江苏省南通市如东县2021届高三上学期期中调研考试 数学
江苏省南通市如东县2021届高三期中调研考试数 学注意事项:1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={1,2,m 2},B ={1,m }.若B ⊆A ,则m 等于( )A. 0B. 2C. 0或2D. 1或22. 设x ∈R ,则“log 2(x -2)<1”是“x >2”的( )条件 ( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知cos (75°+α)=14,则cos (30°-2α)等于 ( ) A. 34 B. 54 C. 58 D. 784. 把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量.设e =(A ,B )是直线l 的一个方向向量,那么n =(-B ,A )就是直线l 的一个法向量.借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P 是直线l 外一点,n 是直线l 的一个法向量,在直线l 上任取一点Q ,那么PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 在法向量n 上的投影向量为(|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ)·n|n |(θ为向量n 与PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角),其模就是点P 到直线l 的距离d ,即d =|PQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |.据此,请解决下面的问题:已知点A (-4,0),B (2,-1),C (-1,3),则点A 到直线BC 的距离是 ( )A. 215B . 7 C. 275D . 85. 在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,CD =2,∠BAD =π3,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A. 12 B. 16C. 20D. 246. 已知函数f (x )=mx 2-(3-m )x +1,g (x )=mx ,若对于任意实数x ,f (x )与g (x )的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 ( )A. (1,9)B. (3,+∞)C. (-∞,9)D. (0,9)7. 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是( )A. [0,1]B. [-1,1]C. [-√22,√22] D. [0,√22]8. 若f (x )是定义域为(0,+∞)的单调函数,对任意的x ∈(0,+∞),都有f (f (x )+lo g 13x )=4,且方程|f (x )-3|=a 在区间(0,3]上有两解,则实数a 的取值范围是 ( )A. {a |0<a ≤1}B. {a |a <1}C. {a |0<a <1}D. {a |a ≥1}二、 多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分. 9. 关于等差数列和等比数列,下列四个选项中不正确的是( )A. 若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn +c (a ,b ,c 为常数),则数列{a n }为等差数列 B. 若数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2,则数列{a n }为等差数列C. 若数列{a n }是等差数列,S n 为前n 项和,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等差数列D. 若数列{a n }是等比数列,S n 为前n 项和,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(第10题)10. 函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,0<φ<π)的部分图象如图中实线所示,若圆C 与f (x )的图象交于M ,N 两点,且M 在y 轴上,则下列说法中正确的是 ( )A. 函数f (x )在(-3π2,-π)上单调递增 B. 函数f (x )的图象关于点(-2π3,0)成中心对称 C. 函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后关于直线x =5π6成轴对称 D. 若圆的半径为5π12,则函数f (x )的解析式为f (x )=√3π6sin (2x +π3)(第11题)11.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是等边三角形,底面ABCD是菱形,且∠BAD=60°,M为棱PD的中点,N为菱形ABCD的中心,下列结论中正确的是()A. 直线PB与平面AMC平行B. 直线PB与直线AD垂直C. 线段AM与线段CM长度相等D. PB与AM所成角的余弦值为√2412.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x-1e x,则下列结论中正确的是()A. 当x<0时,f(x)=-e x(x+1)B. 函数f(x)在R上有且仅有三个零点C. 若关于x的方程f(x)=m有解,则实数m的取值范围是{m|f(-2)≤m≤f(2)}D. ∀x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线y=(x+sin x)e x在点(0,0)处的切线方程为.14.若定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0,f'(x)为f(x)的导函数,且2f(x)<xf'(x)<3f(x)对x∈(0,+∞)恒成立,则f(2)f(3)的取值范围是.15.若直线y=kx与双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)相交于不同的两点A,B,F为双曲线C的左焦点,且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为.(第16题)16.如图,在边长为2的菱形ABCD中,若∠BCD=60°,现将△ABD沿对角线BD折起,得到三棱锥P-BCD,则当二面角P-BD-C的大小为2π3时,三棱锥P-BCD的外接球的表面积为.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.,③c=√3b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题17.(本小题满分10分)在①a=2,②B=π4中,并解决该问题.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sin B+sin A)=c(√3sin B-sin C).(1)求角A的大小;(2)已知,,若△ABC存在,求△ABC的面积;若△ABC不存在,请说明理由.18.(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),-2S2,S3,4S4成等差数列,且.a2+2a3+a4=116(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=-(n+2)log2|a n|,求数列{1}的前n项和T n.b n19.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PD=PB,H为PC上的点,过AH的平面分别交PB,PD于点M,N,且BD∥平面AMHN.(1)求证:MN⊥PC;(2) 当H 为PC 的中点,PA =PC =√3AB ,PA 与平面ABCD 所成的角为60°,求二面角P -AM -N 的余弦值.(第19题)20. (本小题满分12分)如图,“伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,又称“千禧之轮”,该摩天轮的半径为60 m ,游客乘坐舱P 升到半空可鸟瞰伦敦建筑BC ,伦敦眼与建筑之间的距离AB 为120 m ,游客在乘坐舱P 看建筑BC 时的视角为θ. (1) 当乘客在伦敦眼的最高点D 时视角θ=30°,求建筑BC 的高度;(2) 当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45°时,拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片,求建筑BC 的最低高度.(说明:为了便于计算,数据与实际距离有误差,伦敦眼的实际高度为135 m )(第20题)21. (本小题满分12分)如图,已知抛物线x 2=4y ,F 为其焦点,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),F 1,F 2为其左、右焦点,离心率e =12,过F 作x 轴的平行线交椭圆于P ,Q 两点,|PQ |=4√63. (1) 求椭圆的标准方程;(2) 过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于B ,C 两点,设l 与x 轴的交点为D ,BC 的中点为E ,BC 的中垂线交x 轴于点K ,△KED ,△FOD 的面积分别记为S 1,S 2,若S 1S 2=1849,且点A 在第一象限,求点A的坐标.(第21题)22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2x ln x,g(x)=x+ax-(ln x)2,其中a∈R,x0是g(x)的一个极值点,且g(x0)=2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)求实数x0和a的值;(3)求证:∑n√4k-1>12ln(2n+1)(n∈N*).。
2021届江苏省南通市如皋县高三上学期数学期中调研考试题
2021届江苏省南通市如皋县高三上学期数学期中调研考试题注意事项:1.本试卷共150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a为正实数,复数1+a i(i为虚数单位)的模为2,则a的值为()A. B.1 C.2 D.32.已知集合M={1,2},集合N满足M∪N={0,1,2},则集合N的个数为()A.3B.4C.6D.73.已知a=,b=log25,c=log37,则a,b,c的大小顺序是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a4.5人排成一排照相,甲排在乙左边(可以相邻,也可以不相邻)的排法总数为()A.30B.60C.120D.2405.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,双曲线x2-=1的右焦点为F,则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为()A.x2+y2+4x+1=0B.x2+y2+4x+3=0C.x2+y2-4x-1=0D.x2+y2-4x+1=06.在正三棱锥S-ABC中,若SA=2,AB=2,则该棱锥外接球的表面积为()A.4πB.4πC.12πD.6π(第7题)7.将函数f(x)=sin+1的图象向右平移个单位长度后,再进行周期变换可以得到如图所示的图象()A. B.C. D.8.函数y=tan2x-2tan x的最大值为()A.-3B.3C.0D.-3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别为B1B,B1C1的中点,则()A.直线A1E∥平面ACD1B.直线B1D⊥平面ACD1C.平面A1EF∥平面ACD1D.平面A1B1CD⊥平面ACD110.下列关于函数的描述正确的是()A.函数y=f(x)是奇函数的一个必要不充分条件是f(0)=0B.定义:如果一个函数既是奇函数又是偶函数,这样的函数称为“两面派”函数,那么“两面派”函数一定有无数个C.若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数,则其导函数必为偶函数D.若一个函数的导函数是奇函数,则该函数必为偶函数11.已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=P n,X的数学期望和方差分别为E(X),V(X),则()A.P 4=2P2B.P(3≤X≤5)=C.E(X)=4D.V(X)=12.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,P为直线x=-2上任意一点,过P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,斜率分别为k1,k2,则()A.k 1k2=-B.|k1-k2|=2C.AB过定点(2,0)D.AF·BF的最小值为8三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知正三角形ABC的边长为3,=,=2,则·=.14.