4-5第五节积分表使用法电子教案
D45积分表的使用63797
3
u
3
2x
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例3. 求
解: 令 x 1 2 tan t , 则 dx 2sec2 t dt
原式
2 tan t 3 (4 tan2 t 3) 2sect
2sec2 t dt
(
x
2sin t 4s1i)n22t
3
3 3
ccoo(ssx2tt1d)t2
第五节
第四章
积分表的使用
积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分 的效率, 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用. 如 P347附录Ⅲ .
积分表的结构: 按被积函数类型排列 积分表的使用: 1) 注意公式的条件
2) 注意简单变形的技巧 注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple
4
2
sin t dt 4sin2 t 3cos2 t
3
cos t dt 4sin2 t 3cos2 t
2
4
dcos t cos2
t
3
d sin t sin2 t
3
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2
4
d cos t cos2
t
3
d sin t sin2 t
3
x2 2x 5 x 1
t
(P363 公式21) (P363 公式19)
2
1 ln 2 cost 2 2 cost
3 arctan
sin t 3
Байду номын сангаас
C
x 1 2 tan t
固体物理学：4-5-紧束缚近似
紧束缚模型 —— 只考虑不同原子、相同原子态 之间的相互作用
不考虑不同原子态之间的作用
对于内层电子能级和能带有一一对应的关系 对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂
一般的处理方法 1) 主要由几个能量相近的原子态相互组合形成能带 2) 略去其它较多原子态的影响
讨论分析同一主量子数中的s态和p态之间相互作用 略去其它主量子数原子态的影响
处理思路和方法 1) 将各原子束缚态的波函数组成布洛赫和 2) 再将能带中的电子的波函数写成布洛赫和的线性组合 3) 最后代入薛定谔方程求解组合系数和能量本征值
同一量子数s态和 p态之间的作用 原子态组成布洛赫和
能带中的电子态 布洛赫和的线性组合
能带中的电子态
代入薛定谔方程 求解组合系数 能量本征值
§4-5 紧束缚近似
一、 模型
电子在一个原子(格 点)附近时，主要受 到该原子势场的作 用，其它原子势场 的作用较弱。
设晶体有N个原子组成，每个原子只有一个价电子,处于S态。
1）孤立原子中的电子
第m个格点附近，第i个电子的束缚态波函数写 为
—— 满足薛定谔方程
—— 格点的原子在 处的势场
—— 电子第i 个束缚态的能级 —— 电子第i 个束缚态的波函数
Wannier 函数
一个能带的Wannier 函数是由同一个能带的布洛 赫函数所定义。
Wannier 函数
满足正交关系
紧束缚作用： 如果晶体中原子之间的间距增大,当电子距某一原子较
近时，其行为类似孤立原子情形。 瓦尼尔函数也应接近孤立原子的波函数
电子波函数
满足
—— 薛定谔方程
无简并s态
用 应用
—— 重叠越多 形成能带越宽
第五节积分表的使用
a
dx 2 abac r oa tbta x n C bcosx abab ab 2
将 a5 , b 代 入 得4
541cosxdx3 2arco3tta2 xnC.
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5
【例3】求
x
dx . 4x2 9
1
第五节 积分表的使用
一、关于积分表的说明 二、例题
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2
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
现在 a3, b4于是
3 x x 4 2 d x 1 9 ln |3 x 4 | 3 x 4 4 C .
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4
【例2】求
1 dx. 被积函数中含有三角函数
54cosx
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5 , b 4a 2 b 2选公式（105）
对积分sin2 x使d用x公式（93）
sin2
xdxx1sin2xC 24
sin4xdxsin3x4coxs432x14sin2xC.
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9
【说明】 初等函数在其定义区间上原函数一定存 在，但原函数不一定都是初等函数.
［例］
ex2 dx,
sinnxdxsin n 1n xco x snn 1sin n 2xdx
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式.
第五节 积分表的使用
4
4
再用公式93
sin3 x cos x 3 x 1 sin 2x C .
4
42 4
第五节 积分表的使用
一般来说，查积分表可以节省计算积分的时间，但是 只有掌握了基本积分方法才能灵活地使用积分表．对于 正在学习高等数学的学习者来讲，我们不提倡用查表的 方法来计算积分．本教材设置积分表的目的是为在校生 在学习其他课程时，快速计算碰到的积分，也为职场工 作者快速计算工作中碰到的积分．
查得于 例公是3式求105 (Pd38x1) .（需先做变换，再查表得结果）
a 解bdxco积s x(分3xx表ax 24中4)bx2查2dxaa不9到bb91 相arlnc关t|a3n的x 公4aa式|，bb3tx需a4n做42x 变形CC .．(a2 b2 ).
