《三角形》全章复习与巩固(培优篇)(含答案)

《三角形》全章复习与巩固（培优篇）（含答案）

一、单选题

1.如图，ZkABC的面积为3（）C∏Λ AE=ED, BD=2DC,则图中四边形EDCF的面积等于（）

A. 8.5

B. 8

C. 9.5

D. 9

2.如图，41/,。“平分/^位＞和/88,若/8 = 34。，/0 = 42。，则NΛ∕=（）

A. 34o

B. 38o

C. 40o

D. 42°

3.已知MBC中，CD是A8边上的高，C£平分ZAC8.若NA =机。，ZB = ∕ιo, m≠n,则NQCE的度数等于（）

A. -m o

B. -n o

C. ，（〃?。一〃。）

D. -∖m o-n o

2 2 2v f2l

4.如图，AD∕∕BC,N力=NA8C,点E是边力。上一点，连接4E交5C的延长线于点儿点尸是边A8上一点，使得NFBE

= ∕FEB,作NFE"的角平分线EG交5〃于点G.若N8EG=40。，则NOE”的度数为（）

A. 50o

B. 75o

C. 100o

D. 125°

5.如图，在第1个4A∕3C中，ZB=3（）o, A1B=CB,在边A/3上任取一点力，延长C4/到使A∕A2=A∕O,得到第2个

△ A lΛ2D i在边4。上任取一点E,延长4/2到4,使A2A3=A2E,得到第3个AA2λ3E,…按此做法继续下去,则第2021

个三角形中以A2O2O为顶点的底角度数是（）

7 .如图，在四边形A5CO 中，AD//BC,若ND45的角平分线A£交。。于E,连接8E,且8E 边平分NABC,得到如下结 论：(l)ZAEB=90o ；(2)I3C+AD=AB ；③BE=^CD ； ®BC=CE-⑤若 A8=x,则 BE 的取值范围为 0<3EVx,那么以 8 .如图，已知AB = AC,点。、E 分别在AC 、A8上且ΛE = AD,连接EC, BD, EC 交BD 于点、M,连接AM,过点A 分别 作AE_LC£AG_L8O,垂足分别为F 、G,卜.列结论：①.EBM 咨&DCM ；②NEMB = NFAG ；③M4平分NEMD ；④如果 S.BEM =S,ADM ,则E 是的中点；其中正确结论的个数为（ ）

9 .“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下:

A. (!) 2020∙75o

B.弓)2020∙65o

C. (；) 2021 ∙75

D. (!) 2021 ∙650

6.如图所示，锐角^ABC 中，D, E 分别是AB, AC 边上的点，2∖ADC/ z √iOC, ∆AEB^ ^AEB ,, 且C'D∕∕EB f "BC, BE 、

CD 交于点F,若NBAO40。，则NBFC 的大小是（

） D. 115°

D.①②⑤

A. 1个

C. 3个

D. 4个

匕结论正确的是（

C.①④⑤

B. 2个

A∙ 5 C. 3 D. 2

己知：如图（1） , NA08和0A 上一点C

求作：一个角等于NA 。'使它的顶点为C, 一边为C4∙

作法:如图（2）,

（1）在（M 上取一点。ωD

（2）以点C 为圆心，。。长为半径画弧，交。于点尸，以点尸为圆心，。石长为半径画弧，两弧交于点G

（3）作射线CC.

所以NCCA 就是所求作的角

此作图的依据中不含有（ ）

已知 AC, AD±AE 9 AB=AC 9 AD=AE,则/8月。的度数是(

A. 60o

B. 90o

C. 450

D. 120o

11 .如图，在△ ABC 中，NACB=45。，AD±BC, BELAC t A 。与相交下点人 连接并延长C 尸交A3于点G,

平分线交CG 的延长线于点H,连接则下列结论：

①NE3O=45。； ®AH=HF ；③"BD^CFD ； ®CH=AB+AH ；⑤BD=CD∙AF.其中正确的有(

)个. E∕

O Δ~I D c

(2)

