人教版八年级下册数学《期中测试题》(含答案)

人 教 版 数 学 八 年 级 下 学 期期 中 测 试 卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题：(每题4分,共48分)1. 如图,在平行四边形ABCD 中,∠A:∠B ＝3:2,则∠D 的度数为( )A. 60B. 72°C. 80°D. 108° 2. 若分式21x x +-有意义,则x 的取值范围是( ) A. x≥1 B. x≠1 C. x≥﹣2 D. x≠﹣23. 下列是因式分解的是( )A.211(2)22ab ab ab b -=- B (12x+y )2＝2214x xy y ++ C. x 2﹣3x+1＝x (x ﹣3)+1D. x 2(4x ﹣2y )＝4x 3﹣2x 2y4. 下列四个命题正确的是( )A. 菱形的对角线相等B. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形5. 如图,已知AB ＝DC ,AD ＝BC ,E ,FDB 上两点且AE ∥CF ,若∠AEB ＝115°,∠ADB ＝35°,则∠BCF ＝( )A. 150°B. 40°C. 80°D. 90°6. 方程x2﹣6x+1＝0经过配方后,其结果正确的是( )A. (x﹣3)2＝8B. (x+3)2＝35C. (x﹣3)2＝35D. (x+3)2＝87. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根8. 如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,若AC＝6,菱形ABCD的面积为24,则OE长为( )A. 2.5B. 3.5C. 3D. 49. 如图,E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点,且AE＝AB,F为BE上任意点,FG⊥AC于点G,FH⊥AB于点H,则FG+FH的值是( )A.22B. 2C. 2D. 110. 已知11x y-=3,则5-5--x xy yx xy y+值为( )A. -72B.72C.27D. -2711. 从﹣2,0,1,2,3中任取一个数作为a,既要使关于x一元二次方程ax2+(2a﹣4)x+a﹣8＝0有实数解,又要使关于x的分式方程211x a ax x++--＝3有正数解,则符合条件的概率是( )A. 15B.25C.35D.4512. 如图所示,在矩形ABCD 中,BC ＝2AB ,∠ADC 的平分线交边BC 于点E ,AH ⊥DE 于点H ,连接CH 并延长交边AB 于点F ,连接AE 交CF 于点O ,给出下列命题：①∠AEB ＝∠AEH ；②DH ＝22EH ；③HO ＝12AE ；④FH ＝CH ；⑤BC ﹣BF ＝2EH ．其中正确命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二.填空(每题3分,共24分)13. 分解因式：2ab ﹣8b 2＝_____．14. 一个多边形的每一个内角为150°,那么这个多边形是_____边形． 15. 若代数式(2)(1)1x x x --- 的值为零,则x 的取值应为_____． 16. 如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,DH ⊥AB 于点H ,连接OH ,∠CAD ＝20°,则∠DHO 的度数是_____．17. 若分式方程24m x -﹣22x ＝12x -有增根,则m 的值是_____． 18. 若实数x 满足x+1x =3,则242-231x x x ++的值是_____ 19. 如图,四边形ABCD 为矩形纸片,对折纸片,使得AD 与BC 重合．得到折痕EF ,把纸片展平后,再把纸片沿着BM 折叠,使得点A 与EF 上的点N 重合,在折痕BM 上取一点P ,使得BP ＝BA ,连接NP 并延长,交BA 的延长线于点Q ．若AB ＝3,则AQ 的长为_____．20. 如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,过B作BG⊥AE于G,延长BG至点F使∠CFB＝45°,延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点,BM＝5,则FD的长为_____．三、解答题.(21每小题20分,共20分)21. (1)因式分解：x3﹣6x2y+9xy2；(2)分式计算：11aa+-﹣221a aa+-+1；(3)解方程：233xx x+-+＝1；(4)解方程：3x2﹣6x+1＝0．22. 先化简：22244x xx x--+÷(x+3+93x-)﹣1x,然后在0,1,2,3中选择一个你喜欢的数作为x值,代入求值．23. 证明题：如图,在▱ABCD中,点E、F对角线AC上两点,且AE＝CF．求证：∠BEF＝∠DFE．24. 