人教版数学九年级下册：(反比例函数)反比例函数(教案)
人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数的意义》教案
人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数的意义》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册第26.1.1节《反比例函数的意义》是本册教材中的重要内容，主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。
本节内容是在学生已经掌握了函数概念、正比例函数的基础上进行的，为后续学习函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对正比例函数有一定的了解。
但是，对于反比例函数的概念和性质，学生可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去感知反比例函数的意义，从而更好地理解反比例函数的性质。
三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.能够运用反比例函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念理解。
2.反比例函数的性质掌握。
3.反比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和小组合作学习法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究反比例函数的意义和性质。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片。
2.准备反比例函数的PPT课件。
3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例引入反比例函数的概念，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时，所行的路程是多少？”引导学生思考，引出反比例函数的概念。
2. 呈现（10分钟）通过PPT课件，展示反比例函数的定义和性质，引导学生观察、分析，从而理解反比例函数的意义。
3. 操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，巩固反比例函数的概念和性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）以小组合作学习的方式，让学生探讨反比例函数在实际问题中的应用。
教师提供一些实际问题，如“一块长方形的土地，面积一定，长和宽的关系是什么？”让学生分组讨论，寻找解决问题的方法。
5. 拓展（10分钟）让学生进一步探讨反比例函数的性质，如反比例函数的图象特征等。
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
人教版九年级下册26.1 反比例函数 教案设计
26．1 反比例函数 26．1.1 反比例函数(第1课时)教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数． 2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想． 【过程与方法】1．用类比的思想方法，从实际问题中抽象出反比例函数的概念，发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力．2．经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会建立函数模型的思想． 【情感态度与价值观】通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体验数学来源于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识．二、重难点目标 【教学重点】1．理解并掌握反比例函数的定义．2．能根据已知条件确定反比例函数的解析式． 【教学难点】根据已知条件，求反比例函数的解析式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．如果两个变量x 、y 满足xy ＝k (k 为常数，k ≠0)，那么x 、y 就成为反比例关系．例如，速度v 、时间t 与路程s 之间满足v t ＝s ，如果路程s 一定，那么速度v 与时间t 就成反比例关系．2．一般地，在某一变化过程有两个变量x 和y ，如果对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与它对应，我们就称y 是x 的函数.其中，x 是自变量，y 是因变量．3．形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．4．y ＝k x ，y ＝kx －1，xy ＝k 是反比例函数的三种表现形式．其中k 是常数，k ≠0.5．下列函数中，反比例函数有哪些？每一个反比例函数相应的k 值是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y ＝2x 2；③y ＝15x ；④y ＝－23x；⑤xy ＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy ＝－1.解：反比例函数有③④⑤⑦.③y ＝15x 中k ＝15；④y ＝－23x 中k ＝－23；⑤xy ＝3中k ＝3；⑦xy ＝－1中k ＝－1.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝6. (1)写出y 与x 的函数关系式； (2)求当x ＝4时y 的值．【互动探索】(引发学生思考)因为y 是x 的反比例函数，所以设y ＝kx ，再把x ＝2时，y＝6代入上式就可求出常数k 的值．【解答】(1)设y ＝kx ，因为当x ＝2时y ＝6，则有6＝k2，解得k ＝12.∴y ＝12x.(2)把x ＝4代入y ＝12x ，得y ＝124＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．【例2】已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．【互动探索】(引发学生思考)在反比例函数y ＝kx －1中的隐含条件是x 的次数为－1，k ≠0. 【解答】∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)反比例函数也可以写成y ＝kx －1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.活动2 巩固练习(学生独学) 1．反比例函数y ＝(m ＋1)x －1中m 的取值范围是( B )A ．m ≠1B ．m ≠－1C ．m ≠±1D ．全体实数2．当m ＝6时，y ＝3x m－7是反比例函数．3．某蓄水池的排水管每小时排水8 m 3,6 h 可将满池水全部排空． (1)蓄水池的容积为48 m 3;(2)若每小时排水用Q (m 3)表示，则排水时间t (h)与Q (m 3)的函数解析式为t ＝48Q .4．已知y 与3x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝23.(1)写出y 与x 的函数解析式； (2)当x ＝13时，求y 的值；(3)当y ＝12时，求x 的值．解：(1)y ＝23x . (2)y ＝2. (3) x ＝43.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：(1)y 关于x 的关系式； (2)当x ＝－12时，y 的值．【互动探索】根据正比例函数和反比例函数的定义设出y 1、y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．【解答】 (1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例， ∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)．∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1. ∵当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，解得k 1＝1，k 2＝－2， ∴y ＝x －1－2x ＋1.(2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式，得y ＝－112.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意设出y 1、y 2的函数关系式并用待定系数法求得函数关系式是解答此题的关键．注意不同的函数关系要用不同的待定系数，如本题y 1的待定系数用k 1, y 2的待定系数用k 2.