2020年江苏省徐州市高考数学春季联考数学试卷(5月份)(含答案解析)
2020年江苏省徐州市高考数学春季联考数学试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集，集合0，1，2，，，则______ ．2.复数的虚部是______ ．3.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图如图则这100名同学中学习时间在小时内的同学为______ 人．4.如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的值为______5.某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．6.设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5，则该四棱锥的体积为______．7.若将函数的图象沿x轴向右平移个单位后所得的图象关于y轴对称，则的最小值为______．8.已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为______．9.双曲线的一条渐近线与圆C：相交于A，B两点且，则此双曲线的离心率为______．10.函数的定义域是______ ．11.已知x，，且，若，则的最小值为______．12.在中，若，，，，则______．13.已知圆O：，直线l与圆O交于P，Q两点，，若，则弦PQ的长度的最大值为______．14.函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.已知向量，，函数．求函数的最小正周期．若，，求的值．16.如图，在直三棱柱中，，M是棱CG上的一点．求证：；若M，N分别是，AB的中点，求证：平面．17.如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD，，，百米，百米．该区域内原有道路AC，现新修一条直道宽度忽略不计，点P在道路AC上异于A ，C两点，，．用表示直道DP的长度；计划在区域内修建健身广场，在区域内种植花草．已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值单位：万元．18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：过点，椭圆C的离心率．求椭圆C的标准方程；如图，设直线l与圆相切于点A，与椭圆C相切于点B，当r为何值时，线段AB长度最大？并求出最大值．19.已知函数和函数．若曲线在处的切线过点，求实数a的值．求函数的单调区间．若不等式对于任意的恒成立，求实数a的最大值．20.已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前n项和分别为，，且，，．求数列，的通项公式；求；是否存在正整数m，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．21.已知二阶矩阵的特征值所对应的一个特征向量．求矩阵M；设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线的方程为，求曲线C的方程．22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为．把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．23.已知实数x，y，z满足，求的最小值．24.已知，是抛物线C：上不同两点．若抛物线C的焦点为F，为AB的中点，且，求抛物线C的方程；若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且，是否存在直线AB，使得？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由25.已知数集，其中，且，若对，，与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．Ⅰ分别判断数集1，与数集2，4，是否具有性质P，说明理由；Ⅱ已知数集具有性质P，判断数列，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：0，解析：【分析】本题考查了集合的定义与计算问题，属于基础题．根据补集与交集的定义，写出与即可．【解答】解：因为全集，集合，所以，因为集合0，1，2，，所以0，，故答案为：0，．2.答案：解析：解：复数，它的虚部为：，故答案为：．复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为的形式，即可．本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．3.答案：30解析：解：这100名同学中学习时间在小时外的频率为这100名同学中学习时间在小时内为这100名同学中学习时间在小时内的同学为故答案为：30利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在小时外的频率；利用频率和为1，求出在小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在小时内的同学的人数．本题考查频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．4.答案：100解析：解：由流程图知，第一次循环：，，不满足第二次循环：，；不满足第三次循环：，，不满足第四次循环：，，满足此时跳出循环，所以输出．故答案为：100．据流程图可知，计算出S，判定是否满足，不满足则循环，直到满足就跳出循环即可．本题考查算法流程图，直到型循环结构．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5.答案：解析：解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有；他们不同在一个食堂用餐的概率为．故答案为：先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．6.答案：32解析：解：正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，底面对角线长为：8．所以棱锥的高为：．所以棱锥的体积为：．故答案为：32．求出棱锥的高与底面面积，即可求解棱锥的体积．本题考查棱锥的体积的求法，求解棱锥的高是解题的关键．7.答案：解析：解：函数的图象沿x轴向右平移个单位后所得函数的图象，由于函数的图象关于y轴对称，所以：，整理得：，当时，，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：解析：解：为等差数列，其公差为2，由是与的等比中项，可得，即，解得，则．故答案为：．由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，是一道基础题．9.答案：解析：解：双曲线的一条渐近线：，圆相交于A、B两点，圆的圆心，半径为1，，圆心到直线的距离为：，可得：解得，双曲线的离心率为．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的勾股定理求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．10.答案：解析：【分析】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件，属于基础题．根据函数的定义，为求得使函数的解析式有意义的自变量x取值范围，我们可以构造关于自变量x 的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：要使函数有意义，则需满足，解之得，且，函数的定义域是．故答案是．11.答案：25解析：解：，，．则，当且仅当，，．的最小值为25．故答案为：25．由，，可得变形，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：解析：解：依题意，画图如下：在中，根据余弦定理，可知，整理，得，解得舍去，或．则．，，．故答案为：．本题在中，根据余弦定理，可列出关于AC的一元二次方程，计算出AC的长度，然后转化并计算值，再将、看作基底向量分别表示出和，然后代入进行向量的多项式运算代入数值即可得到结果．本题主要考查向量线性表示和数量积运算问题．考查了转化与化归思想，方程思想，余弦定理，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．13.答案：解析：解：设M为PQ的中点，则，即，，，，设，则，化解得，，则．故答案为：．设M为PQ的中点，根据，化简可得点M的轨迹方程，结合图象即可得解．本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的运用，属于中档题．14.答案：解析：解：定义在R上的函数满足，函数的周期为4，且至多在上有3个零点，而含505个周期，要使函数在上有1515个零点，则在上有3个零点．设，该函数为二次函数，在上至多有两个零点，则要使在上有3个零点，需要函数在上有一个零点，即；函数的对称轴方程为，则在上有两个零点，，解得．实数a的取值范围为故答案为：由已知可得函数周期，结合函数在上有1515个零点，可得在上有3个零点，则需二次函数在上有两个零点，一次函数在上有一个零点，结合二次函数零点的分布与系数间的关系列不等式组求解．本题考查分段函数零点与方程根的关系，考查二次函数零点的分布与系数之间的关系，是中档题．15.答案：解：向量，，函数．；，，；；．解析：先根据向量的数量积以及三角函数的有关知识得到．直接代入周期公式即可；先根据，得到，再结合角的范围求得，最后利用两角和的正弦即可求解结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：证明：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，，，，平面，平面，．证明：取的中点为Q，连接NQ，QM，在中，N，Q分别为AB，中点，，且，在直三棱柱中，，且，M为的中点，，且，，且，四边形NCMQ是平行四边形，，平面，平面，平面．解析：由已知推导出，平面，由此能证明．取的中点为Q，连结NQ，推导出四边形NCMQ是平行四边形，从而，由此能证明平面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：过点D作，垂足为，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，由正弦定理可得，，；在中，由正弦定理可得，，，又，，设三项费用之和为，则，，，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，答：三项费用总和的最小值为万元．解析：根据解三角形和正弦定理可得，，分别求出，，可得，设三项费用之和为，可得，，利用导数求出最值．本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题．18.