2020-2021长沙市长郡中学九年级数学上期中一模试题含答案
2020-2021长沙市长郡中学九年级数学上期中一模试题含答案一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=32．﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．-13D ．133．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形4．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75B ．4.8C ．5D ．45．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1107．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +< 8．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且3 9．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°10．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 11．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-二、填空题13．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．14．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．15．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________16．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________．17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______． 19．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．20．已知关于x 的二次函数y=ax 2+(a 2-1)x-a 的图象与轴的一个交点的坐标为(m ，0)，若2<m<3，则a 的取值范围是_________．三、解答题21．如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转60°得到BCE ∆，连接DE.（1）如图1，求证：CDE ∆是等边三角形；（2）如图2，当6<t<10时，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由.（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.22．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．()1求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；()2求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？()3如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本⨯每天的销售量)24．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.25．为响应市政府关于“垃圾不落地⋅市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A：非常了解；B ：比较了解；C ：了解较少；D ：不了解.”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题；()1求m =______，并补全条形统计图；()2若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；()3已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．B解析：B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 3．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．4．B解析：B【解析】【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B ．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方， ∴244ac b a＞0，④错误； 故选B.6．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A 、B 、C 表示三本小说，a 、b 表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6， ∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310． 故选：A ．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键． 7．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意； B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=. 故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.9．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.10．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键11．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．12．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.二、填空题13．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键． 14．65°【解析】【分析】连接OAOCOD 利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD 在圆的内接五边形ABCDE 中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO解析：65°【解析】【分析】连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.【详解】 解：如图解:连接OA,OC,OD,Q 在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°,Q ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，可得：∠CAD=050,在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，可得∠ACD=065,故答案：065.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.15．【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a0c=3即可设出解析式【详解】解：根据题意可知a0c=3故二次函数解析式可以是【点睛】本题考查了二次函数的性质属于简单题熟悉概念是解题关键解析：223,y x =-+【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式.【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.16．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为解析：-1【解析】试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，得，230.a -+=解得： 1.a =-故答案为 1.-17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．-1【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程x2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0求出m 的取值即可【详解】解：由已知得△=0即4+4m=0解得m=-1故答案为-1【点睛】本题考查的是根的判别解析：-1【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．19．45【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义用符合条件的数量除以总数即可即10-210=45考点：概率解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即.考点：概率20．<a<或-3＜a＜-2【解析】【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a）∴当y=0时x1=x2=解析：13<a<12或-3＜a＜-2．【解析】【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a），∴当y=0时，x1=1a，x2=-a，∴抛物线与x轴的交点为（1a，0）和（-a，0）．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，∴当a＞0时，2＜1a＜3，解得13＜a＜12；当a＜0时，2＜-a＜3，解得-3＜a＜-2．故答案为：13<a<12或-3＜a＜-2．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．三、解答题21．（1）详见解析；（2）存在，3；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质结合△ABC是等边三角形可得∠DCB=60°，CD=CE，从而可得△CDE 是等边三角形；（2）由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，因此当CD⊥AB时，CD最短，则DE最短，结合△ABC是等边三角形，AC=4即可求得此时DE=CD=23；（3）由题意需分0≤t＜6，6＜t＜10和t＞10三种情况讨论，①当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，由此可知：此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°；②当6＜t＜10s时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，由此可知：此时△DBE不可能是直角三角形；③当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，结合∠CDE=60°可得∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC>60°，由此可得∠BED<60°，由此可知此时若△BDE 是直角三角形，则只能是∠BDE=90°；这样结合已知条件即可分情况求出对应的t的值了.试题解析：（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最小，此时∠ADC=90°，又∵∠ACD=60°，∴∠ACD=30°，∴ AD=12AC=2，∴ CD=22224223AC AD-=-=，∴ DE=23（cm）；（3）存在，理由如下：①当0s≤t＜6s时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴此时若△DBE是直角三角形，则∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°，∴∠CDA=∠CEB=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2（s）；②当6s ＜t ＜10s 时，由性质的性质可知∠DBE=120°＞90°，∴此时△DBE 不可能是直角三角形；③当t ＞10s 时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC ， 而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm ，∴t=14÷1=14（s ）； 综上所述：当t=2s 或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形.点睛：（1）解第2小题的关键是：抓住点D 在运动过程中，△DBE 是等边三角形这一点得到DE=CD ，从而可知当CD ⊥AB 时，CD 最短，则DE 最短，由此即可由已知条件解得DE 的最小值；（2）解第3小题的关键是：根据点D 的不同位置分为三段时间，结合已知条件首先分析出在每个时间段内△BDE 中哪个角能够是直角，然后再结合已知条件进行解答即可求得对应的t 的值了.22．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3，∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得： 111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．23．()()21y 5x 800x 2750050x 100=-+-≤≤；()2当x 80=时，y 4500=最大值；()3 销售单价应该控制在82元至90元之间．【解析】【分析】（1）根据每天销售利润=每件利润×每天销售量，可得出函数关系式；（2）将（1）的关系式整理为顶点式，根据二次函数的顶点，可得到答案；（3）先求出利润为4000元时的售价，再结合二次函数的增减性可得出答案.【详解】解：由题意得：()()y x 50505100x ⎡⎤=-+-⎣⎦()()x 505x 550=--+25x 800x 27500=-+-()2y 5x 800x 2750050x 100∴=-+-≤≤；()22y 5x 800x 27500=-+-25(x 80)4500=--+a 50=-<Q ，∴抛物线开口向下．50x 100≤≤Q ，对称轴是直线x 80=，∴当x 80=时，y 4500=最大值；()3当y 4000=时，25(x 80)45004000--+=，解得1x 70=，2x 90=．∴当70x 90≤≤时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得()505x 5507000-+≤，解得x 82≥．82x 90∴≤≤，50x 100≤≤Q ，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.24．（1）1a =，2；（2）1a =-【解析】【分析】(1)根据关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，得到()22[2(1)]420a a a ∆=----->，于是得到结论；(2)由根与系数的关系可得122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，代入22121216x x x x +-=，解方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根， ∴()22[2(1)]420a a a ∆=----->，解得：3a <，∵a 为正整数，∴1a =，2；(2)∵122(1)x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=，∴()2121216x x x x +-=，∴()22[2(1)]2163a a a -----=，解得：11a =-，26a =，∵3a <，∴1a =-．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．25．（1）20（2）500（3）12【解析】【分析】 ()1先利用A 选项的人数和它所占百分比计算出调查的总人数为50，再计算出B 选项所占的百分比为42%，从而得到m%20%=，即m 20=，然后计算出C 、D 选项的人数，最后补全条形统计图；()2用1000乘以()8%42%+可估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生数；()3画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】()1调查的总人数为48%50÷=，B 选项所占的百分比为21100%42%50⨯=， 所以m%18%42%30%20%=---=，即m 20=，C 选项的人数为30%5015(⨯=人)，D 选项的人数为20%5010(⨯=人)，条形统计图为：故答案为20；()()210008%42%500⨯+=，所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；故答案为500；()3画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到1男1女的概率61 122 ==【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图．。
2021年湖南省长沙市长郡教育集团初中课程中心中考数学一模试题
2021年湖南省长沙市长郡教育集团初中课程中心中考数学一模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1）A．4B．﹣4C．±4D2．函数y=123x-中，自变量x的取值范围为（）A．x＞32B．x≠32C．x≠32且x≠0D．x＜323．下列图形中，是轴对称图形的是（）．A．B．C．D．4．下列各运算中，计算正确的是（）A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b25．若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（）A．3B．4C．5D．66．若y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是下列的（）A．﹣4 B．0 C．1 D．37．已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则△ABC的周长是（）A．10 B．8 C．6 D．8或108．不等式组215840xx-≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．9．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．10．下列说法正确的是（）．A．同位角相等B．三点可以确定一个圆C．等腰三角形两底角相等D．对角线相等且垂直的四边形是正方形11．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64°B．58°C．72°D．55°12．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P 以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，∆BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，则下列结论：①BE=BC；②当t=6秒时，∆ABE ≅∆PQB；③点P运动了18秒；④当t=27 2秒时，∆ABE∽∆QBP．其中正确的是（）．A．①②B．①③④C．③④D．①②④二、填空题13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为________．14．因式分解：m2n﹣6mn+9n=__．15．任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__事件．16．已知一个圆锥的母线长为10cm ，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是__cm ．17．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A 1B 1C 1的面积是_______．18．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失20%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高__________%．19．计算：)10121sin 302π-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭三、解答题20．先化简，再求值：22x 2x 131x 1x 1-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，其中x 2=． 21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽（咸）、豆沙馅粽（甜）、红枣馅粽（甜）、蛋黄馅粽（咸）（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的市民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他吃到的两个粽子都是甜味的概率．22．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除．≈1.414≈1.732）23．