设(1-2x)5(1+x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,则a0+a3=.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),值域为[0,+∞),则ac的最大值为;若实数λ满足1-b=λ,则λ的取值范围为.16.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一蔀,七十六岁,二十蔀为一遂,一千五百二十岁,…,生数皆终,万物复始,天以更元作纪历”.如皋是著名的长寿之乡,该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人,他们的年龄(均为正整数)之和为一遂又三蔀,其中有两位百岁老人(均不到110岁),他们的年龄相差一岁,其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁,则20位老人中年龄最小的岁数为.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,c=3,△ABC 的面积为.(1)求BC边上的高;(2)求sin(A-C)的值.18.(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=(a n+1-1).(1)求证:数列{a n}是等比数列,并求通项a n;(2)若等差数列{b n}的各项均为正数,求数列{a n b n}的前n项和T n.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC是边长为2的正三角形,侧面ACC 1A1是菱形,且平面ACC1A1⊥平面ABC,E,F分别是棱A1C1,BC的中点,=2.(1)求证:EF∥平面ABB1A1;(2)若①三棱锥C1-ABC的体积为1;②C1C与底面所成的角为60°;③异面直线BB1与AE所成的角为30°.请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角(锐角)的余弦值.(第19题)20.(本小题满分12分)利用简单随机抽样的方法,从某校高一年级男生体检表格中抽取20名同学的胸围x(单位:cm)与肺活量y(单位:ml)的样本,计算平均值=80.5,=4030,并求出线性回归方程为=32.26x+a.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700(1)求a的值;(2)求样本y与x的相关系数r,并根据相关性检验的临界值表,判断有无99%的把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001);(3)将肺活量不低于4500ml视为大肺活量,用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率,求从本校高一年级任意抽取4名男同学,恰有两名是大肺活量的概率.附:相关性检验的临界值表n-2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721.(本小题满分12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点(1,e)和都在椭圆E上,其中e为椭圆E 的离心率.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点Q(-2,2)的直线l与椭圆E分别交于点M,N,直线OQ与BM交于点T,试问:直线AT与BN是否一定平行?请说明理由.(第21题)22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-1)-(x+2)sin x.(1)当x∈时,求y=f(x)零点的个数;(2)当x∈[0,2π]时,求y=f(x)极值点的个数.。
江苏省南通市2021届高三数学上学期初调研试题含解析
江苏省南通市2021届高三数学上学期期初调研试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A ．18 B ．14 C ．38 D ．127．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()fx x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x xg x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12 答案：C 解析：P ＝38，故选C ． 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc a a b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ． 8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞) C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2a b a ka b kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2xx kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)xg x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ． 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵b cosC ＋c cosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴cb ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1，故B正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=． 14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 1c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+∴S △ABC12=ab sinC 12=（1=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221xy -=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k km∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340kmk m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值.20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；②时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xg h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24y x=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB ，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143x y+=于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y、()22,B x y，则以A为切点的切线方程为()1112y y x xy-=-，即()112y y x x=+，同理以B为切点的切线方程为()222y y x x=+，两条切线均过点()1,P t-，()()11222121ty xty x⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x tyx ty--=⎧⎨--=⎩，所以，点A、B的坐标满足直线220x ty--=的方程，所以，直线AB的方程为220x ty--=，在直线AB的方程中，令0y=，可得1x=，所以，直线AB过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PAB PCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。
第一学期高三数学期中考试卷试题
如东县2021-2021学年度第一学期高三数学期中考试卷〔2021.11〕第一卷(选择题 一共50分)一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1、不等式的解集是1x 5+≥-x A ．{x|-4≤x ≤1} B.{x|x ≤-1} C.{x|x ≤1} D.{x|-1≤x ≤1} 2、与向量a=〔2127，〕，b=〔2721-，〕的夹角相等，且模为1的向量是 A ．〔5354-，〕 B.(31322-，)或者(31322，-) C. (31322-，) D.〔5354-，〕或者(5354，-) 3.以知数列{a n },那么“{a n }为等差数列〞是“对任意的 n ∈N*，点P n 〔n ，a n 〕都在直线12+=x y 上〞的4.假设x ∈[-02，π]，那么函数x x x x f cos 3)6cos()6cos()(+--+=ππ的最小值是A ．1 B.-1 C.-3,132)(-+=x x x f 假设函数y=g(x)的图像与)1(1+=-x f y 的图像关于直线y=x 对称,那么g(3)=A.3B.27 C.291C1D1中,∠BAD=60º,那么对角线A1C 与侧面DCC1D1所成的正弦值为A 21B.22C.43D.83与1+=kx y 曲线），（相切点于点313A b ax x y ++=,那么b 的值是A.3B.-3 C8.假设x>0,y>0且+x y x a y +≤恒成立,那么a 的最小值是2 B. 29设函数b)](a )(·b a b a [21,)0(1)0(1)(≠---+⎩⎨⎧<->=b a f x x x f ）（）（则的值是A.aB.bC.{}b a ,m inD.{}b a ,m axxx xx f cos sin 12sin )(++=的值域是A.]12,1(]1,2[-⋃--B.]12,1()1,12[--⋃---C.[]12122---，D.[-]122212--⋃--，（），第二卷(非选择题 一共100分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分．把答案填写上在答题纸上相应的位置．11．在等差数列{a n }中，假设a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，那么2a 10-a 12= ▲ ． 12．A 1,A 2,A 3,A 4,四位同学去购置编号分别为1,2,3…10这10种不同的书．为了节约经费和相 互交流的方便，他们约定每人购置其中5种不同的书各l 本，任意两位同学不能买全这10种书，任意三位同学要买全这10种书．当A 1买的书的号码为1,2,3,4,5,A 2买的书的号码为5,6,7,8,9, A 3买的书的号码为1,2,3,9,10时，为了满足上述要求，A 4应买的书的编号分别是 ▲ ．13.假设把圆04222=-++y x y x 按向量a=(1，2)平移后，恰好与直线x 一2y+λ=0相切，那么实数λ的值是 ▲14.假如)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 是奇函数，那么tan ϕ = ▲ 15.设点(m,n)在函数)1,0()(≠>=a a a x f x的图象上，以下各点：A(n,m)，B(n,-m)，C(m,n) D(-m,n)中，一定在函数x x g a log )(-=图象上的是 ▲16．函数{})(*)(,)(),(m in )(*)()(,2)(2x g x f x g x f x g x f x x g x x f 那么若==-= 的最大值是 ▲ ．三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤17(本小题满分是12分)向量a=(cos θ，sin θ )，b=(3，1) (1)当a ⊥b 时，求tan2θ的值； (2)求|a+b |的最大值．8．(本小题满分是14分)解关于x 的不等式:)0(212<+>-a a x a19(本小题满分是14分)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天 早晚八时各服用一片，现知该药片每片含药量为220毫克，假设人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％，在体内的残留量超过386毫克(含386毫克)，就将产生副作用 (1)某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在人体内还残留多 少?(2)长期服用这种药的人会不会产生副作用?20．(本小题满分是15分)是否存在这样的k 值，使函数21232)(2342++--=x kx x x k x f 在(1,2)上递减，在 (2,+∞)上递增?假如存在这样的k 值，试求出满足条件的k 的值并求函数f(x)在区间[2，2]上的最大值．21．