高二数学导数(1)

1 导数的概念

【兴趣导入】

【知识梳理】

瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x

?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x

?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3)

x

y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x

x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/

是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

【典型例题】

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0

c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.

例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t =2，Δt =0.01时，求t

s ??. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t

s ??. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度

小结：

利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；