【高考领航】高考数学总复习 第2节 参数方程练习 苏教版选修4-4

x4-4-2 参数方程练习 苏教版选修4-4
一、填空题
1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－22t
y ＝2＋22t
(t 为参数)，则直线l 的斜率为：________． 解析：直线l 的参数方程可化为
⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3
π4，y ＝2＋t sin 3π4，
故直线的斜率为tan 3π4＝－1. 答案：－1
2．直线x －y ＋1＝0与参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋5cos t y ＝3＋5sin t 的曲线的交点个数：________． 解析：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋5cos t y ＝3＋5sin t ⇒(x ＋4)2＋(y －3)2＝25 则圆心(－4，3)到直线x －y ＋1＝0的距离
d ＝|－4－3＋1|2
＝32＜5 ∴直线与圆相交，故交点个数是2个．
答案：2
3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α
(α为参数)化成普通方程为________． 解析：∵⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，(α为参数) ∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数) ①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程．
答案：x 2＋(y －1)2＝1
4．已知圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．
解析：圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，直线l 的直角坐标方程为y ＝1，解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －1）2＝1，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 故直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1)．
答案：(－1，1)，(1，1)
5．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝4t －3(t 为参数)与x 轴交点的坐标是________． 解析：令y ＝0，得t ＝34，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2516
， 交点为(2516
，0)． 答案：⎝⎛⎭⎫2516，0
6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 40°y ＝－1＋t cos 40°
(t 为参数)的倾斜角为________． 解析：将参数方程化为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 50°，y ＝－1＋t sin 50°，得直线的倾斜角为50°. 答案：50°
7．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________．
解析：把圆的参数方程化成普通方程为
(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，
由已知直线与圆相离，
∴|3×1＋4×（－2）＋m |5
＞1， 解得m ＜0或m ＞10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)．
8．动点M (3cos θ－4sin θ，125cos θ＋95
sin θ)(θ为参数)的轨迹的普通方程为________． 解析：设动点M 的坐标为(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－4sin θ，y ＝125
cos θ＋95sin θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－4sin θ， ①53
y ＝4cos θ＋3sin θ， ②
①2＋②2得x 2＋259
y 2＝25， ∴x 225＋y 29
＝1. 答案：x 225＋y 29
＝1 9．(2011·高考广东卷)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t
(t ∈R)，它们的交点坐标为________．
解析：消去参数θ得曲线方程为x 25
＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t 得曲线方程为y 2＝45
x ，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为(1，255
)． 答案：(1，255
) 二、解答题
10．已知直线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)， 圆C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)． (1)当α＝π3
时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝π3
时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1.
解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝⎛⎭⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.
A 点坐标为(sin 2 α，－cos αsin α)．
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝12sin 2 α，
y ＝－12sin αcos α.(α为参数)． P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎫x －142
＋y 2＝116.
故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14
的圆． 11．已知曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t (t 为参数) C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ(θ为参数) (1)若C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝
π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t y ＝－2＋t (t 为参数)距离最小值．
解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，
C 2：x 264＋y 29
＝1， C 1为圆心(－4，3)半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点为(±55，0)长半轴为8，短半轴为3的椭圆．
(2)当t ＝π2
时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M (－2＋4cos θ，2＋32
sin θ)． C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离
d ＝
55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|(其中cos φ＝45，sin φ＝35
)， ∴d min ＝
85 5. 12．(2011·高考辽宁卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为 参数)，曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ∶θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2
时，这两个交点重合． (1)分别说明，C 1， C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1.当α＝－π4
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
解：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．
当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)， 因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.
当α＝π2
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )， 因为这两点重合，所以b ＝1.
(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1. 当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010. 当α＝－π4
时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．
故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为
（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.。