运筹学 第四章 运输问题和指派问题
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运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学__指派问题
•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线 有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元 素个数≥ r，这些0元素至少有r个位
于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上
j1 j2
的0元素个数≥c ，且这些0元素至
少有c个位于不同
i1 i2
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故 有m≤M， 故可得M=m.
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素 的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
（二）算法的基本原理 匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj，
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7： 有一份中文说明书， 要分别译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁 四个人去完成. 因个人专长不同， 他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
任务 人员
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 ❖ 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。
物流运筹学第4章 运输最优化-精选文档
min
2
0 13 11 6 0 10 4 0 5 7 9 7 0 1 4 4
0 13 6 0 0 5 0 1 7 6 3 0
2 11 4 2 2 min
0 9 (bij ) 2 0
第一步，画出该问题的供销平衡表和单位运价表
超市 仓库 A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
第二步，求初始解
1、最小元素法 超市仓库 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 3 B1 B2 B3 B4 储量 7 4 9
计算过程表 超
市 仓库
A1 A2
X 0
用矩阵描述时为
max z CX
AX b X 0 a 11 a 12 a 1 n A (p ,p , ,p ) 1 2 n a a a 1 m 2 mn m
b为资源向量； c为价值向量； x为决策变量的向量
单纯形法简介
问题要求极小化时数学模型是
Min z c x ij ij
i j
x 1 ,j 1 , 2 n
ij i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1 ,i 1 , 2 n
ij j
xij 1 或 0
例题：某物流公司现有四项运输任务A、B、C、D， 现有甲、乙、丙、丁四辆车，他们完成任务所需时 间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需 总时间最少？
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
x b, j 1 ,2 , ,n
i 1 ij j
运筹学运输与指派问题 ppt课件
a1 a2
am
18
设xk（ =0或1）表示第k个中转站启用次数，xik表示从第i个仓库运到第k个中转站的 物资数量，ykj表示从第k个中转站运到第j个单位的物资数量，则
p
mp
pn
z f k x k
d ik x ik
e kj y kj
k 1
i1 k 1
k 1 j1
p
x ik a i
… … … …… …
Am cm1 cm2 … cmn am
Am+1 0
0 … 0 am+1
销量 b1 b2 … bn
mn
minz
cij xij
n
i1
xij ai
j1
i 1, 2,..., m
j1
s.t. m xij bj j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
mn
minz
cij xij
n
i1 j1
xij ai
i 1, 2,..., m
s.t.
j 1 m
xij
bj
j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
若用表上作业法求之,可设一个假想销地, 使其销
量为bn+1=∑ai-∑bj,ci,n+1=0.
已知该厂的生产能力与生产成本如下表。若生产出的产品当季不交货，则需
储存、维护等费用1500元。要求在完成合同的情况下，做出全年生产费用最
小的决策。
生产能力与生产成本
季度
1 2 3 4
生产的能力（台）
am
18
设xk（ =0或1）表示第k个中转站启用次数，xik表示从第i个仓库运到第k个中转站的 物资数量，ykj表示从第k个中转站运到第j个单位的物资数量，则
p
mp
pn
z f k x k
d ik x ik
e kj y kj
k 1
i1 k 1
k 1 j1
p
x ik a i
… … … …… …
Am cm1 cm2 … cmn am
Am+1 0
0 … 0 am+1
销量 b1 b2 … bn
mn
minz
cij xij
n
i1
xij ai
j1
i 1, 2,..., m
j1
s.t. m xij bj j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
mn
minz
cij xij
n
i1 j1
xij ai
i 1, 2,..., m
s.t.
j 1 m
xij
bj
j 1, 2,..., n
i1
xij 0 i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n
若用表上作业法求之,可设一个假想销地, 使其销
量为bn+1=∑ai-∑bj,ci,n+1=0.
