现代微分几何之旅

拓扑流形与坐标图
定义1.1.M 设是一个Hausdorff拓扑空间,若对每一点p M 都有 p 的 一个领域 U与 Rn 的一个开集同胚,则称M为 n 维拓扑流形. 设
:U → (U ) Rn U q (x1 (q), , xn (q))
是上述定义中的一个同胚映射,其中 xi 为U 上的实值函数,称为第 i 个坐标
函数，(U ,U )称为M 的坐标图,也称坐标卡或坐标领域.
微分结构
定义1.2. 设M 是一个 n 维的拓扑流形。 (1) M 的一个坐标图开覆盖
== {(U,) | 为指标集, U = M } 称为一个坐标图册。
(2) 若 中，对任何 , , 当 U U = Ø时,
−1 : (U U ) → (U U )
➢ 上面是由德国数学家高斯证明的，也即 Gauss 曲 率是个内蕴量。高斯抓住了微分几何中最重要的 概念和根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学 ，随后德国数学家 黎曼（Riemann）将高斯的理 论推广到高维空间，这就是黎曼几何学的诞生。
Gauss 工作的意义
➢ Gauss的工作告诉人们可以忘掉曲面位于三位欧氏 空间的事实，只要给定第一基本形式（度量）曲 面的所有几何性质都能从它导出。
(a) f f = id; (b) f f = f.
则称 (E, M , )为一光滑向量丛. 定义2.2. 设 (E, M , )为一光滑向量丛,它的一个截面即为一个映射 : M → E,使 得 = idM .
纤维丛理论
➢ 纤维丛的理论，是1946年由美国的斯丁路特、美 籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出的。数 学上，特别是在拓扑学中，一个纤维丛(fibre bun dle)是一个局部看来像两个空间的直积（特指笛 卡尔积）的空间，但是整体可以有与直积空间不 同的拓扑结构。
的坐标图称为M 的容许坐标图.
微分流形
定义1.3. 设M 是一个 n维的拓扑流形, 为 M上的一个C k 微分结构，则称 (M , )为 n 维 C k 流形.一个 C 可微流形称为光滑流形. C可微流形称为称为解析流形.
例1. Rn 是一个n 维解析流形 .
例2. R n+1 中的单位球面
Sn
= {( x1 ,, x n+1 ) Rn+1
平行公理的研究
平行公理（即前面公设五）缺乏像其它公理那种 说服力，人们一直努力用更为自明的命题来代替 平行公理，或试图用Euclid的其它公理来推导平 行公理。 非欧几何的历史就开始于数学家努力消除对Eucli d平行公理的怀疑。
非欧几何
非欧几何学中两个重要人物是Gauss和Lobatchev sky（19世纪）。 Gauss很早就意识到要证明Euclid平行公理的努 力是白费的，他已经掌握能够存在一种逻辑几何 的思想，在其中Euclid几何平行公理不成立。Ga uss在曲面的微分几何研究中，提出将曲面本身看 做一个空间，把测地线当做曲面上的“直线”， 则几何是非Euclid的。
中科大纯粹数学前沿课程
现代微分几何之旅
中国科学技术大学数学科学学院
报告提纲
➢ 从欧氏几何到非欧几何 ➢ 古典微分几何与现代微分几何 ➢ 黎曼几何简介 ➢ 几何中的典则度量
报告提纲
➢ 从欧氏几何到非欧几何 ➢ 古典微分几何与现代微分几何 ➢ 黎曼几何简介 ➢ 几何中的典则度量
Euclid几何
讲到几何不得不讲Euclid几何，它基于Euclid（ 公元前三百年）的著作《几何原本》。书中较完 整地收集了古希腊时期的数学成果，并加以系统 化。这部著作具有无与伦比的历史意义，两千多 年来我们一直在学习！
非欧几何
在19世纪前，人们普遍认为Euclid几何是物理空 间和此空间中图形性质的正确理想化。Newton的 物理学理论也是建立在Euclid几何这一数学基础 之上的。几乎所有科学家都信奉Euclid几何为绝 对真理，认为物质世界是Euclid式的。 只有David Hume在《人性论》中指出科学是纯 经验性的，Euclid几何的定律未必是物理的真理 。
Fermat和Descartes通过建立坐标系使几何对象和 代数对象建立联系，如：点可看成数对，线和面 则可看做满足一次方程（组）的数对的全体。这 样他们可用代数方法研究几何问题，他们所创立 的科目叫做坐标几何或解析几何。
解析几何的基本思想
解析几何的中心思想是将代数方程与曲线和曲面 等联系起来。通过建立坐标系（直角）讲几何对 象代数化（解析过程），再通过代数运算来得到 几何结论。 我们在学习中会接触直角坐标系，内积，外积等 概念，并对二次曲线和曲面进行分类，并了解那 些在空间等距变换中不变的量（即几何量）。对 高次曲面和曲线的研究则发展为代数几何学。
kn (
)
=
II (, I (,
) )
