抽屉原理(
抽屉原理及其应用
抽屉原理及其应用
抽屉原理（也称鸽笼原理、容斥原理）是离散数学中的一个基本原理，它描述了把若干个物体放入若干个容器中时，如果物体数量多于容器数量，那么至少有一个容器必须放多于一个物体。
抽屉原理可以应用在多个领域，包括：
1. 计算概率：假设有n个鸽巢和m个鸽子，如果将m个鸽子平均放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中会放多于一个鸽子。
2. 计算排列组合：假设将n个物品分成m堆，至少有一堆中包含的物品数量不少于⌈n/m⌉（向上取整）。
3. 求解问题：当问题本身的解法很难找到时，可以利用抽屉原理削减解空间，锁定可能的解，减少求解难度。
4. 数据存储：在计算机程序设计中，抽屉原理可以用来优化数据存储和搜索。
将数据划分多个小区域同时进行搜索，可以减少搜索空间，提高效率。
总之，抽屉原理是一种非常实用的思想工具，可以帮助我们解决各种实际问题。
《抽屉原理》(PPT课件
在算法分析中，抽屉原理可以用于分析算法的时间复杂度和空间复杂度，以及确 定算法的最坏情况下的性能。
在日常生活中的应用
资源分配
在资源分配问题中，可以将资源视为抽屉，将待分配的物品 或任务视为物体，根据抽屉原理得出最优的分配方案。
排队理论
在排队理论中，抽屉原理可以用于分析排队系统的性能和稳 定性，以及确定最优的排队策略。
有限制的抽屉原理的证明
有限制的抽屉原理是指
如果 n+1 个物体要放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n），那么至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n+1 个物体放入 n 个容器中，且每个容器最多只能容纳 k 个物体（k < n）。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们可以将这个物体放入另一个 容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
在数论中的应用
质数分布
根据抽屉原理，如果将自然数按 照质数和非质数进行分类，则质 数在自然数中的比例趋近于 $frac{1}{2}$。
同余方程
在解同余方程时，可以将模数视 为抽屉，方程的解为物体，根据 抽屉原理得出解的存在性和个数 。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于各种数据结构的设计和分析，如数组、链 表、哈希表等。
现代研究
现代数学研究中对抽屉原理进行了深入的探讨和研究，不断拓展其 应用范围和理论体系。
02
抽屉原理的证明特殊形式，其基本思想是
如果 n 个物体要放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体，则至少有一个容器包含两个或以上的物体。
证明方法
假设 n 个物体放入 n-1 个容器中，且每个容器至少有一个物体。如果存在一个容器只包含一个物体，那么我们 可以将这个物体放入另一个容器中，从而证明了至少有一个容器包含两个或以上的物体。
抽屉原理的公式是什么
抽屉原理的公式是什么抽屉原理，也称为鸽巢原理，是数学和计算机科学中一条重要的基本原理。
它最早由德国数学家小弗里德里希·里夏尔于1834年提出，为了描述一种常见现象：当往n+1个抽屉中放入n个物体时，至少有一个抽屉会装多于一个物体。
这一原理在许多领域中都有重要的应用，特别是在集合论、概率论、信息论、密码学等方面。
抽屉原理的本质是一种计数原理，它基于一些简单的数学观察，不涉及复杂的推理。
其核心思想是将抽屉看作是集合，将物体看作是元素，然后通过计算元素数量和集合数量的关系来推导结论。
抽屉原理的公式可以表述为：对于 n 个抽屉和 m 个物体，当 m > n 时，至少有一个抽屉中至少放入了两个物体。
抽屉原理的证明可以通过反证法进行。
假设所有的抽屉最多只放入了一个物体，如果每个抽屉都满了，那么一共只能放入n个物体，冲突出现在 m > n 的情况下。
所以至少有一个抽屉中放入了两个物体或更多。
抽屉原理的应用非常广泛。
下面将介绍一些典型的应用场景。
应用场景一：生日问题在一个房间里，有多少人的时候存在两个人生日相同的概率很大？这就是生日问题。
将人的生日看作是物体，将每天的日期看作是抽屉。
根据抽屉原理，我们可以通过计算元素数量和集合数量的关系来解决这个问题。
假设每年有365天（不考虑闰年），那么将人的生日映射到365个抽屉中，当人数超过抽屉数量时，根据抽屉原理就可以确定至少有两个人生日相同。
这个问题的具体计算可以使用概率论中的计算技巧，但抽屉原理提供了解决问题的基本思路。
应用场景二：抽卡游戏在很多电子游戏或纸牌游戏中，都存在通过抽取卡牌的方式来获得不同的结果。
当抽取的卡牌数量超过卡牌种类时，至少会出现两张相同的卡牌。
以抽取纸牌游戏为例，假设一副扑克牌有52张，将抽取的牌看作是物体，将不同牌面的种类看作是抽屉。
当抽取的牌数超过52时，根据抽屉原理可以确定至少有两张相同的牌。
这个原理可以帮助人们在游戏中进行策略的制定和玩法的优化。
抽屉原理的简介与应用
抽屉原理的简介与应用1. 简介抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是数学中的一条基本原理。
它由德国数学家戈尔德巴赫于18世纪中期提出，原理的核心思想是：如果有n个物体被放入n个抽屉中，且n大于抽屉的数量，那么至少存在一个抽屉中至少有两个物体。
2. 应用抽屉原理在数学中有广泛的应用，也被其他领域所借鉴和应用。
2.1 计算数学在计算数学中，抽屉原理常用于证明问题的存在性。
例如，在计算图论中，我们可以通过抽屉原理来证明在有限的图中，存在必定长度的路径或环。
这对于优化算法和网络分析非常重要。
2.2 概率与统计抽屉原理在概率和统计学中也有着重要的应用。
例如，假设我们有一个袋子里面有10颗红球和20颗蓝球，我们从袋子中随机抽取了30颗球。
根据抽屉原理，至少会有一个颜色的球抽到的数量将会超过其颜色的球的总数。
这可以用来解决一些概率和统计问题。
2.3 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理也有着广泛的应用。
例如，在散列函数中，抽屉原理可以用来解决冲突的问题。
散列函数将一组键映射到一个有限的范围内，当不同的键映射到相同的范围时，就会发生冲突。
根据抽屉原理，当键的数量超过范围时，至少会有一个范围中存在多个键，这样就可以通过其他方法解决冲突。
