椭圆中焦点三角形的性质含答案
椭圆的性质二 焦点三角形的性质
|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2
专题之八 椭圆的焦点三角形
设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2=600,求椭圆的离心率的取值范围.
点P(x0，y0)为椭圆 (a>b>0)上的一点当焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2为钝角时,求x0的取值范围.
7(1)设P是椭圆 上的任意一点，F1，F2是其两焦点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β
∵ ，
∴ 点M恒在圆x2+y2=a2上．
5.设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2= ,则点P为短轴的端点时， 最大.
证明：如图5在 PF1F2中，由余弦定理可得：
cos = =
= =1-2
当且仅当 ，即点P为为短轴的端点时 最大.
6.(1)设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2= ,则 .
专题之七椭圆的焦点三角形
椭圆 上任意一点P(非长轴端点)与两个焦点F1、F2构成的三角形称为焦点三角形 PF1F2.如图1.
1.焦点三角形的周长为定值2(a+c).
证明：∵顶点P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a.
故l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2(a+c).
即周长是定值.
2.设F1、F2是椭圆的两焦点，P是平面上的一点，2a是椭圆的长轴长，求证：点P在椭
∵I是 PF1F2的内心，由想一想 (2)知， .由定比分点公式得内心I,即 .∴内心I的轨迹为椭圆.
且 = = = = .
(4)设点M为旁切圆的圆心，T1、T2、T3分别为切点，
AT3=x，如图9所示.∵|F1T1|=|PF1|+|PT1|=|PF1|+|PT2|
椭圆的焦点三角形
椭圆的焦半径，焦点三角形焦半径：椭圆上任意一点和焦点的连线称为焦半径：焦半径公式：椭圆的焦点在x 轴上时，),(00y x P 是椭圆上任意一点，则1PF =_______________, 2PF =___________(左加右减)椭圆的焦点在y 轴上时，),(00y x P 是椭圆上任意一点，则1PF =_______________, 2PF =___________(下加上减)焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则=∆21PF F S ____________性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率=e ________________例1：设),(y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点，21,F F 为它的左，右焦点，求21PF PF ⋅的最值。
例2、已知P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，21,F F 是两个焦点，且3021=∠PF F ,求21F PF ∆的面积。
例3、设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上，上顶点为A,左右焦点分别为21,F F ,线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ,且21B AB ∆是面积为4的直角三角形。
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使,22QB PB ⊥求直线l 的方程。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点1 有关周长和距离问题：例1.（08浙江）已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212F A F B +=，则AB =变式（06年四川）如图把椭圆22221x y a b +=的长轴分成8等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,P P P 七个点。
F 是椭圆的一个焦点，则127PF PF PF ++=变式2 已知12F F ,是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是考点2 有关角的问题：例2（2000全国）椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是变式：椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为直角时，点P 横坐标的取值范围是性质一：当点P 从右至左运动时，12FPF ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，12FPF ∠达到最大变式: (2004湖南卷)12F F ,是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数考点3 有关离心率的问题：例3已知椭圆22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，若椭圆上存在一点P ，使得12FPF ∠0120=，求椭圆离心率e 的取值范围性质二：已知椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，设焦点三角形12F PF 中，12FPF ∠θ=，则2cos 12e θ≥-（当且仅当动点为短轴端点时取等号）变式（09江西）已知12F F ,是椭圆的两个焦点，满足12MF MF 0=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围考点4 有关面积的问题：（122tan2F PF S b θ∆=）（θ为焦点三角形顶角）例4P 是椭圆22154x y +=上的点，12F F ,是椭圆的焦点，若12FPF ∠6π=，则12PF F 的面积等于变式：P是椭圆2214xy+=上的点，12F F,是椭圆的焦点，若12FPF∠3π=，则12PF F的面积等于变式：（04湖北）已知椭圆221169x y+=的左右焦点分别是12F F,，点P在椭圆上，若12,,P F F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A 95B 3 C94D94或7性质4过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦），最短，通径为22b a（2007天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥。
课题1焦点三角形性质总结
课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。
得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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焦点三角形的性质(经典!必看)
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
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由椭圆的第一定义得 r1 r2 2a , (r1 r2 ) 2 4a 2.
