动点与平行四边形存在性问题(解析版)

专题动点与平行四边形存在性问题大视野

【例题精讲】

题型一、平行四边形存在性问题

例1. 【2019·长沙市天心区期中】如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=√5．

（1）求点C的坐标；

（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；

（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】

解：（1）由题意得：A（3，0），B（0，6），设直线AB解析式为：y=kx+b，

∴

k b

，解得：

，

∴直线AB解析式为：y=-2x+6，联立：y=-2x+6，y=2x，

解得：

，

∴点C坐标为：（3

，3）.

（2）过点D作DG∴x轴于点G，过点P作PH∴x轴于点H，

设点D（m，2m）

∴OD=√5，

∴m2+（2m）2=5

解得：d=1，或d=-1（舍），

∴D（1，2），DG=2，

可得直线AD的解析式为：y=-x+3，

∴点P在线段AD上，且横坐标为x，

∴OH=x，PH=y P=-x+3，

∴S=S∴AOD-S∴AOP

OA?DG-

OA?PH

OA（DG-PH）

=33 22 x-.

（3）存在．

∴当OD为平行四边形的边时，

∴|y F|=y D=2

即：|-2x+6|=2，

解得：x1=2，x2=4

∴F（2，2）或（4，-2）

∴当OD为平行四边形的对角线时，

∴DF∴x轴，y F=y D=2，

∴F（2，2），

综上所述，点F的坐标为（2，2）或（4，-2）．

题型二、特殊平行四边形（矩形）存在性问题

例1. 【2019·武汉市期中】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，

理由：

由题意知，AE=CF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC，

∴OA-AE=OC-CF，

∴OE=OF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，

理由：

分为两种情况：∴∴四边形DEBF是矩形，

∴BD=EF=12，即AE=CF=0.5t，

则16-0.5t-0.5t=12，

解得：t=4；

∴当E到F位置上，F到E位置上时，

AE-AF=AC-CF，

即0.5t-12+0.5t=16，

解得：t=28，

即当运动时间t=4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形.

例2. 【2019·禹城市期末】如图，在∴ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∴ACB的角平分线于点E，交∴ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．

【答案】见解析．

【解析】（1）证明：∴EF∴BC，

∴∴OEC＝∴BCE，

∴CE平分∴ACB，

∴∴BCE＝∴OCE，

∴∴OEC＝∴OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：

由（1）得：EO＝FO，

∴O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∴EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，

∴∴AEC＝90°，

由勾股定理得：AC5，

S∴ACE＝1

AE×EC＝

×3×4＝6，

∴122+52＝132，

即AB2+AC2＝BC2，

∴∴ABC是直角三角形，∴BAC＝90°，

∴S∴ABC＝1

AB?AC＝

×12×5＝30，

∴S凹四边形ABCE＝S∴ABC﹣S∴ACE＝30﹣6＝24；

故答案为：24．

题型三、特殊平行四边形（菱形）存在性问题

例1. 【2019·福州市晋安区期末】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．

（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；

（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；

（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】见解析．

【解析】解：（1）∴直线l经过原点，

∴将点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，

得：2﹣4k＝0，

解得：k=1

，

∴一次函数的解析式为：y=1

2 x；

（2）由题意可知，点C的坐标为（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，

∴不论k为何值，直线l总经过点C；

（3）设点M（x，1

2 x）

∴以OA为菱形的边，此时，OM＝OA＝5，

则

x x

，

∴x＝，

点M的坐标为（-；∴以OA为菱形的一条对角线，

MN垂直平分OA，

则：1

x＝

∴x＝5，

则M的坐标为（5，5

2）；

综上所述，满足条件的点M为（-，5，5

2）．

题型四、特殊平行四边形（正方形形）存在性问题

例1. 【2019·华蓥市期末】如图，已知一次函数y=

-x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个

动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=1

3 MP，

MB=1

OM，OE=

ON，ND=

NP．

（1）b=______；

（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（3）在直线y=

-x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点

P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）3；（2）（3）见解析.