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.全等三角形的对应角相等

C.两立线平行同位角相等

D.两点确定一条直线

10.如图, ZAEB 的

B. 4

12 .如图，点。，E 分别是△ A8C 边3C, 4。上一点，BD=2CD, AE=CE t 连接4力，BE 交于点F,若△人8C 的面积为18, 则/与△?1£■厂的面积之差S A 4O∕-S A 4E /等于( )

D. 6

13 .如图，在aA3C 中，点D,点E 分别是4。和44上的点，且满足AE = 23£, CD=3AD f 过点4的直线/平行BC,射线 BD 交CE 于点、0,交宜线/于点尸.若△，/)尸的面枳为12,则四边形AE 。。的面枳为

14 .不等边的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是

15 .如图，座是4A8C 的中线，点尸在砥上，延长”交5C 于点D 若BF = 3FE,则黑■

分别延长 AB, BC, CA 至点 A∕, B h C h 使 A∕8=A8, B ∣C=BC f C f A = CA f

顺次连接4, Bi, C/,得到AA∕SC∕.第二次操作:分别延长A/阴，B ∣C lt GA/至点Zb, &, C 2,使4向=4向,B 2C 1=B l C li C 2A l = C ∣A h 顺次连接A2,氏,G,得到^A2∕⅛C2,…按此规律，耍使得到的三角形的面积超过2021,最少经过多少次操作

C∙

二、填空题

B. 4

3

17.如图，已知点C为两条相互平行的宣线AB, ED之间一点，乙4AC和NC/M的角平分线相交于F,若NBCD=KZBFD+l()o,

则/BCD的度数为.

4 B

18.已知：如图，4∕WC和△£＞以?都是等边三角形，。是8C延长线上一点，AO与BE相交于点P, ΛC, 3E相交于点M, AD i

CE相交于点N,则卜.列五个结论：®AD=BE- ®AP=BM-③NAPM=6()。；④4CMN是等边三角形；⑤连接CR 则CP

平分/BPD,其中，正确的是_________ .(填写序号)

19.如图，八。为等腰△然(7的高，其中/4。8 = 50。/。=8。,£/分别为线段4。〃。上的动点，且= 当BF + CE取最小值时，/4/8的度数为.

20.如图，直线PQ经过/?/△ ABC的直角顶点C, Δ ABC的边上有两个动点D、E,点、D以\cmls的速度从点A出发，沿AC→CB

移动到点乩点E以30Ms的速度从点8出发，沿6C-C4移动到点A,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到

终点.过点D、£分别作DM1PQ, ENIPQ,垂足分别为点M、N,若AC=6α* BC=8cm,设运动时间为3则当t= s时，以点。、/、。为顶点的三角形与以点石、N、。为顶点的三角形全等.

ZA = 90o , AB = AC, 8。平分ZΛBC, CE 上BD 于E,若30 = 8,则CE 为

三、解答题

24 .如图，^ABC 中，NB = 90。，点O 在射线8C 上运动，小，AD 交射线AC 于点 E .21.如图，在四边形ABC 。中，AD=AB 1 DC=BC 1 ZZ)AB=60o , ZDCB= 120o , E 在 AO 上，尸是 A5 延长线上一点，且 DE=BF,若 G 在 上，且 NECG=60。, 则3从EG 、8G 之间的数量关系是

22.如图，在四边形A3C 。中，AB=AD f /840=140。，A8_LC3于点从AO_LCQ 于点O, E 、F 分别是C3、CD 上的点,

且/必b=70。，下列说法正确的是（填写正确的序号）

①DF=BE, (2)∆ADF^∆ΛBE,③FA 平分/DFE,④AE 平分N 项8,⑤BE+DF=EF, ®CF+CE>FD+EB.

23.如图，在A ABC 中,

(1)如图1,若N8AC = 60。，当A 。平分NHAC 时，求的度数;

(2)如图2,当点。在线段4。上时，①判断NEOC 与NZM 。的数量关系并说明理由;

②作疔,及？于b ，ABAD. NO 石厂的角平分线相交于点G,随着点。的运动，/G 的度数会变化吗？如果不变，求出/G 的 度数；如果变化，说明理由;

(3)如图3,当点。在8C 的延长线上时，作EFLBD 于F , NHAD 的角平分线和N 。样的角平分线的反向延长线相交于点 G, NG 的度数会变化吗？如果不变，求出NG 的度数；如果变化，说明理由.