我市为了解九年级学生身体素质测试情况,随机抽取了本市九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本,按A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下统计图表,如图,请你结合图表所给信息解答下列问题：等级A(优秀) B(良好) C(合格) D(不合格)人数200 400 280(1)请将上面表格中缺少数据补充完整；(2)扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是；(3)若我市九年级共有50000名学生参加了身体素质测试,试估计测试成绩合格以上(含合格)的人数为人；(4)若甲校体育教师中有3名男教师和2名女教师,乙校体育教师中有2名男教师和2名女教师,从甲乙两所学校的体育教师中各抽取1名体育教师去测试学生的身体素质,用树状图或列表法求刚好抽到的体育教师是1男1女的概率．25. 已知函数y＝a|x﹣2|﹣32x+b(a、b为常数),当x＝4时,y＝﹣4；当x＝﹣2时,y＝0,请对该函数及其图象进行如下探究：(1)a＝,b＝．(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)已知函数y＝14x2﹣34x的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式a|x﹣2|﹣3 2x+b≤14x2﹣34x的解．26. 班主任准备到“善雅”文具店购买两种笔记本作为班上学生半期考试的奖品,他已经看好了两种笔记本,其中、“花语”笔记本的单价是“拾梦”笔记本的单价的1.5倍,花120元购买“拾梦”的数量比花150购元买“花语”的数量多5本．(1)求该文具店售出的“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格分别为每本多少元?(2)据店主统计：4月份该文具店“花语”笔记本销售了200本,“拾梦”笔记本销售了300本．5月份是文具销售旺季,各个文具店促销活动频繁,“善雅”文具店决定5月份两种笔记本的单价均降a%,结果“花语”笔记本的销量比4月份增加了50%,“拾梦”笔记本的销量比4月份增加了5a 本,两种笔记本的销售额一共是2720元,求a 的值．27. 阅读下列材料,解决材料后的问题；材料一：2020年一场突如其来的疫情席卷全球．疫情期间,日本在援华物资上写着“山川异域,风月同天”,这些诗词在疫情最艰难的时期给我们带来了深深感动．为了纪念这份友谊,对于实数x ,y ,我们将x 与的y “风月同天数”用f (x ,y )表示,定义为f (x ,y )＝2x y +, 例如：5与8的风月同天数为f (5,8)＝582+＝12． 材料二：对于实数x ,用[x]表示不超过实数x 的最大整数,即满足条件[x]≤x ＜[x]+1,例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2,[0]＝[0.7]＝0(1)由材料一知：x 2+2与1的“风月同天数”可以用f (x 2+2,1)表示,已知f (x 2+2,1)＝4,请求出x 的值：(2)已知[12a ﹣1]＝﹣2,请求出实数a 的取值范围； (3)已知实数x ,m ,且满足条件x ﹣2[x]＝73,请求f (x ,m 2﹣32m )的最小值． 28. ▱ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,且AD ＝AE ．(1)如图1,连结DE ,过A 作AF ⊥AB 交ED 于F ,在AB 上截取AG ＝AF ,连结DG ,点H 为GD 中点,连接AH ,求证：4AH 2+DF 2＝2AF 2；(2)如图2,连结BD ,把△ABD 沿直线BD 方向平移,得到△A ′B ′D ′,若CD ＝10,EC ＝2,求在平移过程中A'C+B'C 的最小值．答案与解析一、选择题：(每题4分,共48分)1. 如图,在平行四边形ABCD中,∠A:∠B＝3:2,则∠D的度数为( )A. 60B. 72°C. 80°D. 108°[答案]B[解析][分析]由平行四边形的性质可得AB∥CD,∠B=∠D.设∠A=3x,则∠B=2x,∠A+∠B=5x=180°,继而可求出∠B的度数,∠B=∠D,继而得出答案．[详解]∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,∠B=∠D设∠A=3x,则∠B=2x,∠A+∠B=5x=180°,解得：x=36°,即∠D=∠B=2x=72°故选B．[点睛]本题考查了平行四边形的性质,难度不大,注意熟练掌握平行四边形的性质是关键．2. 若分式21xx+-有意义,则x的取值范围是( )A. x≥1B. x≠1C. x≥﹣2D. x≠﹣2 [答案]B[解析][分析]分式有意义时,分母不等于零,由此得到x﹣1≠0,解该不等式即可．[详解]解：依题意得：x﹣1≠0,解得x≠1．故选：B ．[点睛]本题主要考查分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是解题的关键．3. 下列是因式分解的是( ) A.211(2)22ab ab ab b -=- B. (12x+y )2＝2214x xy y ++ C. x 2﹣3x+1＝x (x ﹣3)+1D. x 2(4x ﹣2y )＝4x 3﹣2x 2y[答案]A[解析][分析]直接利用因式分解的意义以及整式乘法运算法则分别分析得出答案．[详解]解：A 、12ab 2﹣ab ＝12ab (b ﹣2),故此选项正确； B 、(12x y +)2＝14x 2+xy+y 2,是整式乘法运算,故此选项错误； C 、x 2﹣3x+1＝x (x ﹣3)+1,不符合因式分解的定义,故此选项错误；D 、x 2(4x ﹣2y )＝4x 3﹣2x 2y ,是整式乘法运算,故此选项错误；故选：A ．