如图， ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B 作BF⊥CD于点F．（1）求证：PD//AB；（2）求证：DE=BF；（3）若AC=6，tan∠CAB=43，求线段PC的长．24．为了缓解市区日益拥堵的交通状况，长沙市地铁建设工程指挥部对长沙地铁4号线茶子山站工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的指标书，从指标书中得知：甲工程队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需的时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）已知甲队每月的施工费用是76万元，乙队每月的施工费用是164万元，工程预算的施工费用为1000万元，为缩短工期以减少队交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出拟的判断并说明理由．25．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．（1）已知抛物线a ：221y x x =-+，判断下列抛物线b ：222y x x -=+，c ：243y x x =-+-与已知抛物线a 是否为交融抛物线？并说明理由；（2）在直线y =2上有一动点P （t ，2），将抛物线a ：221y x x =-+绕点P （t ，2）旋转180︒得到抛物线l ，若抛物线a 与l 为交融抛物线，求抛物线l 的解析式；（3）M 为抛物线a ：221y x x =-+的顶点，Q 为抛物线a 的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ 为斜边的等腰直角三角形MQS ，使直角顶点S 在y 轴上？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点B ，与x 轴交于点A ，C （点A 在点C 的左侧），A （-1，0），C （4，0），连接AB ，BC ，点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G 为y 轴负半轴上的一点，连接AG 并延长交抛物线于点E ，点D 为线段AE 上的一个动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点F ，与线段BC 交于点N ．（1）求抛物线的表达式及直线BC 的表达式；（2）在点D 运动的过程中，当FN 的值最大时，在线段BC 上是否存在一点H ，使得∆FNH 与∆ABC 相似，如果存在，求出此时H 点的坐标；（3）当DF =4时，连接DC ，四边形ABCD 先向上平移一定单位长度后，使点D 落在x 轴上，然后沿x 轴向左平移n （1<n <4）个单位长度，用含n 的表达式表示平移后的四边形与原四边形重叠部分的面积S （直接写出结果）．参考答案1．A【详解】a =4=，因此可求结果为4．故选A ．【点睛】本题考查二次根式化简．2．B【详解】解：根据题意得：2x ﹣3≠0，解得：x ≠32． 故选B ．【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．B【分析】根据轴对称图形的概念即可逐一判断．【详解】解：A 、不是轴对称图形，不符合题意，故A 错误；B 、是轴对称图形，符合题意，故B 正确；C 、不是轴对称图形，不符合题意，故C 错误；D 、不是轴对称图形，不符合题意，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．4．B【分析】分别利用积的乘法运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可.【详解】解：A、2a•3a＝6a2，不符合题意；B、（3a2）3＝27a6，符合题意；C、a4÷a2＝a2，不符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2；不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查的是整式的乘法，掌握整式乘法中的多个运算法则是解题的关键.5．B【分析】众数是指在一组数据中出现次数最多的数字；将一组数据按照从小到大的顺序排列起来，处于中间的数就叫中位数．根据定义先找出x的值，再找中位数.【详解】本题根据众数为3，则可得：x=3，则这组数据的排序为：3,3,4,5,6，则中位数为4．【点睛】本题考查众数、中位数的判定，根据众数的概念判断x的值是关键.6．A【详解】解：∵y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，而四个选项中，只有A符合题意，故选A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．7．A【详解】解：x2﹣6x+8=0，∴（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x1=2，x2=4．由三角形的三边关系可得：（两边之和大于第三边），∴腰长是4，底边是2，所以周长是：4+4+2=10．故选A．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．8．B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．【详解】解：215840xx-≤⎧⎨-<⎩①②，解不等式2x−1≤5，得：x≤3，解不等式8−4x＜0，得：x＞2，故不等式组的解集为：2＜x≤3，故选：B．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．9．C【解析】分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．详解：从左边看竖直叠放2个正方形．故选：C．点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．10．C【分析】利用平行线的性质、确定圆的条件、等腰三角形的性质及正方形的判定分别判断后即可确定正确的选项；【详解】A.两直线平行，同位角相等，故错误；B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；C.等腰三角形两底角相等，正确；D.对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故错误；故选：C.【点睛】本题主要考查同位角，等腰三角形的性质，正方形的判定，确定圆的条件，熟练掌握相关性质定理是求解本题的关键.11．B【解析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．解：∵BC是直径，∠D=32°，∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．故选B．12．A【分析】选项①正确．根据图中的信息，求出BE、AD的值即可判断；选项②正确．根据SAS即可判断；选项③错误．求出BE+DE+CD 的值，可知点P 运动了22秒；选项④错误．当t=272秒时，点P 在线段DE 上，点Q 与点C 重合，此时∠PQB≠90°，由此即可判断．【详解】解：由图像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6， ∴BE=BC ，故①正确，如下图所示，当t=6秒时，点P 在BE 上，点Q 静止于点C 处，在△ABE 与△PQB 中，12=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AE PB BE BC∴△ABE ≌△PQB （SAS ），故②正确，在Rt △ABE中，8===AB∴BE+DE+DC=10+4+8=22，∴点P 运动了22秒，故③错误，当t=272秒时，点P 在线段DE 上，点Q 与点C 重合，此时∠PQB≠90°， ∴△ABE 与△QBP 不相似，故④错误．∴①②正确.故选：A ．【点睛】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图中信息，利用信息解决问题，属于中考压轴题． 13．1.62×104【详解】解：将16200用科学记数法表示为：1.62×104．故答案为：1.62×10414．n（m﹣3）2【解析】【详解】m2n﹣6mn+9n=n（m2﹣6m+9）=n（m﹣3）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．15．随机【详解】解：抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．故答案为：随机．16．4．【分析】由圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为rcm，则圆锥底面圆周长为2πrcm，即侧面展开图的弧长为2πrcm，∴14410S=2r=180ππ⋅⋅圆锥底面周长，解得：r＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查圆锥的计算．17．12．【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1．∵位似比是1：2，∴相似比是1：2．∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4．∵△ABC 的面积为3，∴△A 1B 1C 1的面积是：3×4=12．故答案为：12．18．50【分析】设购进这种水果a 千克，进价为y 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x ，则售价为(1)x y +元/千克，根据题意列不等式求解即可．【详解】解：设购进这种水果a 千克，进价为y 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x ，则售价为(1)x y +元/千克，根据题意可得：(120%)(1)100%20%a x y ay ay-⨯+-⨯≥ 解得：150%2x ≥= 经检验：12x ≥是原不等式的解 ∴超市要想至少获得20%的利润，则这种水果的售价在进价的基础上应至少提高50%． 故答案为：50．【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键，要抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”等． 19．2【详解】解：原式=112122--+=11222-⨯+=2．故答案为2．20．x 1x 2-- 【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，再将x 的值代入化简后的式子进行计算即可．【详解】22x 2x 131x 1x 1-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭， ()()2(x 1)x 13x 1x 1x 1-+-=÷+-+， ()()2(x 1)x 1x 1x 1x 2-+=⋅+--， x 1x 2-=-，当x 2=时，原式22===． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（1）600人；（2）补图见解析；（3）16【分析】（1）根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C 类型的人数，然后根据百分比的意义求解； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出吃到的两个粽子都是甜味的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）根据题意得：6010%600÷=（人）（2）C 类的人数是：60018060240120---=（人）， C 类所占的百分比是：120100%20%600⨯=， A 类所占的百分比是：180100%30%600⨯=．（3）如图，得到所有等可能的情况有12种，吃到的两个粽子都是甜味的有2种，P（两个粽子都是甜味）21 126 ==．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．需要拆除．【分析】由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可．【详解】解：需要拆除，理由为：∵CB⊥AB，∠CAB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=10米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为3，即∠CDB=30°，∴DC=2BC=20米，=∴AD=BD﹣AB=（10）米≈7.32米，∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）494= PC【分析】（1）连结OD ，由AB 为⊙O 的直径，根据圆周角定理得AB 为⊙O 的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB 为等腰直角三角形，所以DO ⊥AB ，根据切线的性质得OD ⊥PD ，于是可得到DP ∥AB ；（2）利用角的关系得出∠FBD=∠EDA ，进而得出△FBD ≌△EDA ，即可得出DE=BF ；（3）在Rt △ACB 中，利用AC=6，tan ∠CAB=43，可得BC=8，再利用勾股定理得出AB=10，由△DAB 为等腰直角三角形，可得由AE ⊥CD ，得出△ACE 为等腰直角三角形，得出，在Rt △AED 中，可得，得出，由角的关系得出△PDA ∽△PCD ，利用比例式可得出PA=57PD ，PC=75PD ，由PC=PA+AC ，可求得PD=354，即可得出PC 的值．【详解】证明：（1）连结OD ，如图，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ACB ∠的平分线交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒，∴45DAB ABD ∠=∠=︒，∴DAB 为等腰直角三角形，∴⊥DO AB ，∵PD 为O 的切线，∴OD PD ⊥，∴DP AB ．（2）∵AE CD ⊥于点E ，BF CD ⊥于点F ，∴AE BF ，∴FBO EAO ∠=∠，∴DAB 为等腰直角三角形，∴90FBD EAD ∠+∠=︒，∵90EDA EAD ，∴FBD EDA ∠=∠，在FBD 和EDA 中，BFD DEA FBD EDA BD DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FBD EDA AAS △≌△，∴DE BF =．（3）在Rt ACB ，∵6AC =，4tan 3CAB ∠=， ∴4683BC =⨯=，∴22226810AB AC BC，∵DAB为等腰直角三角形，∴AD == ∵AE CD ⊥，∴ACE △为等腰直角三角形，∴AE CE ====在Rt AED △中，DE==∴CD CE DE =+==，∵AB PD ∥，∴45PDA DAB ∠=∠=︒，∴PDA PCD ∠=∠，又∵DPA CPD ∠=∠， ∴PDA PCD △∽△，∴PD PA AD PC PD CD ===， ∴57PA PD =，75PC PD =， 又∵PC PA AC =+，∴57675PD PD +=，解得354PD =， ∴5535254966677444PC PD =+=⨯+=+=． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，三角形全等及相似的知识，解题的关键是利用相似三角形得出边的关系，再列出算式求解．24．（1）乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月；（2）工程预算的施工费用1000万元不够用，需追加预算80万元，理由见解析【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，甲队单独完成这项工程需3x 个月，由题意可得等量关系：甲的工作效率×2+（甲的工作效率+乙的工作效率）×4=1，根据等量关系可得方程：23x +(113x x+)⨯4=1.解方程可得答案； （2）设甲乙两个工程队合作需要a 个月完成任务，由题意可得等量关系：（甲的工作效率+乙的工作效率）×工作时间=总工作量1，根据等量关系列方程，算出两队合干需要的时间，再根据时间计算出费用即可看出1000万元是否够用．【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，甲队单独完成这项工程需3x 月，由题意得： 2114133x x x ⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭，解得6x =， 经检验：6x =是原方程的解，则甲队单独完成这项工程需要1863=⨯个月，答：乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月．（2）设甲、乙两个工程队合作需要a 个月完成任务，由题意得：111186a ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭， 解得： 4.5a =，施工费用为：4.5(76164)1080⨯+=（万元），∵10001080<，∴不够用，需追加：1080100080-=（万元），答：工程预算的施工费用1000万元不够用，需追加预算80万元．【点睛】此题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意解题的完整性，此题用到的公式是：工作总量=工作效率×工作时间．25．（1）抛物线a 与抛物线b 不是交融抛物线，抛物线a 与抛物线c 是交融抛物线，理由见解析；（2）所求抛物线l 的解析式为223y x x =--+或265y x x =-+-；（3）存在符合条件的等腰直角三角形，点S 的坐标为（0,0）或（0,3）．【分析】（1）求出抛物线a 的顶点坐标，分别代入抛物线b 与抛物线c ，判断即可；（2）先确定抛物线a 的顶点M 的坐标，作点M 关于点P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y=2的垂线，垂足为E 、F ，可求出N 的纵坐标，代入求出N 的横坐标，分类讨论即可；（3）设点S （0，c ），则点Q 的坐标分两类：①M ，Q ，S 逆时针分布时；②M ，Q ，S 顺时针分布时，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线22:21(1)a y x x x =-+=-的顶点坐标为(1,0)M ，当1x =时，22212210y x x =-+=-+=≠，∴点M 不在抛物线b 上，∴抛物线a 与抛物线b 不是交融抛物线；∵当1x =时，2431430y x x =-+-=-+-=，∴点M 在抛物线c 上，∵抛物线22:43(2)1c y x x x =-+-=--+的顶点(2,1)N ，当2x =时，2214411y x x =-+=-+=，∴点N 在抛物线a 上，∴抛物线a 与抛物线c 是交融抛物线．（2）抛物线22:21(1)a y x x x =-+=-的顶点坐标为(1,0)M ． ∵将抛物线a ：221y x x =-+绕点P （t ，2）旋转180︒得到抛物线l ，抛物线a 与l 为交融抛物线，作顶点M 关于点P 的对称点N ，则点N 为抛物线l 的顶点，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E 、F ，则2ME NF ==，∴点N 的纵坐标为4，当4y =时，2214x x -+=，解得11x =-，23x =，∴(1,4)N -或(3,4)N ，当(1,4)N -时，设抛物线l 的解析式为2(1)4y a x =++，∵点(1,0)M 在抛物线l 上，∴20(11)4a =++，∴1a =-，∴抛物线l 的解析式为22(1)423y x x x =-++=--+；当(3,4)N 时，设抛物线l 的解析式为2(3)4y a x =-+，∵点(1,0)M 在抛物线l 上，∴20(13)4a =-+，∴1a =-，∴抛物线l 的解析式为22(3)465y x x x =--+=-+-，∴所求抛物线l 的解析式为223y x x =--+或265y x x =-+-．（3）设点(0,)S c ，则分以下两种情况：①当M ，Q ，S 逆时针分布时（如图中Q ），过点Q 作QD y ⊥轴于D ，则∠QDS=∠SOM=90°，SM=SQ ，∠MSQ=90°， ∴∠OSM+∠DSQ=∠DQS+∠DSQ=90°，∠OSM=∠DQS ，∴QDS SOM △≌△（AAS ），∴QD OS c ==，OM=DS ，∴1OD DS OS c =+=+，∴点(,1)Q c c +，∵点Q 在抛物线221y x x =-+上，∴2121c c c +=-+， 解得0c 或3c =，∴(0,0)S 或(0,3)S ；②当M ，Q ，S 顺时针分布时（如图中Q '），同理可得(,1)Q c c -'-，∵点Q '在抛物线221y x x =-+上，∴2121c c c -=++，即220c c ++=，∵∆<0，∴此方程无解，综上所述，存在符合条件的等腰直角三角形MQS ，此时点S 的坐标为（0,0）或（0,3）．【点睛】本题考查了二次函数的综合以及新定义问题，涉及了全等三角形的判定与性质，抛物线的顶点坐标及一元二次方程的解，难度较大，关键是理解新定义以及运用数形结合的思想． 26．（1）直线BC 的解析式为122y x =-+，抛物线的解析式为213222y x x =-++；（2）存在，点H 的坐标为67,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3）S =2268555-++n n ． 【分析】 （1）将点A （-1，0），C （4，0）代入22y ax bx =++得出方程组，再解方程组求出a ，b即可；根据B 、C 两点坐标利用待定系数法求出直线BC 的解析式即可；（2）如图2中，设213,222F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，构建二次函数求出FN 最大时，点F 的坐标，证明ABC 是直角三角形，观察图象可知，只有90FHN ABC ∠=∠=︒时，FHN CBA ，求出直线FH 的解析式，利用方程组即可求出点H 的坐标； （3）根据4DF =，列出方程，求出m 的值，分两种情形分别求解即可．