运输问题和指派问题

3.3 各种运输问题变形的建模
▪例4.4 某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生产。 每单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力以每天生产的任 意种产品的数量来衡量（见表4－7的最右列）。而每种产品每天有一定 的需求量（见表4－7的最后一行）。每家工厂都可以制造这些产品，除 了工厂2不能生产产品3以外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本 是有差异的（如表4－7所示）。 ▪ 现在需要决定的是在哪个工厂生产哪种产品，可使总成本最小。
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型 ▪例4.2的电子表格模型
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
▪例4.3 某公司从两个产地A1、A2将物品运
往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、
各销地的销量和各产地运往各销地每件物品
的运费如表4－6所示。问应如何调运，可使
得总运输费最B小1 ？ B2
）
▪ 把第i季度生产的柴油机数看作第i个生产厂商的产 量；把第j季度交货的柴油机数看作第j个销售点的销 量；生产成本加储存、维护等费用看作运费。将生产 与储存问题转化为运输问题，相关数据见表4－5。
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型 ▪表4－5 柴油机生产的相关数据
1
2
3
4 生产能力
1
10.8 10.95 11.10 11.25
▪解：该问题要求满足不 同顾客的需求（采购量 ），解决办法： ▪实际供给量最小采购 量 ▪实际供给量最大采购 量 ▪ ▪ 目标是利润最大，而 不是成本最小。
▪其数学模型如下： ▪ 设xij为工厂i供应给顾 客j的产品数量
3.3 各种运输问题变形的建模
▪例4.5的电子表格模型
3.4 运输问题应用举例
▪
表4－1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨） 3
6
5
6
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
▪ （1）产销平衡运输问题的数学模型
▪
具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地
▪
Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
25
2
11.10 11.25 11.40
35
3
11.00 11.15
30
4
11.30
10
需求量 10
15
25
20
▪由表4－5可知，总产量（生产能力）为
25+35+30+10=100，总销量（需求量）为
10+15+25+20=70，因此是产大于销的运输问
题。
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
▪该生产与 储存问题 （转化为 产大于销 的运输问 题）的数 学模型为
运输问题和指派问题
本章内容要点
• 运输问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
• 指派问题的基本概念及其 各种变形的建模与应用
本章节内容
3.1 运输问题基本概念 3.2 运输问题数学模型和电子表格模型 3.3 各种运输问题变形的建模 3.4 运输问题应用举例 3.5 指派问题 3.6 各种指派问题变形的建模
▪表4－4 各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生产能力（台） 单位成本（万元）125源自10.8235
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
▪解：这是一个生产与储存（库存）问题，除了采用 第3章的方法外，还可以转化为运输问题来做。 ▪ 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货， 所以设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数。 则第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成 本cij为： ▪ cij=第i季度每台的生产成本+0.15(j-i)（储存、维护等费用
▪ 平衡运输问题的条件：
1. 明确出发地（产地）、目的地（销地）、供应量（产量）、 需求量（销量）和单位成本。
2. 需求假设：每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供 应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一 个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足。即“总 供应＝总需求”。
3. 成本假设：从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送 成本与所配送的数量成线性比例关系，因此成本就等于配送 的单位成本乘以所配送的数量（目标函数是线性的）。
B3
产量
A1 ▪表143－6 例41.53的运输1费2 用表 78
A2
11
29
22
45
销量
53
36
65 （销大于产）
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
▪解：由表4－6知，总产量为78+45=123，总销量为 53+36+65=154，销大于产(供不应求)。数学模型如 下： ▪ 设xij为产地Ai运往销地Bj的物品数量
▪例4.6 某厂生产设备是以销定产的。已知1～6月份各月的生产能力、 合同销量和单台设备平均生产费用，如表4－9所示。
▪ 已知上年末库存103台。如果当月生产出来的设备当月不交货，则 需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元，每台设备每月的平均 仓储费、维护费为0.2万元。7～8月份为销售淡季，全厂停产1个月， 因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产设备每台增 加成本1万元。问应如何安排1～6月份的生产，使总的生产（包括运输 、仓储、维护）费用最少？
工厂1 工厂2 工厂3 需求量
▪表4－7 产品生产的有关数据
产品1 41 40 37 20
单位成本（元）
产品2 27 29 30 30
产品3 28 － 27 30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
3.3 各种运输问题变形的建模
▪解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件x23＝0 ；并 且，总供应（ 75+75+45=195）>总 需求（ 20+30+30+40=120） 。 ▪其数学模型如下： ▪ 设xij为工厂i生产产品j 的数量
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型 ▪例4.3的电子表格模型
3.3 各种运输问题变形的建模
▪现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 ▪下面是要讨论的一些特征： ▪（1）总供应大于总需求。每一个供应量（产量）代表了从其 出发地中配送出去的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 ▪（2）总供应小于总需求。每一个需求量（销量）代表了在其 目的地中所接收到的最大数量（而不是一个固定的数值,≤）。 ▪（3）一个目的地同时存在着最小需求和最大需求，于是所有 在这两个数值之间的数量都是可以接收的（≥,≤）。 ▪（4）在配送中不能使用特定的出发地—目的地组合（xij=0） 。 ▪（5）目标是使与配送数量有关的总利润最大而不是使总成本 最小。（Min－> Max）
例4.1的电子表格模型
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性质 （整数解性质），只要它的供应量和需求 量都是整数，任何有可行解的运输问题必 然有所有决策变量都是整数的最优解。因 此，没有必要加上所有变量都是整数的约 束条件。
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单位 ，如果卡车不能装满的话，就很不经济了 。整数解性质就避免了运输量（运输方案 ）为小数的麻烦。
▪表4－8 工厂供应顾客的相关数据
工厂1 工厂2 工厂3 最小采购量
最大采购量
顾客1 55 37 29
7000
7000
单位利润（元）
顾客2 顾客3
42
46
18
32
59
51
3000 2000
9000 6000
顾客4 53 48 35
0
8000
产量
8000 5000 7000
3.3 各种运输问题变形的建模
月份
1月 2月 3月 4月 5月 6月
正常生产能力 （台） 60
50 90 100 100 80
加班生产能力 （台） 10
10 20 40 40 40
合同销量 （台） 104
75 115 160 103 70
单台费用 （万元）
15
14 13.5 13 13 13.5
3.4 运输问题应用举例
▪例4.7 华中金刚石锯片厂有两条生产线，分别生 产直径900-1800mm大锯片基体20000片，直径 350-800mm中小锯片基体40000片。公司在全 国有25个销售网点，主要销售区域集中在福建、 广东、广西、四川、山东5个石材主产区。为完成 总厂的要求，公司决定一方面拿出10%的产量稳定 与前期各个客户的联系以保证将来的市场区域份额 ，另一方面，面临如何将剩余的90%的产量合理分 配给五个石材主产区和其他省区，以获取最大的利 润。各个销售区的最低需求、销售固定费用、每片 平均运费、每片从总厂库房的购进价与当地的销售 价差贡献等自然情况见表4－12。问应如何分配给 各个销售区，才能使得总利润为最大？
本章主要内容框架图
3.1 运输问题基本概念
▪ 运输问题最初起源于人们在日常生活中把某些 物品或人们自身从一些地方转移到另一些地方 ，要求所采用的运输路线或运输方案是最经济 或成本最低的，这就成为了一个运筹学问题。
▪ 随着经济的不断发展，现代物流业蓬勃发展， 如何充分利用时间、信息、仓储、配送和联运 体系创造更多的价值，向运筹学提出了更高的 挑战。