正弦、余弦的诱导公式(一)

课 题：45正弦、余弦的诱导公式（一）教学目的：1．通过本节内容的教学，使学生掌握180º+α，-α，180º-α，360º－α角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“α-”、“απ-2”、“απ±”等诱导公式，我们知道，απ-角的终边与α角的终边关于y 轴对称；απ+角的终边与α角的终边关于原点对称，α-，απ-2角的终边与α角的终边关于x 轴对称，所以απ-、απ+、α-、απ-2各角的三角函数值与α角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的α角可以是任意角，即R ∈α，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移2π个长度单位而得到的． 在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键．-y)教学过程：一、复习引入：诱导公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+kααcos )360cos(=︒⋅+kααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）用弧度制可写成απαsin )2sin(=+kαπαcos )2cos(=+kαπαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果 这组公式可以统一概括为))(()2(Z ∈=+k f k f απα的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正 由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础3．运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，3cos )3603cos(ππ=︒⋅+k 是不对的．二、讲解新课：公式二： 用弧度制可表示如下：αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+）αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+）ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+） 它刻画了角180º+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设α的终边与单位圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即180º+α角的终边与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(180º+α)=-y, cos(180º+α)=-x, 所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α．公式三： αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x,sin(-α)=-y, cos(-α)=x,所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图1中，点P ´与点P 关于原点对称，而在图2中，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．公式四： 用弧度制可表示如下：ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-）αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-）ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）公式五：αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-）ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为：α+k ·360º（k ∈Z ），-α，180º±α，360º-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把α看成锐角”是指α原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指α的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明．三、讲解范例：例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），α为锐角即可．解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－23； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4π=22例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．解：（1）sin(－34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π=23； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－21=0 例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα 分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．解例4．已知cos(π+α)=－ 21，23π<α<2π，则 nqin(2π－α)的值是（ ）． （A ）23 (B) 21 (C)－23 (D)±23 分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把sin(2π－α)化成－sin α,再用同角三角函数的平方关系即可．事实上，已知条件即cos α=21，于是 sin(2π－α)=－sin α=－(－α2cos 1-)=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23 因此选A四、课堂练习：1．求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒- 答案：－2提示：原式=2sin(－30º)+sin60º－︒-︒30cos 45cos 2=－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用． 使用方法：供课堂练习用．评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）（A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1答案：C选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用．使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此外还出现了如“sin(－2)”这样的学生较为陌生的三角函数值，求解时若只计算一次便获得准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结 通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号的确定．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性．六、布置作业：1．求下列三角函数值：（1）45sin π； (2)619cos π；(3))240sin(︒-；(4))1665cos(︒- 2．化简：)4(tan )3sin()2(cos )2tan()5cos()(sin 333παπαπααπαπα-----++- 3．当45πθ=时，)()2cos()2sin(])12(sin[])12(sin[z k k k k k ∈-++---++παπθπθπθ的值是____． 作业的答案与提示：1．（1）－22 （2）－23 （3）23 （4）222．提示：原式=αααααα333tan sin cos tan )cos (sin ⋅⋅⋅-⋅-=1 3． 22．提示：原式=θθθθcos sin sin sin --=－θcos 2 当45πθ=时，原式=－45cos 2π=22 补充题：１．求值：︒-︒-+︒1065sin )225cos(915sin ２．化简：)(cos )2tan(cos )cos()(sin 32πααπααππα--⋅++⋅-- ３．已知31)sin(=+πα，23παπ<<，则)2cos(πα--的值是_____． ４．设f (θ)=)cos()7(cos 221)cos(2)(sin cos 2223θθππθπθθ-++++---+-，求f (3π)的值． 补充题的答案与提示：１．-22 提示：原式=︒+︒-︒-15sin 45cos 15sin =－22 ２．sin α 提示：原式=)cos (tan cos )cos (sin 32ααααα-⋅⋅-⋅＝sin α ３．322- 提示：已知条件即31sin -=α，故 =--==-=--αααπα2sin 1cos )cos()2cos(322-４．21 提示：θθθθθθcos cos 221cos 2sin cos 2)(223++++-=f =θθθθθcos cos 221cos 2)cos 1(cos 2223++++-- =θθθθθcos cos 22cos 2cos cos 2223++++=θθθθθθcos 2cos cos 2)2cos cos 2(cos 22=++++ 七、板书设计（略）八、课后记：。