=-++交x轴于点A，B（A在B的左边），交y轴于点C，顶点为y x2x3M，对称轴MD交x轴于点D，E是线段MD上一动点，以OB，BE为邻边作平行四边形OBEF，EF交抛物线于点P，G（P在G的左边），交y轴于点H．(1)求点A，B，C的坐标；(2)如图1，当EG FP=时，求DE的长；(3)如图2，当1DE=时，①求直线FC 的解析式，并判断点M 是否落在该直线上．②连接CG ，MG ，CP ，MP ，记CGM △的面积为1S ，CPM △的面积为2S ，则12S S =__________． 18．在平面直角坐标系中，抛物线y 12=-x 22x +3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，过点B 作BC 的垂线，交对称轴于E ．(1)如图1，点P 为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE 面积最大时，在对称轴上找一点M ，在y 轴上找一点N ，使得OM +MN +NP 最小，求此时点M 的坐标及OM +MN +NP 的最小值；(2)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线AD 上移动，点D 平移后的对应点为D '，点A 的对应点A '，设原抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，将△FBC 沿BC 翻折，使点F 落在点F ′处，在平面上找一点G ，使得以A '、D '、F '、G 为顶点的四边形为菱形．直接写出D ′的坐标．19．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线:4l y x =+交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AB CD ，()2,3A ，点P 是直线l 上一动点，连接AP ，BP ．(1)求直线AB 的表达式；(2)求22AP CP+的最小值；(3)如图2，将三角形ABP沿BP翻折得到A BP'，当点A'落在坐标轴上时，请直接写出直线BP的表达式．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于两点与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标(2)如果，求抛物线的表达式；(3)在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，，求点F的坐标【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题1．（1）PO，垂线段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面积为；（4）AE的最小值为．【解析】【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用面积法即可求解；（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE最短，据此求解即可；②利用勾股定理求得ECAP AD、PD、BP的长，即可求解；（4）作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AE⊥GH时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解．【详解】解：（1）∵PO⊥直线m，∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．故答案为：PO，垂线段最短；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，S△ABC=12AC BC=12AB PC，∴PC=，即CP的最小值为，故答案为：；（3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，边长为4，∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；∵点P为高AD上的一个动点，∴点E在射线CE上，根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE时，DE最短．∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=12CD=1，即DE的最小值是1；②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE3，在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=3，∴PB=，∴等边三角形△PBE的高为，∴△BPE的面积为=；（4）过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此时点F与点C重合，点E与点H重合，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵S△ABC=12AB BC=12AC BH，∴BH=125，∴AH=，取AB中点G，过点G作GI⊥AB交AC于点I，则∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此时点F与点I重合，点E与点G重合，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，且，四点共圆，∴点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短，过点H作HP⊥AB于点P，∴△APH~△ABC，∴，即，∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，∵S△AGH=12AG PH=12GH AE，∴AE =，∴AE 的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．2．（1）265y x x =-+；（2）当M 运动到515(,)24- 时，线段MN 的长度最大为254；（3）①(1,4)-；②22FD ≤≤．