[点睛]此题主要考查了因式分解的意义以及整式乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键． 4. 下列四个命题正确的是( )A. 菱形的对角线相等B. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形[答案]C[解析][分析]对各个选项进行分析从而确定最后的答案．[详解]解：A、菱形的对角线互相垂直且平分,但是不相等,故A错误；B、一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形,故C正确；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故D错误；故选：C.[点睛]考查了判断命题的真假,以及对四边形性质与判定的综合运用,特殊四边形之间的相互关系是考查重点．5. 如图,已知AB＝DC,AD＝BC,E,F是DB上两点且AE∥CF,若∠AEB＝115°,∠ADB＝35°,则∠BCF＝( )A. 150°B. 40°C. 80°D. 90°[答案]C[解析]分析]可证明△BCF≌△DAE,则∠BCF＝∠DAE,根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数,从而得出∠BCF 的度数．[详解]解：∵AB＝DC,AD＝BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠CBF＝∠ADE,∵AE∥CF,∴∠CFB＝∠AED,∴△BCF≌△DAE,∴∠BCF＝∠DAE,∵∠AEB＝115°,∠ADB＝35°,∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB,∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°,∴∠BCF＝80°故选：C．[点睛]此题主要考查平行四边形的性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．6. 方程x2﹣6x+1＝0经过配方后,其结果正确的是( )A. (x﹣3)2＝8B. (x+3)2＝35C. (x﹣3)2＝35D. (x+3)2＝8[答案]A[解析][分析]方程常数项移到右边,两边加上9变形得到结果,即可做出判断．[详解]解：方程变形得：x2﹣6x＝﹣1,配方得：x2﹣6x+9＝8,即(x﹣3)2＝8,故选：A．[点睛]此题考查了解一元二次方程−配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根[答案]B[解析][分析]根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△＝a2+4＞0,由此即可得出方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．[详解]解：△＝a2﹣4×1×(﹣1)＝a2+4．∵a2≥0,∴a2+4＞0,即△＞0,∴方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根,故选：B．[点睛]本题考查了根的判别式,牢记“当△＞0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8. 如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,若AC＝6,菱形ABCD的面积为24,则OE长为( )A 2.5 B. 3.5 C. 3 D. 4[答案]A[解析][分析]根据菱形的性质可得OB＝OD,AO⊥BO,从而可判断OH是△DAB的中位线,在Rt△AOB中求出AB,继而可得出OE的长度．[详解]解：∵四边形ABCD是菱形,AC＝6,菱形ABCD的面积为24,∴菱形ABCD 11S=AC BD=6BD=2422⨯⨯, 解得：BD＝8,∴AO＝OC＝3,OB＝OD＝4,AO⊥BO, 又∵点E是AB中点,∴OE是△DAB的中线,Rt△AOD中,AB22OA DO+5,则OE＝12AD＝2.5．故选A．[点睛]本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理,熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．9. 如图,E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点,且AE＝AB,F为BE上任意点,FG⊥AC于点G,FH⊥AB于点H,则FG+FH的值是( )A.22B. 2C. 2D. 1[答案]B [解析] [分析]过点E作EM⊥AB,连接AF,先求出EM,由111222ABES AB EM AE GF AB FH∆=⋅=⋅+⋅,可得FG+FH＝EM,则FG+FH的值可求．[详解]解：如图,过点E作EM⊥AB,连接AF,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB＝45°,∴△AEM是等腰直角三角形,∴AM=EM∵AB＝AE＝2,∴AM2+EM2=AE2=4∴EM2,∵S△ABE＝S△AEF+S△ABF,∴111222ABES AB EM AE GF AB FH∆=⋅=⋅+⋅,∴EM＝FG+FH2, 故选：B．