2021年高考数学专题复习：空间几何体表面积与体积的求解策略

1空间几何体表面积与体积的求解策略【知识梳理】1．多面体的面积和体积公式2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.旋转体的表面积和体积公式=球S 42R π =圆柱V h r 2π =圆锥V h r 231π=圆台V 31)S S S S '+'+（ h =球V 334R π名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V ) 棱 柱 棱柱 各侧面的面积和 侧面积＋2⨯上底面积V ＝底面积⨯高直棱柱 底面周长⨯侧棱长 棱 锥棱锥 各侧面积之和侧面积＋底面积V ＝31⨯底面积⨯高 正棱锥21⨯n 边长⨯斜高 棱 台棱台 各侧面面积之和侧面积＋上底面积＋下底面积V ＝31)S S S S '+'+（⨯高正棱台21⨯n (上底边长＋下底边长)⨯斜高【典例分析】题型一由三视图求几何体的面积、体积例题1 (1)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．（2）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，该三棱锥的表面积是____________跟踪练习1 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的表面积为_______、体积为_________.原几何体的体积为__________.2题型二利用割补法求几何体的体积例题2如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．跟踪练习2如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体积为()3A.66B. 68C.70 D .72题型三多面体与球的切、接问题例题3 (1)在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是()A．12B．32π C．36πD．48π(2)如图，一个几何体的三视图中正(主)视图和侧(左)视图为边长为2，锐角为60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为()45A ．2πB ．3πC ．4πD ．8π跟踪练习3(1) 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )324A.B.4C.2D.33πππ π(2) 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为_______.【专项训练】一、选择题1.将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加 ( ) A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 22.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．B ．C ．D ．3.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为 ( )A ．πB ．πC ．π－πD ．π＋π4.已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A ．B．2C ．D．35.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A．4 B．143C．163D．66．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是( )67A ．40B ．20（1+3）C ．30（1+3）D ．303 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.72B ．2C ．52D ．38.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是( )A ．34cm 3π B ．38cm 3π C ．4πcm 3 D ．320cm 3π 二、填空题9.如图是某几何体的三视图(单位：m)，则其表面积为_____m 2.10.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_________11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为.8三、解答题12.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，求V1∶V2.13.一直三棱柱高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将该棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．910答案精析【典例分析】题型一 例题1（1）【答案】 3π【解析】 由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分，并且可知该几何体是一个高为6，底面半径为1的圆柱体的一半， 则知所求几何体体积为12×π×12×6＝3π.（2）【答案】）（523+【解析】 由三视图判断该三棱锥的形状如图所示左侧的侧面与底面垂直且为边长为2的等边三角形，底面为等边三角形，另外两侧面为等腰三角形，其表面积为S ＝2443⨯⨯＋2210621⨯⨯⨯＝）（523+. 跟踪练习1【答案】π16π3 32288【解析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形的内切圆的半径r，则8＋6－2r＝106822=+，r＝2，=球S224⨯π＝π16，3234⨯=π球V＝π332三棱柱V＝126821⨯⨯⨯＝288.题型二例题2【答案】4【解析】解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，(分析几何体的结构特征)如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH－ABC 和一个斜三棱柱BEF－CHG.(分割)由题意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH×AD＝(12×2×1)×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF×DE＝(12×2×1)×2＝2.(求各部分体积)故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝2＋2＝4.(得多面体体积)解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行(分析几何体的结构特征)如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．