压缩感知磁共振成像技术综述
https://www.360docs.net/doc/742149044.html,
压缩感知磁共振成像技术综述
王水花，张煜东
南京师范大学计算机科学与技术学院，江苏南京210023
【摘
要】目的:综述近年来压缩感知磁共振成像技术的研究进展。方法:磁共振成像是目前临床医学影像中最重
要的非侵入式检查方法之一，然而其成像速度较低，限制其发展。压缩感知是一种新的信号采集与获取理论，它利用信号在特定域上的稀疏性或可压缩性，可通过少量测量重建整个原始信号。压缩感知磁共振成像技术将压缩感知应用到磁共振成像中，可在相同的扫描时间内获得更精细的空间组织结构，也可在相同的空间分辨率下加速成像。结果:本文概述了压缩感知磁共振成像的理论基础，分别从稀疏变换、不相干欠采样、非线性重建三个方面具体阐述，最后讨论了其研究展望与应用现状。结论:压缩感知磁共振成像具有较好的发展潜力，有逐渐增长的医用与商用价值。
【关键词】磁共振成像；压缩感知；稀疏变换；不相干欠采样；非线性重建【DOI 编码】doi:10.3969/j.issn.1005-202X.2015.02.002【中图分类号】R312；R445.2
【文献标识码】A
【文章编号】1005-202X （2015）02-0158-05
Survey on Compressed Sensing Magnetic Resonance Imaging Technique
WANG Shui-hua,ZHANG Yu-dong
School of Computer Science and Technology,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China
Abstract:Objective This paper focuses on the survey of compressed sensing in magnetic resonance imaging （CSMRI ）.Meth -ods Magnetic resonance imaging is one of the most crucial non-invasive diagnostic implements in routine clinical examination.However,it is often limited by long scan https://www.360docs.net/doc/742149044.html,pressed sensing is a novel theory of signal acquisition and processing.It capitalizes on the signal's sparseness or compressibility in specific domain,allowing the entire original signal to be reconstruct-ed from relatively few measurements.CSMRI is proposed by integrating compressed sensing into MRI,providing more precise spatial tissue structure than normal technique in the same scan time,and accelerating imaging in the same spatial resolution.Results In this study we discussed in depth three components as sparse transform,incoherent subsampling,and nonlinear re-construction.We conclude the paper by discussing the research prospects and applications of CSMRI.Conclusion CSMRI has good development potential,and has increasing values for medical and commercial applications.
Key words:magnetic resonance imaging;compressed sensing;sparse transform;incoherent subsampling;nonlinear recon-struction
前言
1971年，纽约州立大学的Paul https://www.360docs.net/doc/742149044.html,uterbur 教授提出磁共振成像(MRI)，并于2003年获得诺贝尔生理医学奖。MRI 利用核磁共振原理，由于能量在不同物
质结构中有不同的衰减[1]，通过外加梯度磁场检测电
磁波，可知构成物体原子核的位置和种类，从而绘制物体内部影像[2-3]。
MRI 是目前少有的对人体无伤害的安全、快速、准确的临床诊断方法，具有多方位、多参数、多模态等优点，不仅可显示人体组织的解剖信息，而且可显示功能信息。MRI 在临床上有广泛的应用，如今每年至少有6000万病例利用MRI 技术进行检查。但MRI 扫描时间过长、成像较慢[4]，造成以下几个问题[5]：（1）给病人造成额外的痛苦；（2）由于器官运动（例如呼吸、眨眼、吞咽等非自主运动）造成图像模糊，增加伪影；（3）无法满足动态实时成像与导航的需要；（4）限制功能成像的推广，如波谱成像、磁敏感加权成像等。
2006年Candes 等[6]在前人的基础上，系统性地
【收稿日期】2014-12-21
【基金项目】国家自然科学基金(610011024)；南京师范大学高层次人才
科研启动基金(2013119XGQ0061,2014119XGQ0080)
【作者简介】王水花，女，助教，研究方向：生物图像处理。【通信作者】张煜东，男，博士，教授，研究方向：医学图像处理。
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图1CSMRI 示意图：(a)k 域；(b)图像域；(c)稀疏变换；(d)伪影；(e)随机欠采样；(f)重建图像
Fig.1Diagram of CSMRI:(a)k-domain;(b)Image Domain;(c)Sparse Transform;(d)Artifacts;
(e)Random Subsampling;(f)Reconstruction Image
提出压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论。CS 通过信号的稀疏性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美重建原始信号。CS 理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。2006年Candes 与Do-noho 在https://www.360docs.net/doc/742149044.html,rm.Theory 分别发表的“Near-Optimal Signal Recovery From Random Projec -tions:Universal Encoding Strategies ”与“Compressed S -ensing ”两篇论文论文分享了2008年IEEE 信息理论学会最佳论文奖[7]。2007年，Rice 大学的Baraniuk 与Kelly 教授，发明了一种新型的压缩感知数码相机，被麻省理工学院(MIT)下属的MIT Technology Review 杂志评为2007年度十大技术进展(TR10)[8]。2009年，MIT Technolgoy Review 专门发文，评述“Why Com press Sensing will change the world (为什么压缩感知会改变世界)”[9]。
