理数---解析几何轨迹问题归纳与总结
中考数学专题复习-轨迹问题
E 中考数学核心知识专题复习----轨迹问题探究符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹六种常用的基本轨迹：①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。
②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。
④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。
⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。
⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。
一、尺规作图：轨迹法确定动点位置1）已知∠AOB,求作点P，使得点P到角两边距离相等，且满足OP=22）已知∠AOB和直线L,在直线L上确定点P，使得使得点P到角两边距离相等3）已知∠AOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD4)已知线段AB和直线L，在直线L上确定点P使得∠APB=600C AADO B OB1)2)LALO B A B3)4)二交轨法应用1.在正方形ABCD中，为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将∆ABE对折之∆PBE位置。
若AB=2，且PC=1.1)不全图形B2) 求 tan ∠ PCD 的值ADBC2．如图，在 △Rt ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段 AB 上的动点，过点 A 作 AH ⊥CD于点 H ，连接 BH ，则② 求 AB 的长②求 BH 的最小值。
AD HCB3．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC ，BC 边上各取一点 E ，F ，连接 AF ，BE 相交于点 P ．且 AE =CF ；（1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数； （2）若 AE =2，试求 AP AF 的值；（3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长．4．如图，以 G （0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C ，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点， CF ⊥ AE 于 F ．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长yCGEAD5．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，求点G移动路径的长6.问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．三、坐标系中的动点问题动点P(a,2)的运动轨迹是____________________________________________________动点P(a,a+2)的运动轨迹是__________________________________________________动点P（a,a2-2a）的运动轨迹是_________________________________________________1．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P(a,3)是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．yBOCPQA xD （1）当 a =1 时，求点 Q 的坐标（2）当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 a = _______ 时，AQ +BQ 的值最小为 _________ ．△8．如图， AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，1 点 A 在反比例函数 y的图象上．设点 B 的坐标xByA为 (m , n ) ，则 n 与 m 的等量关系是______________．O x3．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点为，直线 y = kx +2 与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，动点 D 在射线 AO 上，将线段 DB 绕着点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DC ．设点 D 的横坐标为 m ．（1）请直接写出 B 点的坐标；（2）当 k 为何值时，四边形 ADCB 为平行四边形？yBC（△3）当 BOC 的周长最小时，求 m 的值．AO x。
(完整版)解析几何考点和答题技巧归纳
解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。
这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。
② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。
高中数学解析几何总结非常全
高中数学解析几何总结非常全高中数学解析几何第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：?<≤?1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k（1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y =注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+byax ；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识点总结高中数学解析几何知识点总结笔记空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面。
按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp。
空间向量法。
两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp。
空间向量法。
若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面。