已知该厂的生产能力与生产成本如下表。若生产出的产品当季不交货，则需
储存、维护等费用1500元。要求在完成合同的情况下，做出全年生产费用最
小的决策。
生产能力与生产成本
季度
1 2 3 4
生产的能力（台）
第四章 运输问题
第四章运输问题本章主要介绍运输问题的及其特殊情形——指派问题的求解方法，其基本要求为：1.能用表上作业法求简单的运输问题的最优解2.会用匈牙利算法求标准指派问题的解。
二．运输问题线性规划模型的特征请与课本（102页）引例比较以下，看看模型的结构与形式是否一致，同时注意了解课本103页下面的加工问题和运输问题的联系。
由上面的模型可以看出，运输问题显然是一个线性规划问题，因我们学过的单纯形法求解，但求解时对每一个等式必须加上一个人工变量（参考当约束条件方程为等式约束时求初始基本可行解的方法），这样将使一个很小规模的运输问题变得较为烦琐。
本章主要介绍的表上作业法求解运输问题，要比一般单纯形法简便得多。
三．表上作业法介绍表上作业法是一种迭代算法，也是从先求出初始基本可行解，然后用检验数判定是否最优解，若是就停止计算，否则就要对解进行调整、判定，直到求出最优解为止。
因为关于以上计算都可以在产销平衡表中进行，所以叫表上作业法。
第一节运输问题的线性规划模型我们在这里再给出一个实际的运输问题的模型。
例1．某公司经销甲产品，它下设有A1 A2 A3三个加工厂，每日产量分别为：A1 ——7吨，A2 ——4吨，A3——9吨。
该公司把这些产品分别运往B1B2B3B4四个销售点，各销售点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨，B3——5吨，B4——6吨。
从各工厂到销售点的单位产品的运价为下表所示，问该公司应该如何调运产品，在满足各销售点需要量的前提下，使总运费最少？解：总产量为20吨，总需求量也为20吨，故产销平衡。
设：x ij 表示有第个加工厂运往第个销售点的甲产品的数量（吨），则可得到该问题的数学模型如下：设某种货物有m 个产地A 1，A 2，…，A m ，产量分别为a 1，a 2，…，a m个单位；另外有n 个销地B 1，B 2，…，B n ，销量分别为b 1，b 2，…，b n 个单位，又假设产销是平衡的，即∑∑===m j nj ji ba 11。
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
第4章整数规划——指派问题
13 11 2 0 10 11 57 4 4 2 13 7 0 0 6 9 5 32 0 0
0 0 X 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
故可得到指派问题的最优解X，这样 安排能使总的维修时间最少，维修时间为 z=4＋4＋9＋11=28（小时）。
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
4 指派问题
0 , 不 指 派 第 i小 组 维 修 第 j台 机 床 x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ) 1, 指 派 第 i 小 组 维 修 第 j 台 机 床 机车 该问题的数学模型为： 1 2 3 4 4 小组 min z cij xij i 1 j 1 1 x11 x12 x13 2 x11 15 x12 2 x21 x22 x23 任务约束 4 x 1, j 1, 2 , 3 , 4 3 x31 x32 x33 ij i 1 4 x41 x42 x43 人员约束 4 x ij 1, i 1, 2 , 3, 4 j 1 x ij 0 或 1 i , j 1 , 2 , 3 , 4
运筹学指派问题
• 一个人可做几件事的指派问题
若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指派。这 几个人作同一件事的费用系数当然都一样。
• 某事一定不能由某人作的指派问题
若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取做足够大的数 M。
例3：对于例2的指派问题，为了保证工程质量，经研究决定，舍 弃建筑公司A4和A5，而让技术力量较强的建设公司A1，A2，A3参加 招标承建，根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或二项工程。 求使总费用最少的指派方案。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元 素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。
确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较 大时，可按下列顺序进行 • 从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作，然后划 去所在的列（行）的其它0元素，记作。 •给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所在行的0元 素，记作。 •反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。 •如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中 一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即 是独立的0元素。
第二步：确定独立0元素, 即加圈 元素的个数m=4，而n=5，进 行第三步。
第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵 的下一个变换。
