第五章 平等线与相交线知识要点
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结1.直线的定义：直线是平面上的一组点，这些点的任意两个点都可以用直线上的一段有向线段连接起来。
直线也可以看作没有端点的线段。
2.相交线的性质：(1)相交线：两条直线在平面上的交点。
两条相交的直线不可能平行。
(2)轴：两条相交线的交点称为轴。
(3)垂直交线：两条相交线互相垂直，即交角为90度。
(4)垂线：一条直线与另一条直线垂直，称为垂线。
(5)垂直平分线：两条相交直线的交点到两条直线距离相等的直线，称为垂直平分线。
3.平行线的性质：(1)平行线：在同一个平面内，两条直线不相交，称为平行线。
(2)平行符号：在直线上标记一对箭头表示平行关系。
(3)平行线定理：-同位角定理：两条平行线与同一条横截线相交，所得相对应的内角相等，相对应的外角相等。
-平行线之间的任意一对同位角互相相等。
(4)平行线判定定理：-直线与直线平行判定定理：直线与一条直线平行，则与这条直线平行的所有直线都平行。
-同位角平行判定定理：两条直线被一条横截线所截，使同位角相等，则这两条直线平行。
-垂直线判定定理：两条直线互相垂直，则这两条直线平行于同一直线。
(5)平行线的性质：-平行线之间的距离相等：两条平行线上任意两点之间的距离相等。
-平行线的夹角：两条平行线被一条直线截断所得的内角和为180度。
-平行线的斜率：两条平行线的斜率相等或者其中一条线的斜率不存在。
4.平行四边形：(1)平行四边形定义：有两对对边分别平行的四边形。
(2)平行四边形的性质：-对边相等：平行四边形的对边相等。
-对角线：平行四边形的对角线互相平分。
-同位角：平行四边形的同位角互相相等。
5.直线的倾斜角：(1)倾斜角定义：一条直线倾斜角的正切值等于该直线的斜率。
(2)平行线的倾斜角：平行线具有相同的倾斜角。
(3)垂直线的倾斜角：垂直线的倾斜角之和等于90度。
6.平行线与欧几里得公设：(1)欧几里得公设五：经过点外的一条直线上至少有两条平行线。
初一第五章相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点整理摘要：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角，⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=︒；反之如果180αβ∠+∠=︒，则αβ∠∠与不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
5.1相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
AB C D O画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。
(完整版)相交线与平行线复习知识点总结
第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线（详见课本第2页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点. 如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O.2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线， 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质：对顶角 .4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°.5.1.2垂线（详见课本第3-5页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 .2、垂线的性质 （1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 . （2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 . 如图5所示，l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6-7页） 1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图5，直线b a ,被直线l 所截①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F ”型 ②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内 错角是“Z ”型③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做 角. 同旁内角是“U ”型 2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把 图形补全. 如上图6 5.2.1平行线（详见课本第11-12页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线.2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴ ；⑵ .（通常把 的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：AB CD 14321A BC DO 图2 OD C BA 图1 图5图6 21OC B A图3图4 623 4 5 78 9BA D EC13、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图7所示，直线AB 与直线CD 平行，记作AB ∥CD ，读作AB 平行于CD .4、平行线的画法：5、平行线的基本性质 （1）平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线 .（2）平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 .如上图8所示 5.2.2平行线的判定（详见课本第12-14页）1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角 ，两直线 .（2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角 ，两直线 .（3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角 ，两直线 .（4）平行线的概念：同一平面内，如果两条直线没有交点（不 ），那么两直线平行.（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 .（平行于同一条直线的两条直线也 ） （6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线， 那么这两条直线 .