【师说】2015-2016高中数学人教A版选修2-2习题：全册检测

(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
高二理科数学周末辅导
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数2＝()
A．－3－4iB．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析：2＝＝－3－4i.
答案：A
解析：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m,1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且
f′(x)＝(x－a)(3x－a))
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝.
因为x＝a时，f(a)＝0≠－4，
所以f＝y极小＝－4，即a3＝－4，a＝－3.
所以x2＋px＋q＝(x＋3)2，所以p＝6，q＝9.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f()的值是__________．
解析：∵z －z ＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i，
∴＝4－3i.
∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝＝4＋3i.
答案：4＋3i
14．设函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则a＋b的值为______．
解析：函数y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0处取得极值，得x＝0是导函数2ax＋b＝0的解，则b＝0，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，得2a＋b＝2，所以a＝1，a＋b＝1.
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
解析：由题设条件知
所以所以
所以f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f是极大值．
答案：A
10．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是()
A．[－2,2] B．[，]
答案：B
4．下面几种推理中是演绎推理的为()
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
18．(本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积；
C．y′＝3(sinx2)2cosx2
D．y′＝6sinx2cosx2
3．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)．则f′(0)等于()
A．0 B．－4
C．－2 D．2
4．下面几种推理中是演绎推理的为()
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
答案：1
15．由曲线y＝(x－2)2＋1，横坐标轴及直线x＝3，x＝5围成的图形的面积等于__________．
解析：S＝[(x－2)2＋1]dx
＝(x2－4x＋5)dx
＝＝.
答案：
16．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m要使f(x)是R上的单调函数，
19. (本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－1.5，c＝－18.
∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.
当x＞时，y′＞0，
∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
答案：D
9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的()
答案：A
3．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)．则f′(0)等于()
A．0 B．－4
C．－2 D．2
解析：因为f(x)＝x2＋2x·f′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(0)＝2f′(1)．因为f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，故f′(0)＝－4.
15．由曲线y＝(x－2)2＋1，横坐标轴及直线x＝3，x＝5围成的图形的面积等于__________．
16．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
C．[，2] D．[，2]
解析：∵f′(x)＝sinθx2＋cosθx，f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin，
∵θ∈，∴θ＋∈.
∴sin∈.
∴2sin∈[，2]．
答案：D
11．设m＝exdx，n＝dx，则m与n的大小关系为()
A．m＜nB．m≤n
C．m＞nD．m≥n
解析：m＝exdx＝ex＝e－1＞n＝dx＝lnx＝1.
A．192B．202
C．212D．222
6．已知函数f(x)＝asin2x－sin3x(a为常数)在x＝处取得极值，则a等于()
A．0B．1
C.D．－
7．若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则有()
A．f(a)＞f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)＜f(b) D．f(a)·f(b)＞1
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是()
答案：C
5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()
A．192B．202
C．212D．222
解析：归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝2＝212.
答案：C
6．已知函数f(x)＝asin2x－sin3x(a为常数)在x＝处取得极值，则a等于()
A．[－2,2]B．[，]
C．[，2]D．[，2]
11．设m＝exdx，n＝dx，则m与n的大小关系为()
A．m＜nB．m≤n
C．m＞nD．m≥n
12．已知函数y＝f(x)＝x3＋px2＋qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小＝－4，那么p，q的值分别为()
A．p＝3，q＝8B．p＝6，q＝8
C．p＝6，q＝9D．p＝4，q＝9
高二理科数学周末辅导
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数2＝()
A．－3－4iB．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
2．函数y＝(sinx2)3的导数是()
A．y′＝3xsinx2·sin2x2
B．y′＝3(sinx2)2
须使Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
答案：m≥
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
2．函数y＝(sinx2)3的导数是()
A．y′＝3xsinx2·sin2x2
B．y′＝3(sinx2)2
C．y′＝3(sinx2)2cosx2
D．y′＝6sinx2cosx2
解析：y′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，故选A.
∴f(x)在(0，e)上为增函数．
∴f(a)＜f(b)．
答案：C
8．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是()
A．(－∞，－2] B.