第八章：稳恒电流的磁场(二)

一. 选择题[ B ]1. 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽度为D 、磁感强度为B(方向垂直纸面向外)的均匀磁场区域，则该电子出射方向和入射方向间的夹角为 (A) peBD 1cos-=α． (B) p e B D 1s i n-=α．(C) epBD 1sin-=α． (D) epBD 1cos-=α．提示：[ D ]2. A 、B 两个电子都垂直于磁场方向射入一均匀磁场而作圆周运动．A 电子的速率是B 电子速率的两倍．设R A ，R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A ，T B 分别为它们各自的周期．则 (A) R A ∶R B =2，T A ∶T B =2． (B) R A ∶R B 21=，T A ∶T B =1．(C) R A ∶R B =1，T A ∶T B 21=． (D) R A ∶R B =2，T A ∶T B =1．提示：[C ]3. 如图所示，在磁感强度为B的均匀磁场中，有一圆形载流导线，a 、b 、c 是其上三个长度相等的电流元，则它们所受安培力大小的关系为(A) F a > F b > F c ． (B) F a < F b < F c ．(C) F b > F c > F a ． (D) F a > F c > F b ．提示：[A ]4. 如图，无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面内，若长直导线固定不动，则载流三角形线圈将(A) 向着长直导线平移． (B) 离开长直导线平移． (C) 转动．(D) 不动．提示：[ D ]5. 两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 (A)RrI I 22210πμ． (B)Rr I I 22210μ．(C)rRI I 22210πμ． (D) 0．提示：二. 填空题1. 如图所示，一半径为R ，通有电流为I 的圆形回路，位于Oxy 平面内，圆心为O ．一带正电荷为q 的粒子，以速度v沿z 轴向上运动，当带正电荷的粒子恰好通过O 点时，作用于圆形回路上的力为_0_，作用在带电粒子上的力为_0_．IO rR I 1I 22. 如图，在粗糙斜面上放有一长为l 的木制圆柱，已知圆柱质量为m ，其上绕有N 匝导线，圆柱体的轴线位于导线回路平面内，整个装置处于磁感强度大小为B 、方向竖直向上的均匀磁场中．如果绕组的平面与斜面平行，则当通过回路的电流I =()NlB mg2/时，圆柱体可以稳定在斜面上不滚动．提示：3. 磁场中某点处的磁感强度为)SI (20.040.0j i B-=，一电子以速度j i 66100.11050.0⨯+⨯=v (SI)通过该点，则作用于该电子上的磁场力F 为)(10814N k -⨯．(基本电荷e =1.6×10-19C)4. 如图，一个均匀磁场B 只存在于垂直于图面的P 平面右侧，B的方向垂直于图面向里．一质量为m 、电荷为q 的粒子以速度v射入磁场．v在图面内与界面P 成某一角度．那么粒子在从磁场中射出前是做半径为qBmv 的圆周运动．如果q > 0时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域的面积为S ，那么q < 0时，其路径与边界围成的平面区域的面积是S qB mv -⎪⎪⎭⎫⎝⎛2π．vPB5.如图所示，在真空中有一半径为a 的3/4圆弧形的导线，其中通以稳恒电流I ，导线置于均匀外磁场B 中，且B与导线所在平面垂直．则该载流导线bc 所受的磁力大小为aIB 2．6．氢原子中电子质量m ，电荷e ，它沿某一圆轨道绕原子核运动，其等效圆电流的磁矩大小p m 与电子轨道运动的动量矩大小L 之比=Lp m me 2.提示：三. 计算题1. 如图所示线框，铜线横截面积S =2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B 中，B的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB 段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B的大小．解：线圈的电流如图所示，才能保持平衡。

此时，对转轴oo ’的合力矩为零。

即三条边的重力矩和BC 边的安培力的力矩的矢量和为零 重力矩：αααsin sin 2sin 2mga amga mgMmg++=，其中m 为一条边的质量：as m ρ=αραsin 2sin 22sg a mga M mg ==∴BC 边的安培力的力矩：αcos Fa M =安，其中安培力IBa F =αcos 2IBaM =∴安平衡时：安MMmg=I得：)(103.92B 3T Igstg -⨯==αρ2．半径为R 的半圆线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I 1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力．解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为)2/(10r I Bπ=μ；取xOy 坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：θμsin 210R I B π=， 方向垂直纸面向里，式中θ 为场点至圆心的联线与y 轴的夹角。

