奥赛培训讲义---第三部分---《曲线运动 万有引力》

第三部分 曲线运动 万有引力第一讲 基本知识介绍一、曲线运动1、概念、性质2、参量特征二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成1、法则与对象2、两种分解的思路a 、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。

b 、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n 坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

动力学方程⎩⎨⎧=∑=∑ττn nma F ma F ，其中τa 改变速度的大小（速率），n a 改变速度的方向。

且n a = m ρ2v ，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。

定量解题一般只涉及法向动力学方程。

三、两种典型的曲线运动1、抛体运动（类抛体运动）关于抛体运动的分析，和新课教材“平抛运动”的分析基本相同。

在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。

2、圆周运动匀速圆周运动的处理：运动学参量v 、ω、n 、a 、f 、T 之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。

四、万有引力定律1、定律内容2、条件a 、基本条件b 、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展——“剥皮法则”c 、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加五、开普勒三定律天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。

六、宇宙速度、天体运动1、第一宇宙速度的常规求法2、从能量角度求第二、第三宇宙速度万有引力势能E P = －G rm m 21 3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识第二讲 重要模型与专题一、小船渡河物理情形：在宽度为d 的河中，水流速度v 2恒定。

岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v 1渡河，但船头的方向可以选择。

试求小船渡河的最短时间和最小位移。

模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v 1和水相对河岸的速度v 2合成。

可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v 1的方向），速度矢量合成如图1（学生活动）用余弦定理可求v 合的大小v 合=θ-+cos v v 2v v 212221（学生活动）用正弦定理可求v 合的方向。

令v 合与河岸下游夹角为α，则α= arcsin θ-+θcos v v 2v v sin v 21222111、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。

针对这一思想，有以下两种解法解法一： t = 合合v S其中v 合可用正弦定理表达，故有 t = αθαsin sin v sin /d 1 = θsin v d 1解法二： t = 11v S = 1v sin /d θ = θsin v d 1 此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x 、y ，然后先将v 1分解（v 2无需分解），再合成，如图2所示。

而且不难看出，合运动在x 、y方向的分量v x 和v y 与v 1在x 、y 方向的分量v 1x 、v 1y 以及v 2具有以下关系v y = v 1yv x = v 2 - v 1x由于合运动沿y 方向的分量S y ≡ d ，故有解法三： t = y yv S = y1v d = θsin v d 1 t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论当θ= 90°时，渡河时间的最小值 t min = 1v d （从“解法三”我们最容易理解t 为什么与v 2无关，故t min 也与v 2无关。

这个结论是意味深长的。

）2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即S 合 = αsin d = θsin v v d 1合= θθ-+sin v con v v 2v v d 1212221 但S 合（θ）函数比较复杂，寻求S 合的极小值并非易事。

因此，我们可以从其它方面作一些努力。

将S 合沿x 、y 方向分解成S x 和S y ，因为S y ≡ d ，要S 合极小，只要S x 极小就行了。

而S x （θ）函数可以这样求——解法一： S x = v x t =（v 2 - v 1x ）y yv S =（v 2 – v 1cos θ）θsin v d 1 为求极值，令cos θ= p ，则sin θ= 2p 1-，再将上式两边平方、整理，得到0v S v d p d v v 2p )d S (v 212x 222221222x 21=-+-+这是一个关于p 的一元二次方程，要p 有解，须满足Δ≥0 ，即42221d v v 4≥)v S v d )(d S (v 4212x 22222x 21-+整理得 212x v S ≥)v v (d 21222-所以，S xmin =21221v v v d - ，代入S x （θ）函数可知，此时cos θ= 21v v 最后，S min = 2y 2min x S S += 12v v d 此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。

结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v 2＜v 1时，S min ＜d ，这显然与事实不符。

（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。

解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析从图2可知，S y 恒定，S x 越小，必有S 合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v 合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。

我们可以通过v 1与v 2合成v 合矢量图探讨v 合与下游河岸夹角的最大可能。

先进行平行四边形到三角形的变换，如图3所示。

当θ变化时，v 合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示。

从图4不难看出，只有当v 合和虚线半圆周相切时，v 合与v 2（下游）的夹角才会最大。

此时，v 合⊥v 1 ，v 1、v 2和v 合构成一个直角三角形，αmax = arcsin 21v v并且，此时：θ= arccos 21v v 有了αmax 的值，结合图1可以求出：S 合min =12v v d 最后解决v 2＜v 1时结果不切实际的问题。

从图4可以看出，当v 2＜v 1时，v 合不可能和虚线半圆周相切（或αmax = arcsin 21v v 无解），结合实际情况，αmax 取90°即：v 2＜v 1时，S 合min = d ，此时，θ= arccos 12v v 结论：若v 1＜v 2 ，θ= arccos 21v v 时，S 合min = 12v v d 若v 2＜v 1 ，θ= arccos12v v 时，S 合min = d 二、滑轮小船物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v 1和小船速度v 2的大小关系。

模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v 1 ，考查绳与船相连的端点运动情况，v 1和v 2必有一个运动的合成与分解的问题。

（学生活动）如果v 1恒定不变，v 2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。

结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v 2→v 1 。

当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v 2＞v 1 。

故“船速增大”才是正确结论。

故只能引入瞬时方位角θ，看v 1和v 2的瞬时关系。

（学生活动）v 1和v 2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？针对如图6所示的两种典型方案，初步评说——甲图中v 2 = v 1cos θ，船越靠岸，θ越大，v 2越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。

错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。

仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律——合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。

解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v 2合运动，端点参与绳子的缩短运动v 1和随绳子的转动v 转 ，从而肯定乙方案是正确的。

即：v 2 = v 1 / cos θ解法二：微元法。

从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB 是绳的初识位置，AC是绳的末位置，在AB 上取AD =AC得D 点，并连接CD 。

显然，图中BC 是船的位移大小，DB 是绳子的缩短长度。

由于过程极短，等腰三角形ACD 的顶角∠A →0，则底角∠ACD →90°，△CDB 趋于直角三角形。

将此三角放大成图7（乙），得出：S 2 = S 1 / cos θ 。

鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S 2 = v 2 t ，S 1 = v 1 t 。

所以：v 2 = v 1 / cos θ三、斜抛运动的最大射程物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为v 0 ，方向可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。

模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。

设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的x 、y 轴，将运动学参量沿x 、y 分解。

针对抛出到落回原高度的过程0 = S y = v 0y t +21（-g ）t 2 S x = v 0x t解以上两式易得：S x = g v 20sin2θ结论：当抛射角θ= 45°时，最大射程S xmax = gv 20 （学生活动）若v 0 、θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。

运动学求解——考查竖直分运动即可；能量求解——注意小球在最高点应具备的速度v 0x ，然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。

结论：H m = g2sin v 220 。

四、物体脱离圆弧的讨论物理情形：如图8所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一小球。

当小球在最低点时，给球一个v o = 2gL 的水平初速，试求所能到达的最大高度。

模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。

能量关系的运用，也是对常规知识的复习。

（学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点C ？通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过B 点、但不能到达C 点（v C ≥gL ），即小球必然在BC 之间的某点脱离圆弧。

（学生活动）小球会不会在BC 之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC 之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度v D 不可能为零），但用动力学的工具分析，是本模型的重点——在BC 阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9所示。