(本小题满分是15分)设函数)0,,(12)(22≠∈+++=a R b a x bax x x f ,试证明：(1)存在两个实数1m 、m 2),(21m m <满足等式：)2,1()1)(1(])1[()(22=+-+-=-i x m a x m m x f i i i ；(2)211m m <<(3)21)(m x f m ≤≤[参考答案]2021．11一．选择题1、C2、D3、A4、A5、B6、C7、A8、B9、C 10、D 二、填空题11、24 12、4,6,7,8,10 13、3或者13 14、-2 15、B 〔n,-m 〕 16、1 三、解答题17．解：〔1〕当a ⊥b 时，3tan ,0sin cos 3-=∴=+=⋅θθθb a ， ……3分 3)3(1)3(2tan 1tan 22tan 22=---⨯=-=θθθ ……6分因为|a+b|=4)sin cos 3(21222+++=+⋅+θθb b a a =345)3sin(45=+≤++πθ (9)分当且仅当1)3sin(=+πθ时取等号，故〔|a+b|〕max =3 (12)分18．解ax a 21|1|,02+<-∴<原不等式可化为 ……2分 ①当02,021<≤-≤+a a 即时，不等式的解集为φ； ……6分 ②当a 21+>0,即a<-2时不等式可化为a x 211a 212+<-<--ax a 2222=<<-∴, ……9分又ax a a x a a a 222222,022,02--<<+-+<<-∴>+>-或 ……12分 综上，当02<≤-a 时，不等式的解集为φ；当a<2时不等式的解集为{x}ax a a x a 222222--<<+-+<<-或 ……14分19．解〔1〕设人第n 次服药后药在人体内的残留量为n a 毫克， ……2分 〕…5分∴到第二天上午八时服完药时，这种药在人体内还残留343.2毫克 ……6分〔2〕由n a =220+)2)(31100(4.031100),2(4.011≥-=-≥--n a a n a n n n 可得，……8分 所以{}31100-n a 是一个等比例数列， (10)分n a ,04.034404.03110031100111<⨯-=⨯-=---n n a ）（ ,38631100<<∴n a (13)分∴长期服用这种药的人不会产生副作用。
2021届江苏省南通市普通高中高三上学期期中学情检测数学试题及答案
绝密★启用前江苏省南通市普通高中2021届高三年级上学期期中学情调研检测数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。
本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。
在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =（ ）A. B. 2 C. 0或2 D. 1或22．设x R ∈，则2"log (2)1"x -<是"2"x >的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3．已知41)75cos(=+α ，则=-)230cos(α （ ）．A ．43B ．45C ．58D ．784．把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量。
设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量。
借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离。
已知P 是直线l 外一点,n 是直线l 的一个法向量,在直线l 上任取一点Q ,那么PQ 在法向量n 上的投影向量为cos n PQ n θ⋅（）(θ为向量n 与PQ 的夹角）,其模就是点P 到直线l 的距离d ,即PQ nd n ⋅=。
2020-2021学年江苏省南通中学高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= ．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么= （用和表示）7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= {3} ．【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B⊆A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，则∁A B={3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．3．（5分）函数y=的定义域为（0，1] ．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log0.2x≥0，解得：0＜x≤1，故函数的定义域是（0，1]，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，【解答】解：由于a＜0，角α的终边经过点P（a，2a），则x=a，y=2a，r=|OP|=﹣a，∴cosα==．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是 2 ．【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=（用和表示）【分析】根据条件即可得出，这样代入即可用表示出．【解答】解：根据条件：==．故答案为：．【点评】考查三等分点的概念，向量数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量加法的几何意义．7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[﹣2，5] ．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+4，得p：a﹣4＜x＜a+4；由（x﹣1）（2﹣x）＞0，解得：1＜x＜2，故q：1＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，即（1，2）⊆（a﹣4，a+4），故，解得：a∈[﹣2，5]，故答案为：[﹣2，5]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为﹣2 ．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣a的图象上又在直线x﹣y+1=0上，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在直线x﹣y+1=0上∴n=2，而切点（1，2）又在曲线y=lnx﹣a上∴a=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．【分析】有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．【解答】解：因为S△ABC===，∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是（1，3] ．【分析】根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，满足f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣（﹣x2+2x）=﹣x2﹣2x，解得m=2．∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是x=﹣．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z ）时，，因此，当k=﹣1 时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为32【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为[1，）．【分析】由2S n=（n+1）a n，n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，则2a n=2（S n﹣S n﹣1），整理得：=，则=═…===1，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．【解答】解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，∴2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得：=，∴=═…===1，∴a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：[1，）．【点评】本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3] ．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．【分析】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得，即有或（舍去），故数列{a n}的通项公式为a n=7+2（n﹣1）即a n=2n+5；（2）证明：由（1）a n=2n+5，得，则=．故原不等式成立．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1．…（5分）又∵B∈（0，π），∴．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…（7分）又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴，…（9分）又∵，…（10分）∴．…（11分）∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…（5分）【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．两式相减可得可得b n+1=，即b n=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得b n+1a1=﹣=，∴b n+1=，∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查a n=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．【分析】由逆矩阵的公式A﹣1=×A*，求得其伴随矩阵和|A|，即可求得 A﹣1，由AB=×=，列二元一次方程组，求得a和b的值，即可求得矩阵B．【解答】解：|A|=ad﹣bc=﹣7+6=﹣1，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=，设B=AB=×=，，解得：，∴B=．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，矩阵与矩阵的乘法的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A﹣1=×A*，求得A﹣1，由特征多项式f（λ）=0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量．【解答】解：丨A丨==1﹣4=﹣3，A*=，A的逆矩阵为A﹣1=×A*=，则特征多项式为f（λ）=（λ+）2﹣=λ2+λ﹣，令f（λ）=0，解得：λ1=﹣1，λ2=，设特征向量为，则=﹣，可知特征值λ1=﹣1，对应的一个特征向量为，同理可得特征值λ2=，对应的一个特征向量为．…（10分）【点评】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．【分析】由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化成化为直角坐标方程为x2+y2=2x，转化成标准方程，即可求得圆心与半径，将直线l的方程转化成标准方程：x+y﹣2m，由题意可知：=1，求得m=﹣或m=．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=2x．即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆．…3分直线l的极坐标方程是ρ in（θ+）=m，即ρcosθ+ρsinθ=m，化为直角坐标方程为x+y﹣2m=0．…6分由直线l与曲线C有且只一个公共点，∴=1，解得m=﹣或m=．∴所求实数m的值为﹣或．…10分．【点评】本题考圆的参数方程转化成标准方程，直线的极坐标转化成直角坐标，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【分析】根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：将直线l的参数方程（t为参数，t∈R），化为普通方程为x﹣y﹣6=0．因为点P在曲线C：（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d==，其中tanφ=，φ是锐角．所以当cos（θ+φ）=1时，d min=．所以点P到直线l的距离的最小值为．…10分．【点评】本题考查的知识点是直线与椭圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，三角函数的最值，难度中档．。
2021届江苏南通中学高三上期中数学(理)试卷