[点睛]此题主要考查正方形的性质综合,解题的关键是熟知正方形的性质及三角形的面积公式．10. 已知11x y-=3,则5-5--x xy yx xy y+的值为( )A. -72B.72C.27D. -27[答案]B[解析][分析]将已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算,得出x-y=-3xy,将所求式子分子第一、三项结合,提取5分解因式,分母第一、三项结合,把x-y=-3xy代入化简,即可求出值．[详解]∵113y xx y xy--==，∴y−x=3xy,即x−y=−3xy,则555()15147,()342 x xy y x y xy xy xy xyx xy y x y xy xy xy xy+--+-+-==== -------故选B.[点睛]考查分式的化简求值,注意整体代入法在解题中的应用.11. 从﹣2,0,1,2,3中任取一个数作为a,既要使关于x一元二次方程ax2+(2a﹣4)x+a﹣8＝0有实数解,又要使关于x的分式方程211x a ax x++--＝3有正数解,则符合条件的概率是( )A. 15B.25C.35D.45[答案]B [解析] [分析]先利用判别式的意义得到a≠0且△＝(2a﹣4)2﹣4a(a﹣8)0,再解把分式方程化为整式方程得到x＝34a+,利用分式方程有正数解可得到关于a的不等式组,则可求得a的取值范围,则可求得满足条件的整数a的个数．[详解]解：∵方程ax2+(2a﹣4)x+a﹣8＝0有两个不相等的实数根,∴a≠0且△＝(2a﹣4)2﹣4a(a﹣8)0, 解得：a﹣1且a≠0,分式方程2311x a ax x++=--,去分母得x+a﹣2a＝﹣3(x﹣1),解得x＝34a +,∵分式方程2311x a ax x++=--有正数解,∴34a+0且34a+≠1,解得a﹣3且a≠1,∴a的范围为﹣1a且a≠0,a≠1,∴从﹣2,0,1,2,3中任取一个数作为a,符合条件的整数a的值是2,3,即符合条件的a只有2个,故符合条件的概率是25．故选：B．[点睛]本题主要考查概率,掌握一元二次方程根的判别式,分式方程的解法是解题的关键．12. 如图所示,在矩形ABCD中,BC＝2AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH 并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝22EH；③HO＝12AE；④FH＝CH；⑤BC﹣BF＝2EH．其中正确命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个[答案]C[解析][分析]根据矩形的性质得到AD＝BC AB＝CD,由DE平分∠ADC,得到△ADH是等腰直角三角形,△DEC是等腰直角三角形,得到DE CD,得到等腰三角形求出∠AED＝67.5°,∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°,得到①正确；设DH＝1,则AH＝DH＝1,AD＝DE,求出HE﹣1,得到2HE＝(﹣1)≠1,故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形,从而得到③正确；连接BH,证明∠HBC＝∠HCB＝22.5°,推出BH＝CH,即可判断④正确；由△AFH≌△CHE,到AF＝EH,由△ABE≌△AHE,得到BE＝EH,于是得到BC﹣BF＝(BE+CE)﹣(AB﹣AF)＝(CD+EH)﹣(CD﹣EH)＝2EH,从而得到⑤错误．[详解]解：在矩形ABCD中,AD＝BCAB CD,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE＝∠CDE＝45°,∵AH⊥DE,∴△ADH是等腰直角三角形,∴AD AB,∴AH＝AB＝CD,∵△DEC是等腰直角三角形,∴DE CD,∴AD＝DE,∴∠AED＝67.5°,∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°,∴∠AED＝∠AEB,故①正确；设DH＝1,则AH＝DH＝1,AD＝DE∴HE﹣1∴HE＝﹣1)≠1,故②错误；∵∠AEH＝67.5°,∴∠EAH ＝22.5°,∵DH ＝CD ,∠EDC ＝45°,∴∠DHC ＝67.5°,∴∠OHA ＝22.5°,∴∠OAH ＝∠OHA ,∴OA ＝OH ,∴∠AEH ＝∠OHE ＝67.5°,∴OH ＝OE ,∴OH ＝12AE , 故③正确；连接BH ．∵∠HCB ＝∠HBC ＝22.5°,∴HB ＝HC ,∵∠BFH ＝∠FBG ＝67.5°,∴HF ＝HB ,∴HF ＝HC ,故④正确；∵AH ＝DH ,CD ＝CE ,在△AFH 与△EHC 中,22.545AHF HCE FAH HEC AH CE ︒︒⎧∠=∠=⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴△AFH ≌△EHC (AAS ),∴AF ＝EH ,在△ABE 与△AHE 中,AB AH BEA HEA AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△AHE (SAS ),∴BE ＝EH ,∴BC ﹣BF ＝(BE+CE )﹣(AB ﹣AF )＝(CD+EH )﹣(CD ﹣EH )＝2EH ,故⑤错误,故选：C ．