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齐次线性方程组与非齐次线性方程组
齐次线性方程组与非齐次线性方程组线性方程组是数学中经常遇到的一类问题，其中，常常会涉及到齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
本文将介绍齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、特点以及解的求解方法。
一、齐次线性方程组（Homogeneous Linear Equations）齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = 0A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = 0...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = 0其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数。
齐次线性方程组的特点是零解的存在。
零解是指将所有未知数都取零时，方程组成立。
除了零解外，齐次线性方程组可能还存在非零解。
对于齐次线性方程组的求解可以采用矩阵的方法，即对系数矩阵进行行变换，将其化为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵，然后根据矩阵的特性来求解未知数。
具体的求解方法不再赘述。
二、非齐次线性方程组（Non-Homogeneous Linear Equations）非齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和不为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = b_1A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = b_2...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = b_m其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数，b_i为常数向量。
非齐次线性方程组的特点是除了零解外，可能还存在其他解。
当方程组存在解时，称其为有解方程组。
对于非齐次线性方程组的求解，可以将其转化为齐次线性方程组的形式来求解。
具体方法是将方程组转化为增广矩阵，然后对增广矩阵进行行变换，化简为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵。
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组解法(定稿)
线性方程组解的结构〔解法〕一、次性方程的解法【定】r )=,假设AX=0〔Amn矩〕的一解ξ1,ξ2,L,ξnr,且足：A(1)ξ1,ξ2,L,ξn r性无关;(2)AX=0的)任一解都可由解性表示.称ξ,ξ,L,ξAX=0的基解系.12nr称X k1ξ1k2ξ2Lknrξnr AX=0的通解。
其中k1,k2,⋯,kn-r任意常数).次性方程的关就是求通解，而求通解的关是求基解系.【定理】假设次性方程AX=0有解，(1)假设次性方程AX=0〔A m n矩〕足r(A)n，只有零解；次性方程有非零解的充要条件是r(A)n.〔注：当mn，次性方程有非零解的充要条件是它的系数行列式A0.〕注：1、基解系不唯一，但是它所含解向量的个数相同，且基解系所含解向量的个数等于nr(A).2、非次性方程AX B的同解方程的出方程〔称“出〞〕次性方程AX O所的同解方程。
由上述定理可知，假设m是系数矩的行数〔也即方程的个数〕，n是未知量的个数，有：〔1〕当mn，r(A)m n，此次性方程一定有非零解，即次方程中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；〔2〕当m n，次性方程有非零解的充要条件是它的系数行列式A0；〔3〕当m n且r(A)n，假设系数矩的行列式A0，次性方程只有零解；〔4〕当m n，假设r(A)n，存在次性方程的同解方程；假设r(A)n，次性方程无解。
1、求AX=0〔Amn矩〕通解的三步〔1〕A 行C〔行最形〕;写出同解方程CX=0.(2)求出CX=0的基解系ξ1,ξ2,L,ξnr;(3)写出通解Xk1ξ1k2ξ2L knrξn r其中k1,k2,⋯,kn-r任意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0, 【例题1】解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0, 4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有r(A)4n ，那么方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 40.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数〔即mn 〕〔注意：方程组的个数不等于未知量的个数〔即n 〕，不可以用行列式的方法来判断〕，从而可计算系数矩阵A 的行列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 3270，知方程组仅有零解，即x 1x 2x 3x 40.4 6 1247注：此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题2】解线性方程组x 2 2x 3 2x 4 6x 5 0,5x 14x 23x 33x 4x 50.解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得r(A)2n ，那么方程组有无穷多解，其 同解方程组为x 1x 3 x 4 5x 5,〔其中x 3，x 4，x 5为自由未知量〕x 22x 3 2x 46x 5.令x 3 1，x 4 0，x 5 0，得x 1 1,x 2 2； 令x 3 0，x 4 1，x 5 0，得x 1 1,x 2 2； 令x 30，x 40，x 51，得x 1 5,x 26，于是得到原方程组的一个根底解系为11522611，20，30.010001所以，原方程组的通解为X k 11 k 22 k 33〔k 1，k 2，k 3R 〕.二、非齐次线性方程组的解法求AX =b 的解〔A mn,r(A)r 〕用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关c11c12Lc1rLc1n d1c22Lc2r Lc2n d2OM M M行c rr L c rn d r其中c ii 0(i1,2,L,r),所以知(AMb) d r1M0(1)d r10时,原方程组无解.d r10,rn时,原方程组有唯一解.(3)d r10,r<n时,原方程组有无穷多解.其通解为X 0 k1ξ1k2ξ2Lk nrξnr ，k1,k2 ,L,k nr为任意常数。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。
（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。
（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。
（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。
例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。
如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。
3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。
（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。
（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。
3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。
线性代数非齐次方程求解
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
A
1 2
4 4
4 6
3 4
0 0
2 0
1 0
4 6
0 0
2 0
1 0
4 6
1 2 3 4 0 0 0 3 0 0 0 0
1 0 2 5 1 0 2 0
0 0
1 0
1 2
0
2 1
0 0
1 0
1 2
0
0 1
0 0 0 2021/4/22 0 0 0 0 0
故， 1, 2, …, s 是AX = 0的基础解系.