25 .在练习课匕慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的宜角三角板的斜边重合，组成一个四边形AC/Z ZACZ)=30o ,以。为顶点作 NMON,交边 AC, BC 于点 M, N, ZMDN=60o r 连接 MV.

探究AM, MN, 8N 三条线段之间的数量关系.

慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM, MN, BN 三条线段之 间的数量关系.

慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下:

A

A

D

G

B D

图1

如图（1）,把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形AC8Zλ NACO=45。，以。为顶点作NMOM 交边AC,

∕MDN = L∕ADB

8C于点M, N, 2 ,连接MN.

（1）先猜想AM, MN, BN三条线段之间的数量关系，再证明.

（2）/MDN绕点D旋转,当M, N分别在C4, 8C的延长线上，完成图（2）,其余条件不变，直接写出AM, MN, BN三条线段之间的数量关系.

请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答.

26.如图，等边4ABC中，点。在A3上，延长C5到E,使班＞49,连。£,过点。作OF _L 3C与点尸.

（1）如图1,若点。是A4中点，

求证：®DC = DE； ®EF = FC.

（2）如图2,若点。是AB边上任意一点，即=忆的结论是否仍成立？请证明你的结论；

（3汝口图3,若点。是A3延长线上任意一点，其他条件不变，即=尸。的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论.

27.如图，在a∕WC 中，ZACB=90o, AC=BC f直线MN经过点C,且AQ_LMN于点。，BE±MN于点、E.

(1)当直线MN绕点。旋转到图1的位置时，求证：①△ADCgACE'B；②DE=AD+BE；

⑵当直线MN绕点。旋转到如图2所示的位置时，求证：DE=AD - BE；

(3)当直线MN绕点。旋转到如图3所示的位置时，试问AD, 8E具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明.

A

(1)

28.如图所示，在放ZkA5C中，ZC= 90°,点O是线段CA延长线上一点，且AD=A3.点/是线段A3上一点，连接OF, 以。尸为斜边作等腰RAOM.连接E4,且E4_LA8.

(1)若/4后/=2()。，ZADE=5()o,则NABC=

(2)过。点作OG_LAE垂足为G.

①填空：bDEG4X；

②求证：AE=AF+BC；

(3)如图2,若点尸是线段船延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE, AF, BC之间的数量关系，并简要说明理由.

参考答案

1. B

【解析】

【分析】

连接CE,由AE=ED可得^ABE和4BED面积相等、△ AEC与△ DEC面积相等，同理可得△ ABD的面积是△ ADC面积的2倍，由△ AEB与aBEC的面积比可得到其BE边上高之比，进而得到△ EFC与△ AEF的面积之比，求得△ AEF的面积，再用^ ADC的面积减去△ AEF的面积即可得到四边形EDCF的面积.

【详解】

解：连接CE.

:△ABC 的面积为30cτ√, AE=ED, BD=2DC

ΛSΔABD=20cm1，SΔADC=10C∕H2,SΔABE=SΔBDE=1O cm2

ΛSΔEDC=5cm2

ΛSΔBEC=15OΠ2

ΛSΔABE I SΔBEC=23

Λ ΔABE与A BEC边上高之比为2:3

SΔAER SΔEFC=23

VSΔAEC=SΔADC-SΔEDC=5cm2

2

.*.SΔAEF= 5×- = 2cm2

5

，四边形EDCF 的面积为SΔADC-SΔAEF=8cf n2.

故选：B.

【点拨】本题主要考查三角形面积计算的应该用，掌握面积公式并能熟练运用是解题关键.