半圆线圈上d l 段线电流所受的力为：l B I B l I F d d d 22=⨯=θθμd sin 2210R R I I π=θcos d d F F y =θsin d d F F x =根据对称性知： F y =0d =⎰y F而Fx 可由积分求得⎰π=x x dF F ππ=2210I I μ2210I I μ=∴半圆线圈受I 1的磁力的大小为： 2210I I F μ=， 方向：垂直I 1向右。

3. 在一回旋加速器中的氘核，当它刚从盒中射出时，其运动半径是R=32.0cm ，加在D 盒上的交变电压的频率是γ=10MHz 。

试求：(1)磁感应强度的大小；(2)氘核射出时的能量和速率(已知氘核质量m=3.35×10-27kg)解：（1）),/(1001.210103214.3222772s m R TR v⨯=⨯⨯⨯⨯===-γππ（2）)(3.1)(122,212''T c v m qqm B mqB T=-====πγγππγ)(1002.3110222'J cc v m cm E -⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-==4．如图所示，一个带有正电荷q 的粒子，以速度v平行于一均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为λ ，并载有传导电流I ．试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为r 的平行直线上？解：I 2I 1A D长直载流I 的导线在空间产生磁场：rI B πμ20=，方向垂直纸面朝内；点电荷q 在磁场中受到洛伦兹力为：,20rIqv qvB f L πμ==方向如图。

同时，线电荷密度为λ的长直导线在空间产生电场，大小为rE πλ2=，点电荷q 在电场中受到的电场力为： ,2rq qE f E πλ==方向如图。

显然，要使q 保持在一条与导线距离为r 的平行直线上运动，必须，E L f f =， 即,220rq rIqv πλπμ=解得 Iv 0μλ=5．一通有电流I 1 (方向如图)的长直导线，旁边有一个与它共面通有电流I 2 (方向如图)每边长为a 的正方形线圈，线圈的一对边和长直导线平行，线圈的中心与长直导线间的距离为a 23(如图)，在维持它们的电流不变和保证共面的条件下，将它们的距离从a 23变为a 25，求磁场对正方形线圈所做的功．解：)(122m m I A Φ-Φ=其中⎰⎰⎰⎰-=⋅=Φadr rIS d m πμ2B 101所以，πμπμ22ln 2102101a I rdr a I aam -=-=Φ⎰πμπμ223ln 21032102a I r dr a I aam -=-=Φ⎰34ln 2210πμa I I A =∴磁场对正方形线圈作正功。

[选做题]1. 两个电子以相同的速度v平行同向飞行，求两个电子相距r 时，其间相互作用的洛仑兹力的大小f B 和库仑力的大小f e 之比。

I 1I 2解：洛伦兹力22202022214,4,rv e f rev B evB B v e fB Bπμπμ=∴==⨯-=库仑力22041ref e πε=200v f f eB με=∴2．如图所示，两根相互绝缘的无限直导线1和2绞接于O 点，两导线间夹角为Q ，通有相同的电流I ，试求单位长度导线所受磁力对O 点的力矩。

解：如图，在导线1上距离O 点为l 处截取电流元l Id，导线2在该处产生的磁场：Ql I rI B sin 22002πμπμ==，方向垂直纸面朝外；方向如图。

其大小所受安培力为：,sin 2,2022Ql dl I IdlBdF B l Id F d l Id πμ==⨯=∴方向垂直纸面朝内。

其大小为点的力矩为：对,sin 2,O 20Qdl I l dF dM F d l M d F d πμ=⋅=⨯=根据⎰=M d M，单位长度导线所所受合力矩的方向也是垂直纸面朝内，其大小为：⎰+==12020sin 2sin 2l lQIQdl I M πμπμ同理，导线2单位长度导线所受磁力对O 点的力矩QIM sin 220πμ=，方向垂直纸面朝外。

l IdFd。