直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行。
①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角;b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。
直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a 的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识点总结一、平面解析几何在平面解析几何中，我们主要研究平面上的点、直线、圆、曲线等几何对象。
平面解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题，通过建立坐标系和引入坐标变量的方法，将几何问题转化为代数问题进行研究。
在平面解析几何中，有一些重要的知识点需要掌握，下面我们将逐一进行讲解。
1. 坐标系坐标系是平面解析几何的基本工具，它通过数轴的方式将平面上的点和几何对象进行了定位。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
直角坐标系是由水平轴和垂直轴组成的，水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
平面上的每个点通过它的横坐标x和纵坐标y来确定，就可以唯一确定一个点的位置。
例如，点A(x,y)表示了点A在坐标系中的位置。
极坐标系是以原点O和一条射线作为坐标轴，用点到原点的距离r和与射线的夹角θ来表示点的位置。
在极坐标系中，点的坐标表示为(r,θ)。
2. 直线的方程在直角坐标系中，直线可以用方程y=ax+b或者y=kx+b来表示，其中a、b、k为常数。
当a≠0时，直线的方程为y=ax+b，a称为直线的斜率，b称为直线的截距；当a=0时，直线的方程为y=b，其斜率为0，直线与y轴平行。
另外，直线还可以用斜截式、截距式、两点式等来表示，学生需要灵活掌握不同表示方法，并能够相互转化。
3. 圆的方程在平面解析几何中，圆是一个重要的几何对象，它的方程可以用不同的形式表示。
在直角坐标系中，圆的方程一般写为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中（a，b）为圆心的坐标，r为圆的半径。
4. 曲线的方程除了直线和圆之外，学生还需要学习其他曲线的方程，如抛物线、椭圆、双曲线等。
这些曲线都有各自的方程形式，在解析几何中有着重要的应用。
5. 解析几何的基本性质和定理在学习平面解析几何时，学生还需要掌握一些基本的性质和定理，如两点间的距离公式、直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等。
专题四解析几何-轨迹
专题四 平面解析几何（轨迹问题）(1)直接法：直接利用条件建立x 、y 之间的关系F (x ，y )＝0.(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程．(3)相关点法(代入法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得出要求的轨迹方程． (4)参数法：将动点的坐标(x ，y )表示为第三个变量的关系式，再消参得所求方程．一、 直接法求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),x y ，轨迹方程就是,x y 之间的等式，关键是找到等量关系，然后用,x y 表示。
例1. 点A(0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．分析：本题可用求轨迹方程的一般法，先有几何性质得到等式|OB|2＝|MO|2＋|MA|2然后通过两点间的距离公式转化为,x y 之间的等式。
.解：设点M(x ，y)．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ，又因为∠BAC ＝90°，所以|MA|＝12|BC|＝|MB|.因为|MB|2＝|OB|2－|OM|2，所以|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．变式.已知坐标平面上点M(x ，y)与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5．求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；解： 由题意，得|M 1M||M 2M|＝5．(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0， 即()()221125x y -+-=，所以点M 的轨迹方程()()221125x y -+-=，轨迹是以()1,1为圆心，以7为半径的圆．二、相关点代入法例2.已知点M(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N(4，0)，点P(x ，y)为线段MN 的中点．求点P(x ，y)的轨迹方程；分析：求轨迹方程的相关点代入法，P(x ，y)与M(x 0，y 0)为相关点。
高中数学解析几何基础知识点总结
高中数学解析几何基础知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形与代数关系之间的联系。
高中数学中的解析几何部分，涉及了许多基础知识点，本文将对这些知识点进行总结和归纳。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，也是分析几何问题的起点。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的表示和运算来描述和研究几何图形。
1. 坐标点的表示在平面直角坐标系中，任意一点可以用有序数对(x, y)表示，其中x 表示横坐标，y表示纵坐标。
横轴和纵轴交点的坐标为原点O，横轴为x轴，纵轴为y轴。
2. 坐标点的运算坐标点的运算主要包括坐标点的加法、减法和乘法运算。
两点坐标相加减得到的结果是一个新的坐标点，两点的连线即为线段。
两点坐标相乘得到的结果是一个面积，在解析几何中常用于计算三角形的面积。
二、直线的方程直线的方程是解析几何中的重要内容，通过方程可以准确地描述直线的位置和性质。
一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
一般式方程可以表示直线的所有点。
2. 斜截式方程斜截式方程的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴交点的纵坐标。
斜截式方程可以方便地求直线的斜率和与坐标轴的交点。
3. 截距式方程截距式方程的形式为x/a + y/b = 1，其中a、b分别表示直线与横轴和纵轴的截距。