2021/4/22
15 返回
例5 设n阶矩阵A, B满足AB = O, 证明： R(A)+R(B)≤ n.
证 设 B = (b1, …, bn), 则 AB = A(b1, …, bn) = (A b1 , …, Abn) =O, A bi = 0, i = 1, …, n.
0
2
1 5
0
3 10
1
X k11 k22, k1, k2 R.
2021/4/22
11 返回
例2 解 解
x1 2x2 3x3 0
32xx1165xx22
10 x3 7x3
0 0
x1 2x2 4x3 0
1
A
3 2
1
2 6 5 2
3 1
10 7
0 0
4 0
（证明这样的解 构成基础解系）
7 返回
5. 通解
设1, 2, …, n - r 为AX = 0 的一个基解系，则 AX = 0 的解，
= k11+ k22+ …+ kn-rn-r , k1, k2, …, kn-r R.
第九讲 求解非齐次线性方程组
中基础解系向量个数为
9.1 复习
以上例说明： 令
为主变量，
分别得
的解为
则
为自由变量.
9.2 求特解
这次课，考虑求解一般线性方程组
已知：(1)
有解
(2)设 是
的一特解，则
是方程全部解.
9.2 求特解
例
一个特解
则原方程组解集
从图像上看，
和
是两条平行直线.
9.2 求特解
如何求特解？ 例 解：考虑增广矩阵
§9 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
设是
阶矩阵，考虑
行变换
行变换
(阶梯形)
主变量：主列对应的变量. 主列个数 主元个数 主变量个数
秩 无关行向量个数 无关列向量个数
列对换
9.1 复习
(1) 中主列设为第
列，则 中
列线性无关
(称为 中主列)，且 中其余列均是这些主列的线性组合.
例:
容易看出
则
(2)
则 是可逆的.
有唯一解
9.3 解的一般性讨论
则 有唯一解(特解).
只有零解，此时
例：
的列数. 考虑
无解或
有解
9.3 解的一般性讨论
则 行消去得到 个主元，即
列对换
则
变为
此时自由变量有
故这种情况下
(同解). 个.
有无穷多解.
总有特解
9.3 解的一般性讨论
有解
有解.
满足
若有解，则有无穷解
有无穷解.
9.3 解的一般性讨论
注记：
列满秩.
即 有左逆 行满秩.
即 有右逆
9.3 解的一般性讨论
齐次和非齐次线性方程组的解法整理
践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$，…,爲―，且満足：(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒，益，…，仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。
其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解，而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解，!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解；(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注：当〃匸”时，齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它0所含解向最的个数相同，且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。
由上述定理可知，若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效)，”是未知量的个数，II有：(1) 当加<"时，r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解；(2) 当〃匸"时，齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0；(3) 当m = n且r(A) = “时，若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解；(4) 当m > H时，若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组；若心)>”,则齐次拔性方程组无解。
1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形)；写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲，•••，&・『；(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东，忽・・・，紿为任显热有r （A ） = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m “）（注ih 方程组的个数不等于未知量的个数（即m 知i ）,不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: ：=327工0,知方程组仅有零解，即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注：ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2； 令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解：将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ；2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4（其中X- x 4f x 5为自由未知量）所以，原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解，不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时，原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、％、•••,匕”为任其中：盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系，久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解，◎是其导出组AX=0ffl-个解，»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。