答案：解：由椭圆过的定点坐标及离心率可得，，又，解得：，，所以椭圆C的标准方程：；设直线AB的方程为：，因为直线l与圆C：相切于A，所以，即，，因为直线l与椭圆C相切于B，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：有两个相等的实数根，所以，整理可得，由可得；设，由求根公式可得，，，在直角三角形OAB中，，当，即，即时，取到最大值，且最大值为1．解析：由椭圆的过的店的坐标，及离心率，以及a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；设直线l的方程，由与圆相切可得圆心到直线的距离为半径，可得m，k，r之间的关系，再由与椭圆联立由相切由判别式等于0可得m，k，r之间的关系，求出弦长的表达式，由均值不等式求出的最大值．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相切，直线与圆相切的性质及均值不等式的应用，属于中档题．19.答案：解：因为，，结合，所以在处的切线方程为，结合切点过，，．的定义域为．，则，令．当，即时，，所以的增区间为．当，即时，有两个不等的实数根即：．当时，，，，所以的增区间为；当时，，，令，则或；令，则．所以的增区间为，；减区间为令，显然．，．当时，，所以在上递增，，符合题意；当时，，所以在上递增，且，令，显然，故存在唯一实数，使得，当时，；当时，，所以在递减，所以，与矛盾．综上，a的最大值为2．解析：先利用导数将处的切线方程表示出来，然后将点代入，即可求出a的值；求出的导数，然后判断导数的符号即可；利用判别式判断函数的零点情况，然后根据零点研究导数的符号，确定函数的单调性、最值，构造出a的不等式求解．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值情况，同时考查学生运用分类讨论、函数与方程思想解决问题的能力，也体现了对学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查．属于较难的题目．20.答案：解：设等差数列的公差为d和等比数列的公比为q，由，，，可得，解得或舍去，则；；，，两式相减可得，化简可得；由可得，，假设存在正整数m，使得恰好是数列或中的项，所以，可设，，所以，因为，，所以，由，可得或3，当时，，即，可令，，当时，，当时，，可得，由，，可得无整数解．当时，有，即存在使得，是数列中的第二项，故存在正整数，使得恰好是数列中的项．解析：设等差数列的公差为d和等比数列的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；由数列的错位相减法法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；假设存在正整数m，使得恰好是数列或中的项，可设，，化简整理，结合整数的性质可得或3，分别讨论L的值，解方程可得所求结论．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，数列中存在性问题解法，考查方程思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．21.答案：解：依题意，得，即，解得，；设曲线C上一点在矩阵M的作用下得到曲线上一点，则，即，，，整理得曲线C的方程为．解析：本题可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．本题考查了矩阵的特征值和特征向量，本题难度不大，属于基础题．22.答案：解：由，得，即．直线l的直角坐标方程为；为椭圆C：上一点，设为，到直线l的距离．当时，d取得最小值为．解析：展开两角差的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的直角坐标方程；设，写出点到直线的距离公式，再由三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：由柯西不等式可知：，故，当且仅当，即：，，时，取得最小值为．解析：本题考查柯西不等式的应用，由柯西不等式知：故，由此能求出的最小值．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用，属于基础题．24.答案：解：由抛物线的定义可知，，，故抛物线C的方程为．由题意得，直线AB的斜率一定存在，设其方程为，则点，联立，得，，，，解得，，作轴于，轴于，，，则，，解得，存在直线AB满足题意，其方程为．解析：利用抛物线的定义，有，从而求得p的值，即可得解；直线AB的斜率一定存在，设其方程为，将其与抛物线的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，可分别求得和，从而得到；作轴于，轴于，利用三角形相似，可将转化为，把该等式中的线段全用m和p代换，化简整理后，可求得k的值，从而得解．本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，还借助了三角形相似求线段比例，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题．25.答案：解：Ⅰ由于和都不属于集合1，，所以该集合不具有性质P；由于、、、、、、、、、都属于集合2，4，，所以该数集具有性质分Ⅱ具有性质P，所以与中至少有一个属于A，由，有，故，，故．，，故3，，．由A具有性质P知，3，，．又，，，，，，即2，，由知，，，，均不属于A，由A具有性质P，，，，均属于A，，，，，，，即由可知，即3，，．故，，构成等查数列．分解析：Ⅰ根据数集A具有性质P的定义，判断数集1，与数集2，4，是否具有性质P．Ⅱ根据数集具有性质P，可得，，由可知，即，从而得到，，构成等查数列．本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义，新定义，属于中档题．。
2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )A. 0B. 1C. √ 2D. 22.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )A. 12B. √ 22C. √ 32D. 14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：据表中数据，结论中正确的是( )A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kgB. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )A. x 216+y24=1(y>0) B. x216+y28=1(y>0)C. y 216+x24=1(y>0) D. y216+x28=1(y>0)6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )A. −1B. 12C. 1D. 27.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 38.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )A. 18B. 14C. 12D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省徐州市(新版)2024高考数学人教版真题(备考卷)完整试卷
江苏省徐州市（新版）2024高考数学人教版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题过点的直线与抛物线交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，，若，则的值为（）A．B．2C．D．3第(2)题裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（）A．B．C．D．第(3)题定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知定义在上的函数满足：，某同学由此前提条件出发，然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出四个结论，并且给其编号：①.若时，是奇函数且一定是单调增函数；②.若，是偶函数且有最大值为1；③.若，则；④.若，则.请你确认该同学做出的所有编号中其中正确的是（）A．①③B．①④C．①②③D．②③④第(5)题已知函数，，，若对于任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题在的展开式中，的系数是（）A．168B．C．1512D．第(7)题命题“，”的否定为（）A．，B．，C．，D．，第(8)题设，，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．的图象过点C ．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是第(3)题已知函数，则（）A ．函数的最小正周期为B．点是函数图象的一个对称中心C．函数在区间上单调递减D．函数的最大值为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数的图象关于点对称，且当时，和其导函数的单调性相反，请写出的一个解析式：______．第(2)题某港口有A､B､C､D四个码头，每个码头一次只能停一艘船，A码头最大可以停靠600吨总重量的船舶，B码头最大可以停靠900吨总重量的船舶，C码头最大可以停靠1500吨总重量的船舶，D码头最大可以停靠3000吨总重量的船舶，现仅有甲､乙总重量分别为500吨和1400吨的船舶要安排停靠该港口，则甲船舶安排停靠在B码头的概率为___________．第(3)题已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）求的单调区间；（2）已知有两个极值点，且，求证：.第(2)题消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1：2016年2017年2018年2019年第一季度104.50111.70118.50119.30第二季度104.00110.20114.60118.20第三季度105.50114.20110.20118.10第四季度106.80113.20113.20119.30将2016年至2019年该城市各季度的消费者信心指数整理得到如下频数分布表2：分组频数2275记2016年至2019年年份序号为，该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取整)为y，x与y的关系如下表3：年份序号x1234消费者信心指数年均值y105112114119（1）求从2016年至2019年该城市各季度消费者信心指数中任取2个，至少有一个不小于115的概率；（2）在表2中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，设任取一个消费者信心指数X为随机变量，求X的分布列和数学期望(保留2位小数)；（3）根据表3的数据建立y关于x的线性回归方程，并根据你建立的回归方程，预报2020年该城市消费者信心指数的年平均值.