七年级数学整式的运算.docx

第一章整式的运算

●课时安排

18课时

第一课时

●课题

§1.1 整式●

教学目标

(一 )教学知识点

1.在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.

2.了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数.

（二）能力训练要求

1.能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，

培养符号感 .

2.进一步培养学生认识特殊与一般的辩证关系.

（三）情感与价值观

通过丰富有趣的现实情景，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中

了解数学的价值，发展“用数学”的信心.

●教学重点

单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念.

●教学难点

对整式有关概念的理解.

●教学方法

讲授——自主探索相结合.

.在此基础上，通过学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式的作用

通过教师讲解，掌握整式的有关概念.

●教具准备

1.教师所用三角板.

2.投影片三张

第一张：问题串，记作（§ 1.1 A)

第二张：议一议，记作（§ 1.1 B)

第三张：例题，记作（§ 1.1 C)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］在七年级上册中，我们已经学习了用字母表示数，代数式等内容，这节课我们

进一步认识代数式的表示作用.

例如：很多小城镇里都有水塔，水塔可以用来储水，维持水压，每天水都不停地流进

和流出水塔 .一般地，白天，当人们从事生产活动时，流出水塔的水比流进水塔的水多；夜

晚，当人们休息时，流进水塔的水比流出的水多.

（ 1）如果水以每小时 a 升的速度流进水塔，那么 4 小时后，流进水塔多少升水，若

a=20000 升，计算一下结果；

（ 2）如果水以每小时 a 升的速度流进水塔，同时又以每小时 b 升的速度流出水塔，那么 4 小时后，水塔里的储水量变化了多少？

［生］（ 1） 4 小时后，流进水塔的水为4a 升；当a=20000 升时， 4 小时后，流进水塔的水为： 4a=4× 20000=80000 升；

（ 2）4 小时后，水塔里的储水量变化了(4a-4b)升 .

［师］在上述问题中列出的代数式4a,4a-4b 都是整式，这节课我们就来学习整式的概念.

Ⅱ.在实际情景中，明确整式的有关概

念出示投影片（§ 1.1 A): 问题串

小明房间的窗户如图 1－ 1 所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成

（它们的半径相同） .

图 1－1

（ 1）装饰物所占的面积是多少？

（ 2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（窗框面积忽略不计） （ 3）一个塑料三角尺如图 1－ 2 所示，阴影部分所占的面积是

；

图 1－2

（ 4）某校学生总数为

x,其中男生人数占总数的

3 ，男生人数为

；

5

（ 5）一个长方体的底面是边长为 a 的正方形，高是 h ，体积是 .

［师生共析］（ 1）装饰物是由两个四分之一圆和一个半圆组成，它们的半径相同，由

图中的已知条件可知半径为

b ,所以装饰物所占的面积恰好是半径为

b 的一个圆的面积即

4

4

b 2 ;

16

(2) 窗户中能射进阳光的部分的面积应该是窗户的面积与装饰物所占面积的差即 ab-b 2 ;

16

(3)塑料三角尺阴影部分所占的面积是

1

ab- 1

mn;

2

2

(4)男生人数为

3

x;

5

(5)这个长方体的体积是 a 2h.

［师］我们观察上面列出的几个代数式可以发现：4a,

b 2 , 3 x,a 2

h 等，都是数字与字

16 5 母的乘积 .例如 4a 是 4 与 a 的积，

b 2

是

16 与 b 2 的积， 3 x 是 3 与 x 的积， a 2h 是 1 与 a 2

h

16 5 5

的积 .像这样的代数式我们把它们都叫做单项式（ monomial). 其中的数字因式如“

4 ”

“

”“ 3

”“ 1”是单项式的系数 .

16

5

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 .