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线性方程组解的结构（解法）一、 次 性方程 的解法【定 】r ( )= r < n , 若 AX = 0 （ Am n 矩 ）的一 解ξ1, ξ2,L , ξn r , 且 足：A(1)ξ1, ξ2 ,L , ξn r 性无关 ;(2) AX = 0 的) 任一解都可由 解 性表示 .称 ξ,ξ,L , ξAX = 0的基 解系 .12n r称 Xk 1 ξ1 k 2 ξ2 L k n r ξn rAX = 0 的通解 。
其中 k 1, k 2, ⋯ , k n-r 任意常数 ).次 性方程 的关 就是求通解，而求通解的关 是求基 解系.【定理】若 次 性方程AX = 0 有解，(1)若 次 性方程AX = 0 （ Am n 矩 ） 足 r ( A) n ， 只有零解；(2) 次 性方程 有非零解的 充要条件 是 r ( A) n .（注： 当 m n ， 次 性方程 有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0 . ）注： 1、基 解系不唯一，但是它 所含解向量的个数相同，且基 解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2 、非 次 性方程AXB 的同解方程 的 出方程 （ 称“ 出 ”） 次 性方程AX O 所 的同解方程 。
由上述定理可知，若 m 是系数矩 的行数（也即方程的个数） ， n 是未知量的个数， 有：（ 1）当 m n ， r ( A) mn ，此 次 性方程 一定有非零解，即 次方程 中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（ 2）当 mn ， 次 性方程 有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0 ；（ 3）当 mn 且 r ( A) n ，若系数矩 的行列式 A 0 ， 次 性方程 只有零解；（ 4）当 mn ，若 r ( A)n ， 存在 次 性方程 的同解方程 ；若 r ( A) n ， 次 性方程 无解。
1、求 AX = 0 （ A m n 矩 ）通解的三步（ 1） A行C （行最 形） ; 写出同解方程CX =0.(2) 求出 CX =0 的基 解系 ξ1, ξ2,L,ξn r ;(3)写出通解X k 1 ξ1 k 2 ξ2 Lk n r ξn r 其中 k 1, k 2, ⋯ , k n-r 任意常数 .2x1 3x2 x3 5x4 0,3x1 x2 2x3 x4 0,【例题 1】解线性方程组x2 3x3 6x4 0,4x1x1 2x2 4x3 7x4 0.解法一：将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵显然有 r ( A) 4 n ，则方程组仅有零解，即x1x2x3x40 .解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：2 3 1 53 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x1 x2 x3 x4 0 .4 61 2 4 7注：此法仅对n 较小时方便x1 x2 x3 x4 x5 0,3x1 2x2 x3 x4 3x5 0, 【例题 2】解线性方程组x2 2 x3 2x4 6x5 0,5x1 4x2 3x3 3x4 x5 0. 解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2 n ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为x1 x3 x4 5x5,（其中 x3， x4， x5为自由未知量）x2 2x3 2 x4 6x5.令 x3 1 ， x4 0 ， x5 0 ，得 x1 1, x2 2 ；令 x3 0 ， x4 1， x5 0 ，得 x1 1, x2 2 ；令 x3 0 ， x4 0 ， x5 1，得 x1 5, x2 6 ，于是得到原方程组的一个基础解系为11 522 61 1 ，20，30.01000 1所以，原方程组的通解为X k1 1k2 2k3 3（ k1， k2， k3R ）.二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（A m n,r ( A)r ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r其中 c ii 0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb) d r 1M(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有唯一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无穷多解.其通解为 X 0 k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r ， k1 , k2 ,L , k n r为任意常数。
其中：ξ1,ξ2,L , ξn r为 AX = b 导出组 AX = 0 的基础解系，0为 AX = b 的特解，【定理 1】如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组 AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组 AX=b 的解。
