对数与对数运算_课件

[解析] 解法 1：lg 45＝12lg45＝12lg920 ＝12(lg9＋lg10－lg2) ＝12(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋12－12lg2 ＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6. 解法 2：lg 45＝12lg45＝12lg(5×9) ＝12(lg5＋2lg3)＝12(1－lg2＋2lg3) ＝12－12lg2＋lg3＝0.826 6.
【归纳提升】 1.我们来研究 loga(MN)＝logaM＋logaN 中 M＝N 时的情况，有 logaM2＝2logaM.
类似地有 logaM3＝logaM＋logaM＋logaM＝3logaM. 那么 logaMn＝logaM＋logaM＋…＋loga＝nlogaM.
n个 对于运算性质(1)、(2)可以理解成真数的乘除表现为对数 的加减，真数的乘方表现为对数与真数指数的积，可以形象 地认为对数运算是一种“降级”运算．
2．对数与指数间的关系：当 a>0，a≠1 时，ax＝N⇔x ＝ logaN .
3．指数的运算法则：a>0，b>0，r，s∈R， ar·as＝ ar＋s ， ar÷as＝ ar－s ， (ar)s＝ ars ， (ab)r＝ arbr .
新课引入 一提到有理数、实数，总能让我们联想到它们的四则运 算，这样的运算在“数”的内容中是举足轻重的．从我们对 数的认识来看，每引入一种新的数，总要研究其内在的运算 性质和规律．对数也是数，并且是与指数幂有着密切关系的 数．我们认识了对数的概念和对数本身固有的性质，那么， 对数是如何引到运算中的呢？其具体的运算是怎样的呢？
3．若 lgx＝a，lgy＝b，则 lg x－lg(1y0)2 的值为(
)
A.12a－2b－2
B.12a－2b＋1
C.12a－2b－1
D.12a－2b＋2
[答案] D
[解析] 原式＝12lgx－2(lgy－lg10)＝12a－2b＋2
4．lg8＋3lg5 的值为( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
[答案] B
2．下列各式错误的是( ) ①log101010＝－2； ②log33 3＝13； ③loga2＋loga12＝0(a>3)； ④log318－log32＝3；
⑤log1014－log1025＝－2；
⑥2log510＋log50.25＝2.
A．④
B．⑤
C．⑥
[答案] A
D．全错
[解析] 显然①②③成立； ④式左边＝log3128＝log39＝2≠3，故④式不成立； ⑤式左边＝log104×125＝log101100＝－2， ⑥式左边＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝ 2，故选 A.
2．对对数运算性质的理解与运用时需注意的两个问题： (1)对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中 所有的对数记号都有意义时，等式才成立．如 log2[(－3)·(－5)] 是存在的，但 log2(－3)与 log2(－5)均不存在，故不能写成 log2[(－3(·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．
[解析] ∵3a＝2，∴a＝log32， ∴log34－log36＝log323＝log32－1＝a－1. [点评] 化为同底与指对互化是对数运算的主要方法．
[例 4] 已知 lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求 log 2xy的值． [错解] ∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)， ∴xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0. ∴(x－y)(x－4y)＝0.解之得 x＝y 或 x＝4y. ∴xy＝1 或yx＝4. ∴log 2xy＝log 21＝0 或 log 2xy＝log 24＝4.
∴(x－y)(x－4y)＝0.解之得 x＝y 或 x＝4y. ∵x>0，y>0，x－2y>0，∴x＝y 应舍去． ∴xy＝4.∴log 2yx＝log 24＝4.
基础巩固训练
1．下列各式中成立的是( ) A．logab2＝2logab B．loga|xy|＝loga|x|＋loga|y| C．loga(xy)＝logax·logay D．logayx＝logax－logay
已知 lgx＝－2.221 9，lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，则 x ＝________.
[答案] 0.006
[解析] lgx＝－2.2219＝－3＋0.7781 ＝－3＋0.3010＋0.4771 ＝lg10－3＋lg2＋lg3＝lg0.006，∴x＝0.006.