于是
dx
dx 2
2 1 5 4 dx
第五节 积分表的使用
最后需要指出的是： 尽管连续函数一定存在原函数， 但有些初等函数的原函数不一定是初等函数．例如
ex2 dx ,
sin x
x
dx
,
dx ln x
,
, 1 x4
它们的原函数都不是初等函数．
2
.5 4
x
第五节 积分表的使用
例4 求 ssiinn44xxddxx..（递推公式的应用）
解 在积分表（十一）中查得公式95 (P380)
sinn xdx sinn1 x cos x n 1 sinn2 xdx .
n
n
于是
sinn xdx sin3 x cos x 3 sin2 xdx
x 4)22
dx . （直接查表可得结果）
解 被积函数中含第五有节a积x 分+表b，的使在用积分表（一）中查得
计算方法第五章4-5节
i 0
i
n i
求解时与梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出 yn 1 .
p p i
yn 1
a
i 0
yn i h bi f n i ,
i 1
（4.1） （2.7）
yn 1 yn
h 2
[ f ( xn , y n ) f ( xn 1 , yn 1 )],
xn
到
积分求得.
10
也可以利用(4.4)由 c1
cr 0
p
推出， 对比
yn 1 yn h bi f n i
i 1
与
yn 1
cq
p
1 q!
p q
p q 1
{ [ ( i ) ak 1 q ( i ) 1
p i 0 i 1 i 1
若b1
0
，则令 c1
cr 0
来求得
b0 , b1 , , bp
11
.
以
p 2 为例，由
c1 c2 c3 0
，根据
b1 b0 b1 b2 1, 2(b1 b 2b2 ) 1, 1 3( b1 b 4b2 ) 1, 1
3
1
h 12 h
4
2
24 h
5
3
720
106 f n 2 19 f n 3 )
17
例6 用四阶Adams显式和隐式方法解初值问题
y y x 1, y (0) 1.
取步长 h 0.1. 解 本题
f n yn xn 1, xn nh 0.1n
（1.1） （5.2） （1.2）
第五节 积分表的使用 - CC 40 Support
3 arctan
3(
x 1 x2 2x
5)
C
作业
P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
C
2 3
arctan
3 tan
x 2
C
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例2. 求
解法1 令 u 2x, 则
原式
1 2
du
du
u 2
u2 32
u u2 32
(P364 公式 37)
1 ln u2 32 3 C 1 ln 4x2 9 3 C
3
u
3
2x
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例2. 求
解法2 令 u 4x2 9 , 则 u2 4x2 9, u du 4x d x
原式
4 x dx 4 x2 4x2 9
du u 2 32
( P363 公式 21 )
1 ln 6
u u
3 3
C
1 ln 6
等数学软件的符号演算功能求得 .
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例1.
求
5
d 4
x cos
x
.
解: 这里 a 5,b 4, 应使用P368 公式105 .
5
d 4
x cos
x
2 5 （ 4）
5 5
（ （
44））
arctan
5 5
（ （
2024年新人教版七年级数学上册《第5章5.3.3 球赛积分表问题》教学课件
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40
(1) 根据表格中的数据，请算出做对一题得几分，
做错一题倒扣几分； 解：(1) 根据学生 A 得分情况得
学 生
答对 题数
答错题数
得分
A 20
0
100
B 19
1
94
答对一题得分为： 100÷20＝5 (分). 答错一题的扣分为：
C 18
2
义务教育（2024年）新人教版 七年级数学上册
《第5章 一元一次方程》 系列教学课件
新知一览
从算式到方程
方程
一
等式的性质
元
用合并同类项的方法 解一元一次方程
一 解一元一次方程 次
用移项的方法解一元一次方程 利用去括号解一元一次方程
方
利用去分母解一元一次方程
程 实际问题与
产品配套问题和工程问题
一元一次方程
88
19×5－94＝1 (分).
D 14 E 10
6 10
64 40
所以做对一题得 5 分，
做错一题倒扣 1 分.
(2) 参赛者说他得 80 分，你认为可能吗？为什么？ 解：设参赛者答对 x 题，答错 (20－x) 题.
根据总得分 80 得 5x－(20－x)＝80.
解得
因为 x 是整数， 故参赛者得了 80 分，是不可能的.
2.在某大学各学院的足球比赛中，某队在前 11 场比赛 中保持不败，共积 23 分.按比赛规定，胜一场得 3 分， 平一场得 1 分，该队一共胜了多少场?