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)反比例函数⎩⎪⎨⎪⎧定义三种常见形式：y ＝k x 、xy ＝k 、y ＝k－1(其中k 为常数，k ≠0)求解析式的方法：待定系数法26．1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．用描点法画出反比例函数y ＝kx 的图象．2．根据图象理解和掌握反比例函数y ＝kx 的性质．【过程与方法】1．经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程，获得研究函数性质的经验． 2．通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质的方法．3．经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程，培养学生观察、探究、归纳及动手能力．【情感态度与价值观】1．经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动，获得研究问题和合作交流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性．2．在学习过程中，感受数学美，发现学习数学的乐趣． 二、重难点目标 【教学重点】用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质． 【教学难点】运用反比例函数的图象和性质解决问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用“描点法”画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.2．反比例函数y ＝kx (k 为常数，k ≠0)中，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．3．反比例函数图象是双曲线.4．在反比例函数y ＝kx (k ≠0，k 为常数)中，(1)当k >0时，双曲线位于第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小；(2)当k <0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大.5．反比例函数y ＝－5x的图象大致是( D )6．已知反比例函数y ＝4－kx.(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k ＜4； (2)若在每一象限内，y 随x 增大而增大，则k ＞4.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】画出反比例函数y ＝6x 和y ＝12x的图象．【互动探索】(引发学生思考)描点法：列表→描点→连线 【解答】列表表示几组x 与y 的对应值： x … －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 … y ＝6x … －1 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 … y ＝12x…－2－3－4－6－12126432…到函数y ＝6x 和y ＝12x的图象．【互动总结】(学生总结，老师点评)作反比例函数图象时要注意：(1)列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；(2)列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又可以准确地表达函数变化趋势；(3)连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连结，从中体会函数的增减性．【例2】若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)都是反比例函数y ＝－1x 图象上的点，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，判断y 1、y 2、y 3的大小关系．【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．先画出函数图象，再描出已知点位置，最后判断y 1、y 2、y 3的大小关系．【解答】∵反比例函数y ＝－1x中k ＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，如图．∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴点(x 1，y 1)在第四象限，(x 2，y 2)、(x 3，y 3)两点均在第二象限， ∴y 2＜y 3＜y 1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小的方法：(1)看k 的符号，明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小，若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列四个点中，在反比例函数y ＝－6x 的图象上的是( A )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(2,3)D ．(－2，－3)2．设x 为一切实数，在下列函数中，当x 减小时，y 的值总是增大的函数是( C ) A ．y ＝－5x －1 B ．y ＝x2C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝4x3．对于反比例函数y ＝3x ，下列说法正确的是( D )A ．图象经过点(1，－3)B ．图象在第二、四象限C ．x >0时，y 随x 的增大而增大D ．x <0时，y 随x 的增大而减小4．若反比例函数y ＝kx (k <0)的图象过点P (2，m )，Q (1，n )，则m 与n 的大小关系是：m >n .活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若ab <0，则正比例函数y ＝ax 和反比例函数y ＝bx 在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )【互动探索】∵ab <0，∴a 、b 异号，分两种情况：(1)当a >0，b <0时，正比例函数y ＝ax 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限内，无此选项；(2)当a <0，b >0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限内，选项C 符合．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)这类题既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案．用排除法时，每个选项逐一分析，看是否满足题干条件．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质：(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；(2)当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大．第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质，并能用待定系数法求反比例函数解析式． 2．理解并掌握反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的几何意义．3．运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题． 【过程与方法】1．通过探究反比例函数性质的应用，感受反比例函数解析式与图象之间的联系，体会数形结合思想的魅力．2．经历观察、思考、分析、交流等学习过程，提高学生数学学习能力及合作精神，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过解决反比例函数与一次函数、二次函数有关的综合题，增强学生的自信心，培养学生学习的兴趣，提高学生综合运用知识解决问题的能力．二、重难点目标 【教学重点】灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题． 【教学难点】比例系数k 的几何意义．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．填表分析正比例函数和反比例函数的区别.函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y ＝kx (k ≠0) y ＝kx (k ≠0) 图象形状直线 双曲线 k >0位置第一、三象限第一、三象限增减性y 随x 的增大而增大 每个象限内，y 随x 的增大而减小k <0位置第二、四象限第二、四象限增减性y 随x 的增大而减小每个象限内，y 随x 的增大而增大2.