【详解】解：（1）把(1,0)A -，(4,0)C 代入22y ax bx =++得到2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++， ∵(0,2)B ，(4,0)C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩， 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为122y x =-+． （2）如图1中，设213,222F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴213122222FN m m m ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭21(2)22m =--+， ∵102-<， ∴2m =时，FN 的值最大，此时(2,3)F ，∵(1,0)A -，(0,2)B ，(4,0)C ，∴1OA =，2OB =，4OC =， ∴OA OB OB OC=， ∵AOB BOC ∠=∠，∴AOB BOC ，∴ABO BCO ∠=∠，∵90BCO OBC ∠+∠=︒，∴90ABO OBC ∠+∠=︒，∵HNF MNC ∠=∠，90MNC ACB ∠+∠=︒，90BAC BCA ∠+∠=︒，∴HNF BAC ∠=∠，∵FNH △与ABC 相似，观察图象可知，只有90FHN ABC ∠=∠=︒时， FHN CBA ，设直线FH 的解析式为2y x b '=+，把(2,3)F 代入得1b '=-，∴直线FH 的解析式为21y x =-， 由21122y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得6575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点H 的坐标为67,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）∵(1,0)A -，10,2⎛⎫-⎪⎝⎭G ，∴直线AG 的解析式为1122y x =--，11,22D m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵4DF =， ∴21311242222m m m ⎛⎫-++---= ⎪⎝⎭， 解得1m =或3．①当1m =时，如图2中，12n <≤时，重叠部分是四边形D QBH '，22(2)1331335(3)52510510ABC AQD D HC n n S S S S n n n ''-+=--=--⋅+⋅=-++△△△； 如图3中，24n <<时，重叠部分是QHC '△，22211218812255510S HQ n n ⎛⎫-=⋅=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭． ②当3m =时，如图4中，14n <<时，重叠部分是矩形QBHD '．1))S D H D Q n n ''=⋅=+⋅-2268555n n =-++． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．。
湖南长沙长郡教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2023年秋季九年级期中限时检测试卷数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 12 B. 0 C. 23π D. 3−【答案】C【解析】【分析】根据无理数的概念进行判定即可．【详解】解：A 、12是有理数，不是无理数，不符合题意；B 、0是有理数，不是无理数，不符合题意；C 、23π是无理数，符合题意； D 、3−是有理数，不是无理数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，23π0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 2. 某新闻媒体发布“王亚平成为中国首位出舱的女航天员”，据不完全统计，总播放量超过29600000次，将数据29600000用科学记数法表示为（ ）A. 729.610×B. 72.9610×C. 62.9610×D. 70.29610×【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：29600000用科学记数法表示为72.9610×．故选：B ．【点睛】本题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ×，其中110a ≤＜，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．3. 下列事件是必然事件的是（ ）A. 四边形内角和是360°B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军C. 掷一枚硬币时，正面朝上D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、四边形内角和是360°是必然事件，故此选项符合题意；B 、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；C 、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；D 、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不合题意；C ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D 选项合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5.有意义，则x 的取值范围是（ ）A. 2x ≤−B. 2x ≥−C. 21x ≥−D. 12x ≤− 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可．∴6120x +≥，解得2x ≥−故选：B .【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．6. 不等式组2201x x +≥ −>−的解集在数轴上表示为（ ） A.B. C. D..【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．【详解】2201x x +≥ −>− ①②，解①得，1x ≥−，解②得，1x <，在数轴上表示为：故选B ．7. 如图，线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，若AB 长为16，OE 长为6，则O 半径是（）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】【分析】连接OB ，由垂径定理可得8BE AE ==，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵线段CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ，16AB =， ∴1116822BE AE AB ===×=，∴在Rt OBE中，可有10OB =，∴O 半径是10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．8. 已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）A. 15πB. 10πC. 5πD. 2.5π【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式．根据扇形面积计算公式：设圆心角是n ，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S =扇形2360n R π进行计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为150°，半径是6， ∴2150615360S ×==扇形ππ． 故选：A ．9. 在同一平面内，点P 到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（ ）A 2B. 5C. 1D. 5或1【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①当点P 在圆外时；②当点P 在圆内时，分别求解即可得到答案．【详解】解：分两种情况讨论：①如图1，当点P 在圆外时，此时6PA =，4PB =， ∴此圆的半径为6412−=； ②如图2，当点P 在圆内时，此时6PA =，4PB =， ∴此圆的半径为6452+=； 综上可知，此圆的半径为1或5，故选：D ．.【点睛】本题考查了求一点到圆上点距离的最值，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．10. 如图所示是抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①<0a b c −+；②30a c +>；③24()b a c n =−；④一元二次方程220ax bx c n ++−−=没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 x 轴的另一个交点在点(1,0)−和(2,0)−之间，再根据开口方向可判断①；根据对称轴可得2b a =−，当=1x −时，3y a c =+，可判断②；令21y ax bx c n =++-，根据原函数的顶点坐标为(1,)n ，可得1y 的顶点坐标为：()1,0，进而可得方程20ax bx c n ++−=有两个相等的实数根，可判断③；由1y 的顶点坐标为：()1,0及开口方向可得222y ax bx c n =++--与x 轴没有交点，进而可得判断④；熟练掌握函数的图象及性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．【详解】解：由图象可得：抛物线对称轴为直线1x =，抛物线的开口向下，抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(1,0)−和(2,0)−之间，∴当=1x −时，0y a b c =−+>，故①错误；抛物线对称轴为直线12b x a=−=， 2b a ∴=−，22y ax ax c ∴=−+，当=1x −时，()2130y a a c a c =-⨯-+=+>，故②正确；令21y ax bx c n =++-，抛物线顶点坐标为(1,)n ， 21y ax bx c n ∴=++-的顶点坐标为：()1,0，则方程20ax bx c n ++−=有两个相等的实数根，24()0b a c n ∴∆=--=，()24b a c n ∴=−，故③正确；21y ax bx c n =++- 的顶点坐标为()1,0，且开口向下，222y ax bx c n ∴=++--与x 轴没有交点，∴一元二次方程220ax bx c n ++−−=没有实数根，故④正确，则正确的个数有3个，故选C ．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 已知(),3M a 和()4,N b −关于原点对称，则a b +=________． 【答案】1【解析】【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),P x y 关于原点O 的对称点是(),P x y ′−−．【详解】解：(),3M a 和()4,N b −关于原点对称，4a ∴=，3b =−，则431a b +=−=．故答案为：1．12. 在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______． 【答案】710##0.7 【解析】【分析】利用概率公式进行计算即可．【详解】解：从袋中任意摸出一个球有7310+=种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是红球的结果有7种， ∴710P = 故答案为：710． 【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．13. 一元二次方程2230x mx −+=的一根为3，则另一根为______． 【答案】12【解析】 【分析】根据根与系数的关系：12c x x a=求解即可． 2x ， 根据根与系数的关系得2332x =， 解得212x =， 所以这个方程的另一个根是12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于c a是解题的关键． 14. 如图，在O 中，弦2BC =，点A 是圆上一点，且30BAC ∠=°，则O 的半径是________．【答案】2【解析】【分析】连接OB ，OC ，先由圆周角定理求出BOC ∠度数，再由OB OC =判断出BOC 是等边三角形，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵30BAC ∠=°，∴260BOC BAC ∠=∠=°， ∵OB OC =，∴BOC 是等边三角形，∴2OB BC ==．故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．15. 如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△CDE ，若点A 恰好在ED 的延长线上，若∠ABC ＝110°，则∠ADC 的度数为 _____．【答案】70°##70度【解析】【分析】根据旋转的性质可得EDC ABC ∠=∠，进而根据邻补角的意义，即可求得∠ADC 的度数【详解】解：将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△CDE ，若点A 恰好在ED 的延长线上，∴EDC ABC ∠=∠=110°18011070ADC ∴∠=°−°=°故答案为：70°【点睛】本题考查了旋转的性质，邻补角的意义，掌握旋转的性质是解题的关键．的16. 如图，二次函数2y ax bx c ++的图象与x 轴交于(−2，0)和(4，0)两点，当函数值y>0时，自变量x 的取值范围是________【答案】-2＜x ＜4【解析】【分析】求函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴上方时，对应的x 的取值范围．【详解】解：由图象可知：当函数值y>0时，自变量x 的取值范围是-2＜x ＜4故答案为：-2＜x ＜4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴上方时，对应的x 的取值范围是关键，体现了数形结合思想．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：20125− −−+．【答案】26【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．【详解】解：2015− −−+251=−++ 26=．18. 先化简，再求值2211121x x x x x − −÷ +−+，其中5x =．【答案】11x x −+，23【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【详解】解：原式()211(1)11x x x x x +−−⋅+−， 11x x −=+ 当5x =时，原式4263==． 19. 如图，在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为(1,2)A −，(4,1)B −，(3,3)C −（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针炭转90°，得到111A B C △，请画出111A B C △，写出1A 点的坐标；（2）求点C 到点1C 经过的路径．【答案】（1）图见解析，1A 点的坐标为(2,1)（2π 【解析】【分析】（1）根据旋转的性质即可以坐标原点O 为旋转中心，将ABC 逆时针炭转90°，得到111A B C △，进而可以写出1A 点的坐标；（2）根据弧长公式即可求点C 到点1C 经过的路径．【小问1详解】如图，111A B C △即为所求，1A 点的坐标为(2,1)；【小问2详解】∵OC ，190COC ∠=°， ∴点C 到点1C=． 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义及性质及弧长公式．20. 2022年虎年新春，中国女足3:2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应扇形的圆心角度数是______；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？的【答案】（1）100，图见解析（2）36°（3）1 6【解析】【分析】（1）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数，用总人数减去其它项目的人数，即可求出足球的人数，从而补全统计图；（2）用“羽毛球”的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数的值；（3）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：根据题意得本次被调查的学生人数3030%100=÷=（人），喜爱足球的人数为：100302010535−−−−=（人），条形图如图所示，故答案为：100；【小问2详解】解：“羽毛球”人数所占比例为：10100=10%÷，所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数36010%=36=°×°，故答案为：36°；【小问3详解】解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，∴P （A 、B 两人进行比赛）21126==． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24y ax bx +−过点()3,4−，与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，点A 的坐标为()1,0−．（1（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作y 轴平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为234y x x =−−，对称轴为直线32x =（2）当点P 的坐标为()2,6−时，线段PQ 的最大值是4【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由抛物线的对称性求得B 点的坐标，由解析式求得C 点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的解析式为4y x =−，设(P x ，234)(04)x x x −−<<，则(,4)Q x x −，即可得出()()2243424PQ x x x x =−−−−=−−+，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】把()3,4−，()1,0−代入24y ax bx +−得：9344,40,a b a b +−=− −−= 解得1,,3a b = =− ∴抛物线的表达式为234y x x =−−， 对称轴为直线32x =． 【小问2详解】令2340x x −−=，则=1x −或4， ()4,0B ∴．()4,0B ，()0,4C −∴直线BC 的表达式为4BC y x =−．设()2,34P x x x −−，04x <<， PQ y ∥ 轴，(),4Q x x ∴−，()224344PQ x x x x x ∴=−−−−=−+，开口向下，对称轴为直线2x =· ∴当2x =时，max 4PQ =，此时)2,6P −∴当点P 的坐标为()2,6−时，线段PQ 的最大值是4．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质，待定系数法是解题的关键．22. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，以甲型头盔58元/个、乙型头盔98元/个的价格销售完．要使总利润不少于6180元，有多少种进货方案？其中利润最大的方案是甲型头盔和乙型头盔各多少个？最大利润是多少？【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元（2）该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．（1）设购进1个甲型头盔需要x 元，1个乙型头盔需要y 元，根据“购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m 个甲型头盔，则购进200m −（）个乙型头盔，根据“进货总费用不超过10200元，且全部售出后获得的总利润不少于6180元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，结合m 为正整数，可得出该商场共有5种进货方案，再求出选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．【小问1详解】设购进1个甲型头盔需要x 元，购进1个乙型头盔需要y 元．根据题意，得86630,68700,x y x y += +=解得30,65,x y = =答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元．【小问2详解】设购进甲型头盔m 个，则购进乙型头盔(200)m −个．