2015-2016学年吉林省吉林市吉化九中八年级(上)期中数学试卷

2015-2016学年吉林省吉林市吉化九中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列图形具有稳定性的是（）A．正五边形B．正方形C．梯形D．等腰三角形3．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．锐角三角形有三条高B．直角三角形只有一条高C．任意三角形都有三条高D．钝角三角形有两条高在三角形的外部4．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7B．7或9C．7D．95．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°6．点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）7．如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以下结论：（1）△ABD≌△ACD；（2）AD⊥BC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（）A．40°B．35°C．25°D．20°10．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的P 点有多少个（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．四边形的内角和为．12．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件，则有△AOC≌△BOD．13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝°．14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点，连接BE，则∠CBE＝．15．如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD＝BE，则∠EDA＝度．16．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC垂足为点E，EF∥AB，AE＝1，则△EFC的周长＝．三、解答题（每题6分，共24分）17．（6分）已知多边形的每个内角与其外角的差均为90°，求每个内角的度数与多边形的边数．18．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．19．（6分）观察右面两个图形，解答下列问题：（1）其中是轴对称图形的为，是中心对称图形的为（填序号）；（2）用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴（要求：只保留作图痕迹，不写作法）20．（6分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画出格点三角形，并求其面积．（1）在图①中画出一个以AB为腰的等腰三角形，这个三角形的面积为．（2）在图②中画出一个以AB为底边的等腰三角形，这个三角形的面积为．四、解答题（每题7，共28分）21．（7分）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：22．（7分）如图，已知△ABC和△BED都是等边三角形，且A、E、D在一条直线上，且DC＝4，BD＝2，求AD的长度？23．（7分）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC 于F，若BD＝AD，DE＝DC．①求证：△BED≌△ACD．②求证：BF⊥AC．24．（7分）如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．（1）求证：△AFD为等腰三角形；（2）若DF＝10cm，求DE的长．五、解答题：（每题10分，共20分）25．（10分）实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E 两点的距离之和最小．（要有必要的画图说明，并保留作图痕迹）26．（10分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示：AP＝，AE＝，BE＝．（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．2015-2016学年吉林省吉林市吉化九中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.）1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故正确．故选：D．2．下列图形具有稳定性的是（）A．正五边形B．正方形C．梯形D．等腰三角形【解答】解：正五边形，正方形，梯形，等腰三角形中具有稳定性的是等腰三角形．故选：D．3．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．锐角三角形有三条高B．直角三角形只有一条高C．任意三角形都有三条高D．钝角三角形有两条高在三角形的外部【解答】解：A、锐角三角形有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；C、任意三角形都有三条高，说法正确，故本选项不符合题意；D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；故选：B．4．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7B．7或9C．7D．9【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于8﹣3＝5，而小于两边之和8+3＝11．又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．故选：B．5．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=12（180°﹣80°）＝50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选：C．6．点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）【解答】解：点M（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，2），故选：C．7．如图，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD，∠1＝30°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠B＝90°，∠1＝30°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，{AC=ACCB=CD，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2＝∠3＝60°．故选：D．8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以下结论：（1）△ABD ≌△ACD ；（2）AD ⊥BC ；（3）∠B ＝∠C ；（4）AD 是△ABC 的角平分线．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴（3）正确，∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∴（2）（4）正确，在△ABD 和△ACD 中{AB =AC AD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴（1）正确，∴正确的有4个，故选：D ．9．如图所示，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝80°，则∠B 的度数是（）A ．40°B ．35°C ．25°D ．20°【解答】解：∵AD＝AC，∠DAC＝80°，∴∠ADC=180°−∠DAC2=50°，又∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD＝∠ADC，∴2∠B＝∠ADC，∴∠B=12∠ADC＝25°，故选：C．10．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则这样的P 点有多少个（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝2√2，∴P的坐标是（4，0）或（2√2，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝2√2，∴OA＝AP＝2√2，∴P的坐标是（﹣2√2，0）．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．四边形的内角和为360°．【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°．故四边形的内角和为360°．故答案为：360°．12．如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A＝∠B，只需补充一个条件AC＝BD，则有△AOC≌△BOD．【解答】解：补充条件：AC＝BD，∵在△AOC和△DOB中{∠A=∠D∠AOC=∠DOB AC=BD，∴△AOC≌△BOD（AAS）．故答案为：AC＝BD．13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540°．