2021年江苏南通中学高三上期中数学（理）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B = ．2．命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是 ． 3．函数0.2log y x =的定义域为 ．4．若角α的终边经过点P （a ，2a ）（a<0），则cos α= ． 5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ． 6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF ＝ ．（用AB 和AD 表示）7．已知命题:4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．8．已知直线10x y -+=与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为___________． 9．在ABC ∆中，已知1,3BC B π==，ABC ∆3AC 的长为__________________. 10．函数y ＝2sin (2)6x π-与y 轴最近的对称轴方程是 ．11．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ．12．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ．13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．二、解答题14．已知函数f (x )＝222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 15．已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．设公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为55，且249a a -成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(6)(4)n n n b a a =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <.17．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+．ABCO（Ⅰ）求ABC ∠； （Ⅱ）若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．18．如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Scm ．设AOC xrad ∠=．（1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值． 19．已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．20．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N*（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +（0>C 且1≠C ），是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列．D21．矩阵1237A -⎛⎫=⎪-⎝⎭的逆矩阵为1A -，矩阵B 满足31AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A -，B . 22．设矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵的特征值及对应的特征向量． 23．已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin （θ＋6π）＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R），直线l：33x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，t∈R），求曲线C 上的动点P 到直线l 的距离的最小值．参考答案1．{}3【解析】 试题分析：2,242{3}U AB B B A a a aC B =⇒⊂⇒=+=⇒=⇒=考点：集合包含关系，集合运算 【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．2,10x R x x ∀∈-+> 【解析】试题分析：命题“2,10x R x x ∃∈-+≤”的否定是2,10x R x x ∀∈-+>考点：命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 3．(0,1] 【解析】试题分析：由题意得0.2log 001x x ≥⇒<≤，定义域为(0,1]考点：函数定义域4．【解析】试题分析：cos5α==-考点：三角函数定义5．2【解析】试题分析：3620a a+=3631122aqa⇒=-⇒=-，因此313366611111122111141qaS qqqS qaq-⋅+--====---⋅-考点：等比数列公比与求和6．1223AB AD-【解析】试题分析：1123ED DA AB BF CD DA AB BC=+++=+++ 11122323AB AD AB AD AB AD=--++=-考点：向量表示7．[－2，5]【解析】试题分析：:44p a x a-<<+，:12q x<<，因为p是q的必要不充分条件，所以q是p 的真子集，即41,2425a a a-≤≤+⇒-≤≤考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8．2 【详解】试题分析：设切点00(,)P x y ，则,001|1x x y x a===+'，0001,0,1,2x a y x a ∴+=∴==-∴=．考点：导数的几何意义． 9【解析】1,,3BC B ABC π==∆11sin 22BC AB B AB =⋅⋅=⨯，4AB ∴=，由余弦定理可得AC ===，10．6x π=-【解析】试题分析：由题意得2()()6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈⇒=+∈，因此与y 轴最近的对称轴方程是6x π=-考点：三角函数对称轴 11．32 【解析】试题分析：设AB 中点为M,则22()()()2AC BC AO OC BO OC AO BO OC OC MO OC OC ⋅=+⋅+=+⋅+=⋅+22222432OC OC OC OC =⋅+==⨯=考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12．3(1,)2【解析】试题分析：2(1)n n S n a =+，11112(2)2(1),(1)(2)n n n n n n n S na n a n a na n a na n ----=≥∴=+--=≥，因此112121n n n a a n n n -=⋅⋅⋅=--，由222n n a ta t -≤得2222n tn t t n t -≤⇒-≤≤，因为关于正整数n 的解集中的整数解有两个，因此322312t t ≤<⇒≤<考点：叠乘法求数列通项 13．(]2,3 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．（1）2；（2）(1，3]. 【分析】（1）根据函数是奇函数求得0x <的解析式，比照系数，即可求得参数m 的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数a 的范围. 【详解】（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.（2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知2121a a ->-⎧⎨-⎩所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题. 15．（1） 2πω=（2）max 1()2f x =【解析】试题分析：（1） 先根据向量数量积、二倍角余弦公式得2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+ ，再根据余弦函数周期性质得24T πω== ，解得2πω=（2）根据图像过点1(1,)2M 解得1cos(2)22πϕ-+=，1sin 22ϕ=，再根据04πϕ<<，解得26πϕ=，从而由11x -≤≤得23263x ππππ-≤+≤，再根据余弦函数性质得026x ππ+=时()f x 取最大值；2263x πππ+=时()f x 取最小值试题解析：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+由题意得：周期24T πω==，故2πω=（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． 考点：三角函数解析式与性质【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式（1）max min maxmin,22y y y y A B -+==. （2）由函数的周期T 求2,.T πωω=（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. 16．(1)25n a n =+;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)由题意求得数列的公差为2，则数列的通项公式为25n a n =+; (2)结合(1)的结论可得：11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，裂项求和可得：11112212n S n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭. 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()121254555239a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪=++-⎩，解得172a d =⎧⎨=⎩，或111a d =⎧⎨=⎩（舍去），故数列{}n a 的通项公式为()71225n a n n =+-⨯=+. （2）由25n a n =+， 得()()()()1111164212122121n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，所以11111111111233521212212n S n nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 17．（1） 4B π=（2） 54【解析】试题分析：（1） 由正弦定理将边化为角： sin sin (sin cos )A B C C =+ ，再根据三角形内角关系及诱导公式得sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+ ，结合两角和正弦公式展开化简得cos sin sin sin B C B C = ，最后根据三角形内角范围得tan 1B = ，4B π=（2） 四边形ABDC 面积由两个三角形面积和组成，其中由于ABC ∆为等腰直角三角形，所以2111224ABC SBC BC BC ∆=⨯⨯⨯=，利用余弦定理可得222=12212cos BC D+-⨯⨯⨯54cos D =-，又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯⨯=，因此55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=-四边形，最后根据正弦函数性质可得最值试题解析：（Ⅰ）在ABC ∆中，∵(sin cos )a b C C =+， ∴sin sin (sin cos )A B C C =+， ∴sin()sin (sin cos )B C B C C π--=+， ∴sin(+)sin (sin cos )B C B C C =+，∴sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C B C +=+，∴cos sin sin sin B C B C =， 又∵(0,)C ∈π，故sin 0C ≠， ∴cos sin B B =，即tan 1B =． 又(0,)B ∈π，∴4B π=．（Ⅱ）在BCD ∆中，2DB =，1DC =， 222=12212cos BC D +-⨯⨯⨯54cos D =-．又=2A π，由（Ⅰ）可知4ABC π∠=，∴ABC ∆为等腰直角三角形，21115cos 2244ABC S BC BC BC D∆=⨯⨯⨯==-，又1sin sin 2BDC S BD DC D D∆=⨯⨯⨯=，∴55cos sin )444ABDC S D D D π=-+=+-四边形．∴当=4D 3π时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54．考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．