第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素个数。方法是在 未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中 都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保 持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解 和原问题相同，为什么？因为仅在目标函数系数中进行操作）
若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指派。这 几个人作同一件事的费用系数当然都一样。
• 某事一定不能由某人作的指派问题
若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取做足够大的数 M。
例3：对于例2的指派问题，为了保证工程质量，经研究决定，舍 弃建筑公司A4和A5，而让技术力量较强的建设公司A1，A2，A3参加 招标承建，根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或二项工程。 求使总费用最少的指派方案。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元 素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。
确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较 大时，可按下列顺序进行 • 从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作，然后划 去所在的列（行）的其它0元素，记作。 •给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所在行的0元 素，记作。 •反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。 •如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中 一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即 是独立的0元素。
第二步：确定独立0元素, 即加圈 元素的个数m=4，而n=5，进 行第三步。
第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵 的下一个变换。
第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素个数。方法是在 未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中 都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保 持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解 和原问题相同，为什么？因为仅在目标函数系数中进行操作）
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第四章 运输问题和指派问题
运输问题
提到运输问题，想到什么？
实际生活中有哪些方面涉及运输问题
快递业的运输问题
服装专卖店的转运问题等
运输问题的提出
某公司经销甲产品，它下设三个工厂和四个销售点。各工厂每日的产 量和各销售点每日的销量，以及从各工厂到销售点的单位产品运价如下表。 问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需求量的前提下，使总运费 为最小。
寻找初始可行解的方法
（1）西北角方法； （2）最小元素法。
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西 北 角 方 法
B1 A1 A2 A3 需求量 3 B2 B3
3
1 7 6
11
9 4 5
3
2
10
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9 20
首先满足西北角上空格的需求
B1
B2 3
4
B3 11 3
2
3
求 初 始 解
A1
B4 10 8
产量 7
A2
A3 需求量
4
9 20
5
6
首先满足运费最小的空格
求 初 始 解
B1 A1 A2 A3 需求量 3
3
B2
B3
B4
产量 10 8 7 4 9 20
3
1 7
6
11
9 4 6
4 1
3
2
10
3
3
5
5
6
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
最 小 元 素 法
B1 A1 A2 3 3 1 7 3 B2 11 9 B3 4 1 3 2
45 45
问题分析
供大于求的问题 决策变量 目标函数 约束条件
单位成本 产品1 工厂1 x11 产品2 x12 产品3 x13 产品4 x14 生产能力 75
工厂2
工厂3 需求量
运输问题的一般模式
min cij xij s.t.
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
x
j 1 m i 1
n
ij
si
供给约束
xij d j
xij 0
需求约束
非负约束
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负 B1 A1 A2 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23
总运费 =3*3+4*11+2*9+2*2+3*10+6*5=135（元）