【解析】解：（1）一次函数y=

-x+b的图象过点A（0，3），

-×0+b，

解得：b=3，

故答案为：3；

（2）证明：过点P分别作PM∴x轴于点M，PN∴y轴于点N，∴∴OMP=∴PNO=∴MON=90°，

∴四边形PMON是矩形，

∴PM=ON，OM=PN，∴MPN=90°．

∴PC=1

MP，MB=

OM，OE=

ON，ND=

NP，

∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，

∴∴OBE∴∴PDC（SAS），

∴BE=DC，

在∴MBC和∴NDE中，

∴BM=DN，∴M=∴N，MC=NE，

∴∴MBC∴∴NDE（SAS），

∴DE=BC，

∴BE=DC，DE=BC，

∴四边形BCDE是平行四边形；

（3）设P点坐标（x，y），

当∴OBE∴∴MCB时，四边形BCDE为正方形，∴OE=BM，

当点P在第一象限时，x=y，

联立y=

-x+3，y=x，

解得：

，

当点P在第二象限时，联立y=

-x+3，y=-x，

解得：

，

综上所述，存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形，P点坐标是（2，2）或（-6，6）．

【刻意练习】

1. 【2019·阳江市期中】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，∴ABC中，A点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-1）

（1）AC的长为______；

（2）求证：AC∴BC；

（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形组成平行四边形，画出符合条件的所有平行四边形，并写出D 点的坐标______．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）（0，4），（4，2），（-4，-4）.

【解析】

（1）解：AC=√22+42=2√5．

故答案为2√5．

（2）∴BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，AC2=20，

∴BC2+AC2=AB2，

∴∴ABC是直角三角形，

∴AC∴BC．

（3）如图所示：D点的坐标（0，4），（4，2），（-4，-4）．

故答案为：（0，4），（4，2），（-4，-4）．

2. 【2018·莆田市期中】已知：在∴ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∴BC，交BE的延长线于F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）填空：

∴当AB=AC时，四边形ADCF是______形；

∴当∴BAC=90°时，四边形ADCF是______形．

【答案】见解析.

【解析】

证明：∴AF∴BC，∴∴AFE=∴EBD．

在∴AEF和∴DEB中，

∴∴AFE=∴DBE，∴FEA=∴BED，AE=DE，

∴∴AEF∴∴DEB（AAS），

∴AF=BD．

∴AF=DC．

又∴AF∴BC，

∴四边形ADCF为平行四边形；

（2）∴当AB=AC时，四边形ADCF是矩形；

∴当∴BAC=90°时，四边形ADCF是菱形．

故答案为矩形，菱形．

3. 【2018·琼中县期中】如图在Rt∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．

【答案】7

．

【解析】解：如图，连接CE交AB于点O，

在Rt∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，

当平行四边形CDEB为菱形时，CE∴BD，OD＝OB，CD＝CB．∴AB?OC＝AC?BC，

∴OC＝12

，

在Rt∴BOC中，由勾股定理得，

OB＝9

，

∴AD＝AB﹣2OB＝7

．

故答案为：7

．

4. 【2019·宿迁市期末】如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．

【答案】3.

【解析】

解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，

则DP=BQ，

∴点Q的运动路线是C→B，

12-4t=12-t，

解得：t=0，此时不符合题意；

∴点Q的运动路线是C→B→C，

4t-12=12-t，

解得：t=4.8；

∴点Q的运动路线是C→B→C→B，

12-（4t-24）=12-t，

解得：t=8；

∴点Q的运动路线是C→B→C→B→C，

4t-36=12-t，

解得：t=9.6；

∴点Q的运动路线是C→B→C→B→C→B，

12-（4t-48）=12-t，

解得：t=16，

此时P点走的路程为：1×16=16 ＞AD，此时不符合题意．

故答案为：3．

5. 【2019·惠州市期末】如图所示，在梯形ABCD中，AD∴BC，∴B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度

运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？

（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？

【答案】见解析.

