不可约多项式精品PPT课件
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
二元有限域上的n次不可约多项式
二元有限域上的n次不可约多项式二元有限域上的n次不可约多项式是数学中的重要概念，它在代数学、密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
本文将介绍什么是二元有限域、什么是不可约多项式，以及它们的应用。
我们来了解什么是二元有限域。
在数学中，域是一种代数结构，它具有加法和乘法运算，并满足一定的性质。
二元有限域是一个特殊的域，它的元素只有0和1两个，加法和乘法运算定义如下：1. 加法运算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0。
2. 乘法运算：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1。
可以看出，二元有限域中的加法运算和异或运算相同，乘法运算和与运算相同。
这种域的特点使得它在计算机科学中具有重要意义，可以方便地表示和计算二进制数。
接下来，我们来介绍不可约多项式。
在代数学中，多项式是由系数和幂次组成的表达式。
而不可约多项式是指不能再分解为更小次数的多项式的多项式。
在二元有限域上，n次不可约多项式是一个幂次为n的多项式，不能被分解为两个次数较小的多项式的乘积。
不可约多项式在代数学和密码学中有着重要的应用。
在代数学中，它们可以用于构造有限域扩张，研究域论的性质。
在密码学中，不可约多项式可以用于构造伪随机数生成器、线性反馈移位寄存器等密码算法。
不可约多项式的选择对于密码算法的安全性和效率都有着重要影响。
以AES密码算法为例，它在密钥扩展阶段使用了有限域GF(2^8)上的不可约多项式，用于生成轮密钥。
这些不可约多项式经过严格的选择，以保证算法的安全性和效率。
通过使用不可约多项式，AES 算法可以在有限域上进行高效的运算，同时保证了密码算法的强度。
除了密码学，不可约多项式还在编码理论中有着广泛的应用。
在纠错码和压缩编码中，不可约多项式可以用于构造生成多项式和校验多项式，用于编码和解码。
通过选择合适的不可约多项式，可以提高编码的纠错能力和压缩效率。
二元有限域上的n次不可约多项式在代数学、密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
有理系数不可约多项式的判别
有理系数不可约多项式的判别
对于一个多项式 f(x)，如果它的次数小于等于 3，那么它一定
是可约的，因为任何次数小于等于 3 的多项式都可以通过因式分解为
线性因式乘积。
对于次数大于 3 的多项式 f(x)，要判断它是否为不可约多项式，可以使用以下方法之一：
1. 尝试寻找 f(x) 的有理根。
如果 f(x) 的有理根存在，则
f(x) 是可约的，因为有理根可以转化为一次因式。
2. 使用 Eisenstein 判别法：如果存在一个素数 p，使得 p
能够整除多项式 f(x) 的所有非首项系数，但不能整除首项系数，并
且 p^2 不能整除多项式的常数项系数，那么 f(x) 是不可约的。
3. 使用约化多项式的方法。
假设 f(x) 是不可约的，那么根据
整系数多项式的性质，可以将 f(x) 看作是有理数系数多项式。
为了
判断 f(x) 是否可约，可以考虑将 f(x) 通过符号替换，转化为一个
整系数多项式 g(x) = f(ax+b)，其中 a 和 b 是整数。
如果 g(x) 是
可约的，则 f(x) 也是可约的。
这些方法可以帮助我们判断一个多项式是否是不可约多项式，但
需要注意的是，并不是所有的不可约多项式都可以通过这些方法判断
出来。
对于高次多项式，判别它是否为不可约多项式可能会更加困难。
三个多项式不可约性的证明
三个多项式(不)可约性的证明1(浙大1993(16分)).证明f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1在Q上不可约,其中a1,a2,···,a n是互异的整数.证明:(证法1)若不然，假设f(x)=φ1(x)φ2(x),由于f(x)是整系数多项式，所以可设φ1(x)和φ2(x)均为整系数多项式，且∂[φ1(x)]<∂[f(x)],∂[φ2(x)]<∂[f(x)].f(a i)=φ1(a i)φ2(a i)=−1,考虑到它们均为整系数多项式，所以有φ1(a i)=±1,φ2(a i)=∓1.令g(x)=φ1(x)+φ2(x),则g(a i)=0,i=1,2,...,n.而∂[g(x)]≤∂φ1(x)<n,∂[g(x)]≤∂φ2(x)<n,得g(x)=0,φ1(x)=−φ2(x),所以f(x)=−φ2(x).1于是对任意的实数c,f(c)=−(φ1(c))2≤0.但再由条件：f(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n)−1,取c=max{a1,a2,...,a n}+3,则f(c)≥3n−1>0,矛盾.