最小元素法得到初始方案：
x13 4, x14 3, x21 3, x23 1, x32 6, x34 3
总运费 =4*3+3*10+ 3*1+1*2+6*4+3*5=86（元）
最优解的检验——闭回路法
总产量大于总销量（供大于求）
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n (i 1, 2..., m) (产量约束) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2..., n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2..., m; j 1, 2..., n)
例4.3
某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生 产。每单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力 以每天生产的任意种产品的数量来衡量（见表格最右列）。 而每种产品每天有一定的需求量（见表格最后一行）。除了 3之外，每个工厂都可以生产这些产品。 之外，每个工厂都可以生产这些产品。 工厂2不能生产产品3 然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异的（见 表）。现在需要决定的是在哪个工厂生产那种产品，可以使 总成本最小？
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n (i 1, 2..., m) (产量约束) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2..., n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2..., m; j 1, 2..., n)
供给约束
需求约束
非负约束
注意：由于供应量和需求量都是整数，任何有可行解的 运输问题就必然有所有决策变量都是整数的最优解， 所以无需设置有关整数解的约束条件
产销不平衡的运输问题
实际中，产销往往是不平衡的。可有两种情况： 总产量小于总销量（供不应求） 总产量大于总销量（供大于求）
总产量小于总销量（供不应求）
闭回路法——以最小元素法得到的解为初始可行解
检验第一 个空格
B1
1 -1
B2
3
B3
11-1 4 3 9 1
B4 3 10
8
产量 7
4 9 20
A1
A2 A3 销量
3 1
7
1 2
10
6 4 6 5
3 5 6
3
此时，引起的运费变化为：3-1+2-3=1>0 说明：该空格可以保持不变，即该运输路线不用安排运输
3
6
9
20
接下来，继续用闭回路法对新求得的解进行检验，如果还不是最 总费用为 85 优解，进行改进，如此循环往复 …… 直至得到最优解
运输问题的建模和Excel规划求解
某公司经销甲产品，它下设三个工厂和三个销售点。各工厂每 日的产量和各销售点每日的销量，以及从各工厂到销售点的单 位产品运价如表。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点 的需求量的前提下，使总运费为最小。
产销平衡和单位运价表
单 产 位
销
运
地
B1 3
1 7 3
B2 11
9 4 6
B3 3
2 10 5
B4 10
8 5 6
产量 7
4 9 20
供需平衡
地
费
运输的单位成本
A1
A2 A3 销量
运输问题的求解方法
计算过程： 1．寻找初始可行解； 2．检查是否已达到最优。若已是最优或无可行解， 则结束； 3．进一步改善目前 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路； （2）以空格 ( Ai , B j ) 为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点一次编号； xij （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小 min L(e) 的顶点（格子），以该格中的变量为换出变量； xij 为调整量，将该闭回路上所有奇数顶点处 （4）以 min L(e) 的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运输量都减 去这一数值，从而得出一新的运输方案； （5）然后，再对得到的新解进行最优性检验，如不是最 优解，就重复以上步骤，直到有最优解。
供不应求的问题
使用Excel求解送水问题2
最大供水量增倍
供大于求的问题
4.3 运输问题的变形
总供应量大于总需求 总供应量小于总需求 一个目的地同时存在着最小需求量和最大需求量，于是所 有在这两个数值之间的数量都是可以接受的 在运输中不能使用特定的出发地——目的地组合 目标是使与运输量有关的总利润最大而不是使总成本最小
存在检验数<0的空格，该解不是 最优解
B1 A1
A2 A3 销量
1
B2
3
2 3
B3
11 9
B4 3 10
-1
产量 7
4 9 20
4 3
1 2
12 10
3 1
4
8
7
6 4 6
3 5 6
3
5
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单 位产品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
10
B4 3 10 8
产量 7 4
A3
需求量
6
6
4 5
3
6
5
9
20
初 始 解
x13 4, x14 3, x21 3, x23 1, x32 6, x34 3
其余为0。
总运费=4*3+3*10+ 3*1+1*2+6*4+3*5=86 （元）
两种方法结果比较