（1）()8001600sin 0S x x x π=+<<；（2）23π. 【分析】（1）求出扇形区域AOC 、三角形区域COD 的面积，即可求出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论． 【详解】（1）由题意，()()1140404080sin 8001600sin 022S x x x x x ππ=⋅⋅+⋅⋅⋅-=+<<； （2）()8001600cos 80012cos S x x '=+=+，0x <<π，令()0S x '=，得23x π=. 当203x π≤<时，0S '>；当23x ππ<<时，0S '<.所以，当23x π=时，S 取得最大值)216003m π+. 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题． 19．（1）5440x y --=（2） 详见解析（3）[1,)+∞ 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数：2222(2)()(0)a ax a f x a a x x-+-=->'=，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：当02a <≤时，()0f x '≥，因此()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增；当2a >时，导函数有两个零点12x x ==，因此()f x 先增再减再增（3）本题不宜变量分离，故直接研究函数2()222ln a g x ax a x x-=++--，先求导数22222222(1)[(2)]()a ax x a x ax a g x a x x x x ---'+-+-=--==，导函数有两个零点1221,a x x a-==-，再根据两个零点大小分类讨论：1a =时，()0g x '≥，min ()=g x (1)0g =；1a <时，min ()=g x 2()a g a--(1)0g <=；1a >时，min ()=g x (1)0g = 试题解析：：（1）当1a =时，1()f x x x =-，21()1f x x=+'3(2),2f =5(2)4f '=所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为35(2)24y x -=-即：5440x y --=（Ⅱ）函数的定义域为：{|0}x x ≠2222(2)()(0)a ax a f x a a x x -+-=->'=当02a <≤时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增当2a >时，令()0f x '=，即：220ax a +-=，12x x ==()0,f x '>21;x x x x ><或()0,f x '<1200x x x x <<<<或，所以，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞和，单调减区间为(和． （Ⅲ）因为()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，有2222ln 0(0)a ax a x a x-++--≥> 在[1,)+∞上恒成立． 所以，令2()222ln a g x ax a x x-=++--， 则22222222(1)[(2)]()a ax x a x ax a g x a x x x x---'+-+-=--==． 令()0,g x '=则1221,a x x a-==- 若21a a--=，即1a =时，()0g x '≥，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0g = 所以，()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立；若21a a -->，即1a <时，当2(0,1),(,)a x a-∈-+∞时，()0,()g x g x >'单调递增； 当2(1,)a x a-∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为2()a g a--， 因为(1)0,=g 所以2()0a g a--<不合题意． 21,a a --<即1a >时，当2(0,),(1,)a x a-∈-+∞时，()0,()g x g x >'单调递增，当2(,1)a x a-∈-时，()0,()g x g x <'单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g又因为(1)0g =，所以()2ln f x x ≥恒成立 综上知，a 的取值范围是[1,)+∞考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f （x ）≥a 恒成立，只需f （x ）min≥a 即可；f （x ）≤a 恒成立，只需f （x ）max≤a 即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解. 20．（1） nn a -=22 （2） 2=C （3）详见解析【解析】试题分析：（1） 由和项求通项，注意分类求解: 由2≥n 时，411=+--n n a S ，相减得，12-=n n a a ，再根据等比数列定义得nn a -=22 （2）先化简nd =nC n a c log +2log )2(32C n n -++= ，由于常数列与n 无关，所以2log 2=-C ，解得2=C （3）当2≥n 时，2121111332211+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n两边同时乘以21得，41212123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++---n a b a b a b a b nn n n n ，两式相减得，431--=n a b n ，838--=n b n ，最后根据等差数列定义证明试题解析：（1）114a a -=，所以21=a 由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S两式相减得，12-=n n a a ，211=-n n a a数列}{n a 是以2为首项，公比为21的等比数列，所以nn a -=22（*N n ∈）（2）由于数列}{n d 是常数列n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++==2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数，只有02log 2=-C ；解得2=C ，此时7=n d（3）2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n ……① 1=n ，1232111-=-=a b ，其中21=a ，所以211-=b 当2≥n 时，2121111332211+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ②②式两边同时乘以21得，41212123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++---n a b a b a b a b nn n n n ③ ①式减去③得，431--=n a b n ，所以838--=n b n且811-=-+n n b b 所以数列}{n b 是以21-为首项，公差为81-的等差数列．考点：等差与等比数列定义，由和项求通项 【方法点睛】证明{a n }为等差数列的方法：（1）用定义证明：a n －a n －1＝d （d 为常数，n≥2）⇔{a n }为等差数列； （2）用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； （3）通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； （4）前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn21．7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 198⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵公式d b AA c a AA -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦可得1A -，再根据矩阵运算得B ＝A －1AB试题解析：因为A ＝1237-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以|A|＝1237--＝－7＋6＝-1． 由逆矩阵公式得，A －1＝7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …5分因为AB ＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B ＝A －1AB ＝7231-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 31⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝198⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：矩阵逆矩阵22．特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，特征值213λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先根据逆矩阵公式得12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，再根据特征多项式得123302133λλ+-=-+，解得1211,3λλ=-=，最后根据对应向量关系求对应特征向量试题解析：矩阵A 的逆矩阵为12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则特征多项式为221421()()3933f λλλλ=+-=+-令()0f λ=，解得1211,3λλ=-=，设特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则12332133x x y y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，易算得特征值11λ=-对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，同理可得特征值213λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：特征值及特征向量23．-12或32【解析】试题分析：根据222cos sin x y x y ρθρθρ==+=，，将极坐标方程化为直角坐标方程（x －1）2＋y2＝1及20x m +-=，再根据直线与圆位置关系列|12|12m -=，解得实数m 的值试题解析：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ， 化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x ．即（x －1）2＋y2＝1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆．直线l 的极坐标方程是 ρ sin （θ＋6π）＝m ，即12ρcosθ＋ρsinθ＝m ，化为直角坐标方程为20x m -=． 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|12|2m -＝1，解得m ＝－12或m ＝32． 所以，所求实数m 的值为－12或32．考点：极坐标方程化为直角坐标方程24．2【解析】试题分析：利用代入消元法将参数方程化为普通方程x －y －6＝0．再根据点到直线距离公试题解析：将直线l的参数方程332xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩化为普通方程为x－y－6＝0．因为点P在曲线C：4cos3sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d，其中tanφ＝34，φ是锐角．所以当cos（θ＋φ）＝1时，dmin＝．所以点P到直线l的距离的最小值为2．考点：参数方程化为普通方程，点到直线距离公式。
江苏省南通市如东县2021届高三上学期期中调研考试 数学答案
x04 4
12
3x04 48x02 144
0，
因为 0 x02 8 4 7 ，故此解符合题意．
………………12 分
22. （1）函数 f x 的定义域为 0, ，且 f x 2x 2 ln x 2 ，令 h x f x ，
则有 h x 2 x 1 ，由 h x 0 可得 x 1，如下表：
h 2
,
h 2
，
所以点
P
在圆
N
:
x
120
h 2 2
y
h 2 2
h2 2
,x
120
上，
而点 P 又在圆 M : x2 ( y 60)2 3600 上，
所以 60 2 h 2
120
h 2
2
h 2
60
2
60
2h， 2
………………9 分
解得 240(3 2) h 240(3 2) .