截距式方程可以方便地求直线与坐标轴的截距。
4. 两点式方程两点式方程的形式为(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以方便地求直线经过两个已知点。
三、圆的方程圆是解析几何中的一种重要几何图形，通过方程可以精确地描述圆的位置和性质。
1. 标准式方程标准式方程的形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
标准式方程可以方便地求圆心和半径。
解析几何求轨迹基本方法
解析几何中轨迹问题的求解策略求曲线方程的常用思路和方法1.直译法例1 求与y 轴相切，并且和圆2240x y x +-=外切的圆的圆心的轨迹方程. 解 由2240x y x +-=，有()22222x y -+=.设动圆的圆心P 的坐标为(x ，y).根据题意设点A 的坐标为(2，0)，则有2PA x =+，即2x =+.化简整理得244y x x =+.当0x ≥时，28;y x =当x ﹤0时，y=0.综上可知，所求圆心的轨迹方程为28y x =(x ≥0)或y=0(x <0).小结 直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x 、y ，所得方程即为所求动点的轨迹方程.用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论.2.定义法例2 已知圆C ：()22125x y ++=内一点A(1，0)，Q 点为圆C 上任意一点，线段AQ的垂直平分线与线段CQ 连线交于点M ，求点M 的轨迹方程.解 连接AM ，点M 在线段AQ 的垂直平分线上，则AM=MQ. 5=+MQ CM ，∴5=+MA CM .故点M(x ，y)到点C(-1，0)和点A(1，0)的距离之和是常数5，且5>2.所以点P 的轨迹是一个以A 、C 为焦点的椭圆.∵2a=5，2c=2，∴222214b ac =-=.∴点M 的轨迹方程为221252144xy+=.小结 若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程.用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，然后用待定系数法求解. 3.代入法例3 抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点M(0，-1)作直线l 交抛物线于不同两点A 、B ，以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程.解 设点R 的坐标为(x ，y)，平行四边形FARB 的对角线的点为P(x 0，y 0)，F(0，1)，由中点坐标公式可得001,22x y x y +==.设A 点的坐标为(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则可知x 1≠x 2, 且x 12=4y 1，x 22=4y 2.上述两式对应相减得x 12-x 22=4(y 1-y 2).从而有02A B x k =.又A 、P 、B 、M 四点共线，且001PM y k x +=，由K AB = K PM 可得x 02=2(y 0+1).把001,22x y x y +==代入上式并整理得x 2=4y+12.小结 动点是直线被圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可获得动点的轨迹方程.事实上这就是中点弦问题的处理方法. 4.参数法例4 已知点P 在直线x=2上移动，直线l垂直，通过点A(1，0)及点P 的直线m 和直线l 相交于点Q Q 的轨迹方程.解 如图1所示，设OP 所在直线的斜率为k ，则点 P 的坐标为(2，2k).由l O P ⊥，得直线的方程为x+ky=0. ① 易得直线m 的方程为y=2k(x-1). ②由于点Q(x ，y)是直线l 和直线m 的交点，所以将①②联立，消去k ，得点Q 的轨迹方程为02222=-+x y x (x 小结 当动点坐标满足的等量关系不容易直接找到时，我们可选取与动点坐标有密切关系的量(如角、斜率k 、比值等)作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法.圆与圆锥曲线的轨迹问题例5 如图2所示，矩形A B C D 的两条对角线相交于点(20)M ，，A B 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在A D 边所在的直线上.(1)求A D 边所在直线的方程. (2)求矩形A B C D 外接圆的方程.(3)若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形A B C D 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程.解 (1)A D 边所在直线的方程为320x y ++=. (2)矩形A B C D 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.(3)因为动圆P过点N，所以P N是该圆的半径.又动圆P与圆M外切，所以PM PN=+PM PN-=故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长a=半焦距2c=，所以虚半轴长b==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x yx-=≤.小结根据题设条件，分析矩形图形的有关性质，通过解由两个直线方程组成的方程组求得圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出半径，从而得出“矩形ABCD的外接圆”的标准方程.本题的第(1)问和第(2)问，将平面几何中的一个重要而基本的图形——矩形与圆结合起来，难度不大，但考查的基础知识却不少.立体几何与解析几何的轨迹问题1.轨迹为椭圆例6如图3所示，AB是平面a的斜线段，A在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点PA.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解根据△ABP的面积为定值，线段AB是定值，则动点P到线段AB的距离也是定值，设此定值为d，所以点P在平面a的轨迹是一个以d为半径且与线段AB垂直的圆在平面a上的投影，即为椭圆.选B.小结涉及面积、点到直线的距离等多个知识点的综合，实质利用投影，考查对椭圆图像的理解.2.轨迹为抛物线例7如图4所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一个动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解由C1D1⊥平面BB1C1C，得PC1⊥C1D1，所以PC1就是点P到直线C1D1的距离.