[点睛]此题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质． 二.填空(每题3分,共24分)13. 分解因式：2ab ﹣8b 2＝_____．[答案]2b (a ﹣4b )[解析][分析]直接提取公因式2b ,进而分解因式得出答案．[详解]解：原式＝2b (a ﹣4b )．故答案为：2b (a ﹣4b )．[点睛]本题考查了提取公因式法分解因式,掌握知识点是解题关键．14. 一个多边形的每一个内角为150°,那么这个多边形是_____边形． [答案]十二[解析][分析]设多边形的边数为n ,根据多边形的内角和定理：()1802n ︒⋅-可得()1802150n n ︒⋅-︒⋅＝,再解方程求解即可．[详解]解：设多边形的边数为n ,由题意可得：()1802150n n ⋅-⋅＝,解得n ＝12．故答案为：十二．[点睛]本题主要考查多边形的内角和,熟练掌握多边形内角和的计算方法是解题的关键．15. 若代数式(2)(1)1x xx---的值为零,则x的取值应为_____．[答案]2．[解析][分析]分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0．两个条件需同时具备,缺一不可．[详解]解：若代数式()()211x xx---的值为零,则(x﹣2)=0或(x﹣1)=0,即x=2或1, ∵|x|﹣1≠0,x≠1,∴x的取值应为2,故代数式()()211x xx---的值为零,则x的取值应为2．[点睛]由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题．16. 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD＝20°,则∠DHO的度数是_____．[答案]20°[解析][分析]先根据菱形的性质得OD＝OB,AB∥CD,BD⊥AC,则利用DH⊥AB得到DH⊥CD,∠DHB＝90°,所以OH 为Rt△DHB的斜边DB上的中线,得到OH＝OD＝OB,利用等腰三角形的性质得∠BDH＝∠DHO,利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．[详解]解：∵四边形ABCD 是菱形,∴OD ＝OB ,AB ∥CD ,BD ⊥AC, ∵DH ⊥AB ,∴DH ⊥CD ,∠DHB ＝90°,∴OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线,∴OH ＝OD ＝OB ,∴∠BDH ＝∠DHO ,∵DH ⊥CD ,∴∠BDH+∠CDO ＝90°,∵BD ⊥AC ,∴∠CDO+∠DCO ＝90°,∴∠BDH ＝∠DCO ,∴∠DHO ＝∠DCA ,∵四边形ABCD 是菱形,∴DA ＝DC ,∴∠CAD ＝∠DCA ＝20°,∴∠DHO ＝20°,故答案为：20°．[点睛]本题考查菱形的性质,直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．17. 若分式方程24m x -﹣22x ＝12x -有增根,则m 的值是_____． [答案]4或﹣8[解析][分析]先把分式方程化为整式方程,根据方程有增根,可得出x 的值,再代入整式方程求得k 的值即可．[详解]解：去分母得,m ﹣2(x ﹣2)＝x+2,∵方程24m x -﹣22x ＝12x -有增根, ∴x ＝±2, 当x ＝2时,m ＝4； 当x ＝﹣2时,m ＝﹣8； 故答案为4或﹣8．[点睛]本题主要考查分式方程的增根,掌握分式方程的增根是解题的关键．18. 若实数x 满足x+1x =3,则242-231x x x ++的值是_____ [答案]15- [解析] [分析]将13x x +=两边平方,然后移项即可得出2217x x+=，对所求代数式进行变形即可求解． [详解]解：由题意得, 13x x +=,两边平方得：22129x x++=， 故2217x x+=，242222221.1317353x x x x x ---===-+++++故答案为15-.[点睛]考查了分式的化简求值,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.19. 如图,四边形ABCD 为矩形纸片,对折纸片,使得AD 与BC 重合．得到折痕EF ,把纸片展平后,再把纸片沿着BM 折叠,使得点A 与EF 上的点N 重合,在折痕BM 上取一点P ,使得BP ＝BA ,连接NP 并延长,交BA 的延长线于点Q ．若AB ＝3,则AQ 的长为_____．[答案]33322-[解析][分析]根据折叠的性质得到AE＝BE＝12AB＝32,BN＝AB＝3,据此可得∠BNE＝30°,再根据BP＝BA＝BN,求得∠BNP＝75°,∠ENQ＝75°﹣30°＝45°,再根据△QEN是等腰直角三角形,即可得到QE＝NE＝3BE 332进而得出AQ＝QE﹣AE33322．[详解]解：由折叠可得,AE＝BE＝12AB＝32,BN＝AB＝3,∴∠BNE＝30°,∠ABN＝60°,∴∠MBN＝12∠ABN＝30°,∵BP＝BA＝BN,∴△BNP中,∠BNP＝12(180°﹣30°)＝75°,∴∠ENQ＝75°﹣30°＝45°, 又∵EF⊥AB,∴△QEN是等腰直角三角形,∴QE＝NE333 2∴AQ＝QE﹣AE 33322．