七年级上数学第五章 球赛积分表问题优质课教案
第3课时球赛积分表问题设计意图检验方程的解是否符合问题的实际意义，发展推理能力.由表中第一行数据可列方程10x+4×1=24.解得x=2.用表中其他行可以验证，得出结论：胜一场积2分，负一场积1分.问题3用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系.若一支球队胜m场，则总积分为m+14.问题4 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？设一支球队胜了y场，则负了（14-y）场.若这支球队的胜场总积分能等于负场总积分，则得方程2y=14-y.解得y=143因为y（所胜的场数）的值必须是整数，所以y=143不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分能等于负场总积分.总结：【对应训练】1.阳光体育季，赛场展风采．七年级组织迎新拔河比赛，每班代表队都需比赛10场，下表是此次比赛积分榜的部分信息：班次比赛场次胜场负场积分A班1010030B班108226C班1001010（1）结合表中信息可知：胜一场积_____分，负一场积_____分.（2）已知D班的积分是24分，求D班的胜场数．（3）某个班的胜场总积分能否是负场总积分的2倍？请说明理由.解：（2）设D班的胜场数为x，则负场数为10-x.由D班的积分是24分，得3x+1×(10-x)=24.解得x=7.因此，D班的胜场数为7．（3）能.理由：设这个班的胜场数为y，则负场数为10-y.若胜场总积分是负场总积分的2倍，则3y=2×1×(10-y).解得y=4.因此，当某个班的胜场数为4时，这个班的胜场总积分是负场总积分的2倍.2.教材P137练习第2题.教学建议【教学建议】问题4的分析过程中渗透了反证法的思想，即先假设某队的胜场总积分等于它的负场总积分，由此列出方程，解得获胜场次不是整数而是分数，这显然不合乎实际情况，由这种矛盾现象可知先前的假设不能成立，从而作出否定的判断.建议教学中不要提及反证法，只要引导学生注意这里方程的解应是整数，由此作出判断就够了.上面的问题说明，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.31教学步骤师生活动活动三：知识升华，巩固提升设计意图学会解决不同规则下的比赛积分问题.例在一次有12个队参加的足球循环赛中（每两队之间比赛一场），规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2场，结果共积19分.求该队在这次循环赛中的平场数.解：设该队的负场数为x，则胜场数为x+2，平场数为11-x-（x+2）.根据题意，得3（x+2）+1×［11-x-（x+2）］=19.解得x=4.所以11-x-（x+2）=1.答：该队在这次循环赛中的平场数为1.【对应训练】教材P137练习第1题.【教学建议】给学生说明：不同的比赛，规则各不相同.对于比赛结果，除了有胜、负外，可能还有平局.但一般来说，有以下相等关系（以有平局的情况为例）：①比赛总场数=胜场数+平场数+负场数；②比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.我们是怎样根据表格中的信息，得出篮球联赛的胜、负积分规则的？2.在实际问题中，通过一元一次方程求出解后，还要注意什么问题？【作业布置】1.教材P140习题5.3第7,12，13题.2.相应课时训练.板书设计第3课时球赛积分表问题1.从球赛积分表中读取信息2.用一元一次方程解决球赛积分问题教学反思球赛积分问题能较好地引起学生的学习兴趣.部分学生不能熟练地从表格中提炼自己需要的信息，今后要更注意对学生这方面能力的培养.另外，通过对方程解的实际意义的检验，学生更全面地理解了方程在实际问题中的应用.解题大招不同规则下的比赛问题不同的比赛，规则各不相同，如篮球比赛中，有2分球、3分球、罚球（罚中一次得1分）；另外有些比赛，除了有得正分和零分的情况，还有得负分的情况.不管是哪种类型的比赛，按对应规则计算总分即可.例1为了增强学生的安全防范意识，某校九年级（3）班举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共30道，记分规则如下：每答对一道得5分，每答错或不答一道扣1分.张丹一共得84分，则张丹答对的道数为多少？解：设张丹答对的道数为x，则答错或不答的道数一共为30-x.由题意，得5x-（30-x）=84.解得x=19.答：张丹答对的道数为19.例2某篮球运动员在一次篮球比赛中20投16中（含罚球），得30分（罚球命中1次得1分），已知他投中了1个3分球，则他投中了几个2分球？解：设他投中了x个2分球，则罚球罚进的个数为16-x-1.由题意得2x+3×1+1×（16-x-1）=30.解得x=12.答：他投中了12个2分球。
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等
数
学 电
第五节 积分表使用法
子
教
案
通常计算不定积分比计算导数要复杂和困难,
我们将常用的积分公式组成积分表（见课本）.
武
下面举例说明:
汉
科
技
学
院
数
理
系
高
等 数 学
例1
求
x2
dx 2x
1
电
分析：x2-2x-1中，b2-4ac=4x 2 d 2 x x 11 8ln 2 2 x x 2 2 8 8 C 2 1 2ln x x 1 1 2 2 C
2 tg 1 2a x bC(b24a)c
武 汉 科
ax2
dx bx
c
4a c b2 4a c b2 1 ln2axb b2 4acC (b2 4ac)
技 学
b2 4ac 2axb b2 4ac
院
数
理
系
高
等
数 学 电
例2
xdx x4 2x2 1
子 分析: 教
案 此在积分表中没有,但经过适当变化后,就可以利用积分表：
求
dx 5 4cosx
子
教 案
解: a b d cx o x s a 2ba a b bar(ca a tb b g tg 2 x) C
5 4 d cx x o 5 s 2 45 5 4 4 ar1 9 tc2 x g )t C g 3 2 ar ( 3 tc 2 x g ) tC g
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
xdx 1 d 2x 1 du 1 x 2 1 2
x 4 2 x 2 1 2x 4 2 x 2 1 2u 2 2 u 1 42 lx n 2 1 2 C
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
学 电
例4