本文主要介绍CS 在MRI 领域的应用，即压缩感知磁共振成像(CSMRI)技术。
1CSMRI 基本理论
传统MRI 采集k 域信号，再通过傅立叶变换重
建空域信号，得到组织内部影像。由于傅立叶变换是线性变换，因此需要采集的k 域信号数必须等于图像域的像素数[10]。2007年Lustig 等[11]提出CSMRI 的概念，只用部分k 域数据，即可重建原始图像。CSMRI 需要下列三个条件：(1)MRI 图像是可稀疏的；(2)k 域亚采样引起的混叠伪影是非相干的；(3)非线性重建方法可将稀疏域中被欠采样分散的值重新集中。
图1给出CSMRI 的示意图。其中，MRI 的k 域(图1（a ）)与图像域(图1（b ）)互为傅立叶变换。MRI 图像的可稀疏性(图1（c ）)表明，k 域全采集是冗余的，理论上只用部分k 域数据即可重建原始图像。然而，k 域欠采样会带给重建图像伪影(图1d)，这是由于k 域欠采样使得空域像素之间相互影响，在稀疏域中体现为非零值扩散到其他零值上。尤其是进行k 域均匀欠
采样时，重建的图像产生强烈的混叠伪影。因此，一般采用随机欠采样方式(图1（e ）)，降低均匀欠采样引起的数据相干性，最后通过合适的非线性重建算法，重建原始图像(图1（f ）)。
假设x 表示原始图像，y 表示欠采样k 域，z 表示稀疏域，三者均矢量化为列向量，则存在下列关系：
y=F u x
（1）z=Φx
（2）式中，F u 表示k 域欠采样，称为测量矩阵；Φ表示稀疏变换，称为稀疏矩阵。式(1)是一个欠定系统，无法直接求解x 。因此需要将式(2)转为一个约束条件，一般假定z 最稀疏时，对应的x 即为解：
arg min||Φx ||0
（3）s .t .y =F u x
另外，由式(1)(2)可推导出y =F u Φ-1z ，再引入矩阵Ψ，令y =Ψz ，可得
Ψ=F u Φ-1
（4）式中Ψ必须满足限制等容性(Restricted Isometry Property,RIP)条件。
式(1)(2)再次验证了构造一个CSMRI 系统需要的3个条件[12]：(1)稀疏矩阵Φ，使得图像在稀疏域中仅有较少的非零系数；(2)测量矩阵F u ，要求矩阵Ψ=F u Φ-1满足RIP 条件；(3)非线性重建算法，能够迅速
且准确求解。
2稀疏变换
稀疏变换Φ将原始图像映射到稀疏域中，使得稀疏域的非零系数更稀疏。一般不同的稀疏变换适用于不同类型的图像。数学上，Φ的构造需要通过寻找一组正交基，使图像在这组基上的变换系数更稀疏。工程上，经常采用如下常见的稀疏变换，包括离散傅立叶变换(DFT)、离散余弦变换(DCT)、有限差分变换(FDT)、离散小波变换(DWT)等。
通过脑MRI 和脑血管造影图，比较DCT 、DWT 、FDT 三种稀疏变换的性能，见图2。最左列是原始图
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图2DCT 、DWT 、FDT 的稀疏表示比较:(a)脑MRI;(b)脑血管造影
Fig.2Comparison Among DCT,DWT and FDT on the Sparsity Representation.(a)Brain MRI;(b)Angiogramof the Cerebral
（a ）
（b ）
图3二维欠采样模式示意图.横轴表示128点的PE ，纵轴表示FE.(a)随机欠采样；(b)变密度欠采样；(c)基于能量谱的自适应随机欠采样
Fig.3Diagram of 2D Subsampling Patterns.The x-axis Represents 128-point Phase Encoding,The y-axis Represents Frequency Encoding.(a)
Random Subsampling;(b)Variable Density Subsampling (c)Adaptive Random Subsampling Based on Power Spectrum
（a ）（b ）（c ）
像，第二列显示稀疏域的系数幅值，采用对数增强以便观察，显然稀疏域下的非零系数较图像域更稀疏。第3-5列分别显示仅通过稀疏域的1%、5%、10%的最大系数重建结果。采用均方误差(MSE)与平均绝对误差(MAE)来检验效果，结果示于表1。可见对于脑MRI 图像，DWT 重建的误差最小；对于血管造影图像，FDT 重建误差最小。因此，针对不同图像，选择不同的稀疏变换，可得最优重建效果。
3不相干欠采样
在CSMRI 中，由于稀疏变换Φ是固定的，因此只有通过设计测量矩阵F u 来实现不相干欠采样，从而保证Ψ满足RIP 条件。在二维MRI 中，测量矩阵体现为k 域的采集模式。由于采集收到硬件因素的限制，因此在频率编码(FE)方向不间断，而在相位编码
(PE)方向进行欠采样。当采集结束后，k 域就变为随机
且稀疏分布的平行线。
图3给出了3种二维欠采样的模式图。图3(a)显示严格按照CS 理论的随机采样方法，采样在PE 方向随机分布，每条PE 线被选定的概率是相等的。图3(b)显示了CSMRI 的扩展方法：可变密度(Variable Density,VD)采样[13]，此时大部分采样集中在中心区域，可更好保留图像信息。图3(c)显示了基于能量谱的自适应随机采样方法[14]，通过采集大量的参考k 域案例，估计出最佳采样模式。
三维情况下，一般设其中一维是FE 方向，另两维是PE 方向。相比二维成像，多出的一维可采用随机编码，其测量矩阵有更好的不相干性，加速因子可达数十倍[12]。
4非线性重建算法
式(3)需要求解最小l 0范数，由于其是NP-Hard 问题，因此常用l 1范数代替l 0范数，问题简化为：
arg min||Φx ||1(5)
s.t.y =F u x
式(5)是线性约束凸优化问题，可采用基追踪(Basic
Pursuit,BP)[15]、匹配追踪(Matching Pursuit,MP)[16]、正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[17-18]等方法求解。实际问题中，亦可选用基追踪去噪法(Basis Pursuit Denoising,BPDN)[19-21]，优点在于：（1）可去除观测中包含的噪声，（2）可平衡F u x 和y 的一致性，与
表1三种稀疏变换重建性能比较
Tab.1Reconstruction Comparison Among Three Types of Sparse
Ttransform
MSE
MAE 1%
5%
10%
1%5%
10%
Brain MRI DCT 113.5721.707.69 6.94 3.24 2.00DWT 108.3716.14 5.97 6.28 2.91 1.76FDT 1322.08286.89349.3125.4611.8512.24Angiography DCT 315.14140.1690.6510.16 6.53 5.43DWT 5507.61 2.76040.610.290FDT 1678.16
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Φx 的稀疏性。BPDN 将式(5)转换为
