无穷集合的比较
无穷级数的比较判别法的反例
无穷级数的比较判别法的反例无穷级数是数学中一个重要的概念，它包含了无限多个数相加或相乘的结果。
在研究无穷级数时，比较判别法是一种常用的判别方法，用于确定级数的敛散性。
然而，有时候比较判别法并不能给出准确的结论，存在一些反例。
在介绍比较判别法的反例之前，让我们先回顾一下比较判别法的基本原理。
比较判别法是通过将要研究的级数与已知敛散的级数进行比较，从而判断其敛散性。
如果待研究的级数绝对值的部分可以被一个已知敛散级数的绝对值部分控制住，那么待研究的级数就具有相同的敛散性。
然而，对于某些特殊的级数，比较判别法并不能给出正确的结论。
下面，我们将通过一个具体的反例来说明这一点。
考虑级数 S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数，调和级数是指级数的每一项都是调和数列的一项。
调和数列是指数值为倒数的数列，即第 n 项为 1/n。
调和级数在研究无穷级数时经常出现。
为了比较判别级数 S 的敛散性，我们可以考虑与另一个级数 T 进行比较。
取级数 T = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 它是一个几何级数，每一项是1/2 的幂。
几何级数在数学中有着广泛的应用。
比较级数 S 和 T 的敛散性时，我们可以发现 T 的每一项都大于 S 的对应项，因为对于任意正整数 n，1/n > 1/(2^n)。
根据比较判别法，我们可以得出结论，如果 T 收敛，那么 S 也应该收敛。
然而，事实却是相反的。
我们知道，几何级数 T 的和为 2，即 T = 2。
而调和级数 S 是一个发散的级数，它的和无穷大。
这与比较判别法的结论相矛盾。
这个反例表明，比较判别法并不是万能的，它并不能适用于所有情况。
对于特殊的级数，比较判别法的结论可能是错误的。
因此，在研究无穷级数时，我们需要综合运用不同的判别法，结合特定的级数性质进行分析。
在实际应用中，我们需要根据具体问题来选择适用的方法和工具，不能仅仅依赖于单一的判别法。
从“无穷集合比较”探究学生的知识建构
Ａｂ ｔａ ｔ Ｃ ｎｔｕ ｔ ｉｍ ｉｋ ｎ ｗ ｅ ｇ ｓｃ ｎｔｕ ｔｄ ｉｔｒａ ｙ，ａ ｄｌａｎｎ ｒｃ ｓ ｆｋ ｏ ｌｄ ｅｃ ｎ ｓｒ ｃ ： ｏ ｓｒｃｉ ｓ ｔ ｎ ｓｋ ｏ ｌｄ ｅｉ ｏ ｓｒｃｅ ｅ ｌ ｖ ｈ ｎ ｎ ｌ ｎ ｒ ｉｇｉ ａｐ ｏｅｓｏ ｎ ｗ ｅ ｇ ｏ － ｅ ｓ
个去 情境化 的过 程 ， 一个 从 对 象 到类 属 或 结 是
构 的线性过程。Ｇ ｏｓ ｏｄｏ ｎ—Ｅｐ 则在 问题 解决 ｓｙ 过程中观察抽象 ， 研究发现抽象依赖于解决者的 个体经验 ， 这样 的一种观点让理论家认识到抽象 过程 中情境的重要性 ， 学生 的经验 、 具的使用 工 以及社会互动等都是影 响抽象过程 的因素。Ｖ — ｙ ｇｔ ｙ 特别指出单纯个体行为的学习注定是失 ｏ ｋ ｓ 败 的 ， 在 “ 近 发 展 区 ” 念 中 就 清 晰地 指 出 他 最 概
ｏ ａｎｎ ｎ ｉ ｎ ｎ ｎ ｃｉｉ ．Ｔ ｅａｔ ｌ ｂ ｅｖ ｓｔｅｓ ｄ ｎｓ ｎ ｗ ｅ ｇ ｏ ｓｒｃｉｎｉ ｉｗ ｆ“ ｏ ａｉ ｆ ｅｒ ｉｇｅ ｖｒ ｍｅ ｔ ｄａ ｔ ｔ ｌ ｏ ａ ｖｙ ｈ ｒｉ ｅｏ ｓｒｅ ｔ ｅ ｔ’ｋ ｏ ｌｄ ｅｃ ｎｔｕ ｔ ｎｖｅ ｏ ｃ ｍｐ ｒ ｃ ｈ ｕ ｏ —
ｔ ｎ ｈ ａ ｓｔ ａ ，ｎ ｗ ｔｅ ｔ ａ ｏ ｓ ｕ ｔ ｎ ｍ ｇ ｔｂ ｓａ ｌ ｈ ｄ ｔｒｕ ｈ ａ ｏ ｅ ｗ ｙ Ｔ ｅｐ ｐ ｒａｓ ｉｅ ｉ ．Ｔ ｔｉ ｏ ｓｙ ｅ ｍａ ｍａｉｌ ｃ ｎｔ ｃｉ ｈ ｅ ｅｔｂｉ ｅ ｈｏ ｇ ｂ ｖ ａ ． ｈ ａ ｅ ｏ ｇｖ ｓ ｏ ｈ ｃ ｒ ｏ ｉ ｓ ｌ
数学分析教案：高中集合的极限与无穷
数学分析教案：高中集合的极限与无穷引言数学的分析领域是对数学概念和理论的深入研究，其中涉及到很多重要的概念，例如极限、微积分等等。
在高中阶段学习数学分析时，我们需要了解集合的极限与无穷的概念，这是掌握数学分析的基础知识之一。
本文将介绍数学分析教案：高中集合的极限与无穷的概念，详细阐述其定义、性质、应用等方面的知识，让读者全面、深入地理解此概念，从而在未来的学习中有更好的应用。