名师辩误做答
(2)loga yzx＝loga x－loga(yz)
1
＝logax 2 －(logay＋logaz) ＝12logax－logay－logaz.
2 运用对数的运算性质解题 学法指导：灵活运用对数运算法则进行对数运算，要 注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、 比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．
＝.
方法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18 ＝lg73142× ×718 ＝lg1 ＝0.
(2)原式＝2＋l2gl3g62－＋2l＋g32lg2＝42llgg22＋＋2llgg33＝12. (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝lg25＋1－lg25 ＝1.
[例 1] 用 logax，logay，logaz 表示：
(1)loga(xy2)；(2)loga(x
3 y)；(3)loga
x yz2.
[解析] (1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay； (2)loga(x y)＝logax＋loga y＝logax＋12logay；
[例 2] 计算：(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18； (2)2＋2lglg02.3＋6＋lg32lg2； (3)lg25＋lg2·lg50. [分析] 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质， 将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．
[解析] (1)方法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－ lg(32×2)
(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化 为对数的加、减、乘运算，反之亦然，这种运算的互化可简 化计算，加快计算速度．
通过以上所学，完成下列练习． (1)log62＋log63＝________. (2)log312－log34＝________. (3)2log93＝________.
[答案] D
5．计算： (1)log93＋log927＝________； (2)log212＋log12 2＝________； (3)lg 35＋12lg53＝________.
[答案] 2 －2 0
[解析] (1)原式＝log981＝2. (2)原式＝－1－1＝－2.
(3)原式＝lg(
3 5·
3 (3)loga
x yz2
＝
1 3
loga
x yz2
＝
1 3
(logax
－
loga(yz2))
＝
1 3
(logax
－
logay－2logaz)．
用 logax、logay、logaz 表示下列各式：
(1)loga(x3y5)；
x (2)loga yz .
[解析] (1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5 ＝3logax＋5logay；
12
12
12
(3)原式＝log2[ 8＋4 3 8－4 3]
＝log2 82－4 32＝log2 64－48)＝log24＝2. (4)原式＝lg3＋lgl1g.24－1＝llgg11..22＝1.
探索延拓创新
[例 3] 已知 lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求 lg 45的值． [分析] 关键是将 45 用 2 与 3 的幂积表示；再运用对数 的运算法则求解．
对数与对数运算
对数的运算性质
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
方名法师警辩示误探做究答 基础巩固训练
课前自主预习
温故知新 1．对数 logaN(a>0，且 a≠1)具有下列简单性质： (1) 零和负数 没有对数，即 N > 0； (2)1 的对数为 0 ，即 loga1＝ 0 ； (3)底的对数等于 1 ；即 logaa＝ 1 ； (4)logaab＝ b .
53)＝lg1＝0.
6．用 lgx，lgy，lgz，lg(x＋y)，log(x－y)表示下列各式：
(1)lg(xy2z3)； (3)lg(x2－y2)；
(2)lgyzx2； (4)lg[(x＋y)z]
[解析] (1)lg(xy2z3)＝lgx＋lgy2＋lgz3 ＝lgx＋2lgy＋3lgz. (2)lgyzx2＝lg x－lgy－lgz2＝12lgx－lgy－2lgz. (3)lg(x2－y2)＝lg[(x＋y)(x－y)]＝lg(x＋y)＋lg(x－y)． (4)lg[(x＋y)z]＝lg(x＋y)＋lgz.
(4)log3(95×34)＝________. (5)lg7 1 000＝________.
[答案]
1
1
1
14
3 7
思路方法技巧
1 对数的运算性质
学法指导：对于底数相同的对数式的化简，常用的方 法是：
(1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)． (3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行 处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着 便于真数化简的原则进行．
[错因分析] 在对数式的变形过程中，变形前后字母的取 值范围会发生变化，这时一定要通过限制条件来保证变形的等 价性．本题中，去掉对数符号后，x>0，y>0，x－2y>0，这些 条件在整式中是体现不出来的．故应添上或在最后进行检验．