arg min 12
||y-F u x ||2
2+λ｜｜Φx ||1
(6)
式(6)是一般模型。其中，λ平衡一致性与稀疏域(一般是小波域)的稀疏性。下面分析几种常见修正方法。4.1Tikhonov 正则化
Tikhonov 正则化算子用||Rx ||2代替式(6)的第二项为
arg min||y-F u x ||22+λ｜｜Rx ||2
2
(7)
因此可直接求得理论为：
x *=(F u H
F u +λR H
R )-1F H
u y
(8)
缺点是该方法假设噪声是高斯分布，违背MRI 的原理。当加速因子升高时，Tikhonov 的重建质量迅速降低。
4.2全变差算子
全变差(Total Variation,TV)考虑MRI 图像的局部光滑性(空间差分域稀疏性)：
TV (x )=Σi
Σ
j
(x i,j -x i -1,j )2+(x i,j -x i ,j-1)
2
姨(9)
结合MRI 图像的空间差分域的稀疏性，式(6)可修正为：
arg min 12
||y-F u x ||2
2+λ｜｜Φx ||1+λ1TV (x )(10)
式中，λ1平衡一致性与空间差分域稀疏性。式(10)引入了TV 分量，导致求解更加复杂，可采用联合正则化迭代算法[22-24]求解。TV 较适用于分段平滑的图像，例如Shepp-Logan 模型。4.3ISTA 算法系列
迭代收缩阈值算法(ISTA)[25]采用收缩算子(软阈值)，其定义为：
S λ(u )=(|u |-min(λ/2,|u |))sgn(u )=arg min|u-x |2+λ|x |(11)ISTA 通过收缩算子，迭代产生一系列x 的估计值，最终可收敛到最优解x *。在ISTA 基础上，Bayram 等[26]提出子带自适应ISTA(SISTA)；Beck 等[27]提出快速ISTA(FISTA)；Guerquin-Kern 等[28]提出快速权重ISTA (FWISTA)。
5研究与应用现状
限于篇幅，对目前CSMRI 进展简要汇报如下：Yang 等[29]提出替换方向法(Alternating Direction Meth-od)来求解不完全k 域测量，该方法仅需少量迭代次数，包括简单的收缩和两次快速傅立叶变换/离散余弦变换。Qu 等[30]认为单一的稀疏变换不适用于所有类型的图像，提出一种改进的稀疏变换，可针对不同类型的图像进行稀疏采样。Vaswani 等[31]提出一种基于最小方差残差的压缩感知技术。证明了当稀疏模式
缓慢变化时，CS 残差的界限小于CS 误差。Akcakaya 等[32]认为，由于高空间分辨率以及呼吸和心脏跳动，使得冠状动脉MRI 需要较长时间的数据采集。因此将CS 用于冠状MRI ，并给出一种基于贝叶斯最小方差与高斯尺度混合改进的CS 重建方法，采用小波域系数的依赖性以减少模糊与伪迹。Blumensath 等[33]考察了当采样与重建信号落在希尔伯特空间一个或多个子空间时的情况，并假设了无限维希尔伯特空间中的无限多个子空间。基于如上假设，统一了CS 领域最新的结果包括仿射秩最小化、同源CS 、结构化矩阵分解等。Lingala 等[34]提出一种新的盲压缩感知框架，以从欠采样信号中重建动态MRI 。该方法模拟动态信号为时域基信号系数的线性组合，并构建了一个大型词典涵盖时域基信号。Bilen 等[35]认为MRI 是CS 应用最成功的领域之一，而增强型拉格朗日方法又优于其他重建方法。提出一种新的基于分析与综合先验公式的增强型拉格朗日方法，以及在笛卡尔坐标系下的基于采样模式与系统传递函数的奇异值分解的重建方法。实验显示该方法优于其他流行方法，尤其对于动态MRI 的情况。Wech 等[36]提出将CS 应用在磁共振电影成像上，使用临床前9.4T 的MRI 系统，对正常老鼠心脏实现2~3倍的加速采集。重建影像证实方案可行，不损害心脏功能性参数，结果与正常采样相当。
6结论
CSMRI 是一项在应用数学基础上发展起来的快速MRI 新技术[37]。它充分利用了k 域信息冗余特性，
经过稀疏变换、不相干欠采样、非线性重建三个部分，实现了部分k 域数据重建组织影像的过程，加快了成像速度。本文着重介绍了CS 的成像机理与算法，对其医学应用未有太多关注，如如何选择加速倍速、不同扫描部位的稀疏基的选择等。
从目前的研究与应用现状来看，CSMRI 还有很好的发展潜力，在很多成像模态上还未完全开发，例如：MR 血管壁成像、MR 分子成像、超极化成像、磁敏感度成像、波谱成像[38]、功能成像[39]、介入式成像等。同时，CSMRI 也存在诸多问题，其理论研究尚未完善，商用系统尚处于研发阶段，许多关键问题尚未解决。最后，CSMRI 亦可与钥孔成像、并行成像等其他加速方式等协同工作，有望进一步加速扫描。【参考文献】
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压缩感知简介
2011.No31 0 3.2 熟悉结构施工图 结构施工图是关于承重构件的布置,使用的材料、形状、大小及内部构造的工程图样,是承重构件以及其他受力构件施工的依据。 看结构施工图最难的就是钢筋，要把结施图看懂就要知道钢筋的分布情况，现在都是在使用平法来标示钢筋，所以也要把平法弄懂才行。在识读与熟悉结施图的过程中应该充分结合钢筋平法表示的系列图集，搞清楚： a 各结构构件的钢筋的品种，规格，以及受力钢筋在各构件的布置情况。 b 箍筋与纵向受力钢筋的位置关系。 c 各个构件纵向钢筋以及箍筋弯钩的角度及其长度。 d 熟悉各构件节点的钢筋的锚固长度。 e 熟悉各个构件钢筋的连接方式。 f 熟悉在钢筋的搭接区域内，钢筋的搭接长度。 g 核算钢筋的间距是否满足施工要求，尤其是各个构件节点处的钢筋间距。 h 弯起钢筋的弯折角度以及离连接点的距离。 除此以外，对于钢筋混凝土构件，还应该熟悉各个构件的砼保护层厚度，各个构件的尺寸大小、布置位置等。特别注意的是对于结施图的阅读应充分结合建施图进行。 4 结束语 在熟悉施工图纸的过程中，施工技术人员对于施工图纸中的疑问，和比较好的建议应该做好记录，为后续工作（图纸自审和会审）做好准备。 参考文献 [1]《建筑识图》周坚主编 中国电力出版社 2007年；[2]《建筑工程项目管理》银花主编 机械工业出版社 2010年； 摘 要 压缩感知（Compressive Sensing, CS）理论是一个充分利用信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论。本文系一文献综述，主要介绍了压缩感知的三部分即信号的稀疏表示、测量矩阵的设计、信号恢复算法的设计。 关键词 压缩感知 稀疏表示 测量矩阵 信号恢复算法 1 引言 1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特（Nyquist）首先提出，1948年信息论的创始人C.E.香农（Shannon）又对其加以明确说明并正式作为定理引用的奈奎斯特采样定理，是采样带限信号过程所遵循的规律。它指出：在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。该理论支配着几乎所有的信号/图像等的获取、处理、存储、传输等。随着科技的发展，成为目前信息领域进一步发展的主要瓶颈之一，主要表现在两个方面： (1)数据获取和处理方面。在许多实际应用中(例如超宽带信号处理、核磁共振、空间探测等），Nyquist采样硬件成本昂贵、获取效率低下，信息冗余及有效信息提取的效率低下，在某些情况甚至无法实现。 (2)数据存储和传输方面。