四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：第12讲 反比例函数 教案设计(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：第12讲 反比例函数 教案反比例函数的概念及解析式的三种形式1.概念：一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k≠①0)的函数叫做反比例函数，自变量x 的取值范围是②x≠0.2.反比例函数解析式的三种形式(k 为常数，k≠0)：y ＝k x ；y ＝kx －1；xy ＝k.【方法指导】 确定点在反比例函数图象上的方法：(1)把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上；若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上；(2)把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在函数图象上；若乘积不等于k ，则点不在函数图象上.反比例函数的图象与性质注意：双曲线不是连续的曲线，而是两支不同的曲线，所以比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象限，当k ＞0时，在两支上，第一象限函数值大于第三象限函数值；当k ＜0时，在两支上，第二象限函数值大于第四象限函数值.解决此类问题的一个有效方法是画出草图，标上各点，再比较大小.1.已知反比例函数y ＝m －1x.(1)当m ＝2时，反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)；(2)当反比例函数的图象如图所示时，则m 的取值范围是m<1；(3)若点P(x ，y)在函数的图象上，则点P 1(－x ，－y)在函数的图象上(填“在”或“不在”)； (4)若点C(－2，3)在该函数的图象上. ①反比例函数的解析式是y ＝－6x；②点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)是反比例函数图象上的两点，且x 1<0<x 2，则y 1>y 2(填“>”“＝”或“<”)； ③当1≤x≤3时，y 的最小整数值是－6.反比例函数中k 的几何意义及解析式的确定1.反比例函数中k 的几何意义：如图，设P(x ，y)是反比例函数y ＝kx 图象上任一点，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，PN⊥y 轴于点N ，则S 矩形PNOM ＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝⑨|k|.2.与反比例函数中k 的几何意义有关的面积计算：3.反比例函数解析式的确定： (1)待定系数法：①设出反比例函数的解析式为y ＝kx (k≠0)；②找出满足反比例函数图象的已知点P(a ，b)； ③将P(a ，b)代入解析式得k ＝⑭ab ； ④确定反比例函数解析式y ＝abx .(2)利用k 的几何意义确定：题中已知面积时考虑用k 的几何意义.由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k 的正负，从而得出k 的值，代入解析式即可.2.如图，点A 为反比例函数y ＝－4x图象上的一点，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△ABO 的面积为2.3.如图，点A 是反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，过点A 作AB⊥x 轴，垂足为B.点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC.若△ABC 的面积为4，则k 的值是－8.反比例函数与一次函数的综合运用(1)根据点的坐标确定函数解析式； (2)根据函数图象比较两函数值的大小； (3)求三角形或四边形的面积；(4)由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式.反比例函数的实际应用1.实际问题中常见的反比例函数关系： (1)行程问题：速度＝路程时间；(2)工程问题：工作效率＝工作量工作时间；(3)压强问题：压强＝压力受力面积；(4)电学问题：电阻＝电压电流.2.解反比例函数的实际应用题的一般步骤：(1)审清题意，找出题目中的常量、变量，并确定常量与变量之间的关系； (2)根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； (3)由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； (4)写出函数解析式，并注意解析式中自变量的取值范围； (5)用函数的图象与性质解决实际问题.4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地.当他按照原路返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数关系是v ＝320t (t>0).命题点1 反比例函数的图象与性质1.(下列说法中不正确的是(D) A.函数y ＝2x 的图象经过原点 B.函数y ＝1x 的图象位于第一、三象限C.函数y ＝3x －1的图象不经过第二象限D.函数y ＝－3x的值随x 的值的增大而增大2.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx(k>0)与y ＝kx(k>0)的图象可能是(C)3.已知反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象过点(－1，2)，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.4.已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点都在反比例函数y ＝2x 的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2.(填“＞”或“＜”)方法指导在求解反比例函数的因变量y 随自变量x 的变化情况及确定反比例函数的图象时，一般利用k 的取值范围.易错提示在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k ＞0时，y 随x 的增大而减小.5.已知反比例函数y ＝2x，当x ＜－1时，y 的取值范围为－2＜y ＜0.6.已知点P(m ，n)在直线y ＝－x ＋2上，也在双曲线y ＝－1x上，则m 2＋n 2的值为6.7.在平面直角坐标系xOy 中，点A(3m ，2n)在直线y ＝－x ＋1上，点B(m ，n)在双曲线y ＝kx 上，则k 的取值范围为k≤124且k≠0. 8.已知A ，B ，C ，D 是反比例函数y ＝8x (x ＞0)图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形(如图)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是5π－10(用含π的代数式表示).命题点2 反比例函数与一次函数综合双曲线y ＝k x (k 为常数，且k≠0)与直线y ＝－2x ＋b 交于A(－12m ，m －2)，B(1，n)两点.(1)求k 与b 的值；(2)如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积.【思路点拨】 (2)S △BOE ＝S △ODE ＋S △BOD .【自主解答】 解：(1)∵点A(－12m ，m －2)在直线y ＝－2x ＋b 上，∴－2×(－12m)＋b ＝m －2.∴b＝－2.∴y＝－2x －2.∵点B(1，n)在直线y ＝－2x －2上， ∴n＝－2×1－2＝－4.∴B(1，－4). ∵点B(1，－4)在双曲线y ＝kx 上，∴k＝1×(－4)＝－4.(2)∵直线AB 的解析式为y ＝－2x －2， 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝－1， ∴C(－1，0)，D(0，－2).∵点E 为CD 的中点，∴E(－12，－1).∴S △BOE ＝S △ODE ＋S △ODB ＝12OD·(x B －x E )＝12×2×(1＋12)＝32.方法指导一次函数与反比例函数的综合题，常涉及以下几个方面： 1.