反比例函数y ＝kx 的图象经过点(2,5)，若点(1，n )在反比例函数图象上，则n 等于( A )A ．10B ．5C ．2D ．－63．下列各点在反比例函数y ＝－2x 的图象上的是( B )A.⎝⎛⎭⎫－43，－32 B ．⎝⎛⎭⎫－43，32 C.⎝⎛⎭⎫34，43D ．⎝⎛⎭⎫34，834．反比例函数y ＝kx 的图象经过(2，－1)，则k 的值为－2.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知反比例函数的图象经过点A (2,6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B (3,4)、C ⎝⎛⎭⎫－212，－445和D (2,5)是否在这个函数的图象上？ 【互动探索】(引发学生思考)(1)求出反比例函数的解析式，再判断该函数的性质；(2)若点满足所求函数的解析式，则点在这个函数的图象上，否则不在这个函数的图象上．【解答】(1)解法1：见教材P7例3. 解法2：设这个反比例函数为y ＝kx ，∵图象过点A (2,6)，∴6＝k2，解得k ＝12.∴这个反比例函数的表达式为y ＝12x.∵k >0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． (2)把点B 、C 、D 的坐标代入y ＝12x ，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，故点B 、C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上．【互动总结】(学生总结，老师点评)求反比例函数的解析式一般用待定系数法． 【例2】如图是反比例函数y ＝m －5x 的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，如果x 1>x 2，那么y 1和y 2有怎样的大小关系？【互动探索】(引发学生思考)(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者在第二、四象限．(2)根据反比例函数的性质解答．【解答】(1)∵这个函数的图象的一支在第一象限， ∴另一支必在第三象限． ∵函数的图象在第一、三象限， ∴m －5＞0，解得m ＞5.(2)解法1(性质法)：详细解答参考教材P7～P8例4. 解法2(图象法或数形结合法)： ∵函数的图象在第一、三象限， 如图，在图中描出符合条件的两个点， ∴由图象易知y 1<y 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决问题(2)时，用数形结合法能更快速准确地求出结果．活动2 巩固练习(学生独学)1．正比例函数y ＝6x 的图象与反比例函数y ＝6x 的图象的交点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限2．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点A (－1，－2)，则当x >1时，函数值y 的取值范围是( D )A ．y >1B ．0<y <1C ．y >2D ．0<y <23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y ＝3x (x >0)上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会( C )A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小4．如图所示，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为2.5．如图所示，已知反比例函数y ＝mx 的图象与一次函数y ＝ax ＋b 的图象相交于点A (1,4)和点B (n ，－2)．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x 的取值范围．解：(1)把点A (1,4)代入y ＝m x ，得m ＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y ＝4x .把点B (n ，－2)代入y ＝4x，得－2n ＝4，∴n ＝－2，∴点B 坐标为(－2，－2)．把(1,4)，(－2，－2)代入y＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，－2a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴所求一次函数解析式为y ＝2x ＋2. (2)x <－2或0<x <1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图所示，点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．【互动探索】反比例函数的比例系数与三角形的面积有什么关系？ 【解答】∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴x A ·y A ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.【互动总结】(学生总结，老师点评)过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |2.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．反比例函数中系数k 的几何意义； 2．反比例函数图象上点的坐标特征； 3．反比例函数与一次函数的交点问题．。
人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数》教学设计
人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析《反比例函数》是人教版数学九年级下册第26章第一节的内容，主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。
这一节内容是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行的，是进一步深化函数知识的重要环节，也为后续学习函数的应用打下了基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，能够理解正比例函数和一次函数的概念和性质。
但是，对于反比例函数这一概念，学生可能较难理解，需要通过具体实例和生活实际来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解反比例函数的定义和性质。
2.能够绘制反比例函数的图象。
3.能够运用反比例函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。
2.反比例函数图象的绘制。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生思考和探索。
2.利用信息技术手段，如多媒体演示和数学软件，帮助学生直观理解反比例函数的性质和图象。
3.结合实际例子，让学生感受反比例函数在生活中的应用。
六. 教学准备1.多媒体演示文稿。
2.数学软件。
3.实际例子和问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入反比例函数的概念，如“一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶1小时后，剩余路程与速度之间的关系是什么？”引导学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）利用多媒体演示文稿，呈现反比例函数的定义和性质，引导学生直观理解。
同时，利用数学软件，展示反比例函数的图象，让学生感受反比例函数的特点。
3.操练（10分钟）让学生利用数学软件，自己绘制一些反比例函数的图象，加深对反比例函数性质的理解。
同时，让学生解答一些与反比例函数有关的问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固反比例函数的概念和性质。
5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论反比例函数在实际生活中的应用，如广告宣传、经济分析等，引导学生将所学知识运用到实际中。
人教版九年级数学下册教案 第1课时 反比例函数的图象和性质