二、集合的极限1.定义集合的极限是指在集合中的元素随着自变量的变化而趋近于某个值。
这个值可以是实数、复数或者无穷大。
举个例子来说，我们可以通过对以下集合的分析来理解其极限：A={1，2，3，4，5，6，7}如果我们取自变量n=3，那么随着n的不断增加，集合中的元素趋近于4。
于是我们可以说，集合A的极限是4。
2.性质（1）唯一性：当集合中元素趋近于某个值时，其极限是唯一的。
（2）单调性：如果集合中元素是单调递增或递减的，那么它的极限是它的最大或最小值。
（3）保号性：如果集合中元素都是正数或负数，那么它的极限也是正数或负数。
3.应用集合的极限在实际生活中有很多应用，其中最常见的是在计算机领域和工程学中。
例如在计算机科学的图像处理中，常用极限来计算颜色渐变的变化速度，从而达到更加流畅和自然的效果。
在工程学中，人们可以利用极限来计算物体的变形和材料的强度等问题，在实践中有着非常广泛的应用。
三、集合的无穷1.定义集合的无穷是指当集合中的元素无限增大或无限减小时，其极限趋于无穷大或无穷小。
在数学中，我们通常用符号“∞”来表示无穷大，用符号“-∞”来表示无穷小。
2.性质（1）加减法：无穷大加（减）任何一个实数或复数仍是无穷大，无穷小加（减）任何一个实数或复数仍是无穷小。
（2）乘法：无穷大乘以任何一个正实数、负实数或复数仍是无穷大，无穷小乘以任何非零实数或复数仍是无穷小。
（3）除法：无穷大除以任何一个正数或复数仍是无穷大，无穷小除以任何非零实数或复数仍是无穷小。
无穷集合势的比较
首先回忆一下有限集是怎么比较的。
两个**,A={0,1},B={2,3},哪个大(或者说哪个多)?答案自然是一样多。
因为它们都有两个元素,或者说它们之间是一一对应的(0和2,1和3对应)。
以此为出发点,我们可以定义两个**的大小比较-**的势(cardinality)。
定义:称两个**等势如果这两个**之间有双射(即是单射又是满射)。
记号:用|A|表示**A的势。
A,B等势记作|A|=|B|。
引理1:等势是一个等价关系(即满足 1.|A|=|A|,2.|A|=|B|推出|B|=|A|,3.若|A|=|B|,|B|=|C|,则|A|=|C|)。
证明:以3为例,|A|=|B|,则有一个双射f: A->B。
|B|=|C|,则有一个双射g: B->C,则g,f 的复合g?f (x)=g(f(x))是从A到C的双射。
定义了什么是两个**一样大,再回过头来看看什么是一个**比另一个**大。
考虑A={0,1}, B={2,3,4},则B大,因为A有2个元素B有3个,或者说把它们一个一个的拿出来,A拿完了,B还有剩下。
但是,这种看法在有限时是合理的,当A,B是无限集时就不合理了。
比如自然数集N和整数集Z,有两种拿法:1. N中拿n的时候Z 中拿n,这样N中拿完了Z还有剩下,所以Z大。
2. N中拿3n的时候Z中拿n,N中拿3n+1的时候Z中拿-n,这样Z中拿完了N还有剩下,所以N大。
也就是说,对无限集来说,这种方法不是一个合理的比较大小的方法。
定义:称**A的势小于**B的势如果有从A到B的单射,但是没有从B到A的单射。
记作|A|<|B|。
也就是说,有一种拿法,A拿完了,B还有剩下,但是没有一种拿法使得,B拿完了,A还有剩下。
记号:f是从X到Y的映射,W是X的子集,则f’’W={f(x)|x∈W},即f在W上的象集。
引理2:如果有从A到B的单射f,和从B到A的单射g,则存在从A到B 的双射,即|A|=|B|。
无穷集合的比较
“悖论和自相矛盾开始同时出现，这些可能最终是康托尔的理论注定要 对数学做出的最大贡献，因为它们就在围绕无穷的逻辑和数学推理的基 础中意想不到地存在，是现在整个演绎推论中批判运动地直接启迪。我 们希望从这里能得出一个…更丰富、更“真实”—摆脱了不一致—的数 学。
上述两段摘自 E.T.贝尔：《数学精英》
集合B优势于集合A 记为 A≼•B
如果集合B优势于集合A，且B与A不等势，则称
“集合B真优势于集合A”，记为A≺•B
实数集合真优势于自然数集 例子：对任意集合A，A的幂集真优势于集合A
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB
(Cantor-Bernstein定理)
