高2012级学生学业质量调研抽测试卷(第一次)

高2012级学生学业质量调研抽测试卷（第一次）
数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1~5 DADBD 6~10 CBACC
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 30°； 12. 128； 13. 45； 14. 2； 15. 1.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16. (本题满分13分)
解: 当0log 2≥x ,即1≥x 时,依题意知2
1log 2x x ≥⎧⎨≥⎩,解得4x ≥;………………5分 当0log 2<x ,即10<<x 时, ∵偶函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调增函数 )(x f ∴在)0,(-∞上为减函数
又)2()2(f f =-, ⎩⎨⎧-≤<<∴2
log 102x x ,解得410≤<x …………11分 综上所述x 的取值范围[)1(0,]4,4
+∞ . ………………13分
17. (本题满分13分)
解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件1A 、1B ；
设E 表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则 11()()P E P A B =⋅0.50.40.2=⨯= ………………………4分
（2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A 、B 、C ，则:
()0.50.60.3P A =⨯=
()0.60.50.3P B =⨯=
()0.40.50.2P C =⨯= ………………………10分
（3）(2)P ξ=0.30.30.80.70.30.2=⨯⨯+⨯⨯0.30.70.2+⨯⨯0.156=
（或者）(2)P ξ=1(0.3920.4340.018)=-++0.156= …………………13分
18. (本题满分13分)
（1）2()cos sin cos f x x x x =+ ………………1分 ＝1cos 21sin 222
x x ++ ………………3分
＝()11sin 2cos 222
x x ++ ………………4分
1)42
x π=++ ………………6分 最小正周期T=π ………………………7分
（2）2()cos sin cos 1f A x A A =+=
22
sin cos 1cos sin A A A A ∴=-= sin cos 4A A
A π∴=∴= …………………………10分 在△ABC 中，
2,sin sin sin 3sin 4
AC BC AC B A ππ=∴=⨯= …………13分 19. (本题满分13分)
解:（1）由已知：当1n =时 112a S ==, ……………………2分
当2n ≥时 121n n n a S S n -=-=- ……………………4分
∴ 数列{}n a 的通项公式为2(1)21(2)
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ ……………………6分 （2）由（1）知: 1(1)61111(2)(21)(21)22121n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪-+-+⎝⎭⎩
…………8分 当1n =时, 1116T b ==
, 当2n ≥时, 12n n T b b b =++= 111111116235572121n n ⎛⎫+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11342
n =-+ ∴{}n b 的前n 项和11342
n T n =-+ ……………………12分 20．解：（1）∵ 点M 是线段PB 的中点,∴OM 是△PAB 的中位线,
又∵OM ⊥AB ∴PA ⊥AB ……………………1分 ∴2222211112c a b
a b c
=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩ 解得2222,1,1a b c ===……………………5分
∴ 椭圆的标准方程为2
212
x y += ……………………6分 （2）设直线EF 的方程为：1-=my x （0>m ）代入2
212
x y +=，得()222210m y my +--=， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=． 由122222m y y y m +=-=
+，21222122y y y m -=-=+ ……………………9分
得22221222
m m m ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，解得 7m =, 7m =-，（没舍去扣1分）
直线EF 的方程为：1x y =
- 即770x -=……………………12分 21. (本题满分12分)
解:（1）2()3963(2)(1)f x x x x x '=-+=-- ……………………2分
当12x x <>或时 ()0f x '>；当12x << ()0f x '< ()f x 在（-∞，1），（2，+∞）上都为增函数，在（1,2）上为减函数 ………4分 )(x f ∴的极小值为(2)1f =- ……………………5分
（2）① 若,0=a 则2)1(3)(--=x x f
)(x f ∴的图象与x 轴只有一个交点 ……………………6分 ② 若,0<a 则12<a ，2()3()(1)f x a x x a '=-- ∴当12><
x a x 或时， 0)(<'x f 当12<<x a
时， ()0f x '>, ∴ ()f x 的极大值为(1)02a f =-> ∵ ()f x 的极小值为2()0f a
< ∴ ()f x 的图象与x 轴有三个公共点 ……………………7分 ③ 若0<a <2，则21a
>，2()3()(1)f x a x x a '=-- 当x <1或x >2a 时()0f x '>，当21x a
<<时0)(<'x f ()f x 极大值f (1)<0，函数()f x 图像与x 轴只有一个交点………………8分
④ 若a =2,则2()610f x x '=-≥（），()f x 的图像与x 轴只有一个交点 ……9分
⑤ 若a >2, ()f x 的极大值为22
1334()044
f a a =---<（） )(x f ∴的图像与x 轴只有一个交点 ………………10分 综上所述，若0a ≥，()f x 的图像与x 轴只有一个公共点
若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个公共点 ……………………12分。