【解析】【分析】（1）先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入到抛物线解析式即可求解；（2）设设2(,65)M m m m -+，则(,5)N m m -+，则2(5)(65)MN m m m =-+--+，整理可得225255()24MN m m m =-+=--+，可求得当52m =时，MN 的最大值为254，进而求得M 坐标；（3）①由（1），（2）可求得514AB AB OB OA '==-=-=，从而求得点B '坐标；②根据点P 的运动情况，来确定点D 的运动轨迹，是与点P 半径相等的圆，圆心为B '，作射线FB '，与⊙B '交于1D ，2D ，从而确定FD 的范围．【详解】解：（1）∵直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，C 两点，∴当0x =时，5y =，所以(0,5)C ，当0y =时，1x =，所以(1,0)A ，∵抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，∴5c =，150b ++=，解得6b =-，∴抛物线解析式为265y x x =-+．（2）令0y =，∴265=0-+x x ，解得：11x =，25x =，∴(5,0)B ，∴直线BC 的解析式为：5y x =-+，设2(,65)M m m m -+，则(,5)N m m -+，∴2(5)(65)MN m m m =-+--+， ∴225255()24MN m m m =-+=--+，∴当52m =时，MN 的最大值为254， ∴当M 运动到515(,)24- 时，线段MN 的长度最大为254．（3）①将线段AB 绕A 点顺时针旋转90°，∴B A BA '⊥，∵(1,0)A ，(5,0)B ，∴514AB AB OB OA '==-=-=，∴(1,4)B '-；②连接PB ，B D '，由①可得4AB AB '==，又已知PAD △是等腰直角三角形，90BAB PAD '∠=∠=︒，AD AP =，∴(SAS)DAB PAB '≌△△，∴2B D BP '==，∴当P 点在⊙B 上运动时，点D 在以B '为圆心，半径为2的圆上，∴作射线FB '，与⊙B '交于1D ，2D 两点，情况一：当交点为1D 时，1FD 为最小值，即11FD FB B D ''=-，已知(1,0)A ，(5,0)B ，2BF =，∴426AF AB BF =+=+=,4AB AB '==,∴在Rt AFB '△中，222246FB AB AF ''=+=+ ,即213FB '=，∴12132FD =-；情况二：当交点为2D 时，2FD 为最大值，即22FD FB B D ''=+，已知(1,0)A ，(5,0)B ，2BF =，∴426AF AB BF =+=+=,4AB AB '==,∴在Rt AFB '△中，222246FB AB AF ''++即213FB '=∴22132FD =；综上21322132FD ≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，抛物线与线段最值问题，以及瓜豆原理在二次函数中的应用问题，其中利用点P ，确定点D 的运动轨迹是本题的解题关键．3．（121；（2）证明见解析；（321- 【解析】【分析】（1）证明,AD BD = 再利用勾股定理求解,,AB BC 从而可得答案；（2）如图，过E 作EH AD ⊥于,H 过F 作FQ BC ⊥于,Q 而,AD CD ⊥ 证明,EHM CDM ≌ 可得22,AE EH CD == 同理：22,BF FQ BQ == 而,AE BF = 再证明,FQC DCA ≌ 可得,FCQ CAD ∠=∠ 再证明,AF AN = 从而可得结论；（3）如图，记CP 与AB 的交点为,L 由（2）得：45,ACF BAD ∠=∠=︒ 证明,22.5,CF CA CAD =∠=︒ 可得CP 平分,ACF ∠ 则,A F 关于直线CP 对称，,PF PA = 过F 作FK AC ⊥于,K 则此时,PA PK PF PK FK +=+= 所以PA PK +最短，设,PK n = 则1,21,PF PA n AK ==-= 再利用勾股定理求解,n 即可得到答案.【详解】解：（1）45B ∠=︒，AD 为BC 边上的高，90,45,ADB B BAD ∴∠=︒∠=∠=︒221,112,AD BD AB ∴==+=AB BC =，2,2 1.BC CD BC BD ∴==-=-（2）如图，过E 作EH AD ⊥于,H 过F 作FQ BC ⊥于,Q 而,AD CD ⊥则90,EHM CDM ∠=∠=︒M 为CE 的中点，,HME DMC ∠=∠ ,EM CM ∴=,EHM CDM ∴≌,EH CD ∴=45,90,BAD AHE EHM ∠=︒∠=∠=︒22,AE EH CD ∴==同理：22,BF FQ BQ == 而,AE BF =,FQ BQ CD EH ∴===,BD CQ AD ∴==90,ADC CQF ∠=∠=︒,FQC DCA ∴≌,FCQ CAD ∴∠=∠,AB BC =,BAC BCA ∴∠=∠,BAD ACF ∴∠=∠ 而,B BAD ∠=∠,,B FCQ AFN ANF ACF CAD ∠+∠=∠∠=∠+∠,AFN ANF ∴∠=∠,AF AN ∴=2.AN CD AF AE AF BF AB ∴=+=+=（3）如图，记CP 与AB 的交点为,L 由（2）得：45,ACF BAD ∠=∠=︒,45,BA BC B =∠=︒67.5,BAC BCA ∴∠=∠=︒67.5,CFA BAC ∴∠=︒=∠,22.5,CF CA CAD ∴=∠=︒22.5,ACP CAD ∠=∠=︒CP ∴平分,ACF ∠,,CP AF AL FL ∴⊥=则,A F 关于直线CP 对称，,PF PA =过F 作FK AC ⊥于,K 则此时,PA PK PF PK FK +=+=所以PA PK +最短，2,AC ∴= 则2,CF = 而45,ACF ∠=︒1,CK FK ∴==设,PK n = 则1,21,PF PA n AK ==-=())222121,n n ∴-=+ 解得：21,n = )121121.22CPK S ∴=⨯⨯= 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，本题综合性较强，是压轴题，知识的系统化是解题的关键.4．