根据题意，得()()()()306520010200,583098652006180,m m m m +−≤ −+−−≥解得：8084m ≤≤．m 为整数，m ∴可取80、81、82、83、84共5个，所以该商场有5种采购方案．设总利润为W 元，则()283320056600W m m m =+−=−+． 50−< ，W ∴随m 的增大而减小，∴当80m =时，max 6200W =元．答：该商场有5种采购方案，购进甲型头盔80个、购进乙型头盔120个时利润最大，最大利润为6200元．23. 如图，AB 是半圆O 的直径，D 为半圆O 上的点（不与A ，B 重合），连接AD ，点C 为 BD的中点，的过点C 作CF AD ⊥，交AD 的延长线于点F ，连接AC ．（1）求证：FC 是半圆O 的切线；（2）若3AF =，AC =O 的半径及阴影部分的面积．【答案】（1）见解析 （2）半圆O 的半径为223π− 【解析】 【分析】（1）连接OC ，如图，根据点C 为 BD 的中点，则 CD CB =，故DAC CAB ∠=∠，根据OA OC =，由此可证∥OC AF ，根据CF AD ⊥，可得CF OC ⊥，又因为OC 为半圆O 的半径，则可得FC 是半圆O 的切线；（2）连接OD ，BC ，先求出梯形AOCF ，三角形AOD ,扇形ODC 的面积，再根据割补法求出阴影部分面积即可．【小问1详解】证明：连接OC ，如图，点C 为 BD的中点， CD CB∴=， DAC CAB ∴∠=∠，又OA OC = ，CAB ACO ∴∠=∠DAC ACO ∴∠=∠OC AF ∴∥，又CF AD ⊥ ，CF OC ∴⊥，又OC 为半圆O 的半径，FC ∴是半圆O 的切线．【小问2详解】解：连接OD ，BC ，CF AF ⊥90AFC ∴∠=°，CF ∴=，2AC CF ∴=，30CAF CAB ∴∠=°=∠，AB 为半圆O 的直径，90ACB ∴∠=°，2AB BC ∴=AC ∴==，2BC ∴=，4AB =，∴半圆O 的半径为2．30CAF ∠=° ，60DOC COB ∴∠=∠=°60DOA ∴∠=°，OD OA = ，DOA ∴△是等边三角形，OC AF ∥ ，()221602223223603AOD AOCF ODC S S S S ππ×∴=−−=×+−−阴梯扇形△． 【点睛】本题考查三角形与圆形点的综合问题，三角形的切线定理，圆周角定理，勾股定理，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．24. 新定义：已知y 是x 的函数，若函数图象上存在一点(,2)P a a +．则称点P 为函数图象上的“朴实点”．例如：直线21y x =+上存在的“朴实点”是(1,3)P ． （1）判断直线143y x =+上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；（2）若抛物线232y x x k =++−上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为，求k 的值；（3）若二次函数21(1)2228y x m t x n t =+−+++−的图象上存在唯一的“朴实点”，且当23m −≤≤时，n 的最小值为4t +，求t 的值．【答案】（1）直线143y x =+上有“朴实点”，是(3,5) （2）0k =（3）t 的值为7或1−【解析】 【分析】（1）将点P 的坐标代入函数表达式得：1243a a +=+，即可求解； （2）由题意得方程2322x x k x ++−=+有两个根，即方程220x x k +−=有两个根，可得1k >−，且1x =−，可知1P ，2P 的坐标，再根据两点之间的距离为（3）点P 是二次函数的图象上的朴实点，则()21122228x m t x n t x +−+++−=+，由Δ0=，得到2()2n m t t =−−+，该函数图象开口向上，对称轴为直线m t =，再分①当对称轴是直线3m t =≥时，②当对称轴是2m t ≤−时，③当对称轴是23m t −<=<时，三种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：有，理由：将点P 的坐标代入函数表达式得：1243a a +=+， 解得：3a =， 即直线143y x =+上有“朴实点”，是(3,5)； 【小问2详解】由题意得方程2322x x k x ++−=+有两个根，即方程220x x k +−=有两个根，Δ440k ∴=+>，1k ∴>−，且1x =−1(1P ∴−++，2(1P−，两个“朴实点”之间的距离为，((((2221111 ∴−−−+−= ，解得：0k =．【小问3详解】二次函数()2112228y x m t x n t =+−+++−的图象上存在唯一的“朴实点”， ∴二次方程()21122228x m t x n t x +−+++−=+有两个相同的根， 变形为()2122408x m t x n t +−++−=， ()21Δ()422408m t n t ∴=−−××+−=， 2()2n m t t ∴=−−+，该函数图象开口向上，对称轴为直线m t =，①当对称轴是直线3m t =≥时，函数在3m =时，取得最小值4t +，即：2(3)24n t t t =−−+=+，解得：17t =，21t =（舍去）； ②当对称轴是2m t ≤−时，函数在2m =−时，取得最小值4t +，即：2(2)24n t t t =−−−+=+，2(1)1t ∴+=−，此方程无解；③当对称轴是23m t −<=<时，函数在m t =时，取得最小值4t +，即：2()24n t t t t =−−+=+，解得：1t =−．综上所述，t 的值为7或1−．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图像上点的坐标特征，两点间距离公式，解一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐步求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．25. 如图，ABC 内接于O ，AC BC =，弦CD 与AB 交于点E ， AB CD =，过点A 作AF BC ⊥于点F ．（1）判断ABC ∠与ABD ∠的大小关系，并说明理由；（2）求证：2AC CF BD =+；（3）若CFA CBD S S =△△，求AF BD的值． 【答案】（1）ABC ABD ∠=∠，理由见解析（2）见解析 （3）AF BD= 【解析】【分析】（1）由 AB CD =判断出ABD BAC ∠=∠，再判断出BAC ABC ∠=∠，即可得出结论； （2）过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，先判断90AFC CHB ∠=∠=°，再判断出ACF CBH ∠=∠，进而判断出ACF CBH ≌，得出,CF BH AF CH ==，再判断出Rt ABF Rt CDH ≌，判断出DH BF =，即可得出结论；（3）过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，由CFA CBD S S =△△，判断出=CF BD ，设BD x =，则CF x =，得出3AC x =，根据勾股定理得，AF =，即可得出结论．【小问1详解】解：ABC ABD ∠=∠；理由：,AB CD= ∴AAAA ⌢+BBAA ⌢=BBBB ⌢+BBAA ⌢, ,AD BC∴= ,ABD BAC ∴∠=∠,AC BC =,BAC ABC ∴∠=∠;ABC ABD ∴∠=∠【小问2详解】证明：过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，∵AF BC ⊥，∴90AFC CHB ∠=∠=°，∵AC BC =，∴BAC ABC ∠=∠， ∴1801802ACF BAC ABC ABC ∠=°−∠−∠=°−∠，由（1）知，ABC ABD ∠=∠，1801802,CBH ABD ABC ∴∠=°−∠=°−∠,ACF CBH ∴∠=∠,AC BC =∴()ACF CBH AAS ≌，,,CF BH AF CH ∴==,AB CD = ,AB CD ∴=∴()Rt ABF Rt CDH HL ≌，,DH BF ∴=AC BC CF BF CF ∴==+=2DH CF BD BH CF BD CF CF BD +=++=++=+，即2AC CF BD =+；【小问3详解】过点C 作CH DB ⊥交DB 的延长线于H ，,CFA CBD S S =11,22AF CF BD CH ∴⋅=⋅ 由（2）知，AF CH =，,CF BD ∴=设,BD x =则,CF x =23,AC CF BD x ∴+根据勾股定理得，AF =,=AF BD ∴= 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆中弧、弦、圆心角之间关系，全等三角形的判定和性质，常见全等三角形判定方法：“,,,,SSS SAS AAS ASA HL ”，三角形的面积公式，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．。
湖南省长沙市长郡2020-2021学年九年级上学期第一次限时训练数学模拟试卷二
2020-2021学年九年级（上）第一次限时训练数学模拟试卷（二）一、单选题（每道题3分，共36分）1．4的平方根是（）A．±2B．2C．﹣2D．162．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（﹣2，﹣1）4．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a4﹣a3＝a D．a4÷a3＝a5．若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab等于（）A．2B．1C．﹣2D．﹣16．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝1007．若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＞0D．k＜08．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣39．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．201910．在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°11．如图，AB⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．812．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每道题3分，共12分）13．用科学记数法表示0.000000123＝．14．已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是．15．已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是．三、解答题（共72分）17．计算：（﹣）﹣1﹣+﹣（π﹣）0+|1﹣|． 18．先化简，再求值：÷（﹣m ﹣1），其中m ＝﹣2． 19．解方程：3x （x ﹣2）＝x ﹣2．20．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表． 借阅图书的次数0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ．（2）该调查统计数据的中位数是 ；众数是 ．（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数．（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．21．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且AE ＝AB ．（1）求∠ACB 的度数；（2）若DE ＝2，求圆O 的半径．22．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．23．如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF ＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标，。
2020-2021九年级数学上期中一模试卷(带答案)
2020-2021九年级数学上期中一模试卷(带答案)一、选择题1．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（﹣5，﹣3）B ．（﹣2，0）C ．（﹣1，﹣3）D ．（1，﹣3）2．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上4．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 5．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 6．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 7．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间8．如图，从一张腰长为90cm ，顶角为120︒的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）A ．15cmB ．12cmC ．10cmD ．20cm9．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 10．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）A ．DE=3B ．AE=4C ．∠ACB 是旋转角D ．∠CAE 是旋转角11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18D ．x 2+3x+16=0 12．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-二、填空题13．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．14．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．15．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.16．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．17．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB ＝3 cm ，则此光盘的直径是________ cm ．18．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．19．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．已知在△ABC 中，∠B=90o ，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AC·AD=AB·AE ； （2）如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC=2时，求AC 的长． 23．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．24．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．25．我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x 元(0)x >时，平均每天可盈利y 元．()1写出y 与x 的函数关系式；()2当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？()3该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
2020-2021长沙市初三数学上期中试卷附答案
2020-2021长沙市初三数学上期中试卷附答案一、选择题1．函数y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1）2．如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75B ．4.8C ．5D ．43．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上4．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 6．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 7．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 8．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（ ）A ．12019B ．2020C ．2019D ．20189．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h10．如图所示，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，P 是⊙O 上不与A 、B 重合的任意一点，则∠APB 等于（ ）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120° 11．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．12k >且k ≠1B ．12k >C ．12k ≥且k ≠1D ．12k < 12．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对二、填空题13．已知：如图，CD 是O e 的直径，AE 切O e 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，20A ∠=o ，则DBE ∠=________度．14．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.15．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________．16．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是3cm ，则圆锥侧面积是_________.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．18．若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为______．19．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．20．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC ，则∠A 的度数是_____°．三、解答题21．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.22．如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ．点D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC 交AC 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）若BD =8，sin ∠DBF =35，求DE 的长．23．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，4OC =，42AC =(1)求点O 到AC 的距离；(2)求ADC ∠的度数．25．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.2．B解析：B【解析】【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．【详解】如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC•AC÷AB=4.8．故选B．【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．3．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为»AB，∴∠ACB=12∠AOB=30°，又∠ACB为△SCB的外角，∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．故选D6．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.7．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P 在优弧ADB 上，则∠APB=12∠AOB=45°； 若点P 在劣弧AB 上， 则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C ．11．A解析：A【解析】【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->， 解得：12k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ．【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．12．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=， 故选C ． 点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.二、填空题13．