线面、面面平行的判定与性质随堂练习含答案
线面、面面平行的判定与性质
基础巩固强化
1.(文)(2011·海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α不同于l
的直线，那么下列命题中错误
．．的是( )
A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β
C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
[答案] D
[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．
(理)(2011·模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β
[答案] D
[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β，选项D正确．
2．(文)(2011·期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
[答案] D
[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·省市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．α∥β，m?α，n?β?m∥n
B．l⊥β，α⊥β?l∥α
C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．α∥β，l⊥α?l⊥β
[答案] D
[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D.
3．(2011·模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( )
A．若α∥β，l?α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β
[答案] C
[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.
4．(2011·揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( )
A．α的所有直线与a异面
B ．α与a 平行的直线不存在
C ．α存在唯一的直线与a 平行
D ．α的直线与a 都相交
[答案] B
[解析] 由条件知a 与α相交，故在平面α的直线与a 相交或异面，不存在与a 平行的直线．
5．(2012·二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )
A.12
B.8327
C.33
D.23
[答案] D
[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，
则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝102
，∴EF ＝2， ∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33
，23>8327，故选D.
6．(2011·模拟)下列命题中，是假命题的是( )
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，a?α，过β的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
[答案] D
[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β经过B 点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C
真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．
7．(2012·东城区综合练习)在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的序号为________．
[答案]②
[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；
②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．
8．(2011·文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E 为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[答案] 2
[解析]∵EF∥平面AB1C，
平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，∴EF∥AC，
∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，
∴EF＝1
2AC＝
1
2
×22＝ 2.
9．(2011·一检)已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确命题的序号是________．
[答案]②④
[解析]对于①，直线m可能位于平面α，此时不能得出m∥α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥β，所
以α∥β，因此②正确；对于③，直线m，n可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.
10．(文)(2012·文，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积(锥体体积公式V＝1
3
Sh，其中S为
底面面积，h为高)．
[分析] (1)欲证MN∥平面A′ACC′，须在平面A′ACC′找到一条直线与MN平行，由于M、N分别为A′B，B′C′的中点，B′C′与平面A′ACC′相交，又M为直三棱柱侧面ABB′A′的对角线A′B 的中点，从而M为AB′的中点，故MN为△AB′C′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A′－MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A′MC为底面，