因此已知条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，可知点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.小结例6和例7均巧妙地利用了题中某些定值定量条件，从而转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法之一.3.轨迹为双曲线例8已知αα∉e,，过点P引与直线e成45°角的直线交平面α于Q，则Q点⊂p的轨迹是A.两个点B.双曲线C.椭圆D.抛物线解如图5所示，过点P作PO⊥α于O点，以过O点与e平行的直线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系.过点Q作OA⊥x轴于A.设Q点的坐标为(x，y，0)，则A点的坐标为(x，0，0).由于P点固定，我们不妨设P(0，0，h)，由OA=PA，可知y2=x2+h2.故Q点的轨迹是双曲线.选B.小结解答本题时，首先建立空间直角坐标系，然后把立体几何与解析几何知识直接联系起来，根据圆锥曲线的定义作出判断.。
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识点总结解析几何是高中数学中的重要内容之一，掌握解析几何的知识点对于学习数学和理解几何概念有着重要的作用。
本文将对高中数学中常见的解析几何知识点进行总结，并简要介绍其相关概念和应用。
一、坐标系与向量在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述平面上的点和向量。
笛卡尔坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，其中横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
平面上的每一个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
向量是解析几何中另一个重要的概念，它由起点和终点组成，可以表示平面上的位移和方向。
向量的表示通常使用有向线段来表示，我们可以将有向线段的起点放在坐标原点，并表示为一个有序数对(x, y)。
向量的模表示了有向线段的长度，方向与有向线段的方向相同。
“向量A”通常用符号→A表示。
二、直线与曲线的方程在解析几何中，直线和曲线可以通过方程来表示。
对于直线而言，它通常可以使用一次方程的形式来表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
曲线的方程则复杂一些，常见的曲线方程包括二次方程、圆的方程等。
例如，二次曲线的方程一般形式为Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数。
三、点与线的位置关系解析几何中，点与直线之间有着不同的位置关系。
常见的位置关系包括点在线上、点在直线上方或下方、点在线段上等。
判断点在线上的方法是将点的坐标代入直线方程，若等式成立，则点在线上。
同时，当点与直线之间的距离为零时，也可认为点在线上。
四、直线与直线的位置关系在解析几何中，直线与直线之间有着不同的位置关系。
常见的位置关系包括平行、垂直、相交等。
若两条直线的斜率相等，则它们平行；若两条直线的斜率乘积为-1，则它们垂直。
两条直线相交的条件是它们不平行且不重合。
五、圆的方程与性质圆是解析几何中一个重要的曲线，它由平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合构成。
2023年高考数学----轨迹问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----轨迹问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则下列命题：①点M 可以是棱AD 的中点； ②点M 的轨迹是菱形； ③点M 轨迹的长度为2④点M . 其中正确的命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】连接,AC BD ，交于O ，则O 为,AC BD 中点，因为F 为1BD 的中点，所以1//FO DD ， 由正方体的性质可知1DD ⊥平面ABCD ， 所以FO ⊥平面ABCD ， 因为DE ⊂平面ABCD ， 所以FO DE ⊥，过点O 作PQ DE ⊥，分别交,BC AD 于,P Q ，过点,P Q 分别作11//,//PH BB QG AA ，分别交1111,B C A D 于点,H G ，连接GH ， 所以，PQGH 四点共面，且//,GQ PH GQ PH =， 所以，四边形PQGH 为平行四边形， 因为1AA ⊥平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面ABCD ， 所以PH PQ ⊥所以，四边形PQGH 为矩形，因为PQ FO O =，,PQ FO ⊂平面PQGH ， 所以DE ⊥平面PQGH ，因为点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥ 所以，当FM ⊂面PQGH 时，始终有FM DE ⊥， 所以，点M 的轨迹是矩形PQGH ，如下图，因为2DQO QDE QDE AED π∠+∠=∠+∠=，所以，DQO AED ∠=∠， 所以，AQO BED ∠=∠， 因为4OAQ EBD π∠=∠=，所以AOQ △∽BDE △，所以AQ AO BE BD =，即12AQ=，即14AQ = 所以14CP AQ ==，PQ =， 所以，点M 不可能是棱AD 的中点，点M 的轨迹是矩形PQGH ，轨迹长度为矩形PQGH的周长212⎫⎪⎪⎝⎭，1 故正确的命题为③④.个数为2个. 故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D −的边长为2，点E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点，点P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长为（ ）A B ．2CD ．1【答案】A【解析】画出示意图如下：取1CC 中点N ，取11D C 中点M ，连接11,,,B M B N MN ME ,则11,ME B B ME B B =∥,则四边形1MEBB 为平行四边形，所以1B M ∥BE ， 连接1D C ,则11,MN D C EF D C ∥∥,故MN ∥EF ，又1B M MN M BE EF E ⋂=⋂=， ，1,B M MN ⊂平面1B MN ,BE EF ⊂平面BEF, 所以平面BEF ∥平面B 1MN ，平面1B MN ∩平面11CDD C =MN ，所以P 点轨迹即为MN ，长度为11||||2MN D C == 证明：因为平面BEF ∥平面1B MN ，P 点是MN 上的动点，故1B P ⊂平面1B MN ，所以1B P ∥平面BEF ，满足题意. 