2.4 数据库管理在数据库管理中，抽屉原理也经常被应用。
例如，在索引管理中，抽屉原理可以被用来解决索引冲突的问题。
当多个记录的索引值相同或非常接近时，就会发生索引冲突。
根据抽屉原理，当记录的数量超过索引的数量时，至少会有一个索引位置存在多个记录，这样就需要采取其他策略来处理冲突。
3. 总结抽屉原理作为一条基本的数学原理，有着广泛的应用。
它在计算数学、概率与统计、计算机科学和数据库管理等领域都扮演着重要的角色。
通过抽屉原理，我们可以解决一些问题的存在性、冲突以及优化等方面的问题。
因此，学习抽屉原理对于理解和应用这些领域的知识是非常有帮助的。
抽屉原理
抽屉原理【知识要点】抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
这个人人皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。
用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2：把m个元素任意放入n（n＜m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。
其中k＝商（当n能整除m时）商＋1 （当n不能整除m时）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
【解题步骤】第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用抽屉原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
【例题讲解】例1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业。
求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。
证明：将5名学生看作5个苹果，将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉。
由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果，即至少有两名学生在做同一科的作业。
例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？分析与解答：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4。
故至少取出4个小球才能符合要求。
例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
抽屉原理
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
抽屉原理是什么意思
抽屉原理是什么意思抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它描述的是一种概率现象。
抽屉原理可以简单地概括为：如果有n+1个物体要放进n个抽屉中，那么无论如何放置，至少有一个抽屉中必然会有两个或更多物体。
抽屉原理最早可以追溯到古希腊数学家彼得·建设者（Peter C. D）在1939年提出的鸽巢定理，后来由是美国数学家罗森（R. R*) 在1964年将其普及并以抽屉原理的名字命名。
这个原理的简单解释是很容易理解的。
假设有5个苹果和4个抽屉，我们需要将这些苹果放入抽屉中去。
无论如何摆放，必然会有至少一个抽屉中放入了两个或更多的苹果。
这是因为若将5个苹果放入4个抽屉，我们只能在某一个抽屉中放2个苹果，而按照抽屉原理的规定，至少会有一个抽屉中放入了两个或更多的物体。
抽屉原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
它可以应用于各个领域，如计算机科学、生物学、物理学等。
在计算机科学中，抽屉原理可以用于解决许多问题。
例如，在散列函数中，如果我们将 n个关键字映射到 m个槽位中（假设 n>m），那么至少会有一个槽位中有多个关键字映射。
这是因为抽屉原理告诉我们，无论以何种方式映射，始终会有两个关键字映射到同一个槽位上。
生物学中，抽屉原理可以用于解释遗传学中的基因频率。
在一个种群中，如果有 n 个个体，而有 m 种不同的基因，则至少会有个体携带相同的基因，而原因也是抽屉原理的应用。
物理学中，抽屉原理可以类比于波动理论。
例如，如果我们在一条线上有 n 个波峰，而只有 m 个波谷（n>m），则必然会有至少两个波峰在同一个波谷之间。
抽屉原理指导我们认识到，波动现象中特定的波峰和波谷的存在不能无限地隔离。
在生活中，我们也可以看到抽屉原理的应用。
例如，如果我们参加一个聚会，那么如果参与人数超过了场地的容纳能力，那么至少会有两个人被安排坐在同一张桌子上。
总结一下，抽屉原理是一种重要的概率现象，可以简单地概括为：在一定条件下，将多个物体放置到较少的容器中，必然会出现某个容器放入了两个或更多物体。
抽屉原理的定义是什么
抽屉原理的定义是什么1. 引言抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是一种基本的数学原理，它在各个领域都有广泛的应用。
在数学、计算机科学和其他一些领域，抽屉原理用于解决众多问题，特别是计数和概率问题。
本文将讨论抽屉原理的定义、原理以及其应用。
2. 抽屉原理的定义抽屉原理是指，当将n+1个物体放入n个抽屉中时，至少有一个抽屉里面会放有两个或两个以上的物体。
换句话说，如果有更多的物体要放入比抽屉数更少的抽屉中，那么至少会有一个抽屉中会有多个物体。
具体来说，假设有n个抽屉和m个物体，如果m > n，那么至少会有一个抽屉中有两个或两个以上的物体。
3. 抽屉原理的证明为了证明抽屉原理，我们可以采用反证法。
假设没有任何一个抽屉中放有两个或两个以上的物体，那么每个抽屉最多只能放一个物体。
如果有n个抽屉，那么最多只能放n个物体。
但是，假设我们有m > n个物体，这与前提矛盾。
因此，我们可以得出结论，至少会有一个抽屉中放有两个或两个以上的物体。
4. 抽屉原理的例子4.1 学生选择课程考虑一个学生选择课程的例子。
假设有10门课程和8名学生。
每个学生选择了至少一门课程。
根据抽屉原理，至少有一个学生选择了两门或两门以上的课程。
这是因为学生数（8）大于课程数（10）。