【定理 2】如果0 是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则0 是非齐次线性方程组的全部解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：0C1 1 C 2 2 C n r n r其中：0 是非齐次线性方程组的一个特解，1 , 2 , , n r是导出组的一个基础解系。
【例题3】判断下列命题是否正确, A为m n矩阵.(1) 若=0 只有零解 , 则有唯一解 . 答 : 错 , 因( )= ,r ( )=n=r(A|b)AX AX=b r A n A(2) 若 AX=0有非零解,则 AX=b有无穷多解. 答 : 错 , 因 r ( A)< n, r ( A)= r ( A | b)(3) 若 AX=b有唯一解,则 AX=0只有零解. 答 : 对 , r ( A)= r ( A | b) = n.(4)若 AX=0有非零解,则 A T X=0也有非零解.答 : 错 , A为m n, r ( A)= m< n, r ( A T)= m, 这时 A T X=0只有零解. 例如 A 为3 4, R( A)=3 <4, r ( A T)=3= m.(5) 若 r ( A)= r =m, 则 AX=b必有解. 答 : 对 , r ( A)= r =m= r( A| b) .(6) 若 r ( A)= r =n, 则 AX=b必有唯一解. 答 : 错 , A为m n, 当m n时 , 可以 r ( A | b) = n+1.⑴唯一解： r ( A) r ( A) n 线性方程组有唯一解x1 x2 2x3 1,【例题 4】解线性方程组2x1 x2 2x3 4,4x1 x2 4x3 2.1 12 1r ( 2) r2 1 1 2 1解： A ( A B) 2 1 2 4 0 3 2 61( 4) r 34 1 4 2 r1 0 3 4 6x1 1,可见 r ( A) r ( A) 3，则方程组有唯一解，所以方程组的解为x2 2,x3 0.⑵无解： r ( A) r ( A) 线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现0 d r 1 0 ，则原方程组无解）2x1 x2 x3 1,【例题5】解线性方程组x1 2x2 x3 2,x1 x2 2x3 4.2 1 1 1r1 r2 1 2 1 2r2 r31 2 1 2解： A ( A B) 1 2 1 2 0 3 3 3 0 3 3 3 ，r1 2 r21 12 4 03 3 6 0 0 0 3r1 ( 1) r3可见 r ( A) 3 r ( A) 2 ，所以原方程组无解.⑶无穷多解： r ( A) r ( A) n 线性方程组有无穷多解x1 x2 x3 2x4 3,【例题6】解线性方程组2x1 x2 3x4 1,2x1 2x3 10 x4 4.1 1 12 3r1 ( 2) r2 1 1 1 2 3解： A ( A B) 2 1 0 3 1 0 1 2 7 52 0 2 10 4 r1 2 r3 0 24 14 10 可见 r ( A) r ( A) 2 4 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为x1 2 x3 5x4 ,（其中 x3, x4为自由未知量）x2 5 2x3 7x4 .2令 x3 0, x4 0, 得原方程组的一个特解5. 0又原方程组的导出组的同解方程组为x1 x3 5x4 ,（其中 x3, x4为自由未知量）x2 2x3 7x4 .令 x3 1 ， x4 0 ，得 x1 1, x2 2 ；令 x3 0 ， x4 1，得 x1 5, x2 7 ，1 527于是得到导出组的一个 基础解系 为1， 2。
10 1所以，原方程组的 通解 为 Xk 1 1 k 2 2 （ k 1 ， k 2 R ） .2x 1 x 2 x 3 x 4 1, 【例题 7】 求线性方程组：x 1 2x 2 x 3 x 4 2, 的全部解 .x 1x 2 2x 3x 43.2 1 1 1 1 r 1 r 2 1 2 1 1 2r 1 ( 2) r 2 解： A (A B)1 2 1 1 2 r 1 ( 1) r 30 3 3 3 31 121 31121可见 r ( A) r ( A)3 4 ，所以方程组有无穷多解，其同解方程组 为x 113x 4 ,2 x3x ,（其中 x 4 为自由未知量）22 4 x 31 1x 4 .21 令 x 4 0 ，可得原方程组的一个特解.1x 13x 4 ,2又原方程组的 导出组 的同解方程组为 x 23x 4 , （其中 x 4 为自由未知量）2 x 31 x 4.2令 x 42 （注： 这里取 -2 为了消去分母取单位向量的倍数） ，得 x 1 3, x 23, x 3 1 ，33于是得到导出组的一个基础解系 为.1 2所以，原方程组的 通解 为X k （ kR ） .x 1 3x 2 3x 32x 4 x 53 【例题 8】求非齐次线性方程组2x 1 6x 2 x 3 3x 4 2的全部解。
x 1 3x 22x 3 x 4 x 513x 19x 24x 3 5x 4 x 55解：13 3 2 1 3 1 3 3 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2 6 1 3 0 2 0 0 5 1 24 0 05 1 2 4 A3 2 1 1 1 0 0 5 1 24 0 0 0 0 0 0 1 3945150 051240 0因为 r ( A)r ( A) 2 5 ，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为x 2 , x 4 , x 5 ，x 1 3x 2 3x 3 2x 4x 5 3原方程组与方程组同解5x 3 x 4 2x 543,0, 4,0,0 T取自由未知量 x 2 , x 4 , x 5 为 0 ，得原方程组的一个 特解 ：5 5再求其导出组的基础解系，其导出组 与方程组 x 1 3x 23x 3 2x 4 x 5 0 同解5x 3x 42x 51 0 0对自由未知量 x 2 , x 4 , x 5 分别取 0 ,1 , 0 ，代入上式得到其导出组的一个基础解系 为：13 71 5510 10 ,12 25, 3 50 1 0 01则原方程组的 全部解 为： XC 1 1C 22C 330三、证明与判断【例题 9】已知1 ,2 ,3 是齐次线性方程组 AX ＝ 0 的一个基础解系，证明 1 , 1 2 , 123 也是齐次线性方程组 AX ＝ 0 的一个基础解系。