2
2
在△ F1 PF2 中，由余弦定理得ห้องสมุดไป่ตู้ r1 r2 2 r1r 2 cos
2
(2c) .
配方得： (r1 r2 )2 2r1r2 2r1r2 cos
4c2.
即 4 a 2 2r1r 2(1 cos ) 4c2 .
2(a 2 c 2 )
S F1 PF2
b2 tan 2
b2 tan 45
b2 20 ，
又 ec a
a2 b2 a
5， 3
b2 1 a2
5 ，即 1 9
20 a2
5. 9
解得： a 2 45 .
所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1或 y2 x2 1.
45 20
45 20
专题 2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )
2a 2 2c2 1
2r1r2
2r1 r2
2r1 r2
1
2a 2 2( r1
2c 2 r2 )2
1
2a2 2c 2 2a 2
1 1 2e2 .
2
命题得证。
例 1.
若 P 是椭圆 x2
y 2 1 上的一点， F1、 F2 是其焦点，且
F1PF2 60 ，
100 64
求△ F1 PF2 的面积 .
例 1．解法一：在椭圆 x 2 y 2 1 中， a 10, b 8, c 6, 而 100 64
个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（
）
若 P、 F1 、 F2 是一
A. 9
B.
5
97
C.
9
D.
7
4
9或9 7
4
7
解：若 F1 或 F2 是直角顶点，则点 P 到 x 轴的距离为半通径的长 b2 9 ；若 P 是直角顶点，
a4
设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 S F1PF2
b2 tan 2
性质三： 已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1( a b 0), 两焦点分别为
F1, F2 , 设焦点三角形
PF1F 2 中 F1PF 2
性质三
, 则 cos
1 2e2 .
证明：设 PF1 r1, PF2 r2, 则在 F1PF 2中，由余弦定理得：
cos
r12 r22 F1F2 2
(r1 r 2) 2 2r1r2 4c 2
2 A. 2
3 B. 2
5 C. 3
6 D. 3
1.解析： 选 A. 如图所示， 四边形 B1F 2B2F1 为正方形， 则△ B2OF2 为等腰直角三 角形，
∴ ac＝
2 2.
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )
4
3
2
1
A. 5
B.5
C.5
D. 5
2.解析：选 B. 由题意知 2b＝ a＋ c，又 b2＝ a2－ c2，
若 PF1 PF2 | PF1 | | PF2 |
1 ，则△ 2
F1PF2 的面积为（
）
A. 3 3
B.
23
C.
3
D.
3
3
解：设 F1PF2 ，则 cos
PF1 PF2
1 ，
60 .
| PF1 | | PF2 | 2
S F1 PF2
b2 tan 2
9 tan 30
3 3. 故选答案 A.
2
例 3. 已知椭圆 x2 y 2 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上 . 16 9
2
3. 椭圆 x2 4
45 , 90 ， PF1 PF2 0 .故选 A.
y 2 1 的左右焦点为 F1、 F2 ， P 是椭圆上一点，当△
F1PF2 的面积最大时，
PF1 PF2 的值为（
）
A. 0
B. 2
C. 4
D.
2
解： a 2,b 1, c
3 ，设 F1PF2
，
S F1 PF 2
b2 tan 2
∴ 4(a2－ c2)＝a2 ＋c2＋ 2ac.
∴ 3a2－ 2ac－5c2＝ 0.∴ 5c2＋ 2ac－3a2＝ 0.
∴ 5e2＋ 2e－ 3＝0.∴ e＝ 35或 e＝－ 1(舍去 )．
4
3 ．若椭圆的短轴长为 6 ，焦点到长轴的一个端点的最近距离是
________ ．
3.解析：依题意，得 b＝ 3， a－ c＝ 1. 又 a2＝ b2＋ c2，解得 a＝ 5， c＝ 4，
2b 2
r1 r2
.