哪位同学能给我分析一下上面几个单项式的次数呢？

［生］ 4a 的次数是 1 次；

2

的次数是

2

3 次 .

b 2 次； 3

x 的次数是 1 次； a h 的次数是

16

5

［师］很好！你能给大家解释一下

a 2h 这个单项式的次数为什么是

3 次吗？

［生］这是因为 a 2

h 这个单项式中含字母

a 和 h.而 a 的指数是 2， h 的指数是 1，所有

字母的指数和当然是 1+2=3 喽 .

［师］这位同学很仔细， h 的指数是

1，这一点很容易被部分同学误认为是0.h 的指数

应是 1，只不过作为指数时省略不写，你还能回忆起什么时候“

1”可以省略不写吗？

［生］“ 1”作为系数时，“ 1”作为一个字母的指数时，“ 1”作为分母时 .

［师］同学们总结的很好 . ［生］单独的一个数或一个字母是单项式吗？

［师］是 .单独的一个字母 a,我们可以看成 1· a,所以单独的一个字母系数是

1，次数也

是 1，单独的一个非零的数的次数是 0.

［生］这就是说，我们学过的所有有理数都是单项式.

［师］是的 .

［生］代数式 4a － 4b,ab －

2

1

ab － 1

mn,它们是什么样的式子呢？

16 b , 2 2

［师］代数式

4a － 4b 是单项式 4a,－ 4b 的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数 式，我们把它叫做多项式 .请问： ab －

2 1 ab － 1

b ,

2 mn 是哪些单项式的和呢？

16 2

［生］ ab －

b 2 这个多项式是 ab 与－

b 2 的和；

1

ab － 1 mn 是 1

ab 与－ 1

mn 的和 .

16

16 2

2

2 2

［师］所以我们说 ab －

2

这个多项式有两项，分别是

ab,－

2 1

2

b

b .

3 x y+2 y － 1 有几

16

16

项呢？

［生］ 1

2

y+2y － 1 有三项，分别是 1 x 2

y,2y,－ 1.

3 x 3

［师］每一项的次数是多少呢？

［生］ 1

2

y 次数是 3 次， 2y 的次数是 1 次，－ 1 的次数是 0.

3 x

［师］在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数

. 1

x 2y 这一项在

3

1 x 2y+2y － 1 中次数最高，因此我们把 1

x 2y 的次数 3 作为多项式 1 x 2y+2y － 1 的次数，即

3

3

3

1 2

是一个三次三项式 .那么 ab －

2 1 ab － 1

3 x y+2y － 1

16 b , 2 mn 是几次几项式呢？

2

［生］它们都是二次二项式 .

［师］我们刚才讨论了单项式和多项式，而且还知道了单项式的系数、次数；多项式

的项数、次数 .我们也就知道了整式，因为单项式和多项式统称为整式 .研究单项式、多项式 就是在研究整式 .

在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到在数字和字母之间只出现了乘法、加 法、减法（可转化为加法）的运算，没有出现

2÷ x 即

2

,或 x ÷ 2 即 x

这样的式子，那么

x

2

x , 2

是整式吗？同学们不妨讨论一下 .

2 x

［师生共析］

x

可以写成

1

· x,所以 x 是单项式，而

2

是数字与字母的商，所以不是

2

2

2

x

单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母

.

Ⅲ .议一议

出示投影片（§ 1.1 B)

小红和小兰房间窗户的装饰物如图

1－3 所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆

组成（半径分别相同） .

图 1－3

（ 1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）

（ 2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？ ［生］左图小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为

b

的圆的面积的一半，即

b 2.

2 8

窗户中能射进阳光的部分的面积为

ab － b 2

.

8

右图小兰房间的装饰物所占面积是半径为

b

的两个小圆的面积，即

2×

2 2

8 b =

b .窗

64

32

户中能射进阳光的部分的面积是

ab －

b 2

.

32

［生］ ab －

b 2 和 ab －

b 2 它们都是多项式，且次数都是

2 次 .

8

32

Ⅳ .练一练

出示投影片（§ 1.1 C)

1.随堂练习（课本 P 4）

下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？ a,－

1

x 2y,2x － 1,x 2+xy+y 2

3

解：单项式： a,－ 1

2

1次和 3次.

