数值分析1非线性方程数值解法

(x)–α=(x)–(α)='()x-α<x-α 故(x)，由定理1.2知对任意初值x0 均收敛.
定理1.4 若(x)在方程x=(x)的根α的邻域内有
充分阶连续的导数，则迭代过程xk+1=(xk)是p阶 收敛的充分且必要条件是
(j)(α)=0, j=1,2,,p-1
(p)(α)0
证 充分性
xk1 (xk )
x=(x)在[a, b]上的惟一根.
不动点迭代法的局部收敛性及收敛阶
定理1.3 若(x)在方程x=(x)的根α的邻域内有
一阶连续的导数，且'(α) <1,则迭代过程xk+1=(xk) 具有局部收敛性 证 由连续函数性质，存在α的充分小邻域
: x-α, 使当x 时，有 ' (x)L<1
由微分中值定理有
(j)(α)=0, j=1,2,, p0-1 (p0)(α)0
由充分性的证明知此迭代法是p0阶收敛 的，矛盾.必要性得证.
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f '(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
f(α)=f(α)==f (m-1)(α)=0, f (m)(α)0
这里只讨论实根的求法.
求根步骤
（1）根的存在性. （2）根的隔离. （3）根的精确化.
非线性方程求根的数值方法
二分法 迭代法
单点迭代法(不动点迭代，Newton迭代法) 多点迭代法(弦截法）
迭代法的一般理论
迭代法是一种逐次逼近的方法，它的基 本思想是通过构造一个递推关系式 (迭代 格式) ，计算出根的近似值序列,并要求 该序列收敛于方程的根.
xk
L 1 L
xk xk 1
xk
Lk 1 L
x1 x0
证 根的存在性
由(2)知(x)连续. 令f(x)=x-(x), f(a)0, f(b)0, 从而 f(x)=0在[a, b] 上有根，即x=(x)在[a, b] 上有根.
根的唯一性
设x=(x)在[a, b] 上有两根α1, α2， α1 α2 ， α1- α2=(α1)-(α2)L α1- α2 与 L<1矛盾.故α1= α2
序列的收敛性
xk+1-α=(xk)-(α)Lxk-α , xk+1-αLk+1x0-α
由0L<1有
lim
k
xk
误差估计
xk+1-xk=(xk)–(xk-1)Lxk-xk-1 xk+2-xk+1=(xk+1)–(xk)L2xk-xk-1
xk+p-xk+p-1Lpxk-xk-1
xk+p-xk xk+p-xk+p-1+xk+p-1-xk+p-2++ xk+1-xk
迭代法（Picard迭代法）. (x) 称为迭代函数.
多点迭代法
建立迭代公式
xk+1=(xk-n+1, ,xk-2, xk-1, xk)
(3)
对于迭代法需要考虑一下几个主要问题 收敛性 收敛速度 计算效率
迭代法的全局收敛性
定义1 设为f(x)=0的根，如果x0[a, b] ，由迭代法产生的序列都收敛于根 ，
lim
k
ek 1 ek p
C 0
则称迭代过程是p阶收敛的.
特别地，当p=1时，称为线性收敛；
当p>1时，称为超线性收敛，
当p=2时，称为平方收敛.
p越大，收敛越快.
效率指数
定义3 称
1
EI p
为效率指数. 其中p表示迭代的收敛阶，表示
每步迭代的计算量. EI越大，计算效率越高.
不动点迭代法
题中 (x)=4-2x，当时x[1,2]时,' (x)=-2xln22ln2>1 ,由
定理1.2不能用 xk1 4 2xk 来迭代求根.
把原方程改写为x=ln(4-x)/ln2, 此时(x)=ln(4-x)/ln2 , 则有 1°当x[1,2]时， (x)[1,ln3/ln2] [1,2]
单点迭代法
将方程f(x)=0改写成等价形式
x=(x)
(1)
建立迭代公式
xk+1=(xk)
(2)
在根的附近任取一点x0，可得一序列
x k k0
.若
xk
k 0
收敛，即
lim
k
xk
，且(x)连续，则对(2)两
端取极限有α =(α) ，从而α为方程(1)的根，
也称为(x)的不动点，这种求根算法称为不动点
( ) ( )(xk )
(
p
1
1)!
(
p
1)
(
)(
xk
) p1
1
p!
(
p
)(ຫໍສະໝຸດ )(xk)p
xk1
1
p!
(
p
)
(
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性(反证法) 设迭代法xk+1=(xk)是p
阶收敛的，如果结论不成立，那么必有 最小正整数p0p，使得
则称该迭代法是全局收敛的.
迭代法的局部收敛性
定义2 设方程x=(x)有根α, 如果存在 α的某个邻域 : x-α，对任意初值
x0，迭代过程所产生的序列均收敛 于根α ，则称该迭代法是局部收敛的.
迭代过程的收敛速度
定义3
设迭代过程xk+1=(xk)产生的序列
xk
k 0
收敛于方程x=(x)的根α ，记 ek =α- xk ，若
不动点迭代法的整体收敛性
定理1.1 设(x)满足
(1)当x[a, b]时，(x)[a, b] ；
(2)x1, x2[a, b] ，有
(x1)-(x2)Lx1-x2 ， L<1 则对任意初值x0 [a, b], 迭代过程 xk+1=(xk)收敛于 x=(x)在[a, b]上的惟一根 ，且有误差估计式
(Lp+Lp-1++L) xk-xk-1
=
L Lp1 1 L
xk xk1
令p，有
xk
L 1 L
xk
xk 1
xk
Lk 1 L
x1 x0
定理1.2 设(x)在[a, b]上具有一阶导数，且 (1)当x[a, b]时, (x)[a, b] ； (1) x[a, b] ，有'(x)L<1 则对任意初值x0 [a, b], 迭代过程 xk+1=(xk)收敛于
第一章
非线性方程和方程组的数值解法
非线性方程根的概念
给定非线性方程f(x)=0 如果有α使得f(α)=0，则称α为f(x)=0的根
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则