（垂直于同一条直线的两条直线 ）5.3.1平行线的性质（详见课本第18-19页） 1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简记：两直线 ，同位角 . （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简记：两直线 ，内错角 .（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简记：两直线 ，同旁内角 . 2、两条平行线的距离如图10，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ， 则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离. 3．平行线的性质与判定是互逆的关系: ○1两直线平行 同位角相等；○2两直线平行 内错角相等； ○3两直线平行 同旁内角互补.5.3.2命题、定理（详见课本第20页） 1、命题的概念： 一件事情的语句，叫做命题.2、命题的组成：每个命题都是 、 两部分组成. （1）题设是 事项； （2）结论是由已知事项 的事项.3、命题的表述句式：命题常写成“ ……， ……”的形式. 具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 . 5.4平移（详见课本第28-29页）1、平移变换的概念：把一个图形 沿某一 方向移动，会得到一个新图形的平移变换.2、平移的特征：①大小： ； ②形状： ； ③位置： ； ④对应点的连线： 且 . （1的形状与大小都没有发生变化. （2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.AD EBC 1 2图7 D C BA a b c 图8A EG B C F H D图10 性质判定性质性质判定判定A D BE CF 图12A B C DEF1 2 34自我检测1.如果两个角是互为邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( )2.同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( )3.两条直线被第三条直线所截,内错角的对顶角一定相等.( )4.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.( )5.两条直线都与同一条直线相交,这两条直线必相交.( )6.如右下图，,8,6,10,BC AC CB cm AC cm AB cm ⊥===那么点A 到BC 的距离是_____，点B 到AC 的距离是_______，点A 、B 两点的距离是_____，点C 到AB 的距离是________．7.设a 、b 、c 为同一平面上三条不同直线，a) 若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； b) 若,ab bc ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________； c)若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．8.如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．9.如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．10.如图，AB ∥DE ，试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系．解：∠B ＋∠E ＝∠BCE 过点C 作CF ∥AB ，则B ∠=∠____（ ） 又∵AB ∥DE ，AB ∥CF ，∴____________（ ） ∴∠E ＝∠____（ ） ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2 即∠B ＋∠E ＝∠BCE ．11.⑴如图，已知∠1＝∠2 求证：a ∥b ．⑵直线//a b ，求证：12∠=∠．12.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明EP ∥FQ ． 证明：∵AB ∥CD ，∴∠MEB ＝∠MFD （ ） 又∵∠1＝∠2， （ ）∴∠MEB －∠1＝∠MFD －∠2， （ ） 即 ∠MEP ＝_______∴EP ∥_____．（ ）13.已知DB ∥FG ∥EC ，A 是FG 上一点，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ，求：⑴∠BAC 的大小； ⑵∠P AG 的大小.14.如图，已知ABC ∆，AD BC ⊥于D ，E 为AB 上一点，EF BC ⊥于F ，//DG BA 交CA 于G .求证12∠=∠.15.已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．。
第5章 相交线与平行线 知识清单 2023--2024学年人教版七年级数学下册
第5章相交线与平行线5.1相交线5.1.1 相交线【知识点】（一）邻补角和对顶角1.只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.2.有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.3.对顶角形成的前提条件是两条直线相交；邻补角、对顶角成对出现；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个.（一个角的补角可以有无数个）4.邻补角与补角有什么关系？邻补角是一种特殊的补角，邻补角是两个具有公共边且互补的角. 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.5.性质：邻补角互补；对顶角相等.6.【易错】相等的两个角不一定是对顶角；两个角的和等于180°，这两个角不一定是邻补角.7.【拓展】若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为90°.8.【拓展】n条不同的直线相交于一点，会产生n(n-1)对对顶角.5.1.2 垂线【知识点】（一）垂线的定义、画法1.当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂直用符号“⊥”表示，如：直线AB 与直线CD垂直，记作AB⊥CD.2.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（一条直线的垂线有无数条）3.【判断】（1）两条直线互相垂直，则所有的邻补角都相等；（2）根据两条直线相交所成的角都相等，也能判断两条直线垂直；（3）一条直线不可能与两条相交直线都垂直；（4）两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直；（5）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.4.