【解答】解：如图，∵∠1+∠2+γ＝180°①，∠3+∠4+β+θ＝360°②，∠5+∠6+∠7+α＝360°③，∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+α+β+γ+θ＝900°，∵α+β＝180°，γ+θ＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，＝900°﹣180°﹣180°，＝540°．故答案为：540．14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点，连接BE，则∠CBE＝45°．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C=180°−∠A2=75°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝45°．故答案为；45°．15．如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD＝BE，则∠EDA＝15度．【解答】解：∵等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，∴∠ABD=12∠ABC＝30°，∠ADB＝90°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED=180°−30°2=75°，∴∠EDA＝15°．故答案为：15．16．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC垂足为点E，EF∥AB，AE＝1，则△EFC的周长＝9．【解答】解：在Rt△ADE中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，又AE＝1，∴AD＝2AE＝2，∵D为AB的中点，∴AB＝AC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣1＝3，∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠B＝60°，又∠C＝60°，∴△EFC为等边三角形，∴EF＝FC＝EC＝3，∴△EFC的周长＝3+3+3＝9．三、解答题（每题6分，共24分）17．（6分）已知多边形的每个内角与其外角的差均为90°，求每个内角的度数与多边形的边数．【解答】解：设每一个外角为x°，则每一个内角为（x+90）°，根据题意，得x+x+90＝180，解得x＝45，x+90＝135，360÷45＝8．答：每个内角的度数为135°，它的边数为8．18．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；（2）如图2所示，点C2的坐标（﹣3，2）．19．（6分）观察右面两个图形，解答下列问题：（1）其中是轴对称图形的为②，是中心对称图形的为①（填序号）；（2）用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴（要求：只保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：（1）②，①；（2分）（2）评分标准：（1）每填对一个得（1分），填“V“、“N“不扣分（2）作法1、作法2中不作虚线不扣分．20．（6分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画出格点三角形，并求其面积．（1）在图①中画出一个以AB为腰的等腰三角形，这个三角形的面积为3．（2）在图②中画出一个以AB为底边的等腰三角形，这个三角形的面积为 2.5．【解答】解：（1）以AB为腰的等腰三角形的面积：12×2×3＝3；面积为：4或5或3；（2）以AB为底的等腰三角形的面积：2×3−12×3×1−12×1×2×2＝2.5，故答案为3，2.5．四、解答题（每题7，共28分）21．（7分）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：可以为①②③；结论：④．（均填写序号）证明：【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠1＝∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC 和△DEF 中，∵{∠B =∠E∠1=∠2AB =DE，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），∴BC ＝EF ，∴BC ﹣FC ＝EF ﹣FC ，即BF ＝EC ；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E BC =EF ∠1=∠2，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AB ＝DE ．22．（7分）如图，已知△ABC 和△BED 都是等边三角形，且A 、E 、D 在一条直线上，且DC ＝4，BD ＝2，求AD 的长度？【解答】解：∵△ABC 和△BED 都是等边三角形，∴AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠EBD ＝60°，∴∠ABE ＝∠CBD ＝60°﹣∠CBE ，在△ABE 和△CBD 中{BA =BC ∠ABE =∠CBD BE =BD∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE ＝CD ＝4，∵△BED 是等边三角形，∴DE ＝BD ＝2，∴AD ＝2+4＝6．23．（7分）已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC于F ，若BD ＝AD ，DE ＝DC ．①求证：△BED ≌△ACD ．②求证：BF ⊥AC ．【解答】证明：①∵AD ⊥BC ，∴∠BDE ＝∠ADC ＝90°，在△BED 和△ACD 中{DB =DA ∠BDE =∠ADC DE =DC∴△BED≌△ACD（SAS）；②∵△BED≌△ACD，∴∠CAD＝∠DBE，∵∠BDE＝90°，∴∠DBE+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∠DBE＝∠CAD，∴∠AEF+∠CAD＝90°，∴∠AFE＝180°﹣90°＝90°，∴BF⊥AC．24．（7分）如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．（1）求证：△AFD为等腰三角形；（2）若DF＝10cm，求DE的长．【解答】（1）证明：如图所示，∵DF∥AC，∴∠3＝∠2，∵AD是角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FD＝F A，∴△AFD为等腰三角形．（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠1＝∠2=12∠BAC，∠BAC＝30°，∴∠1＝15°，又∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝15°，∴∠GFD＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°，在Rt△FDG中，DF＝10cm，∠GFD＝30°，∴DG＝5cm，∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE＝DG＝5cm．五、解答题：（每题10分，共20分）25．（10分）实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′（3，5）、C′（5，﹣2）；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（b，a）（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E 两点的距离之和最小．（要有必要的画图说明，并保留作图痕迹）【解答】解：（1）由图可知，B'（3，5），C'（5，﹣2）．（2）由（1）可知，关于直线l对称的点的横纵坐标互为相反数．（3）作出E点关于直线l对称点F，则QF＝QE，故EQ+QD＝FQ+QD＝FD．26．（10分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示：AP＝2tcm，AE＝tcm，BE＝（6﹣t）cm．（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠A＝60°，根据题意得：AP＝2tcm，∵PE⊥AB，∴AE＝AP•cos60°＝t（cm），∴BE＝AB﹣AE＝6﹣t（cm）；故答案为：2tcm，tcm，（6﹣t）cm；（2）∵∠C＝60°，∠BQD＝30°，∴△PCQ是直角三角形，∴PC=12QC，根据题意得：BQ＝2tcm，则CQ＝BC+BQ＝6+2t（cm），PC＝AC﹣AP＝6﹣2t（cm），∴6﹣2t=12（6+2t），解得：t＝1，∴AP＝2；（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP ＝∠BFQ ＝90°，∴∠APE ＝∠BQF ，∴在△APE 和△BQF 中，{∠AEP =∠BFQ∠A =∠FBQ AP =BQ，∴△APE ≌△BQF （AAS ），∴AE ＝BF ，PE ＝QF 且PE ∥QF ，∴四边形PEQF 是平行四边形，∴DE =12EF ，∵EF ＝BE +BF ＝BE +AE ＝AB ，∴DE =12AB ，又∵等边△ABC 的边长为6，∴DE ＝3，∴当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．。