参考数据和公式：，，；；；.第(3)题已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点，，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求的取值范围.第(4)题盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现隐藏款X．为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐，开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下数据：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年龄低于30岁1830年龄不低于30岁2210(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为A、B款盲盒套餐的选择与年龄有关联？(2)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量为其中隐藏款X的个数，求的分布列和数学期望；(3)某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X，求该隐藏款来自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828第(5)题在自治区高中某学科竞赛中，桂林市4000名考生的参赛成绩统计如图所示.(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么桂林市4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用桂林市参赛考生成绩的情况来估计自治区的参赛考生的成绩情况，现从自治区全体参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）附：①；②，则；③。
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2024年江苏高考数学真题(含答案) (2)
2024年江苏高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数的字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；为（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，的的从而sin C===又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.小问2详解】由（1）可得π3B=，cos C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===，由已知ABC面积为323=+，所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．【答案】（1）12（2）直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd = ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2025年广东省高中学业水平考试春季高考数学试题(含答案解析)
2025广东学业水平考试（春季高考）数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，则M N ⋃=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1,2- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-2．命题“∃x＜0，x 2+2x-m＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x 2+2x-m＞0B．∃x≤0，x 2+2x-m＞0C．∀x＜0，x 2+2x-m≤0D．∃x＜0，x 2+2x-m≤03.已知复数11iz =+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．124.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin cos αα+=（）A ．55B ．255C ．55-D ．255-5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m 的值为（）A．1B．3C．16D．206．已知213log =a ，b=B ，c=B ，则（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜a D．c＜b＜a7.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题为真命题的是（）A.αγ⊥，//βγαβ⊥⇒ B.m α⊥，//n m nα⊥⇒C.//m α，////n m n α⇒D.//m α，////m βαβ⇒8．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，)(x f =log 3（1+x ），则)2(-f =（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．39．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球10．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（）A．y=B．y=C．y=l (a>0，且a≠1)D．y=l a x (a>0且a≠1)11.已知函数()lg ,02,0xx x f x x >⎧=⎨<⎩，若110a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f a 的值是（）A.2- B.1- C.110D.1212.从长度为2，4，6，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为()A ．B ．C ．D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.函数()cos 2f x x =的最小正周期是_____．14．已知向量(,3),(1,1)am b m ==+．若a b ⊥，则m =．15．设一组样本数据x 1，x 2，...，x n 的平均数是3，则数据2x 1+1，2x 2+1，...，2x n +1的平均数为.16.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球；从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为．17.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝______cm 2.18.若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝1，则α＋β＝_________．三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a =，=2c ，30B =︒（1）求b （2）求sin A 的值20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下：甲：828179789588938485乙：929580758380908585（1）求甲成绩的0080分位数；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年．．的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()4011035C x x x =≤≤+，设y 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求y 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用y 达到最小，并求最小值．22.如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O，D分别是AB，PB的中点．(1)求证：PA∥平面COD；(2)求三棱锥PABC的体积．一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，则M N ⋃=（）A.{}0,1B.{}1,0,1,2-C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合M N ⋃.【详解】因为集合{}012M =,,，{}1,0,1N =-，因此，{}1,0,1,2M N ⋃=-.故选：B 2．命题“∃x＜0，x 2+2x-m ＞0”的否定是（）A．∀x＜0，x 2+2x-m＞0B．∃x≤0，x 2+2x-m＞0C．∀x＜0，x 2+2x-m≤0D．∃x＜0，x 2+2x-m≤0【答案】C【解析】解：命题“∃x＜0，x 2+2x-m＞0”是特称命题，特称命题“∃x＜0，x 2+2x-m ＞0”的否定是“∀x＜0，x 2+2x-m≤0”.故答案为：C.3.已知复数11iz =+，则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】C【分析】先化简求出z ，即可得出答案.【详解】因为()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以z 的虚部为12-.故选：C.4.已知角α的终边经过点()1,2-，则sin cos αα+=（）A ．55B ．255C ．55-D ．255-【答案】A【分析】根据终边上的点的坐标，用正弦、余弦的定义求解.【详解】点()1,2-到原点的距离为22(1)25-+=，所以225sin 55α==，15cos 55α-==-，5sin cos 5αα+=,故选：A.5．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m 的值为（）A．1B．3C．16D．20【答案】D【解析】由题意可得110=160+30+10，所以m=20，选D。
江苏省徐州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)模拟(预测卷)完整试卷