因为 PC 平面 PAC ，所以 BD PC ．
因为 BD / / 平面 AMHN ， BD 平面 PBD ，
且平面 AMHN 平面 PBD MN ，
所以 BD / /MN ，所以 MN PC ．
………………4 分
（2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，因为 PA PC ，且 O 为 AC
2021 届高三期中学情检测
数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1~8CADACDBA 9．ABD 10．BD 11．ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
12．BD
13． y 2x
14．
8 27
，4 9
江苏省南通市2021届高三上学期期中考试数学试题
2021届高三年级期中学情检测数 学 试 卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =（ ）A.B. 2C. 0或2D. 1或22．设x R ∈，则2"log (2)1"x -<是"2"x >的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要 3．已知41)75cos(=+α ，则=-)230cos(α （ ）． A ．43B ．45 C ．58D ．784．把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量。
设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量。
借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离。
已知P 是直线l 外一点，n 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ 在法向量n 上的投影向量为cos n PQ nθ⋅（）(θ为向量n 与PQ 的夹角），其模就是点P 到直线l 的距离d ，即PQ n d n ⋅=。
据此，请解决下面的问题：已知点A (-4,0)，B (2,-1)，C (-1,3)，则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．215 B ．7 C ．275D ．8 5．梯形ABCD 中，AB //CD ，CD =2，3BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AC AD ⋅=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．246．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A.(1,9)B.(3,+)∞C.(,9)-∞D.(0,9)7．设点)1,(0x M ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22,⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．f (x )是定义域为()0,+∞的单调函数，对任意的()0,x ∈+∞，都有4)log )((31=+x x f f ，且方程a x f =-3)(在区间(]30，上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <≤B ．1a <C ．10<<aD ．1a ≥二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市如皋县2021届高三数学上学期期中调研考试试题及答案
江苏省南通市如皋县2021届高三数学上学期期中调研考试试题注意事项:1.本试卷共150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a 为正实数,复数1+a i(i 为虚数单位)的模为2,则a 的值为()A. B.1 C.2 D.32.已知集合M ={1,2},集合N 满足M ∪N ={0,1,2},则集合N 的个数为()A.3B.4C.6D.73.已知a =,b =log 25,c =log 37,则a ,b ,c 的大小顺序是()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a4.5人排成一排照相,甲排在乙左边(可以相邻,也可以不相邻)的排法总数为()A.30B.60C.120D.2405.在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,双曲线x 2-=1的右焦点为F ,则以F 为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为()A.x 2+y 2+4x +1=0 B.x 2+y 2+4x +3=0C.x 2+y 2-4x -1=0D.x 2+y 2-4x +1=06.在正三棱锥S -ABC 中,若SA =2,AB =2,则该棱锥外接球的表面积为()A.4πB.4πC.12πD.6π(第7题)7.将函数f(x)=sin+1的图象向右平移个单位长度后,再进行周期变换可以得到如图所示的图象()A. B.C. D.8.函数y=tan2x-2tan x的最大值为()A.-3B.3C.0D.-3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别为B1B,B1C1的中点,则()A.直线A1E∥平面ACD1B.直线B1D⊥平面ACD1C.平面A1EF∥平面ACD1D.平面A1B1CD⊥平面ACD110.下列关于函数的描述正确的是()A.函数y=f(x)是奇函数的一个必要不充分条件是f(0)=0B.定义:如果一个函数既是奇函数又是偶函数,这样的函数称为“两面派”函数,那么“两面派”函数一定有无数个C.若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数,则其导函数必为偶函数D.若一个函数的导函数是奇函数,则该函数必为偶函数11.已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=Pn,X的数学期望和方差分别为E(X),V(X),则()A.P4=2P2B.P(3≤X≤5)=C.E(X)=4D.V(X)=12.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,P为直线x=-2上任意一点,过P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,斜率分别为k1,k2,则()A.k 1k 2=-B.|k 1-k 2|=2C.AB 过定点(2,0)D.AF ·BF 的最小值为8三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知正三角形ABC 的边长为3,=,=2,则·=.14.设(1-2x )5(1+x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6,则a 0+a 3=.15.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 均为正数)过点(1,1),值域为[0,+∞),则ac 的最大值为;若实数λ满足1-b =λ,则λ的取值范围为.16.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一蔀,七十六岁,二十蔀为一遂,一千五百二十岁,…,生数皆终,万物复始,天以更元作纪历”.如皋是著名的长寿之乡,该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人,他们的年龄(均为正整数)之和为一遂又三蔀,其中有两位百岁老人(均不到110岁),他们的年龄相差一岁,其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁,则20位老人中年龄最小的岁数为.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知锐角三角形ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,b =2,c =3,△ABC 的面积为.(1)求BC 边上的高;(2)求sin(A -C )的值.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =(a n +1-1).(1)求证:数列{a n }是等比数列,并求通项a n ;(2)若等差数列{b n }的各项均为正数,求数列{a n b n }的前n 项和T n .19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面三角形ABC 是边长为2的正三角形,侧面ACC 1A 1是菱形,且平面ACC 1A 1⊥平面ABC ,E ,F 分别是棱A 1C 1,BC 的中点,=2.(1)求证:EF ∥平面ABB 1A 1;(2)若①三棱锥C 1-ABC 的体积为1;②C 1C 与底面所成的角为60°;③异面直线BB 1与AE 所成的角为30°.请选择一个条件求平面EFG 与平面ACC 1A 1所成的二面角(锐角)的余弦值.(第19题)20.(本小题满分12分)利用简单随机抽样的方法,从某校高一年级男生体检表格中抽取20名同学的胸围x (单位:cm)与肺活量y (单位:ml)的样本,计算平均值=80.5,=4030,并求出线性回归方程为=32.26x +a.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70758085827377738572肺活量3700460040004300440034003200380044003500胸围708378918174917610490肺活量3600450037004100470037004600400047003700(1)求a的值;(2)求样本y与x的相关系数r,并根据相关性检验的临界值表,判断有无99%的把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001);(3)将肺活量不低于4500ml视为大肺活量,用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率,求从本校高一年级任意抽取4名男同学,恰有两名是大肺活量的概率.附:相关性检验的临界值表n-2检验水平0.050.01160.4680.590170.4560.575180.4440.561190.4330.549200.4230.53721.