（1）B 2C 2；（233-3）OA 最小值为1，相应的3BC =OA 最大值为2，相应的6BC =【解析】【分析】（1）结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；（2）根据题意，分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质，得3AD OD == （3）结合题意，得当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值；当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）线段B 1C 1绕点A 旋转得到的11B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 1C 1不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 2C 2绕点A 旋转得到的22B C ''，如下图：∴线段B 2C 2是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；线段B 3C 3绕点A 旋转得到的33B C ''，均不能成为⊙O 的弦∴线段B 3C 3不是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”；故答案为：B 2C 2；（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），⊙O 的半径为1∴//B C x ''轴分B C ''在x 轴上方和x 轴上方两种情况：当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：∵1OB OC ''== ∴1122B D BC '''==∴2232OD OB B D ''=-= ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，即△AB C ''是边长为1的等边三角形，∴AC D OC D ''∠=∠，AD B C ''⊥∴AC D OC D ''△≌△∴32AD OD == ∴3AO AD OD =+=∴3t =；当B C ''在x 轴上方时，B C ''与y 轴相交于点D ，见下图：同理，3AO AD OD =+=∴()0,3A -；∴t 3=-；∴3t =或3-；（3）当AC '为⊙O 的直径时，OA 取最小值，如下图：∴OA 最小值为1，90AB C ''∠=︒∴223BC B C AC AB ''''==-=当A 、B '、O 三点共线时，OA 取最大值，2OA AC '== ，如下图：作AE OC '⊥交OC '于点E ，作C F AO '⊥交AO 于点F ，如下图∵2OA AC '== ∴1122OE OC '== ∴2215AE AO OE - ∵11222AE OC OB C F '''⨯=⨯⨯ ∴1152C F AE '== ∴2214OF OC C F ''=-= ∴34B F OB OF ''=-= ∴26BC B C C F B F ''''==+=∴OA 最小值为1，相应的BC =OA 最大值为2，相应的BC =． 【点睛】 本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解．5．（1）y =12x 2−2x −6；（2）QO ＋QA 有最小值10；（3）P （3，−152）时，S 有最大值152【解析】【分析】（1）运用待定系数法设y ＝a （x ＋2）（x −6），将C （0，−6）代入，即可求得答案；（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接AO ′，QO ′，CO ′，BO ′，由O 、O ′关于直线BC 对称，得出四边形BOCO ′是正方形，根据QA ＋QO ′≥AO ′，QO ′＝QO ，得出答案；（3）运用待定系数法求出直线BC 、AC 、PQ 的解析式，设P （m ，12m 2−2m −6），联立方程组，得：261362y x y x m m ⎪--⎧⎪-⎨⎩＝＝＋＋，求得Q （22128m m +-，22608m m +-），再运用三角形面积公式求得答案．【详解】解：（1）∵抛物线交x 轴于A （−2，0），B （6，0）两点，∴设y ＝a （x ＋2）（x −6），将C （0，−6）代入，得：−12a ＝−6，解得：a ＝12， ∴y ＝12（x ＋2）（x −6）＝12x 2−2x −6， ∴抛物线的解析式为y =12x 2−2x −6；（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接AO ′，QO ′，CO ′，BO ′，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵O、O′关于直线BC对称，∴BC垂直平分OO′，∴OO′垂直平分BC，∴四边形BOCO′是正方形，∴O′（6，−6），在Rt△ABO′中，AO′＝2222+=+=，AB O B'8610∵QA＋QO′≥AO′，QO′＝QO，∴QO＋QA＝QA＋QO′≥AO′＝5，即点Q位于直线AO′与直线BC交点时，QO＋QA有最小值10；（3）设直线BC的解析式为y＝kx＋d，∵B（6，0），C（0，−6），∴606k d d ⎨⎩-⎧＋＝＝，解得：16k d =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝x −6，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ，∵A （−2，0），C （0，−6），∴206m n n ⎧⎨⎩--＋＝＝，解得：36m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝−3x −6，∵PQ ∥AC ，∴直线PQ 的解析式可设为y ＝−3x ＋b ，由（1）可设P （m ，12m 2−2m −6），代入直线PQ 的解析式， 得：12m 2−2m −6＝−3m ＋b ，解得：b ＝12m 2＋m −6，∴直线PQ 的解析式为y ＝−3x ＋12m 2＋m −6， 联立方程组，得：261362y x y x m m ⎪--⎧⎪-⎨⎩＝＝＋＋， 解得：2221282608m m x m m y ⎧+-=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， ∴Q （22128m m +-，22608m m +-）， 由题意：S ＝S △PAQ ＋S △PBQ ＝S △PAB −S △QAB ，∵P ，Q 都在第四象限，∴P ，Q 的纵坐标均为负数，∴S ＝12|AB |•（−12m 2＋2m ＋6）−12|AB |•（22608m m +--） ＝23962m m -+-2315(3)22m =--+， 由题意，得0＜m ＜6，∴m ＝3时，S 最大，即P （3，−152）时，S 有最大值152． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，将军饮马的最值问题，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用数形结合思想是解题关键．6．（1）点C （6，0）；（2）点1224(,)55M ；（3）满足条件的点G 坐标为34(0,)7或(0,-2)．【解析】【分析】（1）直接利用直线483y x =-+，令y=0，解方程即可； （2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立方程组2483y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解方程组求得交点M 的坐标； （3）分两种情形：①当n ＞4时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．求出Q （n-4，n-2）．②当n ＜4时，如图2-2中，同法可得Q （4-n ，n +2），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵直线483y x =-+交x 轴正半轴于点C ． ∴当y =0时，48=03x -+， 解得x =6∴点C （6，0）故答案为（6，0）；（2）连接OM 并双向延长，∵S △AMB ＝S △AOB ，∴点O 到AB 与点M 到AB 的距离相等，∴直线OM 平行于直线AB ，∵AB 解析式为y ＝2x ＋8，故设直线OM 解析式为：2y x =，将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组得：2483y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：125245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点1224(,)55M ； （3）∵直线y ＝2x ＋8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴令y=0，2x ＋8=0，解得x =-4，∴A （-4，0），令x =0，则y ＝8∴B （0，8），∵点F 为AB 中点，点F 横坐标为()1-4+0=-22，纵坐标为()10+8=42∴F （-2，4），设G （0，n ），①当n ＞4时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，∴FG =QG ，∠FGQ =90°，∴∠MGF +∠NGQ =180°-∠FGQ=180°-90°=90°，∵FM ⊥MN ，QN ⊥MN ，∴∠M =∠N =90°，∴∠MFG +∠MGF =90°，∴∠MFG =∠NGQ ，在△FMG 和△GNQ 中，M N MFG NGQ FG GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FMG ≌△GNQ ，∴MG =NQ =2，FM =GN =n -4，∴Q （n -4，n -2），∵点Q 在直线483y x =-+上， ∴42(4)43n n -=--+， ∴34=7n , ∴34(0,)7G ． ②当n ＜4时，如图2-2中，点Q 落在BC 上时，过G 作MN 平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，分别交于M ，N ．∵四边形FGQP 是正方形，∴FG =QG ，∠FGQ =90°，∴∠MGF +∠NGQ =180°-∠FGQ=180°-90°=90°，∵FM ⊥MN ，QN ⊥MN ，∴∠M =∠N =90°，∴∠MFG +∠MGF =90°，∴∠MFG =∠NGQ ，在△FMG 和△GNQ 中，M N MFG NGQ FG GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FMG ≌△GNQ ，∴MG =NQ =2，FM =GN = 4-n ，∴Q （4- n ， n +2），∵点Q 在直线483y x =-+上， ∴42(4)83n n +=--+，∴n =-2，∴(0,-2)G ．综上所述，满足条件的点G 坐标为34(0,)7或(0,-2)． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，平行线性质，两直线联立解方程组，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）；（2）存在，点P （4，6）；（3）点M 的坐标为（4﹣771）或（77﹣1）．【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线x ＝3，解出a 的值，即可求得抛物线解析式，在令其y 值为零，解一元二次方程即可求出A 和B 的坐标；（2）易求点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b ，解出k 和b 的值，即得直线BC 的解析式；设点P 的坐标为（x ，213442x -++），过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，142x -+），利用关系式S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC 得出关于x 的二次函数，从而求得其最值；（3）设点M 的坐标为（m ，213442m m -++）则点N 的坐标为（m ，142m -+），MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+，分当0＜m ＜8时，或当m ＜0或m ＞8时来化简绝对值，从而求解．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3，3232a∴-= 14a ∴=- ∴抛物线的解析式为：213442y x x =-++． 当y ＝0时，2130442x x =-++，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：213442y x x =-++；点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．