江苏省徐州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，数列满足，，，则（）A．0B．1C．675D．2023第(2)题用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（）A．假设有两个内角超过B．假设四个内角均超过C．假设至多有两个内角超过D．假设有三个内角超过第(3)题对于任意集合，下列关系正确的是（）A．B．C．D．第(4)题设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（）A．792种B．1440种C．1728种D．1800种第(8)题已知函数的图象经过点，若函数在区间上有3个极值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体．底面长方形中，，上棱长，且平面，高（即到平面的距离）为，是底面的中心，则（）A．平面B．五面体的体积为5C．四边形与四边形的面积和为定值D．与的面积和的最小值为第(2)题已知数列的前项和为，则（）A．若，则数列为等比数列B．若，则C．若，且，则D．若，，，，，则数列为等差数列的必要条件为第(3)题将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在内恰有5个极值点，则的取值可能是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数的定义域为，满足，当时，，则______第(2)题已知抛物线的焦点为，则的坐标为______；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为______．第(3)题过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求实数a的范围；（2）若正项数列满足，，数列的前n项和为Sn，求证：.第(2)题设函数.(1)若在处有极小值2，求，的值；(2)若，且在上是增函数，求实数的取值范围；(3)若，时，函数在上的最小值为0，求实数的取值范围.第(3)题已知函数．(1)若，在下列网格纸中作出函数的大致图象；(2)当时，求证：．第(4)题某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.①求的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.第(5)题已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设函数有最小值，求的最大值.。
江苏省徐州市2020届高三下学期春季联考数学试题 Word版含解析
2020届高三春季联考数学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B 铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1.设全集U =R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则U A C B =__．【答案】{}1,0,1- 【解析】 【分析】直接根据交集和补集的定义求解，先求U C B ，再求U A C B ⋂． 【详解】解：∵全集U =R ，集合{}|2B x x =≥， ∴{}()|2,2U C B x x =<=-∞， 又{}1,0,1,2,3A =-， ∴{}1,0,1U A C B =-， 故答案为：{}1,0,1-．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，属于基础题． 2.复数1ii-的虚部是____________． 【答案】12【解析】因为(1)111(1)(1)22i i iii i i+==-+-+-，所以该复数的虚部是12，应填答案12．3.某校为了解同三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为人．【答案】30【解析】【分析】本题主要考查的是频率分布直方图．由条件可知2(0.04+0.12+x+0.14+0.05)=1,所以x=0.15.所以这100名同学中学习时间在6到8小时内的频率为0.15（10-8）100=30．【详解】请在此输入详解！4.如图是一个算法的流程图，若输入的x的值为1，则输出的S的值为______.【答案】73【解析】【分析】根据循环结构逐步计算即可. 【详解】输入1x =,0S =.1. 3011S =+=,50S ≥判断为“N ”, 212x =⨯=.2. 3129S =+=,50S ≥判断为“N ”, 224x =⨯=.3. 39473S =+=,50S ≥判断为“Y ”. 输出73S =. 故答案为：73【点睛】本题主要考查了根据输入数据计算循环框图的输出结果.属于基础题.5.某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______. 【答案】34【解析】 【分析】求出所有可能的情况总数,进而求得在同一食堂用餐的概率,再利用对立事件的概率公式求解三人不在同一个食堂用餐的概率即可.【详解】由题意可知,所有可能的情况共有328=种,其中在同一食堂用餐的情况有2种.故三人不在同一个食堂用餐的概率为23184-=. 故答案为：34【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意求出所有可能的情况,再求出对立事件的概率进行计算.属于基础题.6.已知正四棱锥的底面边长是425，则该正四棱锥的体积为______. 【答案】32 【解析】 【分析】连接底面对角线交于O ,再根据四棱锥的性质求出高即可求得体积.【详解】设正四棱锥为S ABCD -,连接,AC BD 交于O ,连接SO .易得SO ⊥平面ABCD . 根据正四棱锥的性质有4BO =,22543SO =-=.故该正四棱锥的体积为()21423323V =⨯⨯=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了正四棱锥体积的计算,需要根据其中的直角三角形进行高的计算.属于基础题.7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为______.【答案】512π 【解析】 【分析】先根据求解平移后的函数解析式,再根据三角函数对称轴的性质求解即可. 【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后可得()sin 223g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.由题()g x 关于y 轴对称,故当0x =时，有()2,32k k Z ππϕπ-+=+∈,即(),212k k Z πϕπ=--∈.因为0ϕ>，故当1k =-时有ϕ的最小值为512π.故答案为：512π【点睛】本题主要考查了三角函数图像平移以及三角函数图像性质的问题,需要根据题意代入对称轴表达式进行求解.属于基础题.8.已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，则10S 的值为______. 【答案】-110 【解析】 【分析】利用基本量法以及等比中项的性质可求得首项120a =-,再求解10S 即可.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项,故3729a a a =⋅,即()()()1112628a a a d d d +=+⋅+,即2211211212361016a a a a d d d d++=++,化简得()1100a d d +=.又2d =所以120a =-.故()10109102021102S ⨯=⨯-+⨯=-. 故答案为：110-【点睛】本题主要考查了等差数列中基本量的求解以及等比中项的运用,同时也考查了等差数列求和的公式.属于中档题.9.若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与圆C ：()2211x y -+=相交于A ，B 两点且90ACB ∠=︒，则此双曲线的离心率为______.2【解析】 【分析】根据圆的半径相等以及90ACB ∠=︒可求得圆心()1,0到渐近线的距离为22,再利用点到线的距离公式列式求解,a b 的关系,再求解离心率即可.【详解】因为90ACB ∠=︒,1AC BC ==,故圆心()1,022=. 不妨设渐近线方程为b y x a =,即0bx ay -=.2222b b c a b==+,即2c b =.所以()222222c b c a ==-.故222ca =,故双曲线的离心率为2ca=2【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及建立齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题.10.函数234()lg(1)x x f x x --+=+的定义域为__________．【答案】()(]1,00,1-⋃； 【解析】241340{{1110lg(1)0x x x x x x x x -≤≤--+≥⇒>-⇒-<≤≠+≠≠且 ，即定义域为()(]1,00,1-⋃ 11.已知,x y R ∈，且1x >，若()()121x y --=，则66xy x y +++的最小值为______. 【答案】25 【解析】 【分析】由题意()()6616xy x y x y +++=++,再根据()()121x y --=换元令1,2a x b y =-=-,代入()()16x y ++展开利用基本不等式求最小值即可.【详解】由题, ()()6616xy x y x y +++=++,设1,2a x b y =-=-则1ab =.()()()()162882161728217825x y a b ab a b a b ++=++=+++≥+⨯+=.当且仅当82a b =时取等号. 故答案为：25【点睛】本题主要考查了换元法利用基本不等式求解最小值的问题.需要根据题中所给的形式换元,结合基本不等式求最小值.属于中档题.12.在ABC 中，若120BAC ∠=︒，2BA =，3BC =，1132BM BC BA =+，则MA MC ⋅=______.63-【解析】【分析】利用余弦定理可求得61AC=-,建立平面直角坐标系,根据1132BM BC BA=+求出M 的坐标,进而求得MA MC⋅即可.【详解】由余弦定理可得2222cos120BC AB AC AB AC=+-⋅⋅︒,即2250AC AC+-=,因为0AC>,故解得61AC=-.过B作BO垂直AC的延长线于O,再以O为坐标原点,OC为x轴, OB为y轴建立平面直角坐标系.则()06,C,()0,3B,1,0A.设(),M x y,因为1132BM BC BA=+,故()()()11,36,31,332x y-=-+-,故613233332xy⎧=+⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩,解得613236xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即613326,M⎛⎫⎝+⎪⎪⎭.故1632613614612243163,,2MA MC--⎛-⎫⎛⎫-⋅=-⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝-++⎭⎝=⎭63-【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的问题.需要根据题意建立合适的坐标系,再根据题中所给的数据进行向量坐标的运算.属于中档题.13.