2. B

【解析】

【分析】

AD. CM交于点E, AM. BC交于点F, AD. BC交于点H,根据三角形外角性质∏J证4AB厂的外角ZAPC和&CMF的外角NCFA 是同角，分别可表示为N8 + NR4/与NM + NfTM,根据角平分线性质可得:/氏4。= ；(180。-/8-乙4"5),

-ZBCD = - (180° - ZD - ZCHD), ^-ZBAD y」N8CD代入计算即可求出.

2 2 2

【详解】

解：AD. CM交于点E, AM. BC交于点F, A。、BC交于点H,如图,

∙., ^ABF的外角ZAFC⅛ &CMF的外角ZCE4是同角,

∙.,ZAFC=ZB + ∕BAF , ZCFA=ZM + /FCM ,

V AM,CM平分ZBAD和/BCD,

Λ ZBAF = -ZBAD f ZFCM = - ZBCD ,

2 2

.,・∕AFC=∕B + - /BAD , ZCM=ZΛ∕ + - /BCD ,

2 2

•J 在z√15H 中，7 ΛBAD = 1 (180o - ZB - ZAHB),

2 2

⅛∆CD∕∕ψ, ABCD = (180o - ZD - ZCHD)

：.ZAFC=ZB + -(180o - ZB - ZAHB), ZCFA=ZM + Z - (180o - ZD - ZC∕7D)；

2 2

∙.* ZAHB = NCHD,

：.ZB+ -(180o-ZB-ZAHB) = ZM + Z-(180o-ZD-∕CHD),

2 2

ZB + -(180o-ZB-∕AHB) = ZM + Z-(180o-ZD-ZAHB),

2 2

整理得，∕B-L∕B =∕M-L∕D ,

2 2

化简得，ZΛ∕=1ZB + ∣ZD

将NB = 34。，ZD = 42o,代入NV =g∕3 + g∕O ,解得,

Λ ZΛf =-ZB + -ZD = -×34o + -42° = 38°.

2 2 2 2

故选：B.

【点拨】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键.

3. D

【解析】

【分析】

题目由于在三角形中未确定NA、NB大小,所以需要进行分类讨论：（1）ZA

∕DCE = ∕BCE-/BCD,根据角平分线的性质得：/8CE =仝包=至竺皿*2 ,在心ΔBCQ中，

2 2

ZBCD = 90o-ZB = 90o-n o,故可得/。。七=；（九。一机。）；（2）NA>NB时，由图可得：ZDCE = ZACE-ZACD f

/ACE = J 8吐（；W。）,在心ΔACD中，ZACO = 90° - ZA = 90° - ιvP,故可得N£>CE = g（〃2。—“。）；综上可得：

ΛDCE = ^∖m o-n o.

【详解】

解：（1）如图1所示：NA

图1

E D

•••CO是A3边上的高，

.∙.CD±AB, /88 = 90。,

v ZA = m o, ZB = n o,

ΛZACB = 180o-(m o + H o),

∙∙∙CE 平分ZAC8,

2 2

在RfΔBCD 中,ZBCD = 90° - ZB = 90° - rf ,

180O-(∕77O+∕7O)/ \ 1/ \

・,. NDCE = 4BCE - NBCD = ------ --------- j- -(90°-叫=—(废-m。)；

2 2

(2)如图2所示：NA>N8时，

••,co是A8边上的高,

.∙.CD±ΛB, ZCDB=90Q,

v ZA = m o, ∕B = n o,

.∙. ZACB = 180o-(m o + H o),

∙∙∙CE 平分ZAC8,

在用ΔAC。中，ZACD = 90°-ZA = 90°-m o,

180o-(w o+ πo)

-(90O-∕ΠO)=∙^(W O-Z7O)；

:∙ ∕DCE = λACE-ZACD = ------------ ---------- L

综合⑴ (2)两种情况可得：ZDCE = -∖m o-n o

故选：D.

【点拨】题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题F1难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形.

4. C

【解析】

【分析】

NBEG=NFEG∙∕FEB=0 - a = 4。。,ZΛEF=180o-ZFEG-ZHEG=l 80o-2^,在中，NE4E = 2 △-2α = 80。，AD//BC,

ND=NABC,得到A3〃CD,由平行线的性质和邻补角的定义即可求解.