（2）当x ＝0时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为（0，4）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入y ＝kx +b 得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大，设点P 的坐标为（x ，213442x x -++），如图1所示，过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，142x -+），则PD ＝2211314222()444-++-++-=-x x x x x ， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC118422PD OB =⨯⨯+⋅ 211168(2)24x x =+⨯-+ 2816x x =-++2(4)32x =--+∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32∵0＜x ＜8，∴存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．答：存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大；点P 的坐标为（4，6），四边形PBOC 面积的最大值为32．（3）设点M 的坐标为（m ，213442m m -++）则点N 的坐标为（m ，142m -+）， ∴MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+ 又∵MN ＝3，21234m m ∴-+= 当0＜m ＜8时，212304m m -+-=，解得m 1＝2，m 2＝6， ∴点M 的坐标为（2，6）或（6，4）；当m ＜0或m ＞8时，212304m m -+-=，解得m 3＝4-m 4＝4+，∴点M 的坐标为（4-1）或（4+，1）．答：点M 的坐标为（2，6）、（6，4）、（4-1）或（4+，1）．【点睛】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．8．（1）223y x x =--+；（2）278；（3）P （-1，1）或（-1，-2）． 【解析】【分析】（1）由题意已知抛物线过A 、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）根据题意连接BC ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，-a 2-2a +3）（-3＜a ＜0），可得EF =-a 2-2a +3，BF =a +3，OF =-a ，根据S △BEC =S 四边形BOCE -S △BOC ，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．（3）根据题意由P 在抛物线的对称轴上，设出P 坐标为（-1，m ），如图所示，过A ′作A ′N ⊥对称轴于N ，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS 得到△A ′NP ≌△PMA ，由全等三角形的对应边相等得到A ′N =PM =|m |，PN =AM =2，表示出A ′坐标，将A ′坐标代入抛物线解析式中求出相应m 的值，即可确定出P 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0）， ∴OB =3，∵OC =OB ，∴OC =3，∴c =3，∴， 解得：， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）如图2，连接BC ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，-a 2-2a +3）（-3＜a ＜0），∴EF =-a 2-2a +3，BF =a +3，OF =-a ，∴S △BEC =S 四边形BOCE -S △BOC =12BF •EF +12（OC +EF ）•OF -12•OB •OC =12（a +3）•（-a 2-2a +3）+12（-a 2-2a +6）•（-a ）-92 =-32a 2-92a=-32（a+32）2+278，∴当a=-32时，S△BEC最大，且最大值为278．（3）∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（-1，m），∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，①当m≥0时，∴PA=PA′，∠APA′=90°，如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，∴∠NA′P=∠NPA，在△A′NP与△PMA中，，∴△A′NP≌△PMA（AAS），∴A′N=PM=m，PN=AM=2，∴A′（m-1，m+2），代入y=-x2-2x+3得：m+2=-（m-1）2-2（m-1）+3，解得：m=1，m=-2（舍去），②当m＜0时，要使P2A=P2A2，由图可知A2点与B点重合，∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，∴P2（-1，-2）．∴满足条件的点P 的坐标为P （-1，1）或（-1，-2）．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．9．（1）①1；②90°；（2）BE AD =90DBE ∠=︒，理由见解析；（3）256 【解析】【分析】（1）①证明ACD △≌BCE 即可求得BE AD的值；②由①的结论，可得DBE ABC CBE ∠=∠+∠，进而可得DBE ∠的度数； （2）由已知条件证明Rt ACB △∽Rt DCE ，可得AC CD BC CE =，又ACD BCE ∠=∠，可得ACD △∽BCE，进而根据AC BC =BE BC AD AC ==1）可得DBE ABC CBE ∠=∠+∠，进而可得DBE ∠的度数；（3）设AB 的中点为P ，BE 的中点为Q ，由题意M 的路径长为PQ 的长，根据（2）的结论可得ACD △∽BCE ，进而求得CE 的长，根据中位线定理即可求得PQ ，即M 点经过的路径长．【详解】（1）∵90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，∴45ABC CAB CDE CED ∠=∠=︒=∠=∠，∴AC BC =，CD CE =，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD BCE ∠=∠，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ACD △≌BCE （S A S ），∴BE AD =，45CAB CBE ∠=∠=︒，∴90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒，1BE AD=． 