已知圆22:4O x y+=，直线l与圆O交于P Q，两点，()2,2A，若2240AP AQ+=，则弦PQ的长度的最大值为___________.【答案】22 【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M为PQ的中点，()22222(2)AP AQAM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min 22OM ==，max 22PQ =.故答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.14.函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩，此时a ∈∅；若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0f f a ->⎧⎨≤⎩，解得102a -≤≤；若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意； 综上，实数a 的范围为102a -≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量()cos ,sin m x x =，()3sin ,sin n x x =，函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期.（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，13210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）π；（2433+. 【解析】 【分析】(1)根据平面向量的数量积公式以及降幂公式与辅助角公式化简可得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,进而求得最小正周期.(2)代入13210f α⎛⎫=⎪⎝⎭可得4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再根据sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,利用三角函数和差角公式以及同角三角函数关系求解即可. 【详解】（1）2()3cos sin f x x x x =+31cos 12sin 2262x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭, ∴()f x 的最小正周期为π. （2）113sin 26210f απα⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭, ∵02πα<<,∴663πππα-<-<,∴2243cos 1sin 16655ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴sin sin sin cos cos sin 666666⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππππαααα 4331525243310=⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数公式以及三角函数恒等变换.同时也考查了根据三角函数值求三角函数值的问题.属于中档题.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若M ，N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 平面1AMB . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据直三棱柱的性质证明BC ⊥平面11ACC A 即可.(2) 取1AB 的中点为Q ,连接NQ ,QM ,再证四边形NCMQ 为平行四边形即可. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴1CC BC ⊥,又∵BC AC ⊥,1ACCC C =,AC ⊂平面11ACC A ,1CC ⊂平面11ACC A ,∴BC ⊥平面11ACC A ,又∵AM ⊂平面11ACC A ,∴BC AM ⊥. （2）取1AB 的中点为Q ,连接NQ ,QM ,∵在1ABB △中,N 、Q 分别为AB 、1AB 中点,∴1//NQ AB 且112NQ AB =, 在直三棱柱111ABC A B C -中,∵11//BB CC 且11BB CC =,M 为1CC 的中点,∴1//CM BB 且112CM BB =, ∴//NQ MC 且NQ MC =,∴四边形NCMQ 为平行四边形,∴//NC QM , 又∵NC ⊄平面1AMB ,QM ⊂平面1AMB ,∴//CN 平面1AMB .【点睛】本题主要考查了线面垂直以及线面平行的证明.属于基础题.17.如图，某居民区内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，6AB =百米，4CD =百米.该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=.（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内修建健身广场，在CDP 区域内种植花草.已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP 的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）. 【答案】（1）2sin DP θ=，566ππθ<<.（2）163. 【解析】 【分析】(1) 过点D 作'DD 垂直于线段AB ,垂足为'D 得到6DAP π∠=,再在ADP △中,由正弦定理求得DP 即可.(2) 在ADP △中,由正弦定理求得AP ,进而根据DPC ADC APD S S S =-△△△求出DPC S △,再根据题意表达出总费用2cos ()34sin f θθθ+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再求导分析()f θ的单调性与最值即可.【详解】（1）过点D作'DD垂直于线段AB,垂足为'D.在直角ABC中,因为AB BC⊥,6BACπ∠=,6AB=,所以23BC=.在直角'ADD△中,因为'2AD=,'23DD=,所以4=AD,则3sin'DAD∠=,故'3DADπ∠=,又6BACπ∠=,所以6DAPπ∠=.在ADP△中,由正弦定理得sin sin6AD DPπθ=,所以2sinDPθ=,566ππθ<<.（2）在ADP△中,由正弦定理得sin sinAP ADADPθ=∠,所以54sin4sin6sin sinADPAPπθθθ⎛⎫-⎪∠⎝⎭==.所以54sin1126sin sin22sin sinAPDS AP PDπθθθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=⋅⋅⋅△54sin6sinπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=. 又112sin44sin43223ADCAD DC ADCSπ=⋅⋅∠=⨯⨯=△所以54sin643sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭==-△△△.设三项费用总和为()fθ,则554sin 4sin 266()44324sin sin sin f ππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪=⨯+⨯+⨯ ⎪⎪⎝⎭2cos 1234sin θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭,566ππθ<<, 所以21cos 2'()8sin f θθθ⎛⎫-- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,令()'0f θ=,则23πθ=. 列表：θ2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭23π 25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ()'f θ-+()f θ单调递减23单调递增所以23πθ=时,()min 163f θ=⎡⎤⎣⎦答：以上三项费用总和的最小值为3.【点睛】本题主要考查了解三角形在实际中的运用,同时也考查了利用导数求解实际运用中的最值问题,需要根据题意确定函数与自变量的角度间的关系,再求导分析单调性以及最值等.属于难题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1，椭圆C 的离心率为3e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，设直线l 与圆()22212x y r r +=<<相切与点A ，与椭圆C 相切于点B ，当r 为何值时，线段AB 长度最大？并求出最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2R =AB 最大值为1. 【解析】 【分析】(1)利用基本量,,a b c 的关系列式求解即可.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+,根据直线l 与圆C 相切可得()2221m R k=+,再联立直线与椭圆的方程,利用相切则所得的二次方程判别式为0可得22410k m -+=,再联立()2221m R k =+可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.再根据点的坐标结合距离公式以及222AB OB OA =-,在根据基本不等式求解最大值即可.【详解】解：（1）由题,31,2c b a ==, 故22234a b a -=,解得24a =. 故椭圆方程为2214x y +=.（2）连接OA,OB ，如图所示：设直线l 的方程为y kx m =+,因为直线l 与圆C ：()22212x y R R +=<<相切于A ,所以21m R k=+,即()2221m R k=+①,因为l 与椭圆E ：2214x y +=相切于点B ,由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得224()4x kx m ++=, 即()222148440kxkmx m +++-=有两个相等的实数解,则()()()222222641614116410k m k mk m ∆=-+-=-+=,即22410k m -+=,②由①、②可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 设()11,B x y ,由求根公式得()122844214km km kx m m k =-=-=-+,∴2211441k k m y kx m k m m m m -+⎛⎫=+=-+== ⎪⎝⎭, ∴2222211216145k x y m R OB +=+==-, ∴在直角三角形OAB 中,22222224545AB OB OA R R R R =-=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=, 因为2244R R+≥,当且仅当()21,2R =时取等号, 所以2541AB ≤-=,即当()21,2R =时,AB 取得最大值,最大值为1.