33322．[点睛]本题主要考查了折叠问题以及等腰直角三角形的判定与性质的运用,解题时注意：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．20. 如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,过B作BG⊥AE于G,延长BG至点F使∠CFB＝45°,延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点,BM＝5,则FD的长为_____．[答案]5[解析][分析]过C点作CH⊥BF于H点,过B点作BK⊥CM于K,过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q,只要证明△AGB≌△BHC,△BKC≌△CQD即可解决问题．[详解]解：如图,过C点作CH⊥BF于H点,过B点作BK⊥CM于K,过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．∵∠CFB＝45°∴CH＝HF,∵∠ABG+∠BAG＝90°,∠FBE+∠ABG＝90°,∴∠BAG＝∠FBE,∵AG⊥BF,CH⊥BF,∴∠AGB＝∠BHC＝90°,在△AGB和△BHC中,∵∠AGB＝∠BHC,∠BAG＝∠HBC,AB＝BC,∴△AGB≌△BHC(AAS),∴AG＝BH,BG＝CH,∵BH＝BG+GH,∴BH＝HF+GH＝FG,∴AG＝FG；∵CH ⊥GF , ∴CH ∥GM , ∵C 为FM 的中点,∴CH ＝12GM , ∴BG ＝12GM ,∵BM ＝5,∴BG GM ＝∴AG ＝AB ＝5,∴HF∴CF ,∴CM ,∵CK ＝12CM ＝12CF ＝2,∴BK ＝2, ∵在△BKC 和△CQD 中,∵∠CBK ＝∠DCQ ,∠BKC ＝∠CQD ＝90°,BC ＝CD , ∴△BKC ≌△CQD (AAS ),∴CQ ＝BK ,DQ ＝CK∴QF ＝CQ ﹣CF ＝2﹣2,∴DQ ＝QF ＝2,∴DF[点睛]此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质,掌握全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质是解题关键．三、解答题.(21每小题20分,共20分)21. (1)因式分解：x 3﹣6x 2y+9xy 2；(2)分式计算：11a a +-﹣221a aa +-+1； (3)解方程：233x x x +-+＝1； (4)解方程：3x 2﹣6x+1＝0．[答案](1)x (x ﹣3y )2；(2)1a a -；(3)x ＝﹣35；(4)x 1＝,x 2＝1 [解析] [分析](1)先提取公因式x ,然后利用完全平方公式分解因式即可； (2)先约分,再进行通分,然后进行同分母分式的加减运算计算即可； (3)先把方程化为整式方程,解整式方程,然后进行检验确定分式方程的解； (4)利用配方法得到(x ﹣1)2＝23,然后利用直接开平方法解方程． [详解](1)x 3﹣6x 2y+9xy 2 ＝x (x 2﹣6xy+9y 2) ＝x (x ﹣3y )2．(2)11a a +-﹣221a aa +-+1 ＝11a a +-﹣(1)(1)(1)a a a a +-++1 ＝11a a +-﹣1aa -+1 ＝111a a a a +-+--＝1a a -．(3)233x x x +-+＝1 去分母得：x (x+3)+2(x ﹣3)＝(x+3)(x ﹣3), 整理得：5x=-3, 解得：x ＝﹣35, 经检验,原方程的解为x ＝﹣35． (4)3x 2﹣6x+1＝0 ∵3x 2﹣6x+1＝0,∴x 2﹣2x ＝﹣13, ∴x 2﹣2x+1＝﹣13+1,即(x ﹣1)2＝23,∴x ﹣1＝,∴x 1＝x 2＝1． [点睛]本题考查因式分解、分式的加减、解分式方程及配方法解一元二次方程,分解因式时,有公因式的先提取公因式,再利用公式法进行分解,直到分解不了为止；解分式方程最后要验根,避免产生增根；熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．22. 先化简：22244x xx x --+÷(x+3+93x -)﹣1x ,然后在0,1,2,3中选择一个你喜欢的数作为x 值,代入求值． [答案]212x x--；1 [解析] [分析]先把括号内通分,再把除法运算化为乘法运算,约分后再通分得到原式＝﹣212x x-,然后利用分式有意义的条件确定满足条件的x 的值,最后把x 的值代入计算即可．[详解]解：原式＝2(2)(2)x x x --÷(3)(3)93x x x +-+-﹣ 1x＝22(2)3(2)x x x x x ---﹣ 1x＝3(2)x x x --﹣1x＝3(2)(2)x x x x ----＝212x x--,∵x ＝0、2、3时,分式没有意义, ∴当x ＝1时,原式＝﹣21121-⨯＝1． [点睛]本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式．23. 证明题：如图,在▱ABCD 中,点E 、F 是对角线AC 上两点,且AE ＝CF ． 求证：∠BEF ＝∠DFE ．