样的x, 则xB iff. xB。 因此，g不可能是满射。
康托尔悖论：不存在“一切集合的集合”。
集合的“大小”
N1 N2 N0 点 曲线
可列 我们能想象
有限
到的世界
？还有什么
我们能感觉 到的世界
“家家有本难念的经”
大脚，他有许多许多的儿子， 但他最多只能数到3。
康托尔，他有许多许多 的数，但才用了3个, 就 没有东西可以数了。
<0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, ......
1 mn
(m n)(m n 1)
l(m,n) i (m 1)
(m 1)
2 i1
2
所有的正整数与正有理数一一对应
<1,0> <2,0> <3,0> <4,0>
从一到无穷大-比较无穷数
从⼀到⽆穷⼤-⽐较⽆穷数确实存在着⼀些⽆穷⼤的数，它们⽐我们所能写出来的⽆论多长的数字都要⼤。
例如：所有的整数的个数和⼀条线上所有的⼏何点的个数，显然都是⽆穷⼤的。
难道我们能⽐较⼀下上⾯那两个⽆穷⼤的数字，哪个更⼤⼀些吗？“所有整数的个数和⼀条线上所有⼏何点的个数，究竟哪个更⼤些？”－－这个问题有意义吗？乍⼀看，提这个问题可真是头脑发昏，但是，著名数学家康托尔（Georg Cantor）⾸先思考了这个问题。
因此，他确实可被称为“⽆穷⼤数算术”的奠基⼈。
当我们要⽐较⼏个⽆穷⼤的数的⼤⼩时，就会⾯临这样的⼀个问题：这些数既不能读出来，也⽆法写出来，该怎样⽐较呢？这下⼦，我们⾃⼰可有点像⼀个想要弄清⾃⼰的财物中，究竟是玻璃珠⼦多，还是铜币多的原始部族⼈了。
那些⼈只能数到三。
难道他会因为数不清⼤数⽽放弃⽐较珠⼦和铜币数⽬的打算？根本不会如此。
如果他⾜够聪明，他⼀定会通过把珠⼦和铜币逐个相⽐的办法来得出答案。
他可以把⼀粒珠⼦和⼀枚铜币放在⼀起，另⼀粒珠⼦和另⼀枚铜币放在⼀起，并且⼀直这样做下去。
如果珠⼦⽤光了，⽽还剩下些铜币，他就知道，铜币多于珠⼦；如果铜币先⽤光了，珠⼦却还有多余，他就明⽩，珠⼦多于铜币；如果两者同时⽤光，他就晓得，珠⼦和铜币数⽬相等。
康托尔所提出的⽐较两个⽆穷⼤数的⽅法正好与此相同：我们可以给两组⽆穷⼤数列中的各个数⼀⼀配对。
如果最后这两组都⼀个不剩，这两组⽆穷⼤就是相等的；如果有⼀组还有些没有配出去，这⼀组就⽐另⼀组⼤些，或者说强些。
这显然是合理的、并且实际上也是唯⼀可⾏的⽐较两个⽆穷⼤数的⽅法。
但是，当你把这个⽅法讨诸实⽤时，你还得准备再吃⼀惊。
举例来说，所有偶数和所有奇数这两个⽆穷⼤数列，你当然会直觉地感到它们的数⽬相等。
应⽤上述法则也完全符合，因为这两组数间可建⽴如下的⼀⼀对应的关系。
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 等等2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 等等 但是，且慢。
比较无限集合中元素个数的方法(一)
比较无限集合中元素个数的方法(一)比较无限集合中元素个数的方法引言比较无限集合中元素个数是数学中一个常见的问题。
在实际应用中，我们经常需要判断两个集合的大小关系。
本文将介绍一些常用的方法来比较无限集合中元素的个数，并给出每种方法的适用场景和注意事项。
方法一：1-1映射法1-1映射法是最直观的方法之一。
我们可以找到两个集合之间的一个双射（即一一映射）关系，通过比较元素的个数来判断集合的大小关系。
•适用场景：当两个集合的元素可以一一对应时，可以使用1-1映射法。
•注意事项：需要承认无限集合中的元素个数可能大于有限集合的元素个数，即使它们之间存在双射关系。
方法二：有限集合转化法有限集合转化法通过将无限集合转化为有限集合，并比较转化后的有限集合的大小来判断原始无限集合的大小。
•适用场景：当两个集合中至少有一个集合是有限集合时，可以使用有限集合转化法。
•注意事项：需要确保转化过程中不会引入新的重复元素。
方法三：势的比较法势的比较法通过比较集合的势（也称为基数、大小或个数）来判断集合的大小关系。
在集合论中，我们使用无穷基数（Infinity cardinality）来表示无限集合的势。
•适用场景：当两个集合都是无限集合时，可以使用势的比较法。
•注意事项：势的比较法只能给出集合大小的相对关系，无法具体给出两个集合中元素的个数。