【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的求解,同时也考查了直线与圆和椭圆等相切时的方法.当直线与圆相切时利用圆心到直线的距离等于半径列式,当直线与椭圆相切时联立方程根据判别式为0列式.属于难题.19.已知函数()ln f x x x a =+和函数()ln g x x ax =-.（1）若曲线()f x 在1x =处的切线过点()2,2A -，求实数a 的值； （2）求函数()()2h x g x x =+的单调区间；（3）若不等式()()0f x g x +>对于任意的1x >恒成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）3a =-；（2）当22a ≤,单调递增区间为()0,∞+;当22a >,单调增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+-+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为228844a a a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）2.【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得()2ln h x x ax x =-+,再求导分析导函数分子221y x ax =-+的根的存在情况,进而可得导函数在区间上的正负以及原函数的单调性.(3)令()()()ln ln F x f x g x x x x ax a =+=+-+,再求导分析可得()'F x 在()1,+∞上单调递增,可得()()''12F x F a >=-.再分2a ≤与2a >两种情况分析函数的单调性求解最小值即可.【详解】解（1）∵()'ln 1f x x =+,∴()'11f =,又∵()1f a =, 曲线()f x 在1x =处的切线方程为1y a x -=-, ∵切线过点()2,2A -,∴221a --=-,∴3a =-. （2）()2ln h x x ax x =-+的定义域为()0,∞+,()221'0x ax h x x-+==,则2210x ax -+=,令28a ∆=-.（Ⅰ）当280a ∆=-≤即2222a -≤≤()'0h x ≥, ∴函数()h x 的单调增区间为：()0,∞+.（Ⅱ）当280a ∆=->即22a <-或22a >,2210x ax -+=有两个不等的实数根2184a a x -=,2284a a x -=, 当22a <-时,10x <,20x <,∴()'0h x >, 函数()h x 单调增区间为()0,∞+, 当22a >,1>0x ,20x >, 令()'0h x >,则10x x <<或2x x >, 令()'0h x <,则12x x x <<,∴()h x 单调递增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭,28a a ⎫+-+∞⎪⎪⎝⎭,()h x 单调递减区间为228844a a a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述, 当22a ≤,单调递增区间为()0,∞+;当22a >,单调增区间为280,4a a ⎛- ⎪⎝⎭，284a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为228844a a a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）令()()()ln ln F x f x g x x x x ax a =+=+-+,则()1'ln 1F x x a x =++-, 记()1ln 1x a x x ϕ=++-,则()22110'1x x x x xϕ-=-=>,所以()'F x 在()1,+∞上单调递增,故()()''12F x F a >=-,当2a ≤,()'0F x >,故()F x 在()1,+∞上单调递增, 所以()()10F x F >=,符合题意. 当2a >时,()1'10=+>aaF ee ,故()''(1)0a F e F <,又()'F x 在()1,+∞上单调递增,所以存在唯一的实数()01,x ∈+∞,使得()0'0F x =, 列表如下：x()01,x0x()0,x +∞()'F x-+()F x极小值则当()01,x x ∈时,()()10F x F ≤=,这与()0F x >恒成立矛盾. 综上,实数a 的最大值为2.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数分析含参函数的单调性问题.同时也考查了利用导数解决恒成立的问题.需要根据题意分析导数的零点存在性以及大小关系,进而确定函数的单调性以及最值.属于难题.20.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；（3）21*121313m mm m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <，讨论即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325q d ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）.所以121,23n n n a n b -=-=⋅. （2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯，所以()21224333(21)23n n n M n --=++++--⨯⨯，13(13)24(42)34(44)313n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-所以2(1)32n n M n =-⋅+.（3）由（1）可得2n S n =，31=-n n T ，所以21121313m m mm m m S T m S T m +++-+=+-+.因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+，所以()2(1)1(3)3mL m L --=-，因为210,30m m ->，所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有()213mm -=，即()2113mm -=，令21()3m m f m -=.则22211(1)11223(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=-=-.当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113m m -=无整数解. 当3L =时,有210m -=，即存在1m =使得21213313m mm m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1m m m mS T S T +++是数列{}n a 中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.2020届高三春季联考 数学Ⅱ（附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题~第23题）.本卷满分为40分.考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.21.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .【选修4-2：矩阵与变换】21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值是1λ=-所对应的一个特征向量113e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线'C 的方程为1xy =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）2631x xy += 【解析】 【分析】(1)根据特征值与特征向量的性质计算即可.(2) 曲线C 上一点(),P x y 在矩阵M 的作用下的到点()'','P x y ,进而求得'2'3x x yy x =+⎧⎨=⎩,再代入1xy=化简即可.【详解】解：（1）由1111333a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦得31333a b -=-⎧⎨-=⎩,即20a b =⎧⎨=⎩, ∴2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（2）设曲线C 上一点(),P x y 在矩阵M 的作用下的到点()'','P x y ,则点P'在曲线'C 上.∴21'30'x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即'2'3x x y y x =+⎧⎨=⎩, 又∵''1x y =,∴()231x y x +⨯=, 整理得曲线C 的方程为2631x xy +=.【点睛】本题主要考查了特征值与特征向量的运用,同时也考查了矩阵变换的运用,属于基础题.B .【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为sin 324πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：2213x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）60x y -+=；（2）2 【解析】 【分析】(1)根据三角函数公式以及极坐标与直角坐标的互化求解即可. (2) 设)3,sin Pαα,再求出点到线的距离表达式,利用三角函数性质求解最值即可.【详解】解：（1）直线l 的极坐标方程sin 324πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则22sin cos 3222ρθρθ-=即sin cos 6ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=；（2）P 为椭圆C ：2213x y +=上一点,设)3,sin Pαα,其中[)0,2απ∈,则P 到直线l 的距离2cos 663cos sin 622d απαα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭=, ∴当cos 16πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,d 的最小值为22【点睛】本题主要考查了直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了利用参数方程求解点到线的距离最值问题.