过一点画已知直线的垂线根据垂直的定义，直角的两边是互相垂直的，因此画一条直线的垂线就是作直角，一般有如下两种画法：（1）利用三角尺的两直角边．它的基本步骤是：一靠：将三角尺的一条边紧靠在已知直线AB上；二过：使三角尺的另一直角边经过已知点C；沿已知点所在的直角边画出的直线就是所画直线AB经过点C的垂线．（2）利用量角器，它的基本步骤是：让量角器的0°线紧靠在已知直线上，再让90°的射线经过已知点，即可画出已知直线过已知点的垂线．（在画线段的垂线时，有时需先把线段延长，再画线段所在直线的垂线，所以垂足可能在线段上，也可能在其延长线上）5.【当前超纲：涉及全等三角形、圆知识】过一点作已知直线AB的垂线【方法一】点在直线上或点在直线外均适用（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁（若点C在直线上，则跳过第一步）（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E（若点C在直线上，以任意半径作弧，只要保证C点为DE中点即可）（3）分别以点D和点E为圆心，大于1DE的长为半径作弧，两弧相交于点F2（4）作直线CF，CF即为直线AB的垂线（利用全等三角形SSS可以证明）（底层思想：作线段DE的中垂线）【方法二】仅适用点在直线外（1）在直线l上任取两点A，B（2）分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线CD，CD即为直线AB的垂线（直线l是线段CD的中垂线）（二）垂线性质的应用1.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短.2.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.（解决最短路线问题，往往需要运用“两点间线段最短”和“垂线段最短”的数学结论.）5.1.3 同位角、内错角、同旁内角【知识点】1.两条直线被第三条直线所截，没有公共顶点的两个角有同位角、内错角、同旁内角.2.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫做同位角，“F”字型，“同旁同侧”（截线同侧，被截线的同方向）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫做内错角，“Z”字型，“之间两侧”（截线两侧，被截两线之间）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫做同旁内角，“C”字型，“之间同侧”（截线同侧，被截两线之间）3.判断“三线八角”中两个角的位置时，应先找出这两个角的公共边，公共边所在的直线就是截线，另外两条直线就是被截线.4.在复杂图形中，一个角的同位角，或内错角，或同旁内角可能不止一个.5.2 平行线及其判定5.2.1平行线【知识点】1.在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线. 平行线用符号“//”表示，如AB//CD，读作直线AB平行于直线CD.2.在同一平面内，两条直线的位置关系是相交或平行.3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（有无数条直线与已知直线平行）4.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5.在同一平面内，任意三条直线有四种不同的位置关系：（1）三条直线平行（2）三条直线交于一点（3）三条直线两两相交但不交于一点（4）只有两条直线平行5.2.2平行线的判定【知识点】1.判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.2.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行）.3.判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行）.4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（可以直接使用）.5.证平行线的方法：找出要证两直线被第三条直线所截，看是否满足同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可.6.判定两条直线平行的5种方法：（1）定义法：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.（没有公共点的两条直线）（2）平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.（3）同位角相等，两直线平行（4）内错角相等，两直线平行（5）同旁内角互补，两直线平行5.3 平行线的性质5.3.1平行线的性质【知识点】1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.4.【链接240408】平行线间拐角模型5.3.2命题、定理、证明【知识点】1.判断一件事情的语句，叫做命题，命题由题设和结论两部分组成. 题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.2.任何一个命题都可以写成“如果……那么……”（“若……则……”）的形式，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.3.一个命题是真命题，它的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理.4.命题“对顶角相等”的题设是有两个角是对顶角，结论是这两个角相等.5.若a2=b2，则a=b. 这个命题是假命题.6.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明. 证明的根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等.7.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的假设，但不满足结论就可以了.5.4 平移【知识点】1.在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移.【平移概念中的“平”字指：不翻、不转、平稳过度，保持原来的姿势沿着一定方向运动】2.决定平移的因素有两个，即平移的方向和平移的距离.3.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.（平移改变的是图形的位置）4.经过平移所得的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等.5.在平移过程中，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各对对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.6.平移三角形ABC，使A移动到点A′. 画出平移后的三角形A′B′C′.解：如图，连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′=AA′，点B′就是点B 的对应点.类似地，作出点C的对应点C′. 连接A′B′，B′C′，A′C′，则三角形A′B′C′就是平移后的三角形.7.平移作图步骤总结：（1）分析题目要求，找出平移的方向和距离；（2）分析所作图形，找出构成图形的关键点；（3）沿平移方向，按平移的距离平移各个关键点；（作相关的平行（或在同一直线上）且相等的线段）（4）按照原来图形的连接方式连接所作的各个关键点，并标上字母，就可得到平移后的图形.8.对于一些不规则的图形可通过平移，将其转化为规则图形进行求解. 如：求不规则的线段的长度通过平移转化为规则线段的长度，不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差计算.。