求交点坐标：联立方程组求解即可.2.确定函数解析式：将交点坐标代入y ＝kx可求k ，由两交点坐标利用待定系数法可求y ＝ax ＋b.3.利用函数图象确定不等式ax ＋b ＞k x 或ax ＋b ＜kx 的解集时，利用数形结合进行分析判断：(1)先找交点，以交点为界；(2)观察交点左、右两边区域的两个函数图象的上、下位置关系；(3)根据图象在上方，函数值较大，图象在下方，函数值较小，即可求出自变量的取值范围.4.涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长的长度，对于所求图形的边均不在x 轴、y 轴或不与坐标轴平行的时候，不便直接求解，可分割为规则图形进行相关转化.9.已知一次函数y 1＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y 2＝mx (m≠0，x>0)的图象如图所示，则当y 1＞y 2时，自变量x 满足的条件是(A)A.1＜x ＜3B.1≤x≤3C.x ＞1D.x ＜310.如图，一次函数y 1＝ax ＋b 和反比例函数y 2＝kx的图象相交于A ，B 两点，则使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是(B)A.－2＜x ＜0或0＜x ＜4B.x ＜－2或0＜x ＜4C.x ＜－2或x ＞4D.－2＜x ＜0或x ＞4 11.一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(1，4)，B(－4，－6). (1)求该一次函数的解析式；(2)若该一次函数的图象与反比例函数y ＝mx的图象相交于C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)两点，且3x 1＝－2x 2，求m 的值.解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝4，－4k ＋b ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋2.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝m x，消去y ，得2x 2＋2x －m ＝0，则x 1＋x 2＝－1.∵3x 1＝－2x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝－3.∴C(2，6).∵反比例函数y ＝mx的图象经过点C ，∴m＝2×6＝12.12.如图，一次函数y ＝－12x ＋52的图象与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标.解：(1)∵反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象经过点A ，△AOM 的面积为1，∴12|k|＝1. 又∵k＞0，∴k＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x.(2)作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B，交y 轴于点P ，则PA ＋PB 最小. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.∴A(1，2)，B(4，12).∴A′(－1，2)，PA ＋PB 的最小值A′B＝（4＋1）2＋（12－2）2＝1092.设直线A′B 的解析式为y ＝mx ＋n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝2，4m ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－310，n ＝1710.∴直线A′B 的解析式为y ＝－310x ＋1710.当x ＝0时，y ＝1710，∴点P 的坐标为(0，1710).13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(－2，0)，与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B(a ，4).(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)设M 是直线AB 上一点，过点M 作MN∥x 轴，交反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象于点N ，若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.解：(1)∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A(－2，0)， ∴0＝－2＋b ，解得b ＝2. ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋2.∵一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B(a ，4)，∴4＝a ＋2，解得a ＝2.∴4＝k2，解得k ＝8.∴反比例函数的解析式为y ＝8x(x ＞0).(2)∵A(－2，0)，∴OA＝2.∵以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，且MN∥AO， ∴MN＝AO.设M(m －2，m)，则N(8m ，m)，∴|8m－(m －2)|＝2， 解得m 1＝22，m 2＝－22(舍去)，m 3＝2＋23，m 4＝2－23(舍去). ∴点M 的坐标为(22－2，22)或(23，23＋2).命题点3 反比例函数与几何图形综合14.如图，曲线C 2是双曲线C 1：y ＝6x (x ＞0)绕原点O 逆时针旋转45°得到的图形，P 是曲线C 2上任意一点，点A 在直线l ：y ＝x 上，且PA ＝PO ，则△POA 的面积等于(B)A. 6B.6C.3D.1215.如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)经过A ，B 两点，过点A 作AC⊥y 轴于点C ，过点B 作BD⊥y 轴于点D ，过点B 作BE⊥x 轴于点E ，连接AD ，已知AC ＝1，BE ＝1，S 矩形BDOE ＝4，则S △ACD ＝32.16.如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB ，BC 于点D ，E.若四边形ODBE的面积为12，则k 的值为4.17.如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，AC⊥x 轴于点E ，BD⊥x轴于点F ，AC ＝2，BD ＝4，EF ＝3，则k 2－k 1＝4.命题点4 反比例函数的实际应用18.已知圆锥的侧面积是8π cm 2，若圆锥底面半径为R(cm)，母线长为l(cm)，则R 关于l 的函数图象大致是(A)19.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段. 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x≤24)的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？解：(1)设线段AB 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b(k 1≠0). ∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10. ∴线段AB 的函数关系式为y ＝2x ＋10(0≤x＜5). ∵点B 在线段AB 上，且当x ＝5时，y ＝20， ∴点B 的坐标为(5，20).∴线段BC 的函数关系式为y ＝20(5≤x＜10). 设双曲线CD 的函数关系式为y ＝k 2x(k 2≠0).∵C(10，20)，∴k 2＝200.∴双曲线CD 的函数关系式为y ＝200x (10≤x≤24).∴这天的温度y 与时间x(0≤x≤24)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋10（0≤x<5），20（5≤x<10），200x （10≤x≤24）.(2)由(1)知，恒温系统设定的恒定温度为20 °C. (3)把y ＝10代入y ＝200x 中，得x ＝20.20－10＝10(小时).答：恒温系统最多关闭10小时，才能使蔬菜避免受到伤害.。