55【解析】【分析】连接BC 由CD 是⊙O 的直径知道∠CBD=90°由AE 是⊙O 的切线知道∠DBE=∠1∠2=∠D 又∠1+∠D=90°即∠1+∠2=90°；而∠A+∠2=∠1由此即可求出∠1即求出∠D解析：55【解析】【分析】连接BC ，由CD 是⊙O 的直径知道∠CBD=90°，由AE 是⊙O 的切线知道∠DBE=∠1，∠2=∠D ，又∠1+∠D=90°，即∠1+∠2=90°；而∠A+∠2=∠1，由此即可求出∠1，即求出∠DBE ．【详解】如图，连接BC ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CBD=90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠DBE=∠1，∠2=∠D ；又∵∠1+∠D=90°，即∠1+∠2=90°①，∠A+∠2=∠1②，-②得∠1=55°即∠DBE=55°．故答案为：∠DBE=55°．【点睛】本题考查的是弦切角的性质及圆周角定理，三角形内角与外角的关系，是一道较简单的题目．14．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 15．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为解析：-1【解析】试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，得，230.a -+=解得： 1.a =-故答案为 1.-16．【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=【详解】根据圆锥的侧面积公式：底面半径是2cm 母线长是3cm 的圆锥侧面积为故答案是：【点睛】本题考查圆锥的侧面积解题的关键是记住圆锥是侧面积公式 解析：26cm π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=RL π．【详解】根据圆锥的侧面积公式：RL π底面半径是2cm ，母线长是3cm 的圆锥侧面积为 236ππ⨯⨯=故答案是：26cm π【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．17．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D 坐标为（46）；当将点C 与点O 重合时点C 向下平移4个单位得到△解析：（4，2）．【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD=2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.18．-1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0求出m的取值即可【详解】解：由已知得△=0即4+4m=0解得m=-1故答案为-1【点睛】本题考查的是根的判别解析：-1【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．19．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．【解析】试题分析：连结BC 因为AB 是⊙O 的直径所以∠ACB＝90°∠A+∠ABC＝90°又因为BDCD 分别是过⊙O 上点BC 的切线∠BDC＝110°所以CD=BD 所以∠BCD＝∠DBC＝35°又∠AB解析：【解析】试题分析：连结BC ，因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，∠A+∠ABC ＝90°，又因为BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∠BDC ＝110°，所以CD=BD,所以∠BCD ＝∠DBC ＝35°,又∠ABD ＝90°，所以∠A=∠DBC ＝35°．考点：1．圆周角定理；2．切线的性质；3．切线长定理．三、解答题21．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【解析】【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．【详解】（1）由题意得：4030055150k bk b+=⎧⎨+=⎩10700kb=-⎧⇒⎨=⎩．故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．22．（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】(1)连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB，等量代换得到∠DBF=∠ODB，推出∠ODF=90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据角平分线的定义得到∠DBF=∠ABD，解直角三角形得到AD=6，在Rt△ADE中，解直角三角形得到DE=92．【详解】（1）连接OD，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD=∠DBF，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠DBF=∠ODB，∵∠DBF+∠BDF=90°，∴∠ODB+∠BDF=90°，∴∠ODF=90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF=∠ABD，在Rt△ABD中，BD=8，∵sin∠ABD=sin∠DBF=35，∴AB=10，AD=6，∵∠DAC=∠DBC，∴sin∠DAE=sin∠DBC=35，在Rt△ADE中，sin∠DAC=35，设DE=3x，则AE=5x，∴AD=4x，∴tan∠DAE=34 DE x AD x∴DE=92． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．23．该公司有50人参加旅游．【解析】【分析】设该公司有x 人参加旅游，由308002400030000⨯=<，可得出x 30>，分30x 55<≤及x 55>两种情况考虑，由总价=单价⨯数量，可得出关于x 的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出结论．【详解】设该公司有x 人参加旅游．308002400030000⨯=<Q ，x 30∴>．()308005501055(+-÷=人)．根据题意得：当30x 55<≤时，有()x 80010x 3030000⎡⎤--=⎣⎦，化简得：2x 110x 30000-+=，解得：1x 50=，2x 60(=舍去)；当x 55>时，有550x 30000=， 解得：600x (11=舍去)． 答：该公司有50人参加旅游．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分30x 55<≤及x 55>两种情况，列出关于x 的方程是解题的关键．24．；(2)135°．【解析】【分析】（1）作OM ⊥AC 于M ，根据等腰直角三角形的性质得到即可得到结论；（2）连接OA ，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【详解】(1)作OM AC ⊥于M ，∵AC =∴AM CM ==∵4OC =， ∴2222OM OC MC =-=；(2)连接OA ，∵OM MC =，090OMC ∠=，∴045MOC MCO ∠=∠=，∵OA OC =，∴045OAM ∠=，∴090AOC ∠=，∴045B ∠=，∵0180D B ∠+∠=，∴0135D ∠=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（1）29；（2）2()3n 【解析】【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为23，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为24293y ⎛⎫== ⎪⎝⎭【详解】解：（1）画出树状图即可得到结果；由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为29； （2）P （第一个路口没有遇到红灯）=23， P （前两个路口没有遇到红灯）=282()183， 类似地可以得到P （每个路口都没有遇到红灯）＝2()3n ． 故答案为：2()3n【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
2020-2021九年级数学上期中一模试题含答案(3)
2020-2021九年级数学上期中一模试题含答案(3)一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =2．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 3．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°4．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．34 5．方程2(2)9x -=的解是（ ）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 6．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）7．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( )A ．(x+3)2＝1B ．(x ﹣3)2＝1C ．(x+3)2＝19D ．(x ﹣3)2＝19 8．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．29．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间10．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 2:3=AB ， 5AC =，则AB =（ ）． A ．52 B ．10 C ．5D ．15 11．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．71212．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC 的度数为_____．15．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．16．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²．17．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.18．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．19．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________． 20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数销售价格 不超过30件单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元22．为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α的度数是多少？（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．23．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O 上，BD平分∠ABC交AC 于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若BD=8，sin∠DBF=35，求DE的长．24．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．25．如图，在Rt△ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连结AD ．已知∠CAD=∠B,（1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若BC=8，tanB=12，求⊙O 的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x1=5，x2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.2．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理4．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD ，过O 作OE ⊥AB 于E ，Rt △OEB 中，BE=12AB=4，OB=5， 由勾股定理，得：OE=3，∴tan ∠MBA=OE BE =34， 因此tan ∠CBD=tan ∠MBA=34， 故选D ．5．A解析：A【解析】【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大. 6．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
湖南省长沙市天心区长郡教育集团2020-2021学年九年级(上)开学数学试卷 解析版
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0 2．（3分）某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是75 3．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm4．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6B．5C．3D．45．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE 的长为（）A．8B．6C．4D．26．（3分）如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．（3分）若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形9．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（）A．B．1C．D．210．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分11．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数图象上y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A．﹣c B．c C．﹣a+c D．a﹣c12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6D．6或或﹣19二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知函数关系式：y＝，则自变量x的取值范围是．14．（3分）已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则+＝．15．（3分）将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为．16．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．17．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD 的长为．18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b ≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．20．（8分）解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x﹣1＝0．21．（6分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是，中位数是．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？22．（8分）如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．23．（9分）庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1＝若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m ≤10）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．26．（10分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝﹣x2+4mx﹣8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．ax2+bx+c＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0【分析】利用与一元二次方程定义进行分析即可．【解答】解：A、含有分式，3x2+﹣1＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、含有2个未知数，5x2﹣6y﹣3＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D、3x2﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A．众数是80B．方差是25C．平均数是80D．中位数是75【分析】根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．【解答】解：A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：×[3×（80﹣80）2+（90﹣80）2+2×（80﹣75）2]＝25，正确，不符合题意；C、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6＝80，正确，不符合题意；D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．故选：D．3．（3分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．4．（3分）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A．6B．5C．3D．4【分析】利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），∴线段AC＝＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5，故选：B．5．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE 的长为（）A．8B．6C．4D．2【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝12，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝8，∴CE＝BC﹣BE＝4．故选：C．6．（3分）如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】先证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°，在△ADE 中利用三角形内角和180°可求∠AED度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，DC＝DA，∠ADE＝∠CDE＝45°．又DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS）．∴∠DAE＝∠DCE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．7．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：由二次函数图象，得出a＜0，﹣＜0，b＜0，A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；故选：D．8．（3分）若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．【解答】解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO＝∠ENO＝90°，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN＝90°，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故选：B．9．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+m﹣m2的值为（）A．B．1C．D．2【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴1+m﹣m2＝1﹣（m2﹣2m）＝1﹣＝，故选：A．10．（3分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：85×+80×+90×＝17+24+45＝86（分），故选：D．11．