于是假设错误，所以f(x)在Q上不可约.(证法2)由于φ1(a i)=−φ2(a i),i=1,2,...,n且∂[φk(x)]<∂[f(x)]≤n,k=1,2.,所以f(x)=−[φ1(x)]2.由于φ1(x)和φ2(x)都是整系数多项式,所以−φ21(x)的首系数为负数,而f(x)的首系数为+1,矛盾.例2.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x+a1)(x+a2)···(x+a n)+1在Q上可约的充要条件是f(x)=g2(x),g(x)∈Z[x].证明:充分性显然成立.必要性.若f(x)在Q上可约，因为f(x)∈Z[x],可设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又因为f(a i)=1,所以g(a i)和h(a i)同时为1或−1,即g(a i)=h(a i),i=1,2,...,n.又∂[g(x)]<∂[f(x)]≤n,∂[h(x)]<∂[f(x)]≤n,得g(x)=h(x),所以f(x)=[g(x)]2.例3.设a1,a2,···,a n是互异的整数,证明f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1在Q上不可约.证明:若f(x)在Q上可约，设f(x)=g(x)h(x),g(x),h(x)∈Z[x].又对任意的c∈R(实数)，f(c)=(c−a1)2(c−a2)2···(c−a n)2+1>0,所以f(x)无实根.考虑f(a i)=g(a i)h(a i)=1,g(x)和h(x)均为整系数多项式，所以g(a i)=1且h(a i)=1或g(a i)=−1且h(a i)=−1.不妨假设存在a k使得g(a k)=1,则由于g(x)也无实根，所以必有g(a i)=1,i= 1,2,...,n.再考虑到若g(x)的次数小于n,得g(x)≡1,这是不可能的.所以∂[g(x)]=∂[h(x)]=n.由于g(a i)−h(a i)=0,且g(x)和h(x)都是首系数为1的n次多项式,所以g(x)−h(x)的次数小于n,且有n个互异的根a1,a2,...,a n,因而g(x)≡h(x),得f(x)=(x−a1)2(x−a2)2···(x−a n)2+1=[g(x)]2.令l(x)=(x−a1)(x−a2)···(x−a n),则[l(x)]2+1=[g(x)]2,(g(x)−l(x))(g(x)+l(x))=1.对任意的a∈Z,(g(a)−l(a))(g(a)+l(a))=1(两个整数的乘积为1)，g(a)−l(a)=g(a)+l(a)=1或(−1).得l(a)≡0,矛盾.所以f(x)不可约.。
第一章 高等代数多项式ppt课件
定义3：若P是一个，且b≠0，有a/b ∈P，则称数集P是一个 数域。
例如：有理数集Q、实数集ppt精R选、版 复数集C都是数域。
9
多项式
§1 数环和数域
例 4 证明 Q (2 ) { a b2|a ,b Q }是一个数域。
例 5 设 P 1{ ab2|a,b Q }P 2 { ab3|a,b Q } P { a b 2 c3 d 6 |a ,b ,c ,d Q }
零多项式：系数全为0的多项式，即f (x)=0。对零多项式不
定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f (x)≠0。
首一多项式：首项系数为pp1t精的选版多项式。
13
多项式
二、多项式的运算
§2 一元多项式的定义和运算
定义4：设
f(x)anxnan1xn1 a1xa0,
g(x)bmxmbm 1xm 1 b1xb0,
34多项式因式分解定理不可约多项式的性质性质1若px是不可约多项式则只有c性质2若px是不可约多项式则对任意的多项式f性质3若px是不可约多项式且对任意两个多项式f推论1若px是不可约多项式且px35多项式设px为数域p上的次数大于零的多项式
高等代数
高等代数
Higher Algebra
湖南大学数学与计量经济学院
性质2 对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且g(x) | f (x) 那么f (x) = cg(x)和g(x) = df (x)，其中c，d为非零常数。
性质3 对任意的f (x)，g(x)，h(x)∈P [x]，若f (x) | g(x)，且 g(x) | h(x)，那么f (x) | h(x) 。(整除的传递性)
x2 2在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域
不同域上的不可约多项式
一般地对f(X)•Z(x)，常作变换ay b,则f (x)二f (ay b^ f (y),很显然f(x)与g(y)在Q[x]上具有相同的可约性.