(本小题满分12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点(1,e)和都在椭圆E上,其中e为椭圆E的离心率.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点Q(-2,2)的直线l与椭圆E分别交于点M,N,直线OQ与BM交于点T,试问:直线AT与BN是否一定平行?请说明理由.(第21题)22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-1)-(x+2)sin x.(1)当x∈时,求y=f(x)零点的个数;(2)当x∈[0,2π]时,求y=f(x)极值点的个数.【参考答案】（2020－2021学年度高三年级第一学期教学质量调研（二））1.A2.B3. D4.B5.D6.C7.B8.A9. BD 10. BC 11. BCD 12. AC13.72− 14.39− 15. 1162,)+∞ 16. 7717.（1）在ABC ∆中，因为1sin 2S bc A =123sin 2A =⨯⨯⨯，sin A =又02A π<<，所以3A π=. ………………2分由余弦定理得：22223223cos 73a π=+−⨯⨯⨯=，a =因为12a S a h =⋅12a h =，a h =. ………………5分（2）由（1）知3a A π==，因为sin sin c a C A =，所以3sin sin c A C a ==， 因为02C π<<，所以cos C =. ………………8分所以11sin()sin()sin 322A C C C C π−=−=−−= ………………10分18.（1）11(1)2n n S a +=−Q ，11(1)(2)2n n S a n −∴=−≥，以上两式相减得：111()2n n n n S S a a −+−=−，即11()2n n n a a a +=−，所以132n n a a n +=≥（）； ………………2分 又由1n =时，121(1)2a a =−及 11a =，得23a =，213a a =，合并为13()n n a a n N *+=∈. ………………3分由110a =≠知0n a ≠，所以13n na a +=， 数列{}n a 组成以1为首项公比为3的等比数列，11133n n n a −−=⨯=.………………4分 （2）设数列{}nb 的公差为d ，由4124i i b ==∑，得1434242b d ⨯+=，所以12312b d +=①；由（1）知：1231,3,9a a a ===，据条件：112233,,a b a b a b +++成等比数列得 2111(3)(1)(92)b d b b d ++=+++②，由①②解得：124,12,b d =⎧⎨=−⎩或13,2.b d =⎧⎨=⎩………………7分当124,12,b d =⎧⎨=−⎩时，3242120a =−⨯=，与题意0n b >不符；当13,2.b d =⎧⎨=⎩时，210n b n =+>，合题意. ………………8分所以021335373(21)3n n T n −=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，于是 2313335353(21)3(21)3n n n T n n −=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+−⨯++⨯，以上两式相减：1213(13)232(333)(21)332(21)32313n n nn n n T n n n −−−−=+⨯++⋅⋅⋅+−+⨯=+⨯−+⨯=−⨯−，所以3n n T n =⋅. ………………12分19.（1）取AB 的中点H ，连1,A H HF ， 因为,H F 分别是,AB BC 的中点， 所以//HF AC ，12HF AC =；又E 为11A C 的中点，1//A E AC ，112A E=所以1//HF A E ，1HF A E =，故四边形1A HFE 是平行四边形， ………………2分 所以1//EF A H ，又EF ⊄面11ABB A ，1A H ⊂面11ABB A ，所以//EF 平面11ABB A . ………………4分（2）选①在平面11ACC A 内，过1C 作1C O AC ⊥，垂足为O ，连OB ， 因为面11ACC A ⊥面ABC ，面11ACC A I 面ABC AC =，所以1C O ⊥面ABC . ………………5分1211112133C ABC ABC V S C O C O −∆=⋅=⨯=，得1C O =1CO =，所以O 为AC 的中点，OB AC ⊥. ………………6分以O 为原点，1,,OB OC OC 为正交基底建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)A −，1(0,A −，1C，1,0)2F，(0,E −.设(,,)G x y z ，因为113CG CC =u u u r u u u u r，所以1(,1,)(0,3x y z −=−，得20,,3x y z ===2(0,3G ，所以5(0,3GE =−u u u r，1,6GF =−u u u r，设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则50,310,6GE n y GF n y ⎧⋅=−=⎪⎪⎨⎪⋅=−−=⎪⎩u u ur r u u u r r令y =4,5x z ==，所以(4,5)n =r ， ………………9分又OB =u u u r是平面11ACC A 的一个法向量，设平面EFG 与平面11ACC A 所成的角（锐角）为θ，则cos n OB n OBθ⋅===⋅r u u u rr u u u r ………………12分 选②同①，作1C O AC ⊥，垂足为O ，并证明1C O ⊥面ABC ， 所以0160C CO ∠=，011sin 602C O C C ===，以下同①. 选③0111//,30A A B B A AE ∴∠=Q ，在1A AE ∆中，1111sin sin A A A E A EA A AE =∠∠，即0121sin sin 30A EA =∠， 所以1sin 1A EA ∠=，0190A EA ∠=，11AE A C ⊥，又11//A C AC ，所以AE AC ⊥， 同①可证AE ⊥平面ABC .在平面ABC 内过A 作AX AC ⊥， 以A 为原点，,,AX AC AE 为正交基底 建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A，B ，(0,2,0)C，3,0)2F ，1(0,A −，E，1C . 设(,,)G x y z由113CG CC =u u u r u u u u r，得1(,2,)(0,3x y z −=−，所以50,,3x y z ===，5(0,3G .所以51(0,,36GE GF =−=−u u u r u u u r ， 以下同①.（选条件②③参照①评分）20.（1）由于回归直线：$32.26y x a =+过点(80.5,4030)，所以403032.2680.51433.07a =−⨯=. ………………2分 （2）假设0:H 变量,x y 不具有线性相关关系， ………………3分由参考公式知：r b =$， 所以3832.260.6012040r =⨯≈， ………………6分由相关性检验临界值表知：0.010.561r =，0.6010.561r =>，所以有99%的把握认为肺活量的大小与胸围具有线性相关关系. ………………7分 （3）从统计表中可知，20个样本中不低于4500ml 有5个，所以全校高一男生大肺活量的概率为51204=， ………………9分 设从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为p ，则22241327()()44128p C =⋅=. ………………11分 答：从高一年级任取4名男同学，恰有两名男生是大肺活量的概率为27128. ………………12分21. （1）依题意，点()1，e 在椭圆E 上， 故222211+=c a a b，又=c e a ，222=+a b c ，解得21=b ．………………2分又因为点⎭在椭圆E 上，故222112+=a b 即21112+=a ，解得24=a ， 所以椭圆E 的方程为2214+=x y ． ……………………4分（2）结论：//.AT BN依题意，(2,0)A −，(2,0)B ，直线l 不与x 轴平行．设直线l 的方程为()22x t y +=−，()11M x y ，，()22N x y ，， 联立方程组()222214x t y x y ⎧+=−⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 可得，()()()22441420t y t t y t t +−+++=，所以0∆>，且()122414t t y y t ++=+，()122424t t y y t +=+ ………………6分 直线BM 的方程为()1122y y x x =−−，直线OQ 的方程为y x =−， 联立方程组()1122y y x x y x ⎧=−⎪−⎨⎪=−⎩，，解得1111112222y x x y y y x y ⎧=⎪+−⎪⎨⎪=−⎪+−⎩，， 即1111112222y y T x y x y ⎛⎫− ⎪+−+−⎝⎭，． 记直线,AT BN 的斜率分别为k 1，k 2，则11111111112222222y x y y k y x y x y −+−==−+−++−，2222y k x =−．………………8分 所以()()()12211212212121111222222222x y x y y y y y y y k k x x y x y x ++−+−=+=−+−+−− 由于1221121222()x y x y y y y y ++−+12211212[2(1)][2(1)]22()ty t y ty t y y y y y =−++−++−+12122(1)2(2)()t y y t y y =+−++224(2)4(1)2(1)2(2)44t t t t t t t t ++=+⨯−+⨯++ 0=，所以12k k =，所以//AT BN . …………………12分22. （1）由题意()(1)(2)sin 0f x x x x =−−+=，[,]2x ππ∈, '()1sin (2)cos f x x x x =−−+, ………………2分 由于2x ππ≤≤，cos 0x ≤，又sin 1x ≤，所以'()0f x ≥，()f x 在[,]2ππ上单调递增， 因为()302f π=−<，()10f ππ=−>，所以函数()f x 在[,]2ππ上有唯一零点． ………………4分（2）由题意()(1)(2)sin f x x x x =−−+，[02]x π∈，.