故选：A ．例3.（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（ ）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AC 所成的角为π3C ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD −所得的截面为五边形D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为12时，动点T 的轨迹是圆 【答案】D【解析】可将四棱锥P ABCD −补形成正方体ABCD PB CD ''−，如图①，直线AG 即体对角线AC '，易证AC '⊥平面PDB ，A 选项正确； 如图②，取CD 的中点H ，连接FH ，可知FH AC //，所以GFH ∠ （或其补角）与直线FG 和直线AC 所成的角相同，在FGH 中，FG GH FG ==，所以π3GFH ∠=，B 选项正确；如图③，延长EF 交直线CD 于点H ，交直线BC 于点I ，连接GI 交PB 于点M ，连接GH 交PD 于点N ，则五边形EFNGM 即为平面EFG 截 四棱锥P ABCD −所得的截面，C 选项正确；当12AGT S =△时，因为AG 所以点T 到AG 点T 在以AC 为轴，底面半径r =T 在平面ABCD 上，所以点T 的轨迹是椭圆．D 选项错误． 故选：D例4．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体1AC ，P 为平面11B BD 内一动点，设二面角11A BD P −−的大小为α，直线1A P 与平面11BD A 所成角的大小为β.若cos sin βα=，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线【答案】D【解析】连接AC 交BD 于O ，取11B D 中点1O ,连接1OO以O 为原点,分别以OA 、OB 、1OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图：令正方体边长为2，则11(,)A C A B ，(0,,)P y z =面11BD A 的一个法向量为1(2,AB =−，面11BB D 的一个法向量为(AC =− 则1(co 1s 2,AC AB −==，故二面角111A BD B −−的大小为π3又二面角11A BD P −−的大小(]0,παÎ，则π3α=或2π3α=由cos sin βα=，，可得π6β=又1(,)y z A P =−1111(1sin 2A P AB A P AB β⋅−===⋅整理得240z z +++= 即3)1y z z =−+，是双曲线. 故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCD A B C D −''''中，M 为BC 边的中点，点P 在底面A B C D ''''和侧面CDD C ''上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是（ ）A ．两段圆弧B ．两段椭圆弧C ．两段双曲线弧D ．两段抛物线弧【答案】C【解析】由P 点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线，其中这个正圆锥面的中心轴即为AC '，顶点为A ，顶角的一半即为MAC '∠， 以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，则1(0,0,1),(1,1,0),(,1,1)2AC M ，可得1(1,1,1),(,1,0)2ACAM '=−=，1111cos MAC ⨯+⨯'∠===，设AC '与底面A BC D ''''所成的角为θ，则A C cos AC θ''===>'，所以MAC θ'<∠，''''的交线是双曲线弧，所以该正圆锥面和底面A B C D同理可知，P点在平面CDD C''的交线是双曲线弧，故选：C．。
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数学解题方法讨论
-------求轨迹方程的方法
内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。
本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。
曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，
再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0
而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，
“交轨法”实
际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。
曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。
求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点
P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式,0f x y ，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。
检验
即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。
、交轨法等求之。
求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，
此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，
这时要加强等价转化思想的训
练。
求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。
一、用待定系数法求轨迹方程曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。
例1已知椭圆2251470x y 和直线:90l x y ，在直线l 上任取一点P ，过P 且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。
解已知椭圆的焦点123,0F 30F 和，，从而设所求椭圆的方程为222219x
y a a 。
若过l
上的P 点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。
把直线方程代入椭圆方程，利用判别式。