有时候对于某个多项式不能直接应用Eise nstein判别法，可以把它进
行如上适当变形后，再应用这个判别法。
例如：设P是一个素数，多项式f(x)=xp*■ xp^ x1叫做一个分 圆多项式，证明f(x)在Q[x]中不可约。
5.1
定理5[1](Eisenstein判别法) 设f (x)=a°• ajx•111•an」xn‘ ax"是
一个整系数多项式，如果存在素数p使得
(1)p|ao,p|a1,|[|, p an4；
(2)p|an；
2
⑶p I ao
那么f(x)在Q上不可约
证明：若f(x)在有理数域上可约，则f(x)在Z上可约，即存在整系数 多项式
域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
f(x^p!(x) P2(x^| Ps(x) =q!(x)q2(x)川qt(x)
那么必有s=t，并且适当排列因式的次序后有
Pi(x) =Gqi(x),i =1,2^|,s，
其中Ci(i=12川,s)是一些非零常数.
因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具 体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式 的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的 多项式的是否可约。
证明：因为ag=印=|)(=an=1，所以不存在这样的素数P满足
Eise nstein判别法的条件，但是如果我们
令x=y1，则由于(x -1)f (x) =xn-1
yf(y I) = (y 1)P-仁ypC；y2川c汇y
如何判别一个多项式不可约
探索不可约多项式的 应用
除了在数学理论研究中的应用外 ，不可约多项式在实际应用中也 有着广泛的应用前景。例如，在 计算机科学、信息编码等领域中 ，不可约多项式可以用于构造一 些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项 式的方法
目前我们判别不可约多项式的方 法主要适用于有限域上的多项式 ，对于其他情况是否适用还需要 进一步的研究和探索。因此，推 广判别不可约多项式的方法也是 未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其 他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
谢谢您的观看
不可约多项式是整环上的 不可约元，即它不能被其 他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是 不可约元，因此它在整环 中是不可约的。
不可约多项式是素数，即 它没有除了1和自身以外 的因数。
不可约多项式在整环中是 不可约的，因此它在整环 中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域 具有重要研究价值，有助于深入 理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的 判别方法可以用于设计高效的算 法，例如在符号计算、数值分析 等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握 多项式不可约的判别方法有助于 提高数学素养和解题能力。
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我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x 是 Px 中次数大于零的多项式，
如果在 Px 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 Px 中还有
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1 x 1 x2 2
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
若 p x f x ，又 p x 不可约。
由性质2， p x, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
fs x.
问题： f x Px, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1：Px 中任一个nn 0 次多项式 f x
都可以分解成 Px 中不可约多项式的乘积。
证（归纳法）： n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g x h x g n, h n.
由假设知 g x, h x 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
若 f x p1 x p2 x pr x, 取 c1c2 cr 1.
则 f x c1 p1 x c2 p2 x cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：Px 中任一个次数大于零的多项式
f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 x pr x,
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x.
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0, c P.
性质2 若 p x 是不可约多项式，f x Px,
则 p x f x p x, f x 1. 证：设 p x, f x d x,
k1, , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解
式。
1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x,gx.
例如： f x 5 x 35 x 23 x 1, g x 7 x 33 x 14 x 1,
则有① r=s；
② 适当调整 qj x 的位置后，有
qi x ci pi x , i 1, 2, , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
当r=1时，结论显然成立。
假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立，
则当 f x 分解成r个因式时，有
f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qs x.
由d x f x d x 1 或 d x cp x.
若d x 1, 则 p x, f x 1.
若d x cp x, 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x
则 px f x 或 px gx.
证： 若 p x f x, 则结论成立；
由于 p1 x q1(x)q2 (x) qs (x)，故存在某个qi 使 p1(x) qi (x)
为方便起见不防设 qi (x) 就是 q1(x) 。
q1 c1 p1 p2 (x) pr (x) c1q2 x qs x
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c11c1p2 c2 p2, qi ci pi , i 3, 4, , r
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 Px 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 Px 中两个次数都小于 n 的多项式
g x, h x 的积，即 f x g x h x, 则称
f x 在数域P上可约。
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
§1.5 因式分解定理
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于Px 中任一个多项式 f x, c P及cf x
则 f x, g x x 33 x 1
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
Hale Waihona Puke 问：如何求 f x 的标准分解式？
例 1： 求 f x x4 3x2 2,
在 Qx, Rx 中的标准分解式。
故
qi ci pi , i 1, 2, , r
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是，f x 的分解式就变成：
f
x
an
p k1 1
x
p k2 2
x
p kl l
x.
p1 首x项, 系, p数l x 为 Px 的首一不可约多项式，