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是二次函数图象上y＝ax2﹣2ax+a﹣c（a≠0）的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A．﹣c B．c C．﹣a+c D．a﹣c【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，则可判断A（x1，y1）和B（x2，y2）关于直线x＝1对称，所以x2﹣1＝1﹣x1，即x1+x2＝2，然后计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1≠x2且y1＝y2，∴A（x1，y1）和B（x2，y2）关于直线x＝1对称，∴x2﹣1＝1﹣x1，∴x1+x2＝2，当x＝2时，y＝ax2﹣2ax+a﹣c＝4a﹣4a+a﹣c＝a﹣c．故选：D．12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）A．﹣19或B．6或或﹣10C．﹣19或6D．6或或﹣19【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+mx+m＝﹣（x﹣）2++m，∴抛物线的对称轴为x＝，∴当＜﹣2时，即m＜﹣4，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝﹣2时，﹣（﹣2）2﹣2m+m＝15，得m＝﹣19；当﹣24时，即﹣4≤m≤8时，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝时，+m＝15，得m1＝﹣10（舍去），m2＝6；当＞4时，即m＞8，∵当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝4时，﹣42+4m+m＝15，得m＝（舍去）；由上可得，m的值是﹣19或6；故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）已知函数关系式：y＝，则自变量x的取值范围是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．14．（3分）已知x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则+＝﹣3．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，所以+＝＝＝＝﹣3．故答案为﹣3．15．（3分）将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为y＝2x﹣9．【分析】直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．【解答】解：设平移后的解析式为：y＝2x+b，∵将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），∴1＝10+b，解得：b＝﹣9，故平移后的直线解析式为：y＝2x﹣9．故答案为：y＝2x﹣9．16．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为x（x﹣1）＝1056．【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056．17．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD 的长为．【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．18．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b ≤m（am+b）．其中正确的结论为②⑤．（注：只填写正确结论的序号）【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）19．（6分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）根据A与B的坐标设出抛物线的解析式，把C坐标代入确定出即可；（2）把解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3），∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3．（2）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）．20．（8分）解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x﹣1＝0．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+4x+1＝0，∴x2+4x+4＝3，∴（x+2）2＝3，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，∴△＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，则x＝．∴x1＝，x2＝．21．（6分）某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：环数6789人数152（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是7环，中位数是7环．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？【分析】（1）根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．（2）根据平均数的计算方法进行计算即可，（3）样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．【解答】解：（1）射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7环，7环．（2）＝7.5环，答：这10名学生的平均成绩为7.5环．（3）500×＝100人，答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．22．（8分）如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DF的长即可求得菱形的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∴菱形的边长为．23．（9分）庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．【分析】（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x．根据题意2017年种植投资为20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元．根据题意得方程求解；（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．【解答】解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．（3）先求得S△P AB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P 的坐标．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△P AB＝S△OCD，∴S△P AB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△P AB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．25．（10分）某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1＝若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m ≤10）元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．【分析】（1）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解；（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件则该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝（80﹣2m）x+（71﹣m）（6﹣x）＝（9﹣m）x+426﹣6m按照x值的范围代入，结合最大利润为393万元，可分析求得．【解答】解：（1）w＝y1•x+71（6﹣x）＝＝∴w＝（2）由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；当1＜x≤6时，﹣x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，451＞435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．（3）∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件∴该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝（80﹣2m）x+（71﹣m）（6﹣x）＝（9﹣m）x+426﹣6m显然当10≥m≥9时，w的值小于393，当5≤m＜9时，9﹣m＞0，当x＝1时，令w＝（9﹣m）×1+426﹣6m＝393解得m＝6，当x＝0时，令w＝426﹣6m＝393，解得m＝5.5∵从国内销售的每件产品中捐出2m（5≤m≤10）元给希望工程∴x＝0不符合题意．∴m＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．26．（10分）如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝﹣x2+4mx﹣8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA＝OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．（4）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足＝（b＞0）．则b＝2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE tan∠AOB＝OE．∴＝×（b＞0）．∴b′＝2 ．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣，﹣3），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2+nx，则，解得，故所求抛物线的表达式为y＝x2+2x．（4）由﹣x2+4mx﹣8m+4＝3，x＝＝2m±，当x为整数时，须4m2﹣8m+1为完全平方数，设4m2﹣8m+1＝n2（n是整数）整理得：（2m﹣2）2﹣n2＝3，即（2m﹣2+n）（2m﹣2﹣n）＝3两个整数的积为3，∴或或或解得：或或或，综上，得：m＝2或m＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，当m＝2时，抛物线方程为y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m＝0时，抛物线方程为y＝﹣x2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．。
2020-2021长沙市九年级数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021长沙市九年级数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形2．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…若点A （32，0），B （0，2），则点B 2018的坐标为（ ）A ．（6048，0）B ．（6054，0）C ．（6048，2）D ．（6054，2）3．如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D4．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 5．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 6．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( )A．1∶2B．1∶2C．3∶2D．1∶38．如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（）A．DE=3 B．AE=4 C．∠ACB是旋转角D．∠CAE是旋转角9．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）10．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．11．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.14．如图，将Rt ABC V 绕直角顶点C 顺时针旋转90o ，得到DEC V ，连接AD ，若25BAC ∠=o ，则BAD ∠=______．15．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．16．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=17．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．18．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²．19．如图，O e 是ABC V 的外接圆，30C ∠=o ，2AB cm =，则O e 的半径为________cm ．20．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．三、解答题21．已知关于的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．22．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．（1）试判断四边形DFCE的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，四边形DFCE的面积等于20cm2？（3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F，在运动过程中，当⊙F与四边形DFCE只有1个公共点时，请直接写出t的取值范围．25．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．2．D解析：D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．【详解】∵A（32，0），B（0，2），∴OA＝32，OB＝2，∴Rt△AOB中，AB52 =，∴OA+AB1+B1C2＝32+2+52＝6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，即B2018的坐标是（6054，2）．故选D．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．3．B解析：B【解析】试题分析：（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选B．考点：动点问题的函数图象．4．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x+x=12x+x+14=1+14215()24x +=. 故选C【点睛】考点：配方的方法.5．D解析：D 【解析】试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D6．D解析：D 【解析】【分析】【详解】作半径OC ⊥AB 于点D ，连结OA ，OB ，∵将O 沿弦AB 折叠，圆弧较好经过圆心O ，∴OD =CD ，OD =12OC =12OA ， ∴∠OAD =30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB =120°，∴∠APB =12∠AOB =60°.（圆周角等于圆心角的一半） 故选D.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3.∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.9．B解析：B【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0,1).故选B..10．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0．故选项正确；C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣22a-＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110 164c b a++=，∴即14是方程N的一个根，故不符合题意；C、∵方程M有两根符号相同，∴两根之积ca＞0，∴ac＞0，即方程N的两根之积＞0，∴方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根也可以是x＝－1，故本选项符合题意；【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.14．【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC=CD再判断出△ACD是等腰直角三角形然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案【详解】∵Rt△ABC绕其直角顶点C解析：70o【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案．∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，∴AC=CD ，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，故答案为：70°∘．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质并准确识图是解题的关键.15．65°【解析】【分析】连接OAOCOD 利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD 在圆的内接五边形ABCDE 中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO解析：65°【解析】【分析】连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.【详解】 解：如图解:连接OA,OC,OD,Q 在圆的内接五边形ABCDE 中, ∠B+∠E=230°,Q ∠B=12(∠AOD+∠COD), ∠E=12(∠AOC+∠COD),（圆周角定理） ∴12(∠AOD+∠COD)+ 12(∠AOC+∠COD)= 230°, 即:12（∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD ）= 230°， 可得：∠C0D=o o 2230360⨯-=0100，可得：∠CAD=050,在△ACD 中，AC=AD ，∠CAD=050，可得∠ACD=065,故答案：065.【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.16．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca整理原式即可得出关于a的方程求出即可试题解析：∵关于x的方程ax2 -（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．试题解析：∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2=，x1x2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a（a+1）＞0，即a2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．17．m【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径那么就能求得扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径∴扇形的半径为：m∴扇形的弧长为：＝πm∴圆锥的底面半径为：π÷2m．【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，∴扇形的半径为：22m，∴扇形的弧长为：2902180π＝24πm，∴圆锥的底面半径为：24π÷2π2m．本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．18．2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π故答案为2π【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R圆锥侧面展开图为解析：2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=12l•R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．