方法四：引理的运用法引理的运用法通过引入一些具体的数学引理来比较无限集合中元素的个数。
例如，卡西诺定理（Cantor-Bernstein定理）可以用来比较两个集合的势。
•适用场景：当无限集合的元素具有一些特殊性质时，可以尝试使用引理的运用法。
•注意事项：需要确保所使用的引理合理有效，并正确应用于对比的无限集合。
方法五：抽象推理法抽象推理法是一种基于逻辑推理的方法。
通过进行分析和推理，可以从给定的条件和定义中得出结论，从而比较无限集合的大小关系。
•适用场景：当其他方法无法适用或不够准确时，可以尝试使用抽象推理法。
从“无穷集合比较”探究学生的知识建构
从“无穷集合比较”探究学生的知识建构曹荣荣【期刊名称】《贵州师范学院学报》【年(卷),期】2011(027)009【摘要】Constructivism thinks knowledge is constructed internally, and learning is a process of knowledge construction, social negotiation and practical participation. However, the core point of abstraction in context thinks that ＂knowledge is coming from action＂. Accordingly, the teaching based on the theory stresses the importance of design of learning environment and activity. The article observes the students＇ knowledge construction in view of ＂compari- son of infinite sets＂. The results show that only constructed knowledge is a perfect and complete process of abstrac- tion. That is to say, new mathematical construction might be established through above way. The paper also gives some suggestions about the design of teaching.%建构主义学习观认为知识是由主体内部建构的，它强调学习是一种知识建构、知识的社会协商和社会实践参与过程，而情境认知理论的核心观点则认为“知识来源于活动”，基于情境认知的教学更强调学习环境以及学习活动设计的提供。
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数学史上的“三次危机”
第一次危机
– 芝诺悖论(关于运动的四个悖论，如“飞箭不动”)， 导致数学真正严谨性的开始(公理化)
第二次危机
– 微积分悖论(无穷小量等于零吗？“那逝去的量的鬼 魂”)，导致极限论的诞生
第三次危机
– 有关一切集合的集合的悖论，导致集合论公理化。
集合的优势关系
如果存在从集合A到集合B的单射，则称“集合 B优势于集合A”
直线上的点集与平面上的点集等势
0.a1a2a3....... 0.b1b2b3......
0.a1b1a2b2a3b3.....
这实际上意味着直线上的点与 任意有限维空间的点“一样 多”！
康托尔定理
任何集合与其幂集不等势 即：A≉(A)
– 证明要点： 设g是从A到(A)的函数，构造集合B如下： B={x| xA, 但xg(x)} 则B(A)，但不可能存在xA，能满足g(x)=B，因为，如果有这
1 mn
(m n)(m n 1)
l(m,n) i (m 1)
(m 1)
2 i1
2
所有的正整数与正有理数一一对应
<1,0> <2,0> <3,0> <4,0>
...
... <0,1> <1,1> <2,1> <3,1>
... <0,2> <1,2> <2,2>
... <0,3> <1,3>
<0,4>
<0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, ......