通常的做法是先按照Nyquist方式获取数据，然后将获得的数据进行压缩，最后将压缩后的数据进行存储或传输，这样会造成很大程度的资源浪费。另外，为保证信息的安全传输，通常以某种方式对信号进行编码，这给信息的安全传输和接收带来一定程度的麻烦。 近年来，由D .D o n o h o (美国科学院院士)、E . Candes(Ridgelet， Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者，2008年被评为世界上最聪明的科学家)等人提出了一种新的信息获取指导理论，即压缩感知（Compressive Sensing(CS)，或称Compressed Sensing、Compressed Sampling）。该理论指出：对可压缩的信号通过远低于Nyquist标准的方式进行数据采样，仍能够精确地恢复出原压缩感知简介 刘太明1 黄 虎2 （1、成都理工大学,四川成都,610059;2、成都理工大学,四川成都,610059） 始信号。该理论一提出，就在信息论、信号/图像处理、医疗成像、模式识别、地质勘探、光学/雷达成像、无线通信等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。 2 CS基本原理 信号x∈R n×1压缩传感的测量过程可以表示为y=Ax∈R M×1,M< 压缩感知理论综述 摘要：信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，但其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。压缩感知（Compressed Sensing）提出一种新的采样理论，它能够以远低于Nyquist采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论，着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的最新进展，并介绍了压缩感知的应用及仿真，举例说明基于压缩感知理论的编解码理论在一维信号、二维图像处理上的应用。 关键词：压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；编码；解码 一、引言 Nyquist采样定理指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高。解决这些压力常见的方案是信号压缩。但是，信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说是非信息的。 于是很自然地引出一个问题：能否利用其它变换空间描述信号，建立新的信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于Nyquist 采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。与信号带宽相比，稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域起着至关重要的作用。近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知或压缩采样的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。 简单地说，压缩感知理论指出：只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架 基于压缩感知的图像重构模型的设计 压缩感知打破了传统的奈奎斯特采样定律，可以用远小于奈奎斯特采样定律所要求的采样率从较少的测量值中高精度的重构出原始信号。文章利用MATLAB GUI对基于压缩感知理论的图像压缩重构模型进行设计，该模型界面友好，操作简单方便。 标签：压缩感知；小波变换；图像重构；模型设计 引言 压缩感知理论为信号采集带来了革命性的突破，在信号具有可压缩性或稀疏性的前提下，压缩感知理论能以远低于奈奎斯特频率的采样率对信号进行采样，通过数值最优化准确重构原始信号[1-4]。压缩感知理论是编解码思想的一个突破，减轻了信号采样、传输和存储遇到的巨大压力，是一种信息获取及处理的全新的理论框架。 本文将利用MATLAB GUI进行基于压缩感知理论的图像重构模型的设计，使模型使用者方便操作界面。MATLAB是Math Works公司用C语言开发的集编程、数据结构和图形用户界面于一身的广泛被大家使用并具备矩阵及科学计算功能的一款较完备的软件，在该软件平台下进行的仿真以及系统模型的设计，在界面和性能上面远远超过很多软件，其专业性更是使其在很多领域有广泛的应用，其中能快速的利用图形用户界面（GUI）方式进行程序设计，这给设计者带来了极大的便利[5]。 1 基于小波变换的压缩感知 本节通过对原始图像采用小波变换，从而获得稀疏的小波系数矩阵，并利用高斯随机测量矩阵对稀疏变换后的小波系数进行测量，得到M个测量值，再通过OMP算法重构小波变换域下的稀疏矩阵，最后通过稀疏逆变换就可以得到重构后的图像。 本节选取大小为256×256的图像X，采样率为0.5对图像进行变化重构。本文实验仿真所得的PSNR值均经过10次仿真测量求平均值所得。 2 模型设计的主要步骤 根据上述基于小波变换的压缩感知进行模型设计[6]，主要步骤包括： （1）根据需求制定模型的重点功能，继而根据功能设计各个功能子模块。 （2）根据初始需求以及大致目标设计出最原始的软件界 压缩感知? 许志强? 中国科学院数学与系统科学研究院, 计算数学与科学工程计算研究所, 科学与工程计算国家重点实验室,100190,北京 2012年1月12日 摘要 压缩感知是近来国际上热门的研究方向.其在信号处理中具有很好的应用前景. 此外,它与逼近论、最优化、随机矩阵及离散几何等领域密切相关,由此产生了一些漂 亮的数学结果.本文综述压缩感知一些基本结果并介绍最新进展.主要包括RIP矩阵 编码与?1解码的性能,RIP矩阵的构造,Gelfand宽度,个例最优性及OMP解码等. 1引言 现实世界中,人们经常需要对信号进行观测,例如医学图像成像、CT断层扫描等,以期通过观测信息对原始的信号进行重建.由于计算机的离散化存储,我们可将需重建的信号x抽象为一N维向量,可将对信号x的观测抽象为用一n×N的矩阵Φ与信号x进行乘积.例如在CT扫描中,矩阵Φ通常选择为离散Fourier矩阵.那么,我们所观测的信息为 y=Φx.(1)人们自然而问:为重建信号x,至少需要多少次观测?由线性代数知识可知,为使方程组(1)的解存在且唯一,我们须选择n≥N.也就是说,我们需要至少进行n=N次观测.然而,现实世界中的自然信号通常具有一定规律性.对这种规律性,一种常用的刻画方式是自然信号在一组基底表示下是稀疏的.这里的“稀疏”是指它们用一组基底展开后,大多数系数为0,或者绝对值较小.例如,自然图像用小波基底展开后,一般而言,其展开系数大多 ?国家自然科学基金(11171336)及创新群体(11021101)资助. ?Email:xuzq@https://www.360docs.net/doc/742149044.html, 1 数绝对值较小.这也就是图像能够进行压缩的原理.然而,这同时为人们减少观测次数n 从理论上提供了可能性.因而,压缩感知的主要任务为:对尽量小的n,设计n×N观测矩阵Φ,以及通过Φx快速恢复x的算法.所以,压缩感知的研究主要分为两方面：矩阵Φ的设计;与反求信号x的算法. 本文主要介绍压缩感知的一些基本结果.在每节里,我们采用注记的方式介绍当前的一些研究进展及研究问题,同时提供与之相关的参考文献,以使感兴趣的读者可进一步探索.