七下数学第五章相交线与平行线知识点
七下数学第五章相交线与平行线知识点
七下数学第五章相交线与平行线包括以下几个知识点：
1. 平行线的判定：两条直线如果在同一个平面内，且没有交点，那么它们是平行线。
2. 平行线的性质：
a. 平行线上的任意两点与第三条线的交点分别都与平行线上的对应点连线相平行。
b. 平行线之间的距离是不变的，无论在任何位置上测量。
3. 线的相交情况：
a. 直线与直线相交，交点为一点。
b. 直线与平行线相交，交点为无穷远处的一点（虚交点）。
c. 平行线与平行线相交，交点不存在。
4. 相交线的判定：
a. 两条直线相交，交点只有一个。
b. 两条直线平行，交点不存在。
c. 两条直线重合，交点有无数个。
5. 用相交线运用到的一些概念：
a. 对偶关系：如果两条直线相交于一个点，那么这两条直线互为对偶关系。
b. 垂直线：两条互相垂直的直线相交于直角。
6. 平行线判定定理：
a. 若两条直线被一组平行线切割，那么这两条直线也是平行线。
b. 若两条直线分别与一组平行线平行，那么这两条直线也是平行线。
这些知识点是七下数学第五章相交线与平行线的重点，通过学习这些内容，能够更好地理解和运用在平行线和相交线的相关问题中。
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结相交线和平行线是几何学中的重要概念，它们在解决平面几何问题中起着重要作用。
本文将对相交线和平行线的基本概念、性质以及相关定理进行总结。
通过深入理解这些知识点，我们可以更好地应用它们解决几何问题。
1. 相交线的基本概念和性质相交线是指在平面上有一个或多个公共点的线段。
对于两条相交线，有以下基本性质：- 相交线的交点称为交点，两条相交线的交点只有一个。
- 相交线之间不存在夹角大小的关系，夹角的大小取决于相交线的具体角度。
2. 平行线的基本概念和性质平行线是指在同一个平面内不相交且永远也不会相交的两条直线。
对于平行线，有以下基本性质：- 平行线之间的距离始终保持相等。
- 平行线之间不存在夹角，夹角大小为0°。
- 平行线的斜率相等。
3. 相交线与平行线的关系相交线与平行线之间存在一些重要的关系：- 若两条线段相交于一点，并且这两条线段中至少有一条是平行线，则其他线段也必然是平行线。
- 若两条直线与同一条直线相交而呈同侧内角，且这两条直线之一与另一条平行线，则这两条直线也必然平行。
- 若两条直线都与同一条直线相交，并且两直线的内角和为180°，则这两条直线是平行线。
4. 相关定理在相交线与平行线的研究中，存在一些重要的定理：- 同一侧内角定理：如果一条直线与另外两条直线相交，形成的两个内角，那么这两个内角要么同时是锐角，要么同时是钝角。
- 交叉线定理：如果两条平行线分别与某一第三条直线相交，那么这两条交线的内外角之和为180°。
- 锐角平分线定理：如果射线是一条直线的角平分线且与这条直线的另一射线相交，那么这两条交线将构成一对平行线。
5. 解决几何问题的应用相交线与平行线的知识在解决几何问题时起着重要作用，常见的应用包括：- 判断两条线段是否相交，并找到相交点的坐标。
- 判断两条线段是否平行或垂直。
- 证明两条线段的平行性、垂直性等。
总之，相交线与平行线是解决平面几何问题的基础概念。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。
平行线的特点是它们的斜率相等，且不相交。
若两条直线平行，则可表示为l，m。
平行线的性质：1.平行线具有等于90°的斜角。
2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。
这一性质被称为垂直平行线定理。
3.如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。
4.平行线的反身性质：如果l，m，则m，l。
二、平行线的判定方法1.高度差法：通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。
2.点斜式法：通过两点确定的直线斜率相等来判定。
3.斜率法：两直线斜率相等，则平行。
4.三角形内角和法：若两直线被一条直线所截，则截线两侧内角和相等，则平行。
三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上，会相交的两条或更多条直线。
相交线两两相交于一点，称之为交点。
相交线的性质：1.相交线之间的交角之和等于180°，即交角互补。
2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。
3.相交线的交点称为顶点，可以通过顶点来判断直线相交的情况，包括内角和外角。
四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理：当一条直线与两条平行线相交时，它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。
2.内错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的内错角相等。
3.同位角定理：同位角为同侧的内角，当两直线被另一直线切割时，同位角相等。
4.外错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的外错角互补。
五、应用举例1.在平行四边形中，对角线互相平分。
2.平行线截割三角形：当一条线段与两条平行线相交时，它将三角形切割成两个面积相等的三角形。
3.测量高度：通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。
4.道路设计：在公路设计中，平行线可以将车道分隔开，并引导交通流向。
在几何学中，平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。
七年级下册数学第五章相交线与平行线
七年级下册数学第五章相交线与平行线
以下是七年级下册数学第五章相交线与平行线的知识点：
1. 相交线：相交线是指两条直线在同一个平面内交于一点。
在相交线中，我们主要研究的是对顶角和邻补角。
对顶角相等，邻补角互补。
同时，我们还学习到了垂线，即直线与给定直线垂直，且交于一点。
2. 平行线：平行线是指两条直线在同一平面内，且不相交。