4.2 双生子生日问题另一个例子是双生子生日问题。
假设有365天，365个抽屉代表每一天，而抽屉里放置的是人的出生日期。
根据抽屉原理，当我们有至少366个人时，至少会有两个人在同一天出生。
这个问题揭示了在很小的数量下，会有出现概率较高的事件。
5. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学和数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•密码学：在密码学中，抽屉原理用于解释概率分布和碰撞的概念。
它帮助我们理解两个不同的消息可能具有相同哈希值的概率。
•图论：在图论中，抽屉原理有助于解决图的着色问题。
根据抽屉原理，当要给少于或等于n个节点的图着色时，至少需要n种颜色。
•计算机算法：抽屉原理还用于处理算法设计中的情况，例如哈希冲突。
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一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的 问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以 解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用•许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
方法、特殊值方法.【例1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以 从口袋中随意取出 2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一 样•你能说明这是为什么吗？【巩固】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借 两本不同类的书，最少借一本•试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、 排球和篮球，有66个同学来仓库拿球， 要求每个人至少拿一个,最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要 有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【例2】 红、蓝两种颜色将一个 2 5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色. 是 否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？第八讲：抽屉原理（二）三、抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题苹果十抽屉=商……余数余数：（1）余数=1,（2）余数=x 1 YxY ： n-1,（3）余数=0,（二） 、利用最值原理解题结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 结论：至少有（商+1 ）个苹果在同一个抽屉里结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想 “任我意”第 第 第 第 第一二三列 列 列【例3】 从2、4、6、8 ----------- 50这25个偶数中至少任意取出多少个数， 才能保证有2个数的和是52 ?【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【巩固】 从1, 4, 7, 10,…，37, 40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有 2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取 9个数，证明其中一定有两个数之和是 34.从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两 个数，它们的差是12.【巩固】 从1, 2, 3, 4，…，1988 , 1989这些自然数中，最多可以取 ___________________ 个数，其中每两个数的差不等于4.【例5】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 ____________________________ 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍.【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【巩固】 从1 , 3, 5, 7,…，97, 99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另 个数的倍数?【巩固】 从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数,【例4】从1 , 2, 3, 4,…,都不等于9.1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差【巩固】其中的一个是另一个的倍数【例6】从1 , 2, 3,……49, 50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除, 则最多能取出多少个数?【例7】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数.证明：⑴ 在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50; (3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于 1 .【例8】有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同•现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【例10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米? 【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米.【例12】在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1.【巩固】在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米.【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