19．2【解析】【分析】作直径AD连接BD得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB发现等边△AOB）【详解】作直径AD连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A解析：2【解析】【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，则AD=4．即圆的半径是2．（或连接OA，OB，发现等边△AOB．）【详解】作直径AD，连接BD，得：∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，∴AD=4，即圆的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．20．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 三、解答题21．（1）；（2）的值是，该方程的另一根为．【解析】试题分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解即可；（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.试题解析：（1）∵b 2﹣4ac=22﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3，∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得： 111x 21x 2a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：11x 3a =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．22．60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n 中黑点个数是6n 个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1；（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．【详解】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n 中黑点个数是6n 个， 故答案为60个，6n 个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个， 第3个点阵中有：3×6+1=17个， 第4个点阵中有：4×9+1=37个， 第5个点阵中有：5×12+1=61个， …第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1， 故答案为61，3n 2﹣3n+1；（2）3n 2﹣3n+1=271，n 2﹣n ﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．23．（1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论．（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD．【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形．∴∠OBD=∠ODB=60°．∵BD=BC，∴∠BDC=12∠OBD=30°．∴∠ODC=90°．∴OD⊥CD．∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°．∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4．∴2223AD AB BD-=24．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣2＜t＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE是平行四边形；（2）设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF＝四边形DFCE的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形；（2）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得，DE＝AD＝2t，BD＝12﹣2t，CF＝DE＝2t，又∵BD×CF＝四边形DFCE的面积，∴2t（12﹣2t）＝20，t2﹣6t+5＝0，（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t1＝1，t2＝5；答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，在Rt△DFB中，∵∠B＝90°，AD＝DF＝CF＝2t，BD＝BF＝12﹣2t，∴2t2（12﹣2t），∴t＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t＜6时，⊙F与四边形DFCE有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【解析】试题分析：首先设每个粽子的定价为x元，然后根据题意得出方程，从而求出x的值，然后根据售价不能超过进价的200%，从而得出x的取值范围，从而得出答案.试题解析：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×）=800，解得x1=7，x2=5．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%．即x≤6．∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点：一元二次方程的应用。
2021学年湖南省长沙市长郡梅溪湖中学九年级(上)第一次限时训练数学模拟试卷(二)(附答案详解)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡梅溪湖中学九年级（上）第一次限时训练数学模拟试卷（二）1.4的平方根是()A. ±2B. 2C. −2D. 162.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，点A(−2,1)与点B关于原点对称，则点B的坐标为()A. (−2,1)B. (2,−1)C. (2,1)D. (−2,−1)4.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. (a2)3=a5C. a4−a3=aD. a4÷a3=a5.若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于()A. 2B. 1C. −2D. −16.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()A. 80(1+x)2=100B. 100(1−x)2=80C. 80(1+2x)=100D. 80(1+x2)=1007.若一次函数y=(k−2)x+1的函数值y随x的增大而增大，则()A. k<2B. k>2C. k>0D. k<08.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是()A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−39.已知a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，则a2−b+2019的值是()A. 2023B. 2021C. 2020D. 201910.如图，在△ABC中，∠C=58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为()A. 119°B. 120°C. 121°D. 122°11. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP =2，BP =6，∠APC =30°，则CD 的长为( )A. √15B. 2√5C. 2√15D. 812. 如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y =−12x +2上的一个动点，将Q 绕点P(1,0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )A. 4√55 B. √5C. 5√23D. 6√5513. 用科学记数法表示：0.000000123=______．14. 已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是______ ．15. 已知二次函数y =x 2−4x +k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是______．16. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，M 是AD 的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 的最小值是______．17. 计算：(−13)−1−√12+3√3−(π−√3)0+|1−√3|.18.先化简，再求值m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)，其中m=√2−2．19.解方程：3x(x−2)=x−2．20.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)a=______，b=______．(2)该调查统计数据的中位数是______，众数是______．(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB．(1)求∠ACB的度数；(2)若DE=2，求⊙O的半径．22.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−4,0)，C(0,0)(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．23.如图1，二次函数y=ax2−2ax−3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应)，并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平方根的定义，解题时利用平方根的定义即可解决问题．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根．【解答】解：∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2．故选A．2.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵点A坐标为(−2,1)，∴点B的坐标为(2,−1)．故选：B．关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．4.【答案】D【解析】解：A、a2、a3不是同类项不能合并，故A错误；B、(a2)3=a6，故B错误；C、a4、a3不是同类项不能合并，故C错误；D、a4÷a3=a，故D正确．故选：D．根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵a+b=3，∴(a+b)2=9，∴a2+2ab+b2=9，∵a2+b2=7，∴7+2ab=9，∴ab=1．故选：B．根据完全平方公式得到(a+b)2=9，再将a2+b2=7整体代入计算即可求解．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨，2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100．故选：A．利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k>0时，函数值y随x的增大而增大．根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得k−2>0，解得k>2．故选：B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=2x2+4x−1=2(x+1)2−3，∴当x=0时，y=−1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=−1，故选项B错误，当x<−1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=−1时，y取得最小值，此时y=−3，故选项D正确．故选D．【解析】【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，根据根与系数的关系和一元二次方程的解将所求式子进行化简代入是解题的关键．根据题意可知b=3−b2，a+b=−1，ab=−3，所求式子化为a2−b+2019=(a+ b)2−2ab+2016即可求解．【解答】解：a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，∴b=3−b2，a+b=−1，ab=−3，∴a2−b+2019=a2−3+b2+2019=(a+b)2−2ab+2016=1+6+2016=2023；故选A．10.【答案】A【解析】解：∵点O为△ABC的内心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∴∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，∴∠AOB=180°−12(∠CAB+∠CBA)，∵∠C=58°，∴∠CAB+∠CBA=122°，∴∠AOB=180°−61°=119°，故选：A．根据三角形的三个内角的平分线相交的点为内心，可知∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，由∠C的度数和三角形内角和为180°，可求出∠CAB+∠CBA=122°，进而可求出∠AOB的度数．本题考查了三角形的内心的性质．根据是根据内心的性质，得出三角形两内角平分线的夹角与第三个角之间的等量关系是解题的关键．【解析】【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA−AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=直角三角形的性质计算出OH=12√15，所以CD=2CH=2√15．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA−AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，OP=1，∴OH=12在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH=√OC2−OH2=√15，∴CD=2CH=2√15．故选C．12.【答案】B【解析】解：作QM ⊥x 轴于点M ，Q′N ⊥x 轴于N ，设Q(m,−12m +2)，则PM =m −1，QM =−12m +2，∵∠PMQ =∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM +∠NPQ′=∠PQ′N +∠NPQ′，∴∠QPM =∠PQ′N在△PQM 和△Q′PN 中，{∠PMQ =∠PNQ′=90°∠QPM =∠PQ′N PQ =PQ′∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN =QM =−12m +2，Q′N =PM =m −1，∴ON =1+PN =2−12m ， ∴Q′(3−12m,1−m)，∴OQ′2=(3−12m)2+(1−m)2=54m 2−5m +10=54(m −2)2+5， 当m =2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为√5，故选：B ．利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．13.【答案】1.23×10−7【解析】解：0.000000123=1.23×10−7；故答案为：1.23×10−7．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．14.【答案】1【解析】【分析】故直角三角形内切圆的半径为1．根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后运用直角三角形内切圆半径公式求解．本题需识记的知识点是：直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一半．【解答】解：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c；内切圆半径为r；则：a=3，b=4；由勾股定理，得：c=√a2+b2=5；=1．∴r=a+b−c215.【答案】k<4【解析】解：∵二次函数y=x2−4x+k中a=1>0，图象的开口向上，又∵二次函数y=x2−4x+k的图象的顶点在x轴下方，∴△=(−4)2−4×1×k>0，解得：k<4，故答案为：k<4．先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在x轴的下方得出△>0，求出即可．本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点，能根据题意得出(−4)2−4×1×k>0是解此题的关键．16.【答案】2√10−2【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，BC=AD=4，∵M是AD边的中点，∴AM=MD=2，∵将△AMN沿MN所在直线折叠，∴AM=A′M=2，∴点A′在以点M为圆心，AM为半径的圆上，∴如图，当点A′在线段MC上时，A′C有最小值，∵MC=√CD2+MD2=√36+4=2√10，∴A′C的最小值=MC−MA′=2√10−2，故答案为：2√10−2．由折叠的性质可得AM=A′M=2，可得点A′在以点M为圆心，AM为半径的圆上，当点A′在线段MC上时，A′C有最小值，由勾股定理可求MC的长，即可求A′C的最小值．本题主要考查了翻折变换，矩形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．17.【答案】解：原式=−3−2√3+√3−1+√3−1=−5．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．此题考查了分母有理化，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：原式=(m−2)2m−1÷(3m−1−m2−1m−1)=(m−2)2m−1÷4−m2m−1=(m−2)2m−1⋅m−1−(m+2)(m−2)=−m−2m+2，当m=√2−2时，原式=√2−2−2√2−2+2=√2−4√2=−1+2√2．【解析】【试题解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19.【答案】解：3x(x−2)=x−2，移项得：3x(x−2)−(x−2)=0整理得：(x−2)(3x−1)=0x−2=0或3x−1=0解得：x1=2或x2=13【解析】移项后提取公因式x−2后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x−2，这样会漏根．20.【答案】17202次2次【解析】解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人，×100%=20%，即b=20，∴a=50−(7+13+10+3)=17，b%=1050故答案为：17、20；(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为：2次、2次；(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；=120人．(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×350(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；(2)根据中位数和众数的定义求解；(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】解：(1)连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE=90°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB，∴∠OAB=∠ABE=∠E，∵∠OAB+∠ABE+∠E+∠OAE=180°，∴∠OAB=∠ABE=∠E=30°，∴∠AOB=180°−∠OAB−∠ABO=120°，∴∠ACB=1∠AOB=60°；2(2)设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=r+2，∵∠OAE=90°，∠E=30°，∴2OA=OE，即2r=r+2，∴r=2，故⊙O的半径为2．【解析】(1)连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，再等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABE=∠E，再由三角形内角和定理求得∠OAB，进而得∠AOB，最后由圆周角定理得∠ACB的度数；(2)设⊙O的半径为r，再根据含30°解的直角三角形的性质列出r的方程求解便可．