本文组织结构如下:第2节中我们介绍了稀疏信号精确恢复的编码、解码方法.特别是,我们将介绍矩阵的零空间性质,及RIP矩阵编码与?1解码的性能.我们在第3节中介绍RIP矩阵的构造方法,包括随机矩阵、结构随机矩阵及确定性矩阵.在第4节中,为理解最优编码、解码对的性能,我们介绍了Gelfand宽度与编码、解码对性能的关联.我们在第5节中介绍了编码、解码对在不同范数意义下的个例最优性.最后一节简要介绍实现解码的算法. 2稀疏信号的恢复 为方便介绍压缩感知理论,我们将信号的稀疏性简单理解为信号中非0元素数目较少.我们所指的信号即为一向量x∈R N.我们用Σs表示s-稀疏向量集合,即 Σs:={x∈R N:∥x∥0≤s}, 这里∥x∥0表示x中的非0元素数目.所谓对信号x0∈R N编码,即指用一n×N的矩阵Φ与x0∈R N进行乘积,那么我们得到 y=Φx0. 此处,y∈R n即为我们所观测到的关于x0的信息.所谓解码,就是试图通过y反求x0,也就是寻找一从R n到R N的映射,我们将该映射记为?.我们用?(y)表示反求结果.一般而言,若n 压缩感知理论 一、压缩感知理论简介 压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。它在信息论、图像处理、地球科学、光学、微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。 二、压缩感知产生背景 信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist 采样定理。定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist 采样定理对采样的本质要求。但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。为了缓解对信号传输速度和存储空间的压力，当前常见的解决方案是信号压缩但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量采样数据在压缩过程中被丢弃了，它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。故而就有人研究如何很好地利用采集到的信号，压缩感知是由 E. J. Candes 、J. Romberg 、T. T ao 和D. L. Donoho 等科学家于2004 年提出，压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。 三、压缩感知理论 压缩感知理论主要涉及到三个方面，即信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法的构造。稀疏信号广义上可理解为信号中只有少数元素是非零的，或者信号在某一变换域内少数元素是非零的。那么在我们如果只保留这些非零数据，丢弃其他的系数，则可以减小储存该信号需要的空间，达到了压缩(有损压缩）的目的，同时，这些系数可以重构原始信号，不过一般而言得到的是X 的一个逼近。在实际生活中有很多数字信号都是稀疏信号或者在某一变换域内是稀疏的，这样压缩感知理论的第一个方面就可以得到满足。如果信号N x R ∈在某变换域内是稀疏的，可以用一组正交基12[,,,]N ψψψψ= 线性组合表示：1 N i i i x s s ψ===ψ∑，其中式中，是对应于正交基的投影系数。由稀疏性可知其内只含有少数不为零的数，感知信号y 可表示为：y x s s =Φ=Φψ=Θ，Φ就为测量矩阵，Ψ为稀疏表示矩阵，当测量矩阵与稀疏表示矩阵不相关时就可以从s 中不失真的恢复出原始信号x ，常用的测量矩阵有高斯随机阵等。接下来是算法的重构，由于用少数信号恢复原来的大信号，这是一个欠定问题，一般用最优化方法来求解。这就是压缩感知理论体系的基本理论。 四、对这一创新案例的分析 https://www.360docs.net/doc/742149044.html, 压缩感知磁共振成像技术综述 王水花，张煜东 南京师范大学计算机科学与技术学院，江苏南京210023 【摘 要】目的:综述近年来压缩感知磁共振成像技术的研究进展。方法:磁共振成像是目前临床医学影像中最重 要的非侵入式检查方法之一，然而其成像速度较低，限制其发展。压缩感知是一种新的信号采集与获取理论，它利用信号在特定域上的稀疏性或可压缩性，可通过少量测量重建整个原始信号。压缩感知磁共振成像技术将压缩感知应用到磁共振成像中，可在相同的扫描时间内获得更精细的空间组织结构，也可在相同的空间分辨率下加速成像。结果:本文概述了压缩感知磁共振成像的理论基础，分别从稀疏变换、不相干欠采样、非线性重建三个方面具体阐述，最后讨论了其研究展望与应用现状。结论:压缩感知磁共振成像具有较好的发展潜力，有逐渐增长的医用与商用价值。 【关键词】磁共振成像；压缩感知；稀疏变换；不相干欠采样；非线性重建【DOI 编码】doi:10.3969/j.issn.1005-202X.2015.02.002【中图分类号】R312；R445.2 【文献标识码】A 【文章编号】1005-202X （2015）02-0158-05 Survey on Compressed Sensing Magnetic Resonance Imaging Technique WANG Shui-hua,ZHANG Yu-dong School of Computer Science and Technology,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China Abstract:Objective This paper focuses on the survey of compressed sensing in magnetic resonance imaging （CSMRI ）.Meth -ods Magnetic resonance imaging is one of the most crucial non-invasive diagnostic implements in routine clinical examination.However,it is often limited by long scan https://www.360docs.net/doc/742149044.html,pressed sensing is a novel theory of signal acquisition and processing.It capitalizes on the signal's sparseness or compressibility in specific domain,allowing the entire original signal to be reconstruct-ed from relatively few measurements.CSMRI is proposed by integrating compressed sensing into MRI,providing more precise spatial tissue structure than normal technique in the same scan time,and accelerating imaging in the same spatial resolution.Results In this study we discussed in depth