=
W ( ),
➢ 其上 W 为切空间上的 Weingarten 变换，它是一
个自共轭变换，因而有两个实特征值 (k1, k2)称为曲
面在该点的主曲率。两主曲率的平均值称为平均 曲率，两主曲率之积称为曲面的 Gauss 曲率。
Gauss 美妙定理
➢ 曲面的 Gauss 曲率仅与第一基本形式有关。
I = ds2 = (du,
dv)
u v
u u
u v
v v
du dv
第二基本形式
➢ 记单位法向量为
n = u v u v
则
曲面的第二基本形式：
II = −d dn = (du,
dv
)
uu vu
n n
uv vv
n n
du dv
➢ 其反映了曲面的形状！
法曲率，Gauss 曲率
➢ 曲面沿非零切向量 的法曲率定义为：
➢ 对于三维欧氏空间中的闭曲面，成立
KdA = 2()
报告提纲
➢ 从欧氏几何到非欧几何 ➢ 古典微分几何与现代微分几何 ➢ 黎曼几何简介 ➢ 几何中的典则度量
黎曼几何
➢ 黎曼几何研究具有黎曼度量的微分流形，是现代 微分几何研究的核心。
➢ 我们讲在此节中简略回顾黎曼几何中的基本概念 和经典理论。
➢ 点、线、面的定义没有明确的数学含义； ➢ 不自觉作出的假定中，包括直线和圆的连续性的假定。
解析几何
在Euclid完成他的著作《几何原本》差不多2000 年后，两位欧洲数学家Fermat和Descartes又一次 对几何的发展起了巨大的推进作用。
Fermat和Descartes
在16、17世纪，代数还是一门新兴科学，几何学 的思维还在数学家的头脑中占有统治地位，几何 与代数是数学中两个不同的研究领域。 Fermat代数学上做了很多贡献并将其用于曲线的 研究，如利用二次方程研究圆锥曲线。当然Ferm at在求最大最小值方面也有很多贡献（微积分中 ，你们肯定会学到Fermat的定理）。
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ论
➢ 曲面（片） (u, v): D → R3 可看作到三维欧氏空间
的双参数、光滑、正则的映射。（参数选取可不 同）
➢ 曲面上的任何一点，u, v, u v 构成三维欧氏空
间的标架。（切平面、法线与参数选取无关）
第一基本形式
➢ 由欧氏内积，我们可得下面二次微分形式 （曲面 的第一基本形式）：
n+1
| (xi )2
= 1}
i=1
为 n 维(实)解析流形。
例3.若M , N 分别为 m,n 维 C k 微分流形，则 M N为 m + n 维C k 微分流形,称为M 和 N 的积流形.
例4.若 M 为 n 维 C k微分流形, U 为 M 的开子集,则U 为 n 维微分流形,称为 M 的开子
报告提纲
➢ 从欧氏几何到非欧几何 ➢ 古典微分几何与现代微分几何 ➢ 黎曼几何简介 ➢ 几何中的典则度量
古典微分几何
➢ 古典微分几何研究三维欧氏空间中的曲线和曲面 ➢ 现代微分几何则研究更一般的空间---流形 ➢ 微分几何与拓扑学、分析学、偏微分方程等其它
数学分支有着紧密联系。同时对物理学的发展也 有着重要影响，例如：爱因斯坦的广义相对论就 是以微分几何中的黎曼几何为其重要数学基础， Yang-Mills 理论对应于向量丛的联络理论。
几何原本
《几何原本》共十三章。 一到四章讲直线和圆的性质；第五章比例论；第 六章相似形；第七、八、九章讲数论；第十章是 不可公度量的分类；第十一、十二、十三章讲立 体几何和穷竭法。 穷竭法，比如圆可被内接多边形穷竭，这是微积 分中极限理论的起源！
Euclid几何的公设和公理
Euclid列出五个公设和五个公理，他采用Aristotl e对公设与公理的区别，即公理适用于一切科学 的真理，而公设只应用于几何。 公设 （公理略）
➢ 最简单的非平凡例子：莫比乌斯带，克莱因瓶。
Yang-Mills理论
➢ Yang-Mills理论是由杨振宁与Mills上世纪五十年 代引入,它是非阿贝尔变换群下的规范场论,是Ma xwell电磁理论的推广。
Yang-Mills理论与纤维丛理论
➢ 上世纪七十年代，数学中纤维丛理论和规范场论的关系 已被沟通，明确了规范场就是联络，场强就是曲率，Yan g-Mills方程则是Yang-Mills泛函的Euler-Lagrange方程。
球面几何和双曲几何
把球面本身看做一个空间，“直线”或是测地线 是其上的大圆弧，很容易证明其上三角形内角和 大于两个直角和。
单叶双曲面（花瓶的瓶颈部分）上，测地线三角 形的内角和小于两个直角和。微分几何观点就是 Gauss曲率为负的曲面。
Lobatchevsky几何
Lobatchevsky把Euclid的平行公设改为： 过直线外一点至少可引两条直线与其平行。
( ) 1− u2 + v2
非欧几何的意义
➢ 非欧几何是19世纪最具有启发性的数学发现，虽 然当时受到了大部分数学家的忽视和嘲弄。