[答案]见解析 [解析] [分析]根据平行四边形ABCD 的性质(平行四边形的对边平行且相等)、平行线的性质以及全等三角形的判定定理SAS 得到△ABE ≌△CDF ,于是得到∠AEB ＝∠DFC ,即可得到结论． [详解]证明：∵四边形ABCD 是平行四边形(已知), ∴AB ＝CD ,AB ∥CD (平行四边形的对边平行且相等), ∴∠BAE ＝∠DCF (两直线平行,内错角相等), 在△ABE 和△CDF 中,∵AE CF BAE DCF AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABE ≌△CDF (SAS ),∴∠AEB＝∠DFC,∴∠BEF＝∠DFE．[点睛]此题主要考查平行四边形的性质与证明,解题的关键是熟知平行四边形的性质、全等三角形的判定定理．24. 我市为了解九年级学生身体素质测试情况,随机抽取了本市九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本,按A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下统计图表,如图,请你结合图表所给信息解答下列问题：等级A(优秀) B(良好) C(合格) D(不合格)人数200 400 280(1)请将上面表格中缺少的数据补充完整；(2)扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是；(3)若我市九年级共有50000名学生参加了身体素质测试,试估计测试成绩合格以上(含合格)的人数为人；(4)若甲校体育教师中有3名男教师和2名女教师,乙校体育教师中有2名男教师和2名女教师,从甲乙两所学校体育教师中各抽取1名体育教师去测试学生的身体素质,用树状图或列表法求刚好抽到的体育教师是1男1女的概率．[答案](1)120,见解析；(2)72°；(3)44000；(4)12[解析][分析](1)由B级的人数和对应的百分比可求出总人数,再乘以对应的百分比,即可求出D对应的人数．(2)求出扇形统计图中“A”部分所占的百分比,再乘以360即可求出所对应的圆心角的度数．(3)由样本估计总体的方法,求出样本中测试成绩合格以上(含合格)的百分比,再乘以总人数即可解答．(4)列表得出所有可能的情况,然后找出符合要求的情况数,再利用概率公式进行求解即可．[详解](1)400÷40%=1000,1000×12%＝120；补全表格如下：(2)扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是：200÷1000×360°＝72°,故答案为：36°；(3)估计测试成绩合格以上(含合格)的人数为：(200+280+400)÷1000×50000＝44000人,故答案为：44000；(4)列表如下由表可知,一共有20种等可能结果,其中1男1女共有10种．∴P(抽到1男1女)＝101 202．[点睛]本题考查了统计表,扇形统计图,用样本估计总体,列表法或树形图法求概率,弄清题意,准确识图(表),找到有用的信息是解题的关键．25. 已知函数y＝a|x﹣2|﹣32x+b(a、b为常数),当x＝4时,y＝﹣4；当x＝﹣2时,y＝0,请对该函数及其图象进行如下探究：(1)a＝,b＝．(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)已知函数y ＝14x2﹣34x的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式a|x﹣2|﹣3 2x+b≤14x2﹣34x的解．[答案](1)52-,7；(2)见解析；(3)x≤﹣1或x≥3[解析] [分析](1)直接将x＝4,y＝﹣4和x＝﹣2,y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣32x+b中,列方程组解出即可；(2)分两种情况确定一次函数解析式,取点绘制表格,根据表格数据,绘制图象；(3)根据图象进行解答即可．[详解]解：(1)把x＝4,y＝﹣4和x＝﹣2,y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣32x+b中,得：3|42|4423|22|(2)02a ba b⎧--⨯+=-⎪⎪⎨⎪---⨯-+=⎪⎩,解得：527ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩,故答案为：﹣52,7；(2)当x≥2时,函数y＝﹣52(x﹣2)﹣32x+7；当x＜2时,函数y＝﹣52(2﹣x)﹣32x+7,y与x的部分对应值如下表：根据表格数据,绘制如下函数图象：(3)从图象看,两个函数的交点横坐标为：﹣1和3,∴不等式a|x﹣2|﹣32x+b≤14x2﹣34x的解是：x≤﹣1或x≥3．[点睛]本题考查的是二次函数,带绝对值的一次函数,利用图象解不等式,正确画出函数图象是解题的关键,本题数据处理难度较大．26. 班主任准备到“善雅”文具店购买两种笔记本作为班上学生半期考试的奖品,他已经看好了两种笔记本,其中、“花语”笔记本的单价是“拾梦”笔记本的单价的1.5倍,花120元购买“拾梦”的数量比花150购元买“花语”的数量多5本．(1)求该文具店售出的“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格分别为每本多少元?(2)据店主统计：4月份该文具店“花语”笔记本销售了200本,“拾梦”笔记本销售了300本．