生物统计学教案(10)

生物统计学教案

第十章一元回归及简单相关分析

教学时间：5学时

教学方法：课堂板书讲授

教学目的：重点掌握一元线性回归方程,掌握一元线性回归方程的检验和相关，了解一元非线性回归和多元回归与相关。

讲授难点：一元线性回归方程的检验和相关

10.1 回归与相关的基本概念

函数关系：F＝ma

相关关系：单位面积的施肥量、播种量和产量；血压和年龄；胸径和高度；玉米的穗长和穗重；身高和体重。

相关：设有两个随机变量X和Y，对于任一随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个分布与之相对应，称X和Y存在相关。

回归：对于变量X的每一个可能的值x i，都有随机变量Y的一个分布相对应，则称随机变量Y对变量X存在回归。X称为自变量，Y称为因变量。

条件平均数：当X＝x i时Y的平均数μY.X＝xi，称为条件平均数。

10.2 一元线性回归方程

10.2.1 散点图

例不同NaCl含量对单位叶面积干物质的影响

NaCl

含量X(g/kg土壤) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8

干重Y(mg/dm2) 80 90 95 115 130 115 135

从上图虽可以看出Y对X的线性关系，但点子并不在一条直线上。

例每一

NaCl含量下干物质10次重复值

干重(mg/dm2)重

复值

NaCl含量(g/kg土壤)

0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8

1 80 90 95 115 130 115 135

2 100 85 89 94 106 125 137

3 75 107 115 103 103 128 128

4 89 93 92 110 110 143 127

5 91 103 115 113 128 132 155

6 79 92 120 108 131 121 132

7 101 78 95 121 117 129 148

8 85 105 95 110 121 112 117

9 83 93 105 108 114 120 134

10 79 85 98 111 116 130 132

平均值 86.2 93.1 101.9 109.3 117.6 125.5 134.5

如果增加每一NaCl浓度下的重复次数，用其平均值画成散点图，则点子直线化的程度要好得多。上表给出10次重复的平均值，从下图中可见，点子更接近在一条直线上。当以Y的条件平均数所做的散点图，则完全在一条上。

10.2.2 一元正态线性回归模型

x

i

和各x i上Y的条件平均数μy.x可构成一条直线：

μ

Y

＝α＋βX

对于变量X的每一个值，都有一个Y的分布，其平均数是上式所示的线性函数。对于随机变量Y：

Y＝α＋βX＋ε

ε：NID(0,σ2) Y：NID(α+βX,σ2)

上式称为一元正态线性回归模型。

10.2.3 参数α和β的估计

在实际工作中，我们是无法得到α和β的，只能得到它们的估计值a和b，从而得到一条估计的回归线：

bX

a

Y+

=

ˆ

上式称为Y对X的回归方程，所画出的直线称为回归线。a是直线的截距，称为常数项；b是直线的斜率，称为回归系数。

对于因变量Y的每一个观测值y i：

y

i

= a + bx i + e i

y i 的回归估计值i yˆ是对i x Y⋅

μ的估计，因此

i

yˆ也是平均数。

在各种离差平方和中，以距平均数的离差平方和为最小。因此我们就把e i =

y

i

-i yˆ平方和为最小的直线作为最好的回归线。

记

()

∑

=

-

=

n

i

i

i

y

y

L

1

2

ˆ,求出使L达到最小时的a和b，这种方法称为最小二乘法。

为使()()[]

∑∑==+-=-=

n

i n

i i

i

i i

bx a y y

y

L 1

1

2

2

ˆ达到最小，令：

可以得到以下一组联立方程：

解该方程组，得到β的最小二乘估计：

及a 的最小二乘估计：

公式的分子部分称为X 和Y 的校正交叉乘积和，以S XY 表示。分母部分称为X 的校正平方和，以S XX 表示。因变量Y 的 平方和称为总平方和，以S YY 表示。因此，b 又可以表示为：

10.2.4 回归方程的计算

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=∂∂=∂∂00b

L a l

()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--∑∑==n i i i i n

i i i bx a y x bx a y 1

10202XX

XY

S S b =

()()

()

∑∑∑∑

∑∑∑=======---=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--

=

n

i i

n

i i i

n i i

n

i i n

i n

i i

n i i

i i

x x

y y x x

n

x x n y

x y x

b 1

2

1

2

1

1

21

1

1

x

b y a -=