B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9 20 8 5 6
问： （1）该公司应如何分配供水量，才能获利最多？ （2）为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库 改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问 那时供水方案应如何改变？公司利润可增加多少
甲
A B 160 140
乙
130 130
丙
220 190
丁
170 150
C
190
200
230
问题分析
6
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
其余为0。
总运费=3*3+4*11+2*9+2*2+3*10+6*5=135（元）
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
B1 B2 3 1 7 3 6 11 9 4 5 B3 3 2
10
最 小 元 素 法
决策变量 目标函数 约束条件
甲 A B C xA1 xB1 xC1 30 50 乙 xA2 xB2 xC2 70 70 丙 xA3 xB3 xC3 10 20 丁 xA4 xB4
----
最大供水量 100 120 100
基本用水量 额外用水量
10 40
最大用水量
80
140
30
50
使用Excel求解送水问题1
要判定运输问题的某个解是否为最优解，可仿照一般单纯 形法，检验这个解的各非基变量（对应于运输表格中的空 格）的检验数，若有某空格 ( Ai , B的检验数为负，则说明将 j) xi j 变为基变量将使运费减少，故当前这个解不是最优解；若 所有空格的检验数全非负，则不管怎样变换解均不能使运 输费用减少，即为最优解。
运输问题
提到运输问题，想到什么？
实际生活中有哪些方面涉及运输问题
快递业的运输问题
服装专卖店的转运问题等
运输问题的提出
某公司经销甲产品，它下设三个工厂和四个销售点。各工厂每日的产 量和各销售点每日的销量，以及从各工厂到销售点的单位产品运价如下表。 问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需求量的前提下，使总运费 为最小。
寻找初始可行解的方法
（1）西北角方法； （2）最小元素法。
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西 北 角 方 法
B1 A1 A2 A3 需求量 3 B2 B3
3
1 7 6
11
9 4 5
3
2
10
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9 20
首先满足西北角上空格的需求
B1
B2 3
4
B3 11 3
2
3
求 初 始 解
A1
B4 10 8
产量 7
A2
A3 需求量
4
9 20
5
6
首先满足运费最小的空格
求 初 始 解
B1 A1 A2 A3 需求量 3
3
B2
B3
B4
产量 10 8 7 4 9 20
3
1 7
6
11
9 4 6
4 1
3
2
10
3
3
5
5
6
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
最 小 元 素 法
B1 A1 A2 3 3 1 7 3 B2 11 9 B3 4 1 3 2
45 45
问题分析
供大于求的问题 决策变量 目标函数 约束条件
单位成本 产品1 工厂1 x11 产品2 x12 产品3 x13 产品4 x14 生产能力 75
工厂2
工厂3 需求量
运输问题的一般模式
min cij xij s.t.
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
x
j 1 m i 1
n
ij
si
供给约束
xij d j
xij 0
需求约束
非负约束
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负 B1 A1 A2 x11 x21 B2 x12 x22 B3 x13 x23
总运费 =3*3+4*11+2*9+2*2+3*10+6*5=135（元）
最小元素法得到初始方案：
x13 4, x14 3, x21 3, x23 1, x32 6, x34 3
总运费 =4*3+3*10+ 3*1+1*2+6*4+3*5=86（元）
最优解的检验——闭回路法
总产量大于总销量（供大于求）
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n (i 1, 2..., m) (产量约束) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2..., n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2..., m; j 1, 2..., n)
例4.3
某公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种新产品的生 产。每单位产品需要等量的工作，所以工厂的有效生产能力 以每天生产的任意种产品的数量来衡量（见表格最右列）。 而每种产品每天有一定的需求量（见表格最后一行）。除了 3之外，每个工厂都可以生产这些产品。 之外，每个工厂都可以生产这些产品。 工厂2不能生产产品3 然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异的（见 表）。现在需要决定的是在哪个工厂生产那种产品，可以使 总成本最小？
min z cij xij
i 1 j 1 m n