【解析】解：（1）设经过xs，四边形PQCD为平行四边形

即：PD=CQ

24-x=3x，

解得：x=6．

（2）设经过y s，四边形PQBA为矩形，

即AP=BQ，

y=26-3y，

解得：y=13 2

6. 【2019·武昌期末】如图，在平面直角坐标系中，OA=OB, ∴OAB的面积是2.

（1）求线段OB的中点C的坐标.

（2）连结AC，过点O作OE∴AC于E，交AB于点D，∴直接写出点E的坐标.

∴连结CD，求证：∴ECO=∴DCB.

（3）点P为x轴上一动点，点Q为平面内一点，以点A、C、P、Q为顶点作菱形，直接写出点Q的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∴OA=OB，S∴BAO=2，

∴OA=OB=2，

∴C点是OB中点，

∴C（-1,0）.

（2）∴根据C（-1,0），A(0，2)，求得直线AC的解析式为：y=2x+2，∴OE∴AC，

∴直线OE的解析式为：y=-0.5x，

联立y=-0.5x，y=2x+2，解得：

-，y=

即E点坐标为（

-，

）；

∴过点B作BH∴x轴交OD延长线于H，

则∴HBO=∴AOC=90°，

∴∴CAO=∴BOH，

∴OA=OB，

∴∴OAC∴∴BOH，

∴∴ACO=∴H，OC=BH=BC=1，

∴OA=OB，

∴∴ABO=45°，∴HBD=45°，

∴BD=BD，

∴∴HBD∴∴CBD，

∴∴H=∴DCB，

∴∴ECO=∴DCB.

（3）∴当AC为边时，若四边形ACPQ为菱形，

则AC=CP=QA

当P（-1，0）时，Q（，2）

当P（-0）时，Q2）

当P（1，0）时，Q（0,-2）

∴AC为对角线时，设菱形边长为x，则

x2=（x-1）2+22，解得：x=5

，

即Q（-5

，2）

综上所述，点Q的坐标为：)、()、(0，-2)、(

,2 2 -).

7. 【2018·襄阳市期中】如图,矩形OABC的边OA,OC分别与坐标轴重合,并且点B的坐标为（8，）.将该矩形沿OB折叠,使得点A落在点E处,OE与BC的交点为D.

（1）求证:∴OBD为等腰三角形;

（2）求点E的坐标;

（3）坐标平面内是否存在一点F,使得以点B,E,F,O为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：

(1)解：由翻折得：∴OBE∴∴OBA，

∴∴1=∴2

∴四边形OABC 是矩形 ∴OA ∴BC ∴∴1=∴3 ∴OD =BD

∴∴OBD 为等腰三角形.

（2）过点E 作EF ∴x 轴于F ，交BC 于G ，设CD =x ,则BD =8-x 由(1)知OD =BD =8-x

在Rt ∴OCD 中，由勾股定理得： 2223(8)x x +=- 解得：x =3

即CD =3，OD =BD =5 由(1)知∴OBE ∴∴OBA ∴∴OEB =∴OAB =90° ∴∴OCD =∴BED =90° ∴∴OCD ∴∴BED ∴DE =CD =3，BE =OC =4 ∴11

BDE S DE BE BD EG ?=?=? 即

34522

EG ??=? ∴12

EG =

. ∴在Rt DGE ?

中95

DG =，

可得四边形OFGC是矩形，

∴OF=OG=CD+DG=24

，EF=EG+GF=

∴点E的坐标为(24

，

(2) F点坐标为：

1612

(,)

-，

1612

(,)

-，

6452

(,)

8. 【2019·天津蓟县期中】如图，在∴ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．

（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．

（2）若∴ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：

∴当BE= 时，四边形BECD是矩形，试说明理由；

∴当BE= 时，四边形BECD是菱形．

【答案】见解析.

【解析】

解：（1）证明：∴AB//CD

∴∴CDF=∴BEF,∴DCF=∴EBF

∴F是BC中点

∴BF=CF

∴∴DCF∴∴EBF(AAS)

∴CD=BE

∴DC//BE

∴四边形BECD是平行四边形.

（2）∴BE=2时，四边形BECD是矩形.

∴BE=4时，四边形BECD是菱形.