(补形)又正方体的体积V正方体ABHI－DEKG＝23＝8，(求整体体积)故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝12×8＝4.1112跟踪练习2【答案】 A【解析】 如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.题型三例题3【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为三棱锥S －ABC 是正棱锥，所以SB ⊥AC (对棱互相垂直)，所以MN ⊥AC ， 又因为MN ⊥AM ，而AM ∩AC ＝A ， 所以MN ⊥平面SAC ，即SB ⊥平面SAC ，所以∠ASB ＝∠BSC ＝∠ASC ＝90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，所以2R ＝23·3 ，所以R ＝3，所以S ＝4πR 2＝4π·32＝36π.(2)由三视图可知，该几何体为两个正四棱锥的组合体，且四棱锥的斜高恰好等于底面正方形的边长，过正四棱锥的高、斜高作平面，得轴截面，由内切知，球的半径r ＝1×sin60° ＝ 23，所以S 球＝4π×223）（ ＝3π.13跟踪练习3【答案】(1)D (2)169 【解析】 (1)由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，可设 正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R 1，则 2121R R +＝1可得12R ＝21又侧棱长为2 ，所以球心到截面圆的距离d ＝22；由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，根据勾股定理得球半径R ＝2121212+=+d R ＝ 1，代入球的体积公式得球的体积为π34 （2）圆锥与球的截面如图，设球的半径为r ，则圆锥底面圆的直径为3r ，圆锥底面面积为223324r r ⎛⎫ππ= ⎪⎝⎭圆锥的侧面面积为2133322r r r ππ⋅=，所以圆锥的表面积为222339424r r r πππ+=，球的表面积为4r 2，所以其面积比为916.【专项训练】一、1.【答案】 B【解析】 原正方体的表面积6a 2，切成27个小正方体的表面积为27×[6×(a )2]＝18a 2，所以表面积增加了12a 2.142.【答案】 B【解析】 三棱锥D 1－AB 1C 的各面均是正三角形.其边长为正方体面对角线的长. 设正方体的棱长为a ，则面对角线长为a ，S 锥＝4××＝2a 2，S 正方体＝6a 2， 故S 锥∶S 正方体＝.3.【答案】 D 【解析】 由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥的组合体，V ＝π×13＋π×12×＝π＋π.4.【答案】 C 【解析】 由题意知，结合图形，经过球心O 和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC 为直角三角形，其外接圆的圆心O ′为其斜边BC 的中点，连接OA ，OO ′，O ′A ，由勾股定理得，OA 2＝O ′O 2＋O ′A 2其中OA ＝R ，OO ′＝AA 1＝6，O ′A ＝BC ＝，所以球O 的半径为OA ＝R ＝＝.5.【答案】 B【解析】 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，111414142333V S S S S h =+=++⨯=下下棱台上上（）（）. 6.【答案】 B【解析】 可计算出直截面的周长为5＋3S 侧＝4(5＋53＝20(13)．另解：如图，若∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°，则可证明□BB 1C 1C 为矩形，因此，15S 侧＝211AA B B S ＋11BB C C S 矩形＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20(1＋3)．7.【答案】 A【解析】 由图知，此几何体上部是一个棱长为1的正方体，其体积为1.下部是一个侧着放的四棱柱，其高为1，底面是一个高为1，上底为2，下底为3的直角梯形，故下部的体积是2351122+⨯⨯=，故此几何体的体积是571.22+= 8.【答案】 C【解析】 由已知得该几何体是一个半径为2 cm 的半球挖去一个底面半径为2 cm ，高为1 cm 的圆锥，∴其体积为32141221233V =⨯π⨯-π⨯⨯＝4π(cm 3). 二、 9.【答案】 23【解析】 依题意可得该几何体是一个组合体(如图)，它的上部分与下部分都是四棱锥，中间部分是一个正方体.则上部分的表面积为2114424422(16162)m 22⨯⨯⨯+⨯⨯=+，中间部分的表面积为4×4×4＝64(m 2)，下部分的表面积为2134443m 22⨯⨯⨯⨯=（）， 故所求的表面积为280162163m .+（） 10.【答案】 9π4 【解析】 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的16截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×223）（＝9π4. 11.【答案】【解析】 △DED 1的面积为正方形面积的一半，三棱锥F －DED 1的高即为正方体的棱长，所以11113D EDF F DED DED V V S h --∆==⋅＝×DD 1·AD ·AB ＝. 三、12.【答案】 解：延长A 1A ，C 1F ，B 1E ，其必交于一点，设为A 2.延长C 1C ，B 1B 分别到点C 2，B 2，使CC 2＝BB 2＝AA 2，连接A 2C 2，B 2C 2，A 2B 2，易知()1112221111222A B C A B C ABC A B C V V V V --==+三棱柱三棱柱由图，可得2111A A B C V -三棱锥＝×2(V 1＋V 2)＝(V 1＋V 2)因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以111AFE A C B V -三棱台＝×(V 1＋V 2)＝(V 1＋V 2)＝V 1.即7V 2＝5V 1.所以V 1∶V 2＝7∶513.【答案】 解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，∴△ABC 为直角三角形，17根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5， ∴R ＝1， ∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π.而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36， ∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)，即削去部分的体积的最小值为6(6－π) cm 3 .。