5月份是文具销售旺季,各个文具店促销活动频繁,“善雅”文具店决定5月份两种笔记本的单价均降a%,结果“花语”笔记本的销量比4月份增加了50%,“拾梦”笔记本的销量比4月份增加了5a本,两种笔记本的销售额一共是2720元,求a的值．[答案](1)“拾梦”笔记本的价格每本为4元,“花语”笔记本的价格每本为6元；(2)a的值为20[解析][分析](1)设“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格每本分别为x元,1.5x元,根据“花120元购买“拾梦”的数量比花150购元买“花语”的数量多5本”列出方程求解即可；(2)根据“两种笔记本的销售额一共是2720元”列方程求解即可．[详解]解：(1)设“拾梦”笔记本的价格每本为x元,则“花语”笔记本的价格每本为1.5x元,根据题意得,12015051.5x x=+, 解得,x ＝4,经检验,x ＝4是原方程的解,则1.5x ＝1.5×4＝6,答：“拾梦”笔记本的价格每本为4元,“花语”笔记本的价格每本为6元．(2)根据题意得,200×(1+50%)×6×(1﹣a%)+(300+5a )×4×(1﹣a%)＝2720,整理得,a 2+50a ﹣1400＝0,解得,a 1＝20,a 2＝﹣70(舍去),答：a 的值为20．[点睛]此题考查的是分式方程的应用和一元二次方程的应用,掌握实际问题中的等量关系是解题关键． 27. 阅读下列材料,解决材料后的问题；材料一：2020年一场突如其来的疫情席卷全球．疫情期间,日本在援华物资上写着“山川异域,风月同天”,这些诗词在疫情最艰难的时期给我们带来了深深感动．为了纪念这份友谊,对于实数x ,y ,我们将x 与的y “风月同天数”用f (x ,y )表示,定义为f (x ,y )＝2x y +, 例如：5与8的风月同天数为f (5,8)＝582+＝12． 材料二：对于实数x ,用[x]表示不超过实数x 的最大整数,即满足条件[x]≤x ＜[x]+1,例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2,[0]＝[0.7]＝0(1)由材料一知：x 2+2与1的“风月同天数”可以用f (x 2+2,1)表示,已知f (x 2+2,1)＝4,请求出x 的值：(2)已知[12a ﹣1]＝﹣2,请求出实数a 的取值范围； (3)已知实数x ,m ,且满足条件x ﹣2[x]＝73,请求f (x ,m 2﹣32m )的最小值．[答案](1)x ；(2)﹣2≤a ＜0；(3)最小值为﹣8021 [解析][分析](1)直接利用“风月同天数”的公式计算即可得出结论；(2)根据题意建立不等式,解不等式即可得出结论；(3)先求出x ＝﹣53,进而得出f (x ,m 2﹣32m )＝﹣25373()416m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,再判断即可得出结论． [详解]解：(1)∵f (x 2+2,1)＝4, ∴2212x ++＝4, ∴x,即x；(2)∵[12a ﹣1]＝﹣2, ∴﹣2≤12a ﹣1＜﹣1, ∴﹣2≤a ＜0；(3)∵x ﹣2[x]＝73, ∴x ＝2[x]+73＝2[x]+2+13, ∴x ＝﹣53, ∴f (x ,m 2﹣32m )＝f (﹣53,m 2﹣32m )＝253322m m --+＝﹣25373()416m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦, 要f (x ,m 2﹣32m )最小, ∴25373()416m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦最大, 即3[(m ﹣34)2+716]最小, 当m ＝34时,f (﹣53,m 2﹣32m )最小,最小值为﹣57316⨯＝﹣8021, 即f (x ,m 2﹣32m )的最小值为﹣8021． [点睛]此题主要考查函数新定义运算,解题的关键是熟知二次函数的最值求解方法．28. ▱ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,且AD ＝AE ．(1)如图1,连结DE,过A作AF⊥AB交ED于F,在AB上截取AG＝AF,连结DG,点H为GD中点,连接AH,求证：4AH2+DF2＝2AF2；(2)如图2,连结BD,把△ABD沿直线BD方向平移,得到△A′B′D′,若CD＝10,EC＝2,求在平移过程中A'C+B'C的最小值．[答案](1)见解析；(2)A'C+B'C的最小值为3257025[解析][分析](1)延长AH交CD于T,连接EG,GF．想办法证明∠GEF＝90°,EG＝DF,EF＝AT＝2AH即可解决问题．(2)由题意可知四边形A′B′CD是平行四边形,推出A′D＝B′C,推出A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D 的最小值,点A′在过点A且平行于BD的定直线上,作点D关于定直线的对称点D′,A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′D′≥CD′,则CD′的长度即为A'C+B'C的最小值,想办法求出CD′即可解决问题．[详解](1)证明：如图1中,延长AH交CD于T,连接EG,GF．∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠AGH＝∠TDH,。