1 cos 1 cos
由任意三角形的面积公式得：
S F1 PF2
1 2 r1r2 sin
b 2 sin 1 cos
2sin cos
b2
22
2cos2 2
b 2 tan . 2
S F1 PF2
b2 tan . 2
y2 同理可证，在椭圆 a 2
x2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0）中，公式仍然成立 .
，从而 | PF1 | | PF2 | .
4
3
3
故答案选 C.
5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
F1 、 F2 为焦点，点 P 在椭圆上，
直线 PF1 与 PF2 倾斜角的差为 F1 PF2 90 ，△ F1PF2 的面积是 20，且 c/a=√ 5/3，
求椭圆的标准方程 .
解：设 F1PF2 ，则 90 .
b2＋
2 3b
＝
2
a，
整理得 3c2＝ 3a2－2ab.又 c2＝a2 －b2，
所以
3b
＝
2
a.
所以
b2 a2
＝
4 9.
∴
e2＝
ca22＝
a2－ a2
b2 ＝
1－
b a
2
2＝
5， 9
∴ e＝
5 3.
法二：设椭圆方程为
ax22＋ by22＝ 1(a>b>0) ， 则 M (c，23b)．代入椭圆方程，得
tan ， 2
当△ F1PF2 的面积最大时， 为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，
120 ，
PF1 PF2 | PF1 | | PF2 | cos a2 cos120
2.
故答案选 D.
4．已知椭圆 x 2 a2
y2
1 （ a ＞ 1）的两个焦点为
且 F1PF2 60 ，则 | PF1 | | PF2 | 的值为（
9 tan 45
9 ，又 S F1PF 2
1 (2c) h 2
7 h,
7h 9 ， h 9 7 . 故选 D. 7
1. 椭圆 y2 x2 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1、 F2 的连线互相垂直，则△
49 24 （）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24
F1PF2 的面积为
解： F1PF2
90 , b2 24 ，
S F1PF2
b2 tan 2
24 tan 45
24 .故选 D.
2. 椭圆 x2 y2 1 的左右焦点为 F1 、 F2 ， P 是椭圆上一点，当△ 4
F1PF2 的面积为 1 时，
PF1 PF2 的值为（
A. 0
B. 1
） C. 3
D. 6
解：设 F1PF2
，
S F1PF 2
b2 tan 2
tan 1 ， 2
ca22＋
4b 9b
2
2＝
1
，
a、b、c.则焦点为 F1(－ c,0) ，F 2(c,0)，
5
所以 ca22＝ 59，所以
ca＝
35，即
e＝
5 3.
椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案） 性质二
离心率求法：
y P
F1
O
F2
x
6
.
3
S F1 PF2
1 r1r2 sin 2
1 256 3 64 3 .
23 2
3
解法二：在椭圆 x2 y2 1 中， b 2 64 ，而
100 64
60 .
S F1 PF2
b2 tan 2
64 tan 30
64 3 .
3
例 2. 已知 P 是椭圆 x 2 25
y2 9
1上的点， F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，
焦点三角形习题
性质一： 过椭圆焦点的所有弦中通径
( 垂直于焦点的弦 ) 最短，通径为 2 b2 a
性质二： 已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1( a b 0), 两焦点分别为
F1, F2 , 设焦点三角形
PF1F2 中 F1PF2
S , 则
F1PF2
b2 tan . 2
证明：记 | PF1 | r1,| PF2 | r2 ，
5. 解：法一：设椭圆的长半轴、 短半轴、 半焦距长分别为 2
M 点的坐标为 ( c，3b)，
则△ MF 1F2 为直角三角形． 在 Rt△ MF 1F2 中， |F 1F2|2＋ |MF 2 |2＝ |MF 1|2，
即
4c2＋
4 9
b2＝
|MF
1|2.
而 |MF 1|＋ |MF 2|＝
4
c2
＋
4 9
60 .
记 | PF1 | r1 ,| PF2 | r2.