空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题

第1讲空间几何体的三视图及表面积

和体积的计算问题

高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.

真题感悟

1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条

互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π

3，则它的表面积是()

A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)

切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个1

4圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×1

4π×22＝17π. 答案 A

2.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.

将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1

2，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×1

2＝63π.

法二 (估值法)由题意知，1

2V 圆柱

3.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2

D.π4

解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝1

2.

∴底面圆半径r ＝OA 2

－OM 2

＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2

·h ＝π·⎝ ⎛⎭

⎪⎫322×1＝3π4.

答案 B

4.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.

解析 如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .

因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA ⊂平面SAC ，所以OA ⊥平面SBC .

设球的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，

所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝1

3r 3， 所以1

3r 3＝9⇒r ＝3，所以球的表面积为4πr 2＝36π. 答案 36π

考 点 整 合

1.空间几何体的三视图

(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等.

(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体.

2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝1

2ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；

③S 台侧＝1

2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝1

3Sh (S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝4

3πR 3.

热点一 空间几何体的三视图与直观图

【例1】 (1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，

它的俯视图可能是()

(2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于()

A.4 2

B.34

C.41

D.5 2

解析(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.

(2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥P－ABC(如图所示).

棱锥最长的棱长P A＝25＋16＝41.

答案(1)B(2)C

探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.

2.由三视图还原到直观图的思路

(1)根据俯视图确定几何体的底面.

(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.

(3)确定几何体的直观图形状.

【训练1】(1)(2017·兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为()

A.1

B.2

C.3

D.4

(2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()