属于中档题.C .【选修4-5：不等式选讲】23.已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值.【答案】2411【解析】 【分析】由柯西不等式知：（x +y +z ）2≤[2x ）2+3）2+z 2]•[2）2+32+12]故2x 2+3y 2+z 22411≥，由此能求出2x 2+3y 2+z 2的最小值．【详解】由柯西不等式可知：（x +y +z ）22x ）2+3）2+z 22）2+3）2+12]，故2x 2+3y 2+z 22411≥， 当且仅当2311123x z ==，即：x 611=，y 411=，z 1211=时， 2x 2+3y 2+z 2取得最小值为2411．【点睛】本题考查柯西不等式的应用，考查了等号成立的条件，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：()220x py p =>上不同两点.（1）若抛物线C 的焦点为F ，()00,D x y 为AB 的中点，且042AF BF y +=+，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）28x y =；（2）存在，AB ：122py x =±+ 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义求解即可.(2) 设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,联立直线与抛物线的方程,再转换可得3''OQ OQAA BB +=,进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可. 【详解】解：（1）由抛物线的定义得12AF BF y y p +=++00242y p y =+=+,∴4p =,∴所求抛物线方程为28x y =.（2）由题意得AB 的斜率存在设AB ：()0,0y kx m k m =+≠>,222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,∴122x x pk +=,122x x pm =-, ∴22124p y y m ==,∴2p m =,21222y y pk m +=+,作'AA x ⊥轴,'BB x ⊥轴,垂足为'A ,'B , ∵113PA PB PQ +=,∴3PQ PQ PA PB +=,∴3''OQ OQAA BB +=, ∴()()21221212224m pk m m y y m m p y y y y +++==()22212223144p pk p k p++===. ∴214k =,∴12k =±,∴存在直线AB ：122p y x =±+符合题意.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题. 25.已知数集{}12,,,n A a a a =，其中120n a a a ≤<<<，且3n ≥，若对(),1i j i j n ∀≤<≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .（1）分别判断数集{}0,1,3与数集{}0,2,4,6是否具有性质P ，说明理由； （2）已知数集{}128,,,A a a a =具有性质P ，判断数列1a ，2a ，…，8a 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）数集{}0,1,3不具有性质P ，数集{}0,2,4,6具有性质P ，理由见解析；（2）是等差数列，证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据性质P 的定义逐个求差判断即可.(2)根据性质P 的定义可先判断出10a =,再判断可得()82,3,,8k a a A k -∈=⋅⋅⋅,继而得到()1872,3,,8i i a a a a i --=-=⋅⋅⋅即可证明数列1a ,2a ,…,8a 为等差数列.【详解】解：（1）由于31-和31+都不属于集合{}0,1,3,所以该集合不具有性质P ；由于20+、40+、60+、42+、62-、64-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}0,2,4,6,所以该数集具有性质P . （2）∵{}128,,,A a a a =具有性质P ,所以88a a +与88a a -中至少有一个属于A ,由1280a a a ≤<<<,有888a a a +>,故88a a A +∉,∴880a a A =-∈,故10a =. ∵1280a a a =<<<,∴88k a a a +>,故()82,3,,8k a a A k +∉=⋅⋅⋅.由A 具有性质P 知,()82,3,,8k a a A k -∈=⋅⋅⋅, 又∵88878281a a a a a a a a -<-<<-<-,∴881a a a -=,872a a a -=,…,827a a a -=,818a a a -=, 即()981,2,,8i i a a a i -+==⋅⋅⋅①,由278a a a +=知,37a a +,47a a +,…,77a a +均不属于A , 由A 具有性质P ,73a a -,74a a -,…,77a a -均属于A , ∴7776747383a a a a a a a a a a -<-<<-<-<-,而836a a a -=,∴770a a -=,762a a a -=,753a a a -=,…,735a a a -=即()871,2,,7i i a a a i -+==⋅⋅⋅②, 由①②可知()()898711,2,,8i i i a a a a a i a ----==⋅⋅⋅=-, 即()1872,3,,8i i a a a a i --=-=⋅⋅⋅. 故1a ,2a ,…,8a 构成等差数列.【点睛】本题主要考查了数列与集合的新定义问题,需要根据所给的性质,先分析到最小的元素,再推导出元素之间的关系,进而得到元素间的递推公式分析.属于难题.。
江苏专用2024年高考数学一轮复习考点11函数与方程必刷题含解析
考点11 函数与方程1．（江苏省连云港市2025届高三上学期期中考试）已知为正常数，，若使，则实数的取值范围是_______.【答案】（2，＋∞）【解析】由于，函数在上单调递增，当时有最小值为.在时，函数为增函数，要使存在，使得，则需，解得.2．（江苏省徐州市2025届高三上学期期中质量抽测）已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】（1）＝0时，，只有一个零点，不合题意；（2）＜0时，，＞0，在R上单调递增，所以，不行能有3个解，也不合题意。
（3）＞0时，，得画出函数：的图象，如图：当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.，＝0，得x=x 在（0，）递减，在（，）递增，＜0，解得：3．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷）已知()f x 是定义在R上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a的值__． 【答案】72【解析】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数， 函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：724．（江苏省镇江市2025届高三考前三模）已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()2,+∞【解析】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图：y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点， 在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞5．（2024年江苏省高考数学试卷）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k kk +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满意()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 6．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a >【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过其次、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'，①若1a -时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；若12133a a -≥⇒≥，()f x 在12,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为12(1)12333a a a f ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 明显2(1)12033a a ----<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.7．（江苏省七市2025届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三其次次调研考试）定义在R 上的奇函数满意，且在区间上，则函数的零点的个数为___．【答案】5 【解析】由题知函数的周期为4，又函数为奇函数，∴，即故f(x)关于（2,0）中心对称，又g(x)=为偶函数，则画出f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个 故答案为58．（江苏省南通市通州区2024-2025学年第一学期高三年级期末考试）已知函数若函数有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】【解析】由数有且只有一个零点，等价为数，即有且只有一个根，即函数与，只有一个交点，作出函数的图象如图：，，要使函数与，只有一个交点，则，故答案为：．9．（江苏省南通市基地学校2025届高三3月联考）已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，须要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：.10．