证明：在以这五点为顶点的三角形 中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
【例13】在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于 1厘米【巩固】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1,证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为 1的圆内。
【例15】如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1, 2 , 3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同？并说明理由./\/\/\ // \/ \/\【巩固】 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上 1, 2, 3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及对角线上的 10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明.【例14】9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为 直线中至少有3条通过同一个点。
2 : 3。
证明：这9条DFC【例16】(南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题)如下图① ，A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果•要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有粒糖果•把各只盘中糖果的粒数填在下图②中•图①图②【巩固】如右图A、B、C、D四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果•每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果•这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由•【例17】如右图，分别标有数字1,2,(((,8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同•当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对•【巩固】8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友的名字•开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字.【例18】时钟的表盘上按标准的方式标着1, 2, 3,…，11, 12这12个数，在其上任意做n个120。
的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同•如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值.【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数•并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.练习1.篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？练习2.将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色. （每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？练习4.从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些数种没有两数的差是5的倍数.练习5.在20米长的水泥阳台上放11盆花，随便怎样摆放，至少有几盆花之间的距离不超过2米.练习6.用数字1, 2, 3, 4, 5, 6填满一个6 6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每个2 2正方格内的四个数字的和称为这个 2 2正方格的“标示数” •问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由.练习7.将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？练习8.边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.【备选1】学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本•请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？【备选2】请证明：在1 , 4, 7, 10,…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.【备选3】试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米.【备选4】在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125【备选5】在8 8的方格纸中, 每个方格纸内可以填上1L 4四个自然数中的任意一个, 填满后对每个2 2字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个?。