平行线具有传递性，即如果a平行于b且b平行于c，那么a平行于c。
此外，我们还学习了平行线的性质和判定方法。
3. 平行线的性质：平行线的性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
这些性质是平行线的基本性质，也是解决相关问题的关键。
4. 平行线的判定方法：平行线的判定方法包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
通过这些判定方法，我们可以确定两条直线是否平行。
5. 平行线的应用：平行线在几何学中有着广泛的应用，如证明两个三角形相似或全等、解决角度和距离的问题等。
同时，在现实生活中，平行线也有很多应用，如建筑、道路规划等。
以上是关于七年级下册数学第五章相交线与平行线的主要知识点，掌握这些知识点有助于更好地理解几何学中的基本概念和性质，提高解决问题的能力。
初中数学七年级数学第五章相交线和平行线(全章知识图文详解)
(4) ……
20
… 2 … n(n—1） 对对顶角 若有n条直线相交于一点O，那么有__________
七年级数学相交线和平行线
对顶角知识总结
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。 2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做 对顶角。 3、对顶角的性质：对顶角相等。 4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两 个角 相等的依据及重要桥梁。 5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是 对顶角。
F
七年级数学相交线和平行线
观察∠1和∠5两角:
8
5 6
7 3 2
4
1
七年级数学相交线和平行线
观察∠1和∠5两角:
∠5在截线的________ （左侧、右侧） ∠1在截线的________ （左侧、右侧） 都在截线的同侧 5 8 5 4 6 3 2 7 1
1
七年级数学相交线和平行线
观察∠1和∠5两角:
C 一个角的邻补角有两个。如图∠3的邻补角有∠1和 ∠2 A
2 3
D
O 1
B
七年级数学相交线和平行线
提问：∠1、∠2还是邻补角吗？
1
2
1
2
邻补角是有特殊位 置关系的两个互补 的角。
∠1、∠2的和是多少度？
∠1和∠2还是补角吗？
∠1和∠2还是邻补角吗？
七年级数学相交线和平行线
练习：
1 、如图所示，三条直线 AB 、 CD、EF相交于一点O,∠AOC C 的对顶角是 ， ∠COF的对顶角是_______, E ∠COB的邻补角是 。
2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延 长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是 对顶角。
七下数学第5-8章知识点整理
b a 4321OD C B A数学第五-八章知识点整理第五章 相交线与平行线一、相交线 两条直线相交，形成4个角1.邻补角：两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线.具有这种关系的两个角,互为邻补角.如：∠1、∠2.2.对顶角：两个角有一个公共顶点,并且一个角的两条边,分别是另一个角的两条边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为对顶角.如：∠1、∠3. 3.对顶角相等. 二、垂线 1.垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直.2.垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.3.垂足：两条垂线的交点叫垂足.垂直的推理应用： （1）∵∠AOD=90° （已知） ∴AB ⊥CD （垂直的定义 ） （2）∵ AB ⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90°（垂直的定义 ）4.垂线特点：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.5.点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.三、同位角、内错角、同旁内角 ：两条直线被第三条直线所截形成8个角1.同位角:在两条直线的上方，又在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角.如：∠1和∠5.(“F ” 字型)2.内错角:在在两条直线之间，又在直线EF 的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角.如：∠3和∠5.(“Z ” 字型)3.同旁内角:在在两条直线之间,又在直线EF 的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角.如：∠3和∠6.(“U ” 字型)四、平行线：(一) 平行线1.平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.a ∥b2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线互相平行.②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.(二)平行线的判定：1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行.(三)平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.以上性质可简单说成：1.两条直线平行，同位角相等；2.两条直线平行，内错角相等；3.两条直线平行，同旁内角互补.(四)命题、定理1.命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.2.命题的组成:每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论.3.真命题：正确的命题，题设是成立，结论一定成立.4.假命题：错误的命题，题设是成立，不能保证结论一定成立.5.定理:经过推理证实得到的真命题.(定理可以做为继续推理的依据)(五)平移1.平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小.2.平移的性质①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.第六章实数一、算术平方根1.算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正0的算术平方根为数x叫做a0.2.平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根(或二次方根),记作3.开平方：求一个数a的平方根的运算(与平方互为逆运算)4.