2018-2019学年天津市和平区高二(下)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年天津市和平区高二（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.已知向量=（2，-3，1），则下列向量中与平行的是（）

A. 1，

B. 6，

C.

D.

2.若直线l1、l2的方向向量分别为=（1，2，-2），=（-2，3，2），则l1与l2的位置关系是（）

A. B. C. 、相交不垂直 D. 不能确定

3.下列求导运算正确的是（）

A.

x

B.

C.

D.

4.已知曲线y=x2上一点P处的切线与直线2x-y+1=0平行，则点P的坐标为（）

A. B. C. D.

5.若函数y=a（x3-x）的单调递增区间为（-，），则实数a的取值范围是（）

A. B. C. D.

6.在空间四边形OABC中，OA=OB=OC，∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为（）

A. 0

B.

C.

D.

7.已知两平面的法向量分别为=（0，1，0），=（0，1，1），则两平面所成的二面角为（）

A. B. C. 或 D.

8.函数y=存在极值点，则实数a的取值范围为（）

A. B. C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.已知A（4，1，3）、B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且=3，则C的坐标为______．

10.若f（x）=2x3-6x2+3-a对任意的x∈[-2，2]都有f（x）≤0，则实数a的取值范围为______．

11.已知函数f（x）=x-sin x，x∈（0，π），则f（x）的最小值为______．

12.已知f（x）=ln x，g（x）=x2+mx+（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数

f（x）的图象的切点为（1，f（1）），则m的值为______．

13.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于

______．

14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，已

知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上

的动点（不包括端点），若DG EF，则线段DF长度的取值范围为

______．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

15.已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），且f'（-1）=f'（3）=0．

（1）求a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．16.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，

AD=PD=2，

E、F分别为CD、PB的中点．

（1）求证：EF平面PAB；

（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．

17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，∠BAC=90°，E是BC的中点，

AC=AB=AA1=2．

（1）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；

（2）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的余弦值．

18.已知函数f（x）=（a≥0），f′（x）为函数f（x）的导函数．

（Ⅰ）设函数f（x）的图象与x轴交点为A，曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=3x-3，求a，b的值；

（Ⅱ）若函数g（x）=e-ax•f′（x），求函数g（x）的单调区间．

19.已知函数f（x）=x lnx，g（x）=-x2+ax-3．

（Ⅰ）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：对任意x∈（0，+∞），都有ln x＞-恒成立．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：向量=（2，-3，1），则λ=（2λ，-2λ，λ

）与

平行，

λ=-2时，

λ=（-4，6，-2）．

故选：B ．

根据向量平行的定义知λ

与

平行，由此判断选项B 正确．

本题考查了向量的平行与坐标表示应用问题，是基础题． 2.【答案】A

【解析】

解：∵直线l 1、l 2的方向向量分别为

=（1，2，-2），

=（-2，3，2），

=-2+6-4=0，

∴l 1与l 2的位置关系是l 1 l 2． 故选：A ．

求出直线l 1、l 2的方向向量乘积为0，由此得到l 1与l 2的位置关系．

本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】C 【解析】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A ，（cosx ）′=-sinx ，A 错误；

对于B ，（log 2x ）

′=，B 错误； 对于C ，（

）

′=

（

）

′=

××

=

，C 正确；

对于D ，（3x ）′=3x ln3，D 错误； 故选：C ．

根据题意，依次分析选项，验证其导数计算是否正确，综合即可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．

4.【答案】B

【解析】

解：设切点P 的坐标为（x ，y ），由题意得y′=2x ，

∵切线与直线2x-y+1=0平行， ∴切线的斜率k=2=2x ，解得x=1， 把x=1代入y=x 2

，得y=1，故P （1，1）

故选：B ．

先设出P 的坐标和求出函数的导数，根据条件求出切线的斜率，根据导数的几何意义求出横坐标，再代入函数的解析式求出纵坐标．

本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用． 5.【答案】D

【解析】

解：函数y=a （x 3

-x ）， 可得y′=3ax 2

-a ，

函数y=a （x 3

-x ）的单调递增区间为（-

，

），3ax 2

-a ＞0，

说明导函数在x=以及x=是极值点，并且x=是极小值点，所以a ＜0，

故选：D ．

求出函数的导数，利用导函数的符号以及函数的单调区间，转化求解即可．

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查发现问题解决问题的

能力．

6.【答案】A

【解析】

解：∵OB=OC ，

∴

=•（）= =|

|•|

|cos -||•|

|cos =|

|•（|

|-|

|）=0，

∴cos

＜＞=0．

故选：A ．