第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质学习目标：1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程； (重点、难点)2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点)3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)一、知识链接回顾我们上一课的学习内容，你能写出200 m 自由泳比赛中，游泳所用的时间 t (s ) 和游泳速度 v (m /s ) 之间的数量关系吗？试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？一、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质 画出反比例函数x y 6=与xy 12=的图象. 【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得x y 6=与xy 12=的图象．思考 观察这两个函数图象，回答问题： （1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内， 随着x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数xky =(k ＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＞0) 的图象和性质： 由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 【针对训练】 反比例函数xy 3=的图象大致是 ( )A .B .C .D .反比例函数xy 8=的图象上有两点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x 1＞x 2，则 y 1与y 2的大小关系为 ( ) A . y 1 > y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 < y 2 D . 无法确定【提示】因为8＞0，且 A ，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x 1＞x 2，可知y 1，y 2的大小关系观察 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数xky =的图象，有哪些共同特征？思考 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数xky =(k ＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数xky =(k ＜0)的图象和性质吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＜0) 的图象和性质： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.k 的正负决定了反比例函数的图象所在的象限和增减性【针对训练】点(2，y 1)和(3，y 2)在函数xy 2-=的图象上，则y 1 y 2(填“>”“<”或“=”).已知反比例函数()721-+-=a a x a y ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a 的值.【针对训练】 已知反比例函数()|4||83--=m x m y 在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．二、课堂小结1. 反比例函数xy5.1=的图象在 ( )A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限2. 在同一直角坐标系中，函数y = 2x与xy1-=的图象大致是( )3. 已知反比例函数xmy2-=的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.4. 下列关于反比例函数xy12-=的图象的三个结论：（1）经过点(－1，12) 和点(10，－1.2)；（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小；（3）双曲线位于第二、四象限.其中正确的是________(填序号).5. 已知反比例函数xky=的图象过点(－2，－3)，图象上有两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，且x1 > x2 > 0，则y1－y2________0.6. 已知反比例函数52-=mmxy，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.能力提升：7. 已知点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数xky=(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.参考答案合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质解：列表：-1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 -2 -2.4 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2.4 2 描点、连线如图所示.【针对训练】 CC 【针对训练】<解：由题意得a 2 + a －7=－1，且a －1<0．解得a =－3.【针对训练】 解：由题意得 | m |－4=－1，且 3m －8＞0．解得m =3.当堂检测1.B2. D3. m ＞24. （1）（3）5. ＜6. 解：因为反比例函数52-=m mxy 的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m 2－5=－1，且m ＞0，解得m =2. 能力提升：7. 解：由 k ＞0知在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.① 当这两点在图象的同一支上时，∵y 1＜y 2，∴a －1＞a +1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y 1＜y 2，∴ y 1＜0＜y 2.∴a －1＜0，a +1＞0， 解得－1＜a ＜1.故 a 的取值范围为－1＜a ＜1．。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象与性质优秀教学案例
在学生掌握了反比例函数的基本性质后，我会组织小组讨论。每个小组选取一个或几个反比例函数，通过绘制图象、分析性质，探讨反比例函数在实际问题中的应用。我会鼓励学生尝试用反比例函数解决一些简单的几何问题，如求两个反比例函数交点的问题。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请几个小组代表展示他们的讨论成果，让学生通过对比和讨论，总结出反比例函数的普遍性质和图象特征。我会引导学生从数形结合的角度，理解反比例函数的本质，并强调反比例函数在实际问题中的应用价值。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般形式，并能准确表述。
2.学会绘制反比例函数的图象，分析图象特征，总结反比例函数的性质。
3.能够运用反比例函数的性质解决实际问题，提高数学应用能力。
4.掌握反比例函数与一次函数、二次函数等其他类型函数之间的关系，拓展函数知识体系。
（五）实施多元化评价
本案例采用多元化的评价方式，包括自评、互评、师评等，全面评价学生的学习过程和结果。这种评价方式有助于激发学生的学习动力，促使学生反思自己的学习，不断提高。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向法，引导学生发现问题、提出问题、解决问题。首先，通过提出问题“反比例函数的图象有什么特点？”让学生进行独立思考。然后，组织学生进行小组讨论，共同探讨反比例函数的性质。在学生掌握性质后，再提出问题：“反比例函数在实际生活中有哪些应用？”引导学生将所学知识运用到实际问题中。
（五）作业小结
为了巩固本节课的学习内容，我会布置以下作业：
1.绘制并分析至少三个不同反比例函数的图象，总结它们的性质。
2.结合实际情境，编写至少两个反比例函数的应用问题，并解答。
初中数学_人教版数学九年级下册反比例函数教学设计学情分析教材分析课后反思
《反比例函数》教学设计学习目标1、理解并掌握反比例函数的概念。
2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。
3、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。
学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式学习难点：理解反比例函数的概念。