three components as sparse transform,incoherent subsampling,and nonlinear re-construction.We conclude the paper by discussing the research prospects and applications of CSMRI.Conclusion CSMRI has good development potential,and has increasing values for medical and commercial applications. Key words:magnetic resonance imaging;compressed sensing;sparse transform;incoherent subsampling;nonlinear recon-struction 前言 1971年，纽约州立大学的Paul https://www.360docs.net/doc/742149044.html,uterbur 教授提出磁共振成像(MRI)，并于2003年获得诺贝尔生理医学奖。MRI 利用核磁共振原理，由于能量在不同物 质结构中有不同的衰减[1]，通过外加梯度磁场检测电 磁波，可知构成物体原子核的位置和种类，从而绘制物体内部影像[2-3]。 MRI 是目前少有的对人体无伤害的安全、快速、准确的临床诊断方法，具有多方位、多参数、多模态等优点，不仅可显示人体组织的解剖信息，而且可显示功能信息。MRI 在临床上有广泛的应用，如今每年至少有6000万病例利用MRI 技术进行检查。但MRI 扫描时间过长、成像较慢[4]，造成以下几个问题[5]：（1）给病人造成额外的痛苦；（2）由于器官运动（例如呼吸、眨眼、吞咽等非自主运动）造成图像模糊，增加伪影；（3）无法满足动态实时成像与导航的需要；（4）限制功能成像的推广，如波谱成像、磁敏感加权成像等。 2006年Candes 等[6]在前人的基础上，系统性地 【收稿日期】2014-12-21 【基金项目】国家自然科学基金(610011024)；南京师范大学高层次人才 科研启动基金(2013119XGQ0061,2014119XGQ0080) 【作者简介】王水花，女，助教，研究方向：生物图像处理。【通信作者】张煜东，男，博士，教授，研究方向：医学图像处理。 158-- 毕业设计（论文） 课题名称基于MATLAB的图像压缩感知 算法的实现 目录 目录......................................................... I 第1章绪论.. (1) 1.1 研究背景和意义 (1) 1.2 数据压缩技术 (2) 1.2.1 传统数据压缩技术 (2) 1.2.2 压缩感知理论（Compressed/Compressive Sensing/Sampling, CS） (3) 1.3 无线传感器网络 (6) 1.3.1 无线传感器网络概述 (6) 1.3.2 无线传感器网络数据压缩的必要性 (7) 1.4 本文主要工作和内容安排 (8) 第2章压缩感知理论 (9) 2.1压缩感知的前提条件—稀疏性和不相干性 (10) 2.2 三个关键技术 (13) 2.3信号的稀疏表示 (13) 2.4 观测矩阵设计 (15) 2.5 稀疏信号的重构 (17) 2.6 重构算法 (18) 2.7 压缩感知优势及不足 (20) 2.8 压缩感知在传感网中的观测方式 (21) 第3章压缩感知理论应用概述 (22) 3.1 压缩成像 (22) 3.2 模拟信息转换 (23) 3.3 生物传感 (23) 3.4 本章小结 (24) 第4章 CS在无线传感网中的应用 (24) 4.1 研究背景 (25) 4.1.1 基于感知数据相关性的压缩 (25) 4.1.2传统压缩重构方法 (25) 4.1.3 图像压缩重构质量的评价 (26) 4.2 压缩感知理论算法对一维信号的实现 (28) 4.2.1 CS用于WSN的优势 (28) 4.2.2 观测重构模型 (28) 4.2.2 正交匹配追踪算法（OMP） (29) 4.2.3 算法的实现及结果分析 (30) 4.3 压缩感知理论算法对二维图像重构的实现 (34) 4.3.1 基于小波变换的分块压缩感知理论 (34) 4.3.2 实现步骤 (35) 4.3.3 重构结果及分析 (38) 4.4 本章小结 (42) 第5章总结与展望 (42) 5.1 工作总结 (42) 5.2 后续展望 (43) 参考文献 (43) 致谢 (45) 附录 (46) 压缩感知新技术专题讲座(二) 第3讲 压缩感知技术中的信号稀疏表示方法 X 周 彬1,朱 涛2,张雄伟3 (1.解放军理工大学指挥自动化学院研究生2队,江苏南京210007; 2.中国人民解放军66242部队,内蒙古锡林郭勒026000; 3.解放军理工大学指挥自动化学院信息作战系)摘 要:信号的稀疏表示是信号分析领域的基本问题,也是近几年兴起的压缩感知理论的基础。文章首先 分析了信号稀疏表示的基本原理,然后介绍了当前信号稀疏表示的主要方法,并重点阐述了基于过完备字典的稀 疏表示方法及其在压缩感知中的应用,最后总结了稀疏表示所面临的问题和未来发展方向。 关键词:稀疏表示;压缩感知;字典学习 中图分类号:T N 911.7文献标识码:A 文章编号:CN 32-1289(2012)01-0085-05 Sparse Representation of Signals in Compressive Sensing ZH OU Bin 1,ZH U T ao 2,ZH A N G X iong -w ei 3 (1.Postg r aduate T eam 2ICA ,PL A U ST ,Nanjing 210007,China ; 2.U nit 66242of P LA , Xiling uole 026000,China; 3.Depar tment of I nfo rm atio n O peration Studies ICA ,PL A U ST ) Abstract :T he sparse representation is a basic problem in signal analy sis field and also the basis o f the new emerging compressiv e sensing theory .The definitio n and principles of the sparse representation w ere firstly reviewed.And then some m ain m ethods o f the sparse representation, especially those based on the overco mplete dictionary w er e inv estig ated .The applications of the sparse repr esentation in CS w er e discussed.Some problem s to so lve were given and further devel- opm ent w as pointed out . Key words :sparse representation;com pressive sensing ;ov ercomplete dictionary 随着现代传感器技术的发展,许多领域面临着日益膨胀的海量数据,如地球物理数据、视频数据、天文数据、基因数据等。