抽屉原理(

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题，因此，也被称为狄利

克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以 解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用•许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.

二、抽屉原理的定义

（1）

举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）

定义

一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。

方法、特殊值方法.

【例1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 2个球，

那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样•你能说明这是为什么吗？

【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借 两本不同类的书，最少借一本

•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同

【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、 排球和篮球，有66个同学来仓库拿球， 要求每个人至少拿一个,

最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？

【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人

选的玩具是相同的？

【例2】 红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色

（见下图），每个小方格涂一种颜色. 是 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

第八讲：抽屉原理

（二）

三、抽屉原理的解题方案

（一） 、利用公式进行解题

苹果十抽屉=商……余数

余数：（1）余数=1,

（2）

余数=x 1 YxY ： n-1

,

（3）

余数=0,

（二） 、利用最值原理解题

结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 结论：至少有（商+

1 ）个苹果在同一个抽屉里

结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

将复杂的题目变得非常简单，

也就是常说的极限思想 “任我意”

第 第 第 第 第

一

二

三

列 列 列

【例3】 从2、4、6、8 ----------- 50这25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有2个数的和是52 ?

【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.

【巩固】 从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有 2个数的和是41.

【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取 9个数，证明其中一定有两个数之和是 34.

从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两 个数，它们的差是12.

【巩固】 从1, 2, 3, 4，…，1988 , 1989这些自然数中，最多可以取 ___________________ 个数，其中每两个数的差不等

于4.

【例5】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 ____________________________ 个数，使得在选出

的数中，每一个数都不是另一个数的

2倍.

【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.

【巩固】 从1 , 3, 5, 7,…，97, 99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另 个数的倍数?

【巩固】 从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数,

【例4】从1 , 2, 3, 4,…,

都不等于9.

1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差

【巩固】

其中的一个是另一个的倍数

【例6】从1 , 2, 3,……49, 50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除, 则最多能取出多少个数?

【例7】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数.证明：⑴ 在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50; (3)在这51个数中，一定存在9

个数，它们的最大公约数大于 1 .

【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同•现在请你挑选若干个小孩，排

成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子

【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米? 【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.

【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米.

【例12】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1.

【巩固】在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的