故答案为：1，90°．（2）BE AD =90DBE ∠=︒． 理由如下：∵90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，∴30CED ABC ∠=∠=︒，ACB DCB DCE DCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACD BCE ∠=∠， ∴3tan tan 303AC ABC BC ∠=︒==． ∵90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，∴Rt ACB △∽Rt DCE ，∴AC CD BC CE =， ∴AC BC CD CE=，且ACD BCE ∠=∠， ∴ACD △∽BCE ， ∴3BE BC AD AC ==，60CBE CAD ∠=∠=︒， ∴90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒．（3）如图，设AB 的中点为P ，BE 的中点为Q ，点D 是线段AB 上一动点， M 为DE 中点,在点D 从A 点运动到B 点的过程中，M 点从AB 的中点P 运动到BE 的中点Q ，当D 点与B 点重合时，M 点与Q 点重合，此时如图，则M 点的运动路径长为PQ 的长，由（2）可得ACD △∽BCE ，4BC =，3AC =，90ACB ∠=︒,∴43BE BC EC AD AC CD ===，5AB =， 4CD BC ==，163EC ∴=， 1625333AE AC EC ∴=+=+=， ,P Q 分别为,AD BE 的中点，则256PQ =， ∴M 点的运动路径长为256． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．10．(1)y ＝x 2+2x ﹣3；(2)（﹣32，154-） (3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）【解析】【分析】（1）把点A ，B 代入y ＝ax 2+bx ﹣3即可； （2）设P （x ，x 2+2x ﹣3），求出直线AB 的解析，用含x 的代数式表示出点E 坐标，即可用含x 的代数式表示出PE 的长度，由函数的思想可求出点P 的横坐标，进一步求出其纵坐标；（3）设点Q （-1，a ），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a 的方程求解．(1)解：把A （﹣3，0）和C （1，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3，得，， 解得，，∴抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；(2)解：设P （x ，x 2+2x ﹣3），直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，由抛物线解析式y ＝x 2+2x ﹣3，令x ＝0，则y ＝﹣3，∴B （0，﹣3），把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，∵PE⊥x轴，∴E（x，﹣x﹣3），∵P在直线AB下方，∴PE＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，当x＝﹣32时，y＝x2+2x﹣3＝154-，∴当PE最大时，P点坐标为（﹣32，154-）；(3)存在，理由如下，∵x＝﹣＝-1，∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，设Q（-1，a），∵B（0，-3），A（-3，0），①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，解得：a＝2，∴Q1（-1，2），②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，解得：a＝﹣4，∴Q2（-1，﹣4），③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，解得：a1＝或a1＝，∴Q3（-1，），Q4（-1，），综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．11．(1)126a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)①见解析；②20(0,)9G 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可．（2）①如图1中，分别过点A ，D 作AM ⊥y 轴于点M ，DN ⊥y 轴于点N ．利用全等三角形的性质求出点D 的坐标，可得结论． ②设21(,)2E t t ，求出直线EG ，FG 的解析式，构建方程组求出点G 的坐标，再根据点G 的横坐标为0，构建方程组求出t ，即可解决问题．(1) 解：由题意，得21(4)82(4)8b a ⎧-⨯-+=⎪⎨⎪-⨯=⎩， 解得126a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． (2)解：①如图1中，分别过点A ，D 作AM ⊥y 轴于点M ，DN ⊥y 轴于点N ．由（1）可知，直线AB 的解析式为162y x =-+， ∴C （0，6），∵A （-4，8），∴AM =4，OM =8，OC =6，∴CM =2，90AMC DNC ACD ∠=∠=∠=︒，∴90ACM DCN ∠+∠=︒，90DCN CDN ∠+∠=︒，∴=ACM CDN ∠∠，∵CA ＝CD ，∴AMC CND AAS ≌（），。
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作 轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 的面积最大，求出点D的坐标．
【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在原点.现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中， 边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图）.