如何实现对这些数据更为灵活、简洁的表达已成为一个倍受关注的问题。传统的信号表示方法通常是基于正交基(如傅里叶基,小波基)的展开。为了实现信号的灵活、简洁和自适应的表示,一种更好的信号分解方式是根据信号本身的特点,自适应地选择合适的基函数,来完成信号的分解,从而得到信号的一个非常简洁的表达,即稀疏表示。由于信号的稀疏表示能在一定程度上自然地贴近信号的本质特征,因而对稀疏分解的研究有极其重要而深远的理论意义和广泛的应用价值。 目前,稀疏表示被广泛应用于信号处理和图像处理的各个领域,如图像压缩、音频压缩、噪声抑制、盲信号分离、地震数据处理、系统辨识、雷达成像处理等等。尤其是近年来新兴起的压缩感知(com pressed sensing)理论[1,2],其优点就是针对可稀疏表示的信号,将传统的数据采集与数据压缩合二为一,在获取信号同时对数据进行压缩。压缩感知理论的一个重要基础和前提就是选择信号的稀疏域,只有选择合适的基矩阵才能保证信号的稀疏度,从而保证信号的恢复精度。由于压缩感知理论的提出和蓬勃发展,稀疏表示越来 第33卷第1期 2012年3月军 事 通 信 技 术Jour na l o f M ilitar y Co mmunicatio ns T echnolog y V ol.33N o.1M ar.2012X 收稿日期:2011-10-18;修回日期:2011-12-12 作者简介:周 彬(1986-),男,博士生. 压缩感知原理(附程序) 1压缩感知引论 传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图2.1。 图2.1 传统的信号压缩过程 在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。 由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。 2压缩感知原理 压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。CS理论利用到了许多自然信号在特定的基 上具有紧凑的表示。即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。 基于压缩感知的图像重构技术研究 压缩感知理论表明，若信号在某变换域具有稀疏表示，且采样矩阵与稀疏矩阵不相关，则可从远低于信号维度的少量非自适应测量值中精确恢复原信号。目前，压缩感知理论已被广泛用于各类磁共振成像中，以便在不降低成像质量的情况下减少采样点数，提高系统扫描速度。 本文即研究从亚采样的磁共振数据中，怎样快速而有效地恢复目标图像。主要研究内容包括：（1）为消除亚采样的磁共振成像重构时可能出现的过光滑（over-smoothed）和混叠伪影现象，将重构问题转化成含复合正则项的约束最小化问题，并提出一种高效的算法来求解。 该算法首先利用Bregman迭代技术，将约束问题转化成一系列无约束问题。然后利用算子分裂技术，将各无约束问题分解成一个梯度问题和一个能使用修改的SBD（Splitting Bregman Denoising）算法来求解的复合正则项的去噪问题。 最后再用加速方案对无约束问题的求解予以加速。本文将该算法称作BFSA （Bregman based Fast SBD Algorithm）。 对非笛卡尔轨迹采样的重构，本文还提出了一种动态更新L的方法。实验结果表明，新算法能够获得比其他算法更好的重构质量。 （2）为了克服现有动态磁共振成像重构速度较慢的问题，本文基于BFSA 算法框架，提出一种高效的动态磁共振成像重构算法ktBFSA。该算法利用SBD3D （Splitting Bregman Denoising for3D images）来求解含复合正则项的3D去噪问题。 实验结果表明，ktBFSA在重构速度和重构质量上都有优势。（3）SENSE （Sensitivity encoding）是常用的并行磁共振成像技术，引入压缩感知后重构 压缩感知原理 1压缩感知引论 传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量 的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图 2.1。 在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。 由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。 2压缩感知原理 压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。CS理论利用到了许多自然信号在特定的基上具有紧凑的表示。即这些信号 是“稀疏”的或“可压缩”的。由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。 对于一个实值的有限长一维离散时间信号 X ,可以看作为一个R N空间N X 1的 维的列向量，元素为n, n,=1 , 2,…N。R N空间的任何信号都可以用N X1维 压缩感知技术综述 摘要：信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，但其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。压缩感知（Compressed Sensing）提出一种新的采样理论，它能够以远低于Nyquist采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论，着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的最新进展，并介绍了压缩感知的应用及基于压缩感知SAR成像的仿真。 关键词：压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；SAR成像； Abstract: Signal sampling is a necessary means of information world physical world to the digital simulation. Over the years, the base theory of signal sampling is the famous Nyquist sampling theorem, but a large amount of data generated by the waste of storage space. Compressed sensing and put forward a new kind of sampling theory, it can be much less than the Nyquist sampling signal sampling rate. This paper introduces the basic theory of compressed sensing, emphatically introduces the new progress in three aspects of signal sparse representation, design of measurement matrix and reconstruction algorithm, and introduces the application of compressed sensing and Simulation of SAR imaging based on Compressive Sensing Keywords: Compressed sensing; Sparse representation; The observation matrix; SAR imaging; 0 引言 Nyquist采样定理指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高。