（江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2025届高三第一学期期末联考）函数有3个不同零点，则实数a的取值范围____【答案】【解析】解：当x＜﹣1时，由f（x）＝0得x2﹣2ax＝0,得a，∵x＜﹣1，∴a且此时函数f（x）只有一个零点，要使f（x）有3个不同零点，则等价为当x≥﹣1时，f（x）＝0有且只有2个不同的零点，由f（x）＝e x﹣|x﹣a|＝0得e x＝|x﹣a|，作出函数g（x）＝e x和h（x）＝|x﹣a|在x≥﹣1的图象如图，当x≥a时，h（x）＝x﹣a，当h（x）与g（x）相切时，g′（x）＝e x，由g′（x）＝e x＝1得x＝0，此时g（0）＝1，即切点坐标为A（0，1），此时h（0）＝0﹣a＝1，得a＝﹣1，当x＝﹣1时，g（﹣1），当直线h（x）＝x﹣a经过点B（﹣1，）时，﹣1﹣a，则a＝﹣1，要使e x＝|x﹣a|在x≥﹣1时，有两个不同的交点，则直线h（x）＝x﹣a应当在过A和B的直线之间，则﹣1a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1），故答案为：[﹣1，﹣1）.11．（江苏省扬州市2024-2025学年度第一学期期末检测试题）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】或【解析】函数0，得|x+a|a＝3，设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满意f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满意题意；综上所述，a或﹣1．12．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若对随意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．【答案】【解析】由题意，对随意(，0)，总存在[2，)，使得，即当随意(，0)，总存在[2，)，使得，当时，，当时，函数，当，此时，符合题意；当时，时，，此时最小值为0，而当时，的导数为，可得为微小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满意题意；当时，时，的最小值为0或，当时，的导数为，可得为微小值点，且为最小值点，可得的最小值为，由题意可得，解得，综上可得实数的范围是.13．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，若方程，即有三个相异的实根，即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，又由直线和必有一个交点，所以0>，则与的图象有两个交点，联立方程组，整理得，由，解得或，所以实数的取值范围是.14．（江苏省无锡市2025届高三上学期期末考试）已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，，则__________．【答案】-2【解析】直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且∈，即a(x4+2)＝－cos，所以，a＝又，即直线的斜率为：a＝，因此a＝＝，即＋＝＋＝－－2＝－2.故答案为：－2.15．（江苏省南通市2025届高三年级阶段性学情联合调研）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为：.16．（江苏省常州市2025届高三上学期期中教学质量调研）已知函数，若关于x的函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】作出的函数图象如右：设，则当或时，方程只有1解，当或时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解．关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，，解得．故答案为17．（江苏省镇江市2025届高三上学期期中考试）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满意t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则即解得m＜﹣3，故答案为：m＜﹣3.18．（盐城市2025届高三年级第一学期期中模拟考试）已知函数，若在区间上有且只有2个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】当0⩽x⩽1时,=0，易知x=0不是方程=0的解，故m=−x在(0,1]上是减函数，故m−1=−；即m时,方程f(x)=0在[0,1]上有且只有一个解，当x>1时，令mx+2=0得,m=−，故−2<m<0，即当−2<m<0时,方程f(x)=0在(1,+∞)上有且只有一个解，综上所述,若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是．19．已知函数f(x)＝x m－2x且f(4)＝72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)推断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并赐予证明．【答案】（1）m＝1（2）奇函数（3）见解析【解析】解：(1)∵f(4)＝72，∴4m－24＝72，∴m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－2x，∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝－x ＋2x ＝－(x －2x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0， 则f(x 1)－f(x 2)＝x 1－12x －(x 2－22x )＝(x 1－x 2)(1＋122x x )，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0,1＋122x x >0. 所以f(x 1)>f(x 2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．20．（江苏省苏州市2025届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）已知函数(a ，bR)．（1）当a ＝b ＝1时，求的单调增区间；（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a ＝0时，若的解集为(m ，n)，且(m ，n)中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【答案】（1）f （x ）的单调增区间是和（2）（3）【解析】（1）当a ＝b ＝1时，，令，解得或所以f （x ）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或， 因为函数f （x ）有两个不同的零点，所以或，当时，得a ＝0，不合题意，舍去： 当时，代入得即，所以.法二：由于，所以，由得，，设，令，得，当时，，h(x)递减：当时，,递增当时，，单调递增当时, 的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，，所以时，方程恰有一个根－2，此时函数恰有两个零点-2和1．（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满意，解得. ①又因为，，要使的解集（m,n）中只有一个整数，则即解得. ②设,则,当时，,递增：当时，,递减所以,所以,所以由①和②得，.21．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满意题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件冲突，所以. 令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.。
江苏省徐州市2020届高三春季联考数学试题含答案
如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中, AC⊥BC, M 是棱 CG 上的一点.
（1）求证: BC⊥AM; （2）若 M, N 分别是 CC1, AB 的中点,
A
A1
求证: CN∥平面 AMB.
N
M
C
C1
B
B1
(第 16 题图)
17. （本小题满分14分） 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB = 6 百米，
9.
x2 y2 双曲线a2 － b2＝ 1
的一条渐近线与圆 C（: x－1）2＋y2＝ 1
相交于
A, B
两点且∠ACB＝90°，
则此双曲线的离心率为 ▲ ．
10. 函数 y =
− x2 − 3x + 4 ln(x +1) 的定义域为
▲
．
11. 已知x, y ∈ R ，且x > 1 ，若 (x −1)( y − 2) =1 ，则xy + 6x + y + 6 的最小值为 ▲ ． 12. 在∆ABC 中，若∠BAC = 120 °, BA＝ 2 , BC＝ 3 ， B→M＝13 B→C＋12 B→A， 则M→A·M→C
高三数学 第 4 页 共 6 页
徐州市 2020 届高三春季联考试卷
数学Ⅱ(附加题)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题).本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟,
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
36 上的两个动点，满足 PA
PB ，
则△PAB 面积的最大值是__________．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点．
40
米.
（1）求桥 AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括端点).
桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 3 k (万元)(k>0).问 OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 2
8.已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，
高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
10.将函数
y=
3sin(2
x﹢π 4
)
的图象向右平移
13.在△ABC 中， AB 4，AC 3，∠BAC=90，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若
PA
mPB
(
3 2
m)PC
（m
为常数），则
CD
的长度是________．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P(
3 ，0) ，A，B 是圆 C：x2 2
(y 1)2 2
A(1,
π) 3
在直线 l