3 x y;次数分别是

多项式： 2x － 1,x 2+xy+y 2;次数分别是 1次和 2次. 2.补充练习 （ 1）下列说法正确的是（ ） A. 单项式 A 的系数是 0

B. 单项式 a 的次数是 0

C. 1

是单项式

a

D.1 是单项式

（ 2）关于 2× 103·a,下列说法中正确的是（ ）

A. 系数是 2，次数是 1

B. 系数是 2，次数是 4

C.系数是 2×103，次数是 0

D. 系数是 2×103，次数是 1

（ 3）已知出租汽车行驶 3 千米以内（包括 3 千米）的车费是 7 元，以后每行驶

1 千

米，再加 1 元.如果某人坐出租汽车行驶了 m 千米（ m 是整数，且 m ≥ 3)，则车费是（

）

A.(7+m) 元

B.（ 4+m)元

C.（7－ m)元

D.（ 3+m)元

（ 4）下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？

－ 2a 2

, 2 xy, 1 (m － n),0, 4x

,1+ b

,x 2

+ 1 +1,x

3 5

y

3 x

(5)写出系数是 1

，含有字母 a 、 b 、c 的五次单项式 .

2

解：（ 1）D （2）D （ 3）B （ 4）单项式：－ 2a 2, 2

xy,0,x; 3

多项式： 1

(m － n),1+ b

；

5

3

不是整式：

4x

,x 2+

1 +1

y

x

(5) 1

a 3

bc, 1

a 2

b 2

c, 1

a 2bc 2

, 1

ab 2c 2

, 1

ab 3

c, 1

abc 3.

2

2

2

2

2

2

Ⅴ .读一读

［师］皮克公式是一个非常有趣的结论

.同学们可阅读课本“读一读”，探索课本中给

出的点阵中多边形面积的计算方法，并运用皮克公式计算其他一些多边形的面积

.

（鼓励学生自己阅读，并探索文中给出的点阵中多边形面积的计算方法）

［生］通过剪拼从图中可以看出，共剪拼成 7 个以相邻四个点围成的小正方形，而一 个小正方形的面积是一个单位面积，因此，这个点阵中的多边形的面积 S=7 个单位面积

.而

根据皮克公式算出的结果

S=3+

1 ×10－ 1=7

个单位面积，这个结论和我算出的结果是一样

2

的 .但我们可以感觉到皮克公式更方便，只需数出多边形内部的点数和边界上的点数，代

入公式计算便可 .

图 1－4

［生］我在点阵中画了一个多边形（如图

1－5 所示）利用皮克公式，得

图 1－5

S=4+ 1

× 10－ 1=8（单位面积）

2

Ⅵ .课时小结

这节课我们主要学习了整式的概念，特别整式中单项式和多项式的次数

.在现实情景中

进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感.

Ⅶ .课后作业

课本 P 5 习题 1.1

Ⅷ .活动与探究

已知多项式 3x n －

2－2x n － x n+1 是四次三项式，则单项式 (2－ n)x n －

1y n+1 的系数、次数分别

是多少？

［过程］根据多项式次数的定义，可以确定 n 的值 .因为 n+1,n,n － 2 相比较， n+1 最 大，所以 n+1=4,n=3.把 n=3 代入 (2－n)x n －

1

n+1

中，单项式的系数、次数都可以确定.

· y ［结果］根据题意，得 n+1=4, n=3;把 n=3 代入 (2－ n)x n － 1y n+1 中得单项式－ x 2y 4

.所以－ x 2y 4 的系数为－ 1，次数为 6 次 .

●板书设计

§ 1.1 整式

1.单项式：数和字母的积的代数式为单项式

①单项式的系数：单项式中的数字因数；

②单项式的次数：单项式中所有字母的指数和；

③单独的一个数和一个字母也是单项式；

④单独的一个非零数次数是0.

2.多项式：几个单项式的和

在一个多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数.

3.课堂练习：（由学生口答）