则()1sin (2)cos f x x x x '=−−+，令()1sin (2)cos h x x x x =−−+，'()2cos (2)sin h x x x x =−++，①当04x π≤≤时，因为cos x ≥，12cos 1210x −<−=<， 所以'()1sin (2)cos (12cos )sin 2cos 0f x x x x x x x =−−+=−−−< 所以函数()f x 在[0,]4π上无极值点. ………………6分 ②当4x ππ<<时，()02h π=， 当2x ππ<<时，因为cos 0x <，所以 ()2cos (2)sin 0h x x x x '=−++>，所以()h x 在[]2ππ，上是增函数，()()02h x h π>=即'()0f x > ； 当42x ππ<<时，sin cos x x >，所以()2cos (2)sin 2(sin cos )sin 0h x x x x x x x x '=−++=−+>， 所以()h x 在(,)42ππ是增函数，()()02h x h π<=即'()0f x < ， 所以2π是()f x 在()4ππ，上的极小值点. ………………9分 ③当32x ππ<≤时，sin 0cos 0x x <≤，，则()0f x '>，所以函数()f x 无极值点； ④当322x ππ<≤时，cos 0x >，sin 0x <，所以()2cos (2)sin 0h x x x x '=−++<， 所以()h x 在3(2)2ππ，上是减函数，且3()20(2)2102h h πππ=>=−−<，， 所以()h x 在3(2)2ππ，上有唯一零点2x ． 当232x x π<<时，()0f x '>；当22x x π<<时，()0f x '<， 所以2x x =是函数()f x 的一个极大值点．综上所述，函数()f x 存在两个极值点． ………………12分。
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题Word版含答案
2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}13x x -<<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(1i)3i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线22145x y -=的顶点到渐近线的距离为 ． 4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为 ． 5．函数41()log (1)2f x x =--的定义域为 ． 6．函数()f x 满足(4)()(R)f x f x x +=∈，[2x ∈-，2)时，2,20()tan ,024x x f x xx π⎧+-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则((17))f f 的值为 ． 7．设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 8．已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则不等式()1f x x >-+的解集为 ．9．设a ∈R ，函数32()3(1)f x x a x ax =+--为奇函数，则函数()f x 的极大值为 ．10．已知4sin()65πα-=，02πα<<，则cos()12πα+＝ ． 11．已知22log log 2a b +=，则22a b +的最小值为 ． 12．如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC ⊥BD ，BC ＝2，则BA BC ⋅＝ ．13．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sinC ﹣sinA ＝2sinAcosB ，baλ=，则实数λ的取值范围为 ．14．定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x ，若对x ∀∈R ，点(x ，()h x )，(x ，()g x )关于点(x ，()f x )对称，则称函数()h x 是函数()g x 关于函数()f x 的“对称函数”．已知函数()h x 是函数()1g x a x =-关于函数2()8f x x x =+的“对称函数”且函数()h x 存在4个零点，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥平面SCD ； （2）求证：BD ⊥SC ．16．（本题满分14分）已知平面向量(sin a α=，cos 2)α，3(cos 2b α=，)t ，R t ∈． （1）若a b =，求t 的值； （2）若t 3，a b ⊥，求tan(2)4πα+的值．17．（本题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12123a a a a +=，14a ，23S ，32S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 中，12b a =，861b a =-．①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若对n N*∈，不等式230n n na T n λ-+≥恒成立，求实数λ的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)为椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFP与△BFQ的面积分别为1S，2S，若123 2SS=，求直线l的方程．19．（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO7百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．（本题满分16分）设R a ∈，函数()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设直线210x y -+=与函数()y f x =的图像相切．①求实数a 的值；②求证：当x ≥0时，2()21f x x ≥+．（参考数据：148＜e 5＜149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参考答案1．{0，1，2} 2．5 3．253 4．23 5．(1，3] 6．1 7．328．(1，+∞) 9．2910．210- 11．8 12．﹣4 13．2，3)14．a ＞815．证明：（1）∵底面ABCD 为菱形 ∴AB ∥CD∵AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD∴AB ∥平面SCD（2）∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴SA ⊥BD连接AC ，∵底面ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD又∵SA AC ＝A ∴BD ⊥平面SAC ∵SC ⊂平面SAC ∴BD ⊥SC 16．解：（1）∵a b =∴sin cos 2t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩①②由①得tan 2α=由②得22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin =cos sin 1tan 7t ααααααααα--==-==++ （2）当t时3=sin cos 222a b ααααα⋅=+ 由a b ⊥，得=0a b ⋅，即sin 2204αα+=，求得tan 24α=- ∴tan 2tan4134tan(2)41(4)51tan 2tan 4παπαπα+-++===---- 17．（1）∵12123a a a a +=∴113q a q +=①∵14a ，23S ，32S 成等差数列 ∴21332S a S =+，化简得322a a =，即2q = 将2q =代入①式求得112a =∴数列{}n a 的通项公式：11211()222n n n naa q ---==⋅=（2）①01221b a ===，48612115b a =-=-=∴81142817b b d -===- ∴2(1)22n n n T n n -=+=②要使不等式230nn na T n λ-+≥恒成立则222230n n n n λ--+≥，即max 223()2n n λ--≥ 令2232n n n c --=，则1121212352222n n n n n n n nc c +-------=-=∴当1≤n ≤2时，10n nc c +->，此时{}n c 单调递增当n ≥3时，10n nc c +-<，此时{}n c 单调递减∴当n ＝3时，max 33()2n c c == 即当max 2233()22n n λ--≥=时，原不等式恒成立 ∴实数λ的最小值为3218．（1）由F(1，0)，得c ＝1由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a ＝4，即a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝3∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）113AF PF sin AFP PF sin AFP 22S =⋅∠=∠ 211BF QF sin BFQ QF sin BFQ 22S =⋅∠=∠由1232S S =，得QF 2PF =，即2Q P y y =-（0P y >） 设直线PQ 为：1x my =+由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=∴2634P Q m y y m +=-+①，2934P Q y y m ⋅=-+②，又2Q P y y =-③由①和③求得：226341234P Q m y m my m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入②求得24=5m由0P y >可知m ＞0，∴=5m 所以直线PQ的方程：15x y =+20y --= 19．（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元． （2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=ON MN AM 2=-==设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值∴03cos cos 4θθ== 答：当cos θ34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。