本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含30°角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些定理．22.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；(2)如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；(3)∵A2坐标为(3,1)，A1点关于x轴的对称点A3坐标为(4,−4)，∴A2A3所在直线的解析式为：y=−5x+16，，令y=0，则x=165,0)．∴P点的坐标(165【解析】(1)分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；(2)根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；(3)利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴D(1,−4a)．(2)①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2−2ax−3a=a(x−3)(x+1)知，A(3,0)、B(−1,0)、C(0,−3a)，则：AC2=(0−3)2+(−3a−0)2=9a2+9、CD2=(0−1)2+(−3a+4a)2=a2+1、AD2=(3−1)2+(0+4a)2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a<0，得：a=−1即，抛物线的解析式：y=−x2+2x+3．②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM//x轴，且PM=OB=1；设M(x,−x2+2x+3)，则OF=x，MF=−x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵MF：BF=1：2，即BF=2MF，∴2(−x2+2x+3)=x+1，化简，得：2x2−3x−5=0解得：x1=−1、x2=52∴M(52,74)、N(32,154).③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；设Q(1,b)，则QD=4−b，QB2=QG2=(1+1)2+(b−0)2=b2+4；∵C(0,3)、D(1,4)，∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；代入数据，得：(4−b)2=2(b2+4)，化简，得：b2+8b−8=0，解得：b=−4±2√6；即点Q的坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6).【解析】(1)将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标．(2)①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD=90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a 表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值，由此得出抛物线的解析式．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM= OB=1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF=2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ=45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD2=2QG2=2QB2，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键．。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）2020年国庆长假，网红城市长沙再一次刷屏，长沙晚报报道，国庆期间，网红街“太平街”接待人数达到165万人次，165万用科学记数法表示为（）A．1.65×105B．0.165×107C．1.65×106D．1.65×107 3．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6C．a2•a3＝a6D．（a+2b）2＝a2+4b24．（3分）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）A．武大靖在2022年北京冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式C．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S甲2＝0.1，S乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据更稳定5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大6．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于（）A．25°B．40°C．50°D．55°8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝2，将P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．2B．C．D．19．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 10．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为（）A．2B．2C．D．411．（3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点F、E分别是边CD、BC边上的动点，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：9y﹣x2y＝．14．（3分）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）15．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a＝2，b＝﹣．19．（6分）解下列方程组：．20．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．（8分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，请直接写出点A1、C2的坐标，并求出旋转过程中线段OC所扫过的面积．22．（9分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求△OBD的面积；（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．23．（9分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D 作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若，AB＝10，求CE的长．24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180°得到点Q，那么称线段PQ为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．（1）当t＝3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为，点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为；（2）如果t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数的图象上时，求t的值；（3）当t＝1时，点Q为点P（2，0）的“拓展点”，如果抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，请结合图象，求m的取值范围．25．（10分）如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），∠ACB＝90°，过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B．轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．（3分）2020年国庆长假，网红城市长沙再一次刷屏，长沙晚报报道，国庆期间，网红街“太平街”接待人数达到165万人次，165万用科学记数法表示为（）A．1.65×105B．0.165×107C．1.65×106D．1.65×107【解答】解：165万＝1650000＝1.65×106，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6C．a2•a3＝a6D．（a+2b）2＝a2+4b2【解答】解：A.2a+3a＝5a，故本选项不合题意；B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）A．武大靖在2022年北京冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式C．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S甲2＝0.1，S乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据更稳定【解答】解：A、武大靖在2022年北京冬奥会短道速滑500米项目上可能获得获得金牌，也可能不获得金牌，是随机事件，故A说法不正确；B、了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查适合于抽样调查，故B说法不正确；C、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故C说法不正确；D、甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S甲2＝0.1，S乙2＝0.2，则甲组数据比乙组数据更稳定，故D说法正确；故选：D．5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大【解答】解：∵k＝﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、C错误．故选：D．6．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，∴，解得：a＜2．则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选：C．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于（）A．25°B．40°C．50°D．55°【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣50°＝40°，故选：B．8．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，P A＝2，将P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则PQ的长等于（）A．2B．C．D．1【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，∵将△P AB绕点A逆时针旋转得到△QAC∴△CQA≌△BP A，∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，即∠P AQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP＝P A＝2，故选：A．9．（3分）反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，点A（﹣2，y1）、B（4，y2）、C（5，y3）是图象上的三点，又∵﹣2＜0＜4＜5，∴y1＞y3＞y2，故选：B．10．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 的长为（）A．2B．2C．D．4【解答】解：如图所示，连接OC、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OA＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，故选：B．11．（3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能（）A．B．C．D．【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A正确；故选：A．12．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点F、E分别是边CD、BC边上的动点，且DF＝CE，连接BF、AE交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图1，取AB中点G，连接CG、PG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵DF＝CE，∴BC﹣CE＝CD﹣DF，∴BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴∠APB＝90°，∵AB＝1，∴PG＝AB＝×1＝；∵CP+PG≥CG，∴CP≥CG﹣PG，∴当CP＝CG﹣PG时，CP的值最小，此时点P在线段CG上；如图2，∵∠GBC＝90°，BG＝AB＝，BC＝1，∴CG＝＝＝，∴CP＝CG﹣PG＝＝，故选：A．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：9y﹣x2y＝y（3+x）（3﹣x）．【解答】解：9y﹣x2y＝y（9﹣x2）＝y（3﹣x）（3+x）．故答案为：y（3+x）（3﹣x）．14．（3分）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是随机事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）【解答】解：经过某交通信号灯的路口，可能遇到红灯，可能遇到绿灯，也可能遇到黄灯，所以遇到红灯是随机事件，故答案为：随机．15．（3分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则这个圆锥的底面圆的半径为4．【解答】解：∵圆锥的母线长是5，侧面积是20π，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝4，故答案为：4．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y＝﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上．若AB＝2，则k＝﹣．【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝﹣1﹣（2﹣）+4﹣2＝﹣1﹣2++4﹣2＝﹣1+．18．（6分）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a＝2，b＝﹣．【解答】解：原式＝a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab＝a2﹣ab，当a＝2，b＝﹣时，原式＝4+1＝5．19．（6分）解下列方程组：．【解答】解：方程组整理得：，①+②得：6x＝48，解得：x＝8，把x＝8代入①得：y＝8，则方程组的解为．20．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252°．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．21．（8分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，请直接写出点A1、C2的坐标，并求出旋转过程中线段OC所扫过的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）A1（1，1），C2（﹣1，4）．∵OC＝＝，∠COC2＝90°，∴线段OC所扫过的面积＝＝22．（9分）如图，一次函数y1＝k1x+b，与反比例函数交于点A（3，1）、B（﹣1，n），y1交y轴于点C，交x轴于点D．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求△OBD的面积；（3）根据图象直接写出k1x+b＞的解集．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为；把B（﹣1，n）代入反比例函数解析式，可得n＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），把A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入一次函数y1＝k1x+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y1＝x﹣2；（2）令y1＝0，有0＝x﹣2，即x＝2，∴D（2，0），OD＝2，如图，过B作BE⊥x轴于点E，∵B（﹣1，﹣3），∴BE＝3，∴S△BOD＝×OD×BE＝×2×3＝3；（3）由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方，所以k1x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．23．（9分）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D 作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若，AB＝10，求CE的长．【解答】证明：（1）连接DF，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵DE⊥AC，CE＝FE，∴DF＝DC，∴∠C＝∠DFC，∵四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD＝180°，∵∠AFD+∠CFD＝180°，∴∠OBD＝∠CFD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵OH⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，∴四边形ODEH是矩形，∴DE＝OH，OD＝EH，∵AB＝10，∴AO＝OB＝OD＝EH＝5，∴OH＝＝＝4，∴AH＝＝＝3，∵OH⊥AF，∴AH＝HF＝3，∴EF＝HE﹣HF＝2，∴CE＝2．24．（10分）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T（0，t）（t＞0）旋转180°得到点Q，那么称线段PQ为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．（1）当t＝3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为（1，5）；（2）如果t＞1，当点M（2，1）的“拓展点”N在函数的图象上时，求t的值；（3）当t＝1时，点Q为点P（2，0）的“拓展点”，如果抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，请结合图象，求m的取值范围．【解答】解：（1）当t＝3时，T（0，3），则点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），点（﹣1，1）的“拓展点”坐标为（1，5），故答案为：（0，6），（1，5）；（2）∵T（0，t）（t＞1），∴点M（2，1）的“拓展点”N的坐标为（﹣2，2t﹣1），∵点N（﹣2，2t﹣1）在函数y＝﹣的图象上时，∴2t﹣1＝﹣，解得t＝2，即t的值是2；（3）∵t＝1，∴T（0，1），∵点Q为点P（2，0）的“拓展点”，∴点Q（﹣2，2），∵抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与“拓展带”PQ有交点，∴当抛物线过点（2，0）时，0＝（2﹣m）2﹣1，得m＝1或m＝3，当抛物线过点（﹣2，2）时，2＝（﹣2﹣m）2﹣1，得m＝﹣﹣2或m＝﹣2，即m的取值范围是﹣2﹣≤m≤3．25．（10分）如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），∠ACB＝90°，过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，∴点O′的坐标为（4，0）；（2）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠BCE的平分线为CD，∴∠BCD＝45°，∴∠DO′B＝90°，即O′D⊥AB，圆的半径为AB＝5，故点D的坐标为（4，﹣5），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，①当点P（P′）在直线BD下方时，∵∠PDB＝∠CBD，∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点P的坐标为（，）；②当点P在BD的上方时，由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），故点P的坐标为（14，25）；故点P的坐标为：（，）或（14，25）．。