学习准备：1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2、体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？学习过程：一、探索研讨【活动1】问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；_________________（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；_________________（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(平方千米/人)随全市总人口数n（单位：人）的变化而变化。
_________________上面的函数关系式，都具有_____________的形式，其中_________是常数。
【活动2】下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示吗？（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；_________________（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；_________________（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。
_________________概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成___________的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x____为零。
反比例函数教案(优秀8篇)
反比例函数教案（优秀8篇）《反比例函数》教学设计篇一一、知识与技能1、能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。
2、能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。
二、过程与方法1、经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。
2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
三、情感态度与价值观1、积极参与交流，并积极发表意见。
2、体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。
教学重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。
教学难点：从实际问题中寻找变量之间的关系。
关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。
教具准备1、教师准备：课件（课本有关市煤气公司在地下修建煤气储存室等）。
2、学生准备：（1）复习已学过的反比例函数的图象和性质（2）预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料。
教学过程一、创设问题情境，引入新课复习：反比例函数图象有哪些性质？反比例函数 y?kx 是由两支曲线组成，当K0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减少；当K0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大。
二、讲授新课[例1]市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深？（3）当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位小数）。
设计意图：让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系。
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第二十六章反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
【知识与技能】
1.理解反比例函数的意义.
2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.
【过程与方法】
经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.
【情感态度】
经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.
【教学重点】
理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式
【教学难点】
反比例函数解析式的确定.
一、情境导入，初步认识
问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？
【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.
二、思考探究，获取新知
问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？
问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.
思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.
【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.
反比例函数：形如y =k
x
(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，
y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
试一试
下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？
(1)一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m 3/h)的变化而变化；
(2)某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2 )的变化而变化.
(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.
【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.
三、典例精析，掌握新知
例1 已知y 是x 的反比例函数，当x =2 时,y = 6.
(1) 写出y 与x 之间的函数解析式；
(2) 当x =4时，求y 的值.
【分析】由于y 是x 的反比例函数，故可说其表达式为y =k x
，只须把x =2，y=6代入，求出k 值，即可得y =12x
，再把x =4代入可求出 y=3. 【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.
例2 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的 正比例函数，且x ≠0，那么y 与x 是怎样的函数关系？
【分析】 因为y 是z 的反比例函数，故可设y =1k z
(K 1≠0)，又z 是x 的正比例函数，则可设 z = 2k x (2k ≠
0) x ≠0，∴ y =12k k x . 11220,k 0,0,k k k ≠≠∴≠ 故y =12k k x
是y 关于x 的反比例函数. 【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教
师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =k x
，z=kx 时没有区分比例系数）予以强调，并对题中x ≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.
四、运用新知，深化理解
1.下列哪个等式中y 是x 的反比例函数? y = 4x, y x
= 3, y=6x+1,xy=123. 2.已知y 与x 2成反比例，并且当x= 3时,y=4.
(1)写出y 和x 之间的函数关系式,y 是x 的反比例函数吗？
(2)求出当x =1.5时y 的值.
【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
【答案】1.只有等式xy=123中,y 是x 的反比例函数.
2.解：（1)由题知可设y =2,3k y x x
==时y=4，∴ k= 4×9 = 36，即 y = 236x
，y 不是 x 的反比例函数. (2)y=236x ，x=1.5 时，y=361.5 1.5
⨯ =16. 五、师生互动，课堂小结
1.知识回顾.
2.谈谈这节课你有哪些收获？
【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.
此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.。