初中最短路径问题7种类型
初中数学最短路径问题总结
初中数学最短路径问题总结一、十二个基本问题概述问题一：在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .作法：连接AB，与直线l 的交点即为P 点 .原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为AB .问题二：（“将军饮马问题”）在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .作法：作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接AB' 与l 的交点即为点P．原理：两点之间线段最短．PA + PB 最小值为AB' .问题三：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使得△PMN 的周长最小．作法：分别作点P 关于两条直线的对称点P' 和P''，连接P'P''，与两条直线的交点即为点M，N．原理：两点之间线段最短．PM + MN + PN 的最小值为线段P'P'' 的长．问题四：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小．作法：分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q' 和P' 连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N.原理：两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段Q'P' + PQ 的长．问题五：（“造桥选址问题”）直线m∥n，在m、n 上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM + MN + BN 的值最小．作法：将点A 向下平移MN 的长度单位得A'，连接A'B，交n 于点N，过N 作NM⊥m 于M .原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为A'B + MN .问题六：在直线l 上求两点M , N （M 在左），使MN = a , 并使AM + MN + NB 的值最小 .作法：将点A 向右平移a 个长度单位得A'，作A' 关于直线l 的对称点A''，连接A''B 交直线l 于点N，将N 点向左平移a 个单位得M .原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为A''B + MN .问题七：在l1 上求点A，在l2 上求点B，使PA + AB 值最小 .作法：作点P 关于l1 的对称点P'，作P'B⊥l2 于点B，交l1 于点A .原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段P'B 的长 .问题八：A 为l1上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点M，在l1上求点N，使AM + MN + NB 的值最小 .作法：作点A 关于l2 的对称点A' , 点B 关于l1 的对称点B'，连接A'B' 交l2 于点M，交l1 于点N．原理：两点之间线段最短．AM + MN + NB 的最小值为线段A'B' 的长．问题九：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最小．作法：连接AB，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P 点．原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．| PA - PB | = 0 .问题十：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．作法：作直线AB，与直线l 的交点即为P 点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB ，| PA - PB | 的最大值= AB . 问题十一：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．作法：作点B 关于直线l 的对称点B' 作直线AB'，与直线l 的交点即为P 点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB' ，| PA - PB | 的最大值= AB' . 问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P，使得PA + PB + PC 的值最小 .作法：所求点为“费马点”，即满足∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .以AB 、AC 为边向外作等边△ABD、△ACE，连接CD、BE 相交于点P，点P 即为所求 .原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值= CD .二、“费马点”——到三点距离之和最小的点费马点的构造方法：①所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于120°；②如下图所示：A , B , C 是给定的三点，以AC 为边向外作正三角形得到点D , 以BC 为边向外作正三角形得到点E ,连接BD 和AE 交于点O，我们断言点O 就是“费马点” .费马点的证明方法：先证△AEC ≌△DBC .△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，可得到△DBC，从而△AEC ≌△DBC .于是∠OBC = ∠OEC，所以O、B、E、C 四点共圆 .拓展知识：四点共圆判定方法若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .所以∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，于是∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证∠AOC = ∠AOB = 120°，所以∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .将O 点看作是AE 上的点，随着△AEC 一起绕点C 顺时针旋转60°得到点O2 , 所以∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,所以△OCO2 是等边三角形，于是有OO2 = OC .所以BD = OA + OB + OC .。
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。
以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。
解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。
初中数学最短路径问题12种模型
初中数学最短路径问题12种模型
1. 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；
2. 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；
3. 确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；
4. 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
问题原型
“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”。
涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
出题背景
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路
找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
12个基本问题
例题一：
已知在平面直角坐标系中，A(2，-3），B(4,-1).
(1) 若点P（x,0)是X轴上的动点，当三角形PAB的周长最短时，求X的值。
(2) 若点C、D是X轴上的两个动点，且D（a，0），当四边形
ABCD的周长最短时，求a的值；
(3) 设M、N分别为X轴、Y轴的动点。
问是否存在这样的点（m,0）和N（0，n）使得四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m、n。
若不存在，请说明理由。
例题二：。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题7种类型
轴对称最短路径问题是一种经典的计算几何问题，其目标是在给定图形中找到从起点到终点的最短路径。
根据不同的条件和限制，轴对称最短路径问题可以分为以下七种类型：
1. 简单轴对称最短路径问题：给定一个轴对称图形，起点和终点分别位于对称轴的两侧，求最短路径。
2. 带有障碍物的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中存在一些障碍物，起点和终点在障碍物两侧，求最短路径。
3. 多个起点和