【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
【008】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（3）设直线 与y轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；
（4）当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
中考数学压轴题专项训练十套(含答案)
中考数学压轴题专项训练十套(含答案)中考数学压轴题专项训练（一）做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题23.（11分）如图，在直角梯形 $OABC$ 中，$AB\parallel OC$，$BC\perp x$ 轴于点 $C$，$A(1,1)$，$B(3,1)$．动点$P$ 从点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度移动．过点 $P$ 作 $PQ\perp OA$，垂足为 $Q$．设点$P$ 移动的时间为 $t$ 秒（$0<t<4$），$\triangle OPQ$ 与直角梯形 $OABC$ 重叠部分的面积为 $S$．1）求经过 $O$，$A$，$B$ 三点的抛物线解析式．2）求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式．3）将 $\triangle OPQ$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$，是否存在 $t$，使得 $\triangle OPQ$ 的顶点$O$ 或 $Q$ 在抛物线上？若存在，直接写出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．解析：1）由题意可知，经过 $O$，$A$，$B$ 三点的抛物线为$y=ax^{2}+bx+c$，代入三点的坐标可得：begin{cases}a+b+c=1\\4a+2b+c=1\\9a+3b+c=1end{cases}$解得 $a=-\dfrac{1}{4}$，$b=\dfrac{5}{4}$，$c=\dfrac{1}{2}$，即经过 $O$，$A$，$B$ 三点的抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}$．2）设 $\triangle OPQ$ 的高为 $h$，则 $\triangle OPQ$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}xh$，其中 $x=OP=t$．由于 $\triangle OPQ$ 与直角梯形 $OABC$ 重叠部分的面积为 $S$，所以$S=\dfrac{1}{2}(AB+BC)h=\dfrac{1}{2}(3+2t)h$．又因为 $P$ 沿 $x$ 轴正方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度移动，所以 $h$ 的变化率为$\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-1$，即 $h=-t+4$．综上所述，$S=\dfrac{1}{2}(3+2t)(-t+4)=-t^{2}+5t-6$，即$S$ 与 $t$ 的函数关系式为 $S=-t^{2}+5t-6$．3）将 $\triangle OPQ$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$，则 $\triangle OPQ$ 变为 $\triangle OP'Q'$，其中$P'$，$Q'$ 分别为 $P$，$Q$ 绕着点 $P$ 顺时针旋转$90^{\circ}$ 后的点．易知 $\triangle OP'Q'$ 的顶点为 $O'$，坐标为 $(1+t,1)$．将 $O'$ 的坐标代入抛物线的解析式中，得到 $y=-\dfrac{1}{4}(1+t)^{2}+\dfrac{5}{4}(1+t)+\dfrac{1}{2}$．令 $y=0$，解得 $t=2\pm\sqrt{3}$．由于 $0<t<4$，所以 $t=2+\sqrt{3}$，即存在 $t$，使得$\triangle OPQ$ 的顶点 $O$ 在抛物线上．答案：（1）$y=-\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}$；（2）$S=-t^{2}+5t-6$；（3）$t=2+\sqrt{3}$．2）正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止。
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3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线 过点A、B，且顶点C；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
9.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为 、 ，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.
(1)若抛物线 经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.
(2)求直线DF的解析式.
(3)是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
(本题图形仅供分析参考用)
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.
7.（2006江苏连云港）如图，直线 与函数 的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若 的面积是 的面积的 倍，求 与 之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在 和 ，使得以 为直径的圆经过点 ．若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由．
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在 轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E( ， )，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．
11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0， ）在 轴的正半轴上，A、B是 轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
10.（2004山西）已知二次函数 的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
8.（2004江苏镇江）已知抛物线 与x轴交于两点 、 ，与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.
（3）若 过A、B、C三点，求 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作 轴于点N，使 被直线BC分成面积比为 的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2.（2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若 ，抛物线
12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，抛物线 经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙ 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
(1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证：E点在y轴上；
(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.