1 mn
(m n)(m n 1)
l(m,n) i (m 1)
(m 1)
2 i1
2
有穷与无穷：差别不仅是数量
伽利略悖论：
– 传统公理：“整体大于部分” – 伽利略发现：{1,2,3,…}与{12,22,32,…}一一对应。
集合的等势关系
等势关系的定义：
– 如果存在从集合A到集合B的双射，则称集合A与B等 势。
– 集合A与B等势记为：AB, 否则A≉B – AB意味着：A，B中的元素可以“一一对应”。
– 要证明AB，找出任意一个从A到B的双射即可。
所有的正整数与正有理数一一对应
...
... ... ...
<0,0>, <0,1>, <1,0>, <0,2>, <1,1>, <2,0>, <0,3>, ......
“宇宙旅馆”
啊？客满啦？
没关系，我让现 在住在 k 号房间 的客人移到 k+1 号。你就住进第 1号房间吧！
证明无限集等势的例子
(0,1)与整个实数集等势
–
双射：f
:
(0,1)R
:
f
(x)
=tg(x-
)
2
对任意不相等的实数a,b(a<b), [0,1]与[a,b]等势
– 双射： f : [0,1][a,b]: f (x) =(b-a)x+a
集合B优势于集合A 记为 A≼•B
如果集合B优势于集合A，且B与A不等势，则称
“集合B真优势于集合A”，记为A≺•B
实数集合真优势于自然数集 例子：对任意集合A，A的幂集真优势于集合A
集合优势关系的性质
自反性：恒等函数 若A≼•B，且B≼•A，则AB
(Cantor-Bernstein定理)
传递性：单射的复合仍然是单射
因此，集合优势关系是偏序关系
– 其实，优势关系是全序
优势关系的反对称性用于证明等势
有时候找双射不太容易
– 证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]。
关键是如何安排在[0,1]中但不在(0,1)中的0和1。
想等一象势种那的证个子“集法宇(一：宙定旅有f 馆()x{”a)1,。a2我,a2123们12,.可..}以, “腾取出(0,”1)的前一两个个xx与位0自置1 然安数排集0和合1
无穷集合的大小比较
伽利略悖论
1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题：
N+={ 1, 2, 3,…, n,…} N(2)={1, 4, 9,…, n2,…}
我们怎么比较集合的大小
“数得清”的我们就数元素个数。 “无穷”的怎么办？
部分 = 整体
双射概念
双射概念（一一对应法则）：对于集合A中的每 一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应， 反之集合B中的每一个元素在集合A中都有唯一 的一个元素与之对应，则称集合A、B之间存在 一个双射，即一一对应法则。
1
2n x
2
x
1 2n
,
n
1,2,3...
x为其它值
优势关系的反Βιβλιοθήκη 称性用于证明等势 (续)证明实数集的两个子集(0,1)和[0,1]。 分别找两个一对一的映射往往比找一个双射容易
f : (0,1) [0,1]: f (x) x
g :[0,1] (0,1) : f (x) 1 x 注意：f ([0,1]) [1 , 3]
(这实际上意味着：任意长的线段与任意短的线段等势)
实数集不是可列集
注意：(0,1)与实数集合等势 (0,1)不是可列集
– “对角线证明法” 假设(0,1)中的元素可以线性排列： 0.b11b12b13b14… 0.b21b22b23b24… 0.b31b32b33b34… 0.b41b42b43b44… ⋮ 则0. b1b2b3b4…（bi≠bii）不含在上述序列中
有限集与无限集
S是有限集合，iff. 存在自然数n，使得S与{1,2,…n}等势 S不是有限集合(即：无限集)，iff. 存在S的真子集S’，使
得S与S’等势 S一定包含一个与自然数集合等势的子集M =
{a1,a2,a3,…} (这实际上意味着：自然数集是“最小的”无限
集)
令S’=S-{a1}，可以定义ƒ:SS’如下： 对于任意xM, ƒ(ai)= ai+1； 对于任意xS-M, ƒ(x)= x 显然这是双射，即S与其真子集S’等势 假设S是有限集，令|S|=n, 则给S任意的真子集S’, 若 |S’|=m，必有m<n, 因此从S ’到S的任一单射不可能是 满射。
样的x, 则xB iff. xB。 因此，g不可能是满射。
康托尔悖论：不存在“一切集合的集合”。
集合的“大小”
N1 N2 N0 点 曲线
可列 我们能想象
有限
到的世界
？还有什么
我们能感觉 到的世界
“家家有本难念的经”
大脚，他有许多许多的儿子， 但他最多只能数到3。
康托尔，他有许多许多 的数，但才用了3个, 就 没有东西可以数了。