n (i 1, 2..., m) (产量约束) xij ai j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2..., n) (销量约束) i 1 xij 0 (i 1, 2..., m; j 1, 2..., n)
供给约束
需求约束
非负约束
注意：由于供应量和需求量都是整数，任何有可行解的 运输问题就必然有所有决策变量都是整数的最优解， 所以无需设置有关整数解的约束条件
产销不平衡的运输问题
实际中，产销往往是不平衡的。可有两种情况： 总产量小于总销量（供不应求） 总产量大于总销量（供大于求）
总产量小于总销量（供不应求）
闭回路法——以最小元素法得到的解为初始可行解
检验第一 个空格
B1
1 -1
B2
3
B3
11-1 4 3 9 1
B4 3 10
8
产量 7
4 9 20
A1
A2 A3 销量
3 1
7
1 2
10
6 4 6 5
3 5 6
3
此时，引起的运费变化为：3-1+2-3=1>0 说明：该空格可以保持不变，即该运输路线不用安排运输
3
6
9
20
接下来，继续用闭回路法对新求得的解进行检验，如果还不是最 总费用为 85 优解，进行改进，如此循环往复 …… 直至得到最优解
运输问题的建模和Excel规划求解
某公司经销甲产品，它下设三个工厂和三个销售点。各工厂每 日的产量和各销售点每日的销量，以及从各工厂到销售点的单 位产品运价如表。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点 的需求量的前提下，使总运费为最小。
产销平衡和单位运价表
单 产 位
销
运
地
B1 3
1 7 3
B2 11
9 4 6
B3 3
2 10 5
B4 10
8 5 6
产量 7
4 9 20
供需平衡
地
费
运输的单位成本
A1
A2 A3 销量
运输问题的求解方法
计算过程： 1．寻找初始可行解； 2．检查是否已达到最优。若已是最优或无可行解， 则结束； 3．进一步改善目前 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路； （2）以空格 ( Ai , B j ) 为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点一次编号； xij （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小 min L(e) 的顶点（格子），以该格中的变量为换出变量； xij 为调整量，将该闭回路上所有奇数顶点处 （4）以 min L(e) 的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运输量都减 去这一数值，从而得出一新的运输方案； （5）然后，再对得到的新解进行最优性检验，如不是最 优解，就重复以上步骤，直到有最优解。
供不应求的问题
使用Excel求解送水问题2
最大供水量增倍
供大于求的问题
4.3 运输问题的变形
总供应量大于总需求 总供应量小于总需求 一个目的地同时存在着最小需求量和最大需求量，于是所 有在这两个数值之间的数量都是可以接受的 在运输中不能使用特定的出发地——目的地组合 目标是使与运输量有关的总利润最大而不是使总成本最小
存在检验数<0的空格，该解不是 最优解
B1 A1
A2 A3 销量
1
B2
3
2 3
B3
11 9
B4 3 10
-1
产量 7
4 9 20
4 3
1 2
12 10
3 1
4
8
7
6 4 6
3 5 6
3
5
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单 位产品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
10
B4 3 10 8
产量 7 4
A3
需求量
6
6
4 5
3
6
5
9
20
初 始 解
x13 4, x14 3, x21 3, x23 1, x32 6, x34 3
其余为0。
总运费=4*3+3*10+ 3*1+1*2+6*4+3*5=86 （元）
两种方法结果比较
B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9 20 8 5 6
问： （1）该公司应如何分配供水量，才能获利最多？ （2）为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库 改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问 那时供水方案应如何改变？公司利润可增加多少
甲
A B 160 140
乙
130 130
丙
220 190
丁
170 150
C
190
200
230
问题分析
6
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
其余为0。
总运费=3*3+4*11+2*9+2*2+3*10+6*5=135（元）
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
B1 B2 3 1 7 3 6 11 9 4 5 B3 3 2
10
最 小 元 素 法
决策变量 目标函数 约束条件
甲 A B C xA1 xB1 xC1 30 50 乙 xA2 xB2 xC2 70 70 丙 xA3 xB3 xC3 10 20 丁 xA4 xB4
----
最大供水量 100 120 100
基本用水量 额外用水量
10 40
最大用水量
80
140
30
50
使用Excel求解送水问题1
要判定运输问题的某个解是否为最优解，可仿照一般单纯 形法，检验这个解的各非基变量（对应于运输表格中的空 格）的检验数，若有某空格 ( Ai , B的检验数为负，则说明将 j) xi j 变为基变量将使运费减少，故当前这个解不是最优解；若 所有空格的检验数全非负，则不管怎样变换解均不能使运 输费用减少，即为最优解。