解决这些压力常见的方案是信号压缩。但是，信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说是非信息的。 于是很自然地引出一个问题：能否利用其它变换空间描述信号，建立新的信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于Nyquist 采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。与信号带宽相比，稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域起着至关重要的作用。近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知或压缩采样的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。 压缩感知理论综述摘要：信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理，但其产生的大量数据造成了存储空间的浪费。压缩感知(Compressed Sen si ng)提出一种新的采样理论，它能够以远低于Nyquist采样速率采样信号。本文详述了压缩感知的基本理论，着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的最新进展，并介绍了压缩感知的应用及仿真，举例说明基于压缩感知理论的编解码理论在一维信号、二维图像处理上的应用。 关键词：压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；编码；解码 一、引言 Nyquist采样定理指出，采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。然而随着人们对信息需求量的增加，携带信息的信号带宽越来越宽，以此为基础的信号处理框架要求的采样速率和处理速度也越来越高。解决这些压力常见的方案是信号压缩。但是，信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。从这个意义而言，我们得到以下结论：带宽不能本质地表达信号的信息，基于信号带宽的Nyquist采样机制是冗余的或者说 是非信息的。 于是很自然地引出一个问题：能否利用其它变换空间描述信号，建立新的信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于Nyquist 采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。与信号带宽相比，稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息。事实上，稀疏性在现代信号处理领域起着至关重要的作用。近年来基于信号稀疏性提出一种称为压缩感知或压缩采样的新兴采样理论，成功实现了信号的同时采样与压缩。 简单地说，压缩感知理论指出：只要信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框架 下，采样速率不再取决于信号的带宽，而在很大程度上取决于两个基本准则：稀疏性 压缩感知技术研究进展 摘要：信号采样是联系模拟信源和数字信息的桥梁.人们对信息的巨量需求 造成了信号采样、传输和存储的巨大压力. 如何缓解这种压力又能有效提取承载在信号中的有用信息是信号与信息处理中急需解决的问题之一. 近年国际上出现的压缩感知理论(Compressed Sensing,CS)为缓解这些压力提供了解决方法. 本文综述了CS 理论框架及关键技术问题, 并介绍了仿真实例、应用前景, 评述了其中的公开问题,对研究中现存的难点问题进行了探讨,最后对CS技术做了一下总结和展望. 关键词：压缩感知；稀疏表示；观测矩阵；编码；解码 Advances in Theory and Application of Compressed Sensing Abstract：Sampling is the bridge between analog source signal and digital signal. With the rapid progress of information technologies, the demands for information are increasing dramatically. So the existing systems are very difficult to meet the challenges of high speed sampling, large volume data transmission and storage. How to acquire information in signal efficiently is an urgent problem in electronic information fields. In recent year s, an emerging theory of signal acquirement. compressed sensing(CS) provides a golden opportunity for solving this problem. This paper reviews the theoretical framework and the key technical problems of compressed sensing and introduces the latest developments of signal sparse representation, design of measurement matrix and reconstruction algorithm. Then this paper also reviews several open problems in CS theory and discusses the existing difficult problems. In the end, the application fields of compressed sensing are introduced. Key words:compressed sensing;sparse representation; the observation matrix; coding;decoding 一、引言 在过去的半个世纪里，奈奎斯特采样定理几乎支配着所有的信号或图像等压缩感知理论综述(原创)
基于压缩感知的图像重构模型的设计
压缩感知 很好的综述 2012
压缩感知理论
压缩感知磁共振成像技术综述
基于MATLAB的图像压缩感知算法的实现毕业设计说明书
压缩感知新技术专题讲座_二_第3讲压缩感知技术中的信号稀疏表示方法
压缩感知原理
基于压缩感知的图像重构技术研究
压缩感知原理
压缩感知技术综述
压缩感知理论综述
压缩感知技术研究进展分析