平方根性质：正数有2个平方根(一正一负)，它们是互为相反数;0的平方根为0;负数没有平方根.二、立方根1.立方根：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么数x就叫做a的立方根(或三次方根).2.开立方：求一个数a的立方根的运算(与立方互为逆运算)3.立方根性质:正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数.注意：算术平方根等于本身的数是0，1；平方根等于本身的数是0；立方根等于本身的数是0，-1,1；三、实数1.无理数：无限不循环小数.如：π、√2、√32.实数：有理数和无理数统称实数.实数都可以用数轴上的点表示,实数与数轴上的点一一对应.第七章平面直角坐标系一、平面直角坐标系(一) 有序数对1.有序数对:用两个数来表示一个确定个位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作(a,b)2.坐标：数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示，这个数(或数对)叫做这个点的坐标.(二)平面直角坐标系1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴.这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系.2.X轴或横轴：水平的数轴叫X轴或横轴.向右方向为正方向。
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第五章平等线与相交线知识要点
1、同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
2、有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角. 邻补角互补. 有一个公共顶点,并且两边都互为反向延长线的两个角互为对顶角.对顶角相等
3、两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
注意:(1)垂线是一条直线;
(2)具有垂直关系的两条直线所成的四个角都是90°;
(3)当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线互相垂直；
(4)垂直是相交的一种特殊情况;
(5)垂直的记法：a ⊥ b，AB ⊥ CD；
(6)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
4、画已知直线的垂线有无数条。
经过已知直线上或直线外一点，能画已知直线的一条垂线，并且只能画一条垂线。
5、垂线的性质：
(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
6、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
7、两条直线被第三条直线所截构成八个角，同位角在截线的同旁，被截两直线的同方向，简称同旁同侧，“F”；内错角在截线两旁，被截两直线之间，简称两旁之间，“Z”;同旁内角在截线同旁，被截两直线之间简称同旁之间，“U”。
8、在同一平面内，两条直线不相交，则这两条直线互相平行，记作：a ∥ b。
在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行。
9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即b∥a，c ∥a，则b∥c.
10、平行线的判断方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，[平行于同一条直线的两条直线互相平行]，即b∥a，c ∥a，则b∥c.
（5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，[垂直于同一条直线的两条直线互相平行]，即b⊥a，c ⊥a，则b∥c.
11、平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
（4）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。
12、判断一件事情的语句，叫做命题。
（1）命题由题设和结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
（2）命题常写成“如果……，那么……”的形式。
这时，“如果”后接的部分是题设，用“那么”后接的部分是结论，即“如果”﹢题设，“那么”﹢结论。
（3）命题可以分成真命题和假命题两种，真命题叫做定理。
（4）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式。
①“对顶角相等”改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
“邻补角互补”改写成“如果两个角是邻补角，那么这两个角互补”。
②“同角的余角相等”改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。
“同角的补角相等”改写成“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”。
③“同位角相等”改写成“如果两个角是两条直线被第三条直线所截得的同位角，那么这两个角相等”。
“内错角相等”改写成“如果两个角是两条直线被第三条直线所截得的内错角，那么这两个角相等”。
“同旁内角互补”改写成“如果两个角是两条直线被第三条直线所截得的同旁内角，那么这两个角互补”。
④“同位角相等，两直线平行”改写成“如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行”。
“内错角相等，两直线平行”改写成“如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行”。
“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”。
⑤“两直线平行，同位角相等”改写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”。
“两直线平行，内错角相等”改写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等”。
“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补”。
13、平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变物体的形状和大小。
（1）会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。
连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
（3）图形平移的方向，不限于是水平的。
（4）决定图形平移的条件是平移的方向和平移的距离。