【详解】

解：设∕FBE=∕FEB=a,则NAFE=2α,

N山”的角平分线为EG,设∕GEH=∕GEF=3

∖,AD∕∕BC,

：.ZABC+ZBΛD=↑SO°f

∙., ZD=ZABC t

ΛZr)+Z^AD=180o,

:・AB〃CD,

∙., ZBEG=40o,

.*.Z BEG= Z FEG- Z FEB=β-a=40o,

∙., ZAEF= 18()o- Z FEG- Z ∕7EG= 18()o-2∕7,

在aAEF 中，180。・24+2仪+//^^=180。，

/. ZFAE=2β-2a=2 (β-a) =80o,

∖∙AB∕∕CD f

.∖ZCEH=ZFΛE=^o1

：.Z DEH= 18()o- Z CEH= l()()o.

故选：C.

【点拨】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关%£的等式表示出△ A4 内角和为180。，题目难度较大.

5. A

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质，由N3=30°, A l B=CB f得N8AC=NG 30o+ZβA∕C+ZC=180o,那么N8A∕C=g乂150。=75。.由

A∣A2=A l D,得ND42A尸NA/OA2.根据三角形外角的性质，由N5A∕C=ND42A∕+NA2D4尸2ND424,得ND/hA尸g N8A∕C=→→150o.以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题.

【详解】

解：∙.∙N3=30°, A l B=CB,

."BA]C=∕C, 30o+ZBA∕C÷ZC=180o.

Λ 2 ZBA∕C= 150°.

Λ ZBA∕C=∣×150o=75o.

∖,A∣A2=A∣D f

.9.ZDA2A I=ZA I DA2.

：.ZBA l C=ZDA2A1+ZA2DA1=2ZDA2A l.

.∙. ZDA2A1=^ ZBA∕C=→∣×15()O.

同理可得：N£4A2=：ND424/4xgx：xl50。.

以此类推, 以A〃为顶点的内角度数是×75 .

/ 1 \2020

，以A202/为顶点的内角度数是∣Q x75"∙

故选A.

【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键.

6. B

【解析】

【分析】

延长CD交AB，于H.利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明NBFC=NC+NAHC+NCAD,再求出NC+NAHC即可解决问题.

【详解】

解：延长CD交AB吁H.

ΛZABE=ZB,, ZEAB=ZEAB z=40o,

VC r H√EB,,

.*.ZAHC=ZB,,

V∆ADC^∆ADC,,

ΛZC,= ZACD, ZDAC=ZDAC z=40o,

∙., ZBFC=ZDBF+ZBDF, ZBDF=ZCAD+ZACD,

.,.ZBFC=ZAHC,+ ZC+ZCAD,

∙., NDAC=NDAC'=NCAB'=40°,

ΛZC,AH=120o,

ΛZC,+ ZAHC,=60o,

ΛZBFC=60o+40o=100o,

故选：B.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键.

7. D

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同旁内角互补可得NA8C+N8AO=18(Γ ,又BE、AE都是角平分线，可以推出NA8E+N8AE=9(T ,从

而得到NAE8=90°,然后延长AE交的延长线于点F,先证明4ABE与△所E全等，再根据全等三角形对应边相等得到

AE=EF f然后证明4AEQ与4FEC全等，从而可以证明①②⑤正确，川?与C。不一定相等，所以③④不正确.

【详解】

解：∖t AD∕∕BC1

：.ZABC+ZBAD= 180° ,

∖,AE, 8E分别是NBA。与乙MC的平分线，

.∖ZBAE=^ ZBAD f ZABE= ZABC f

.∖ZBAE+ZABE=^ (ZBAD+ZABC) =90° ,

Λ ZAEB=↑80o - (ZBAE+ZABE) =180° - 90° =90° ,

故①小题正确；

如图，延长AE交8C延长线于E

V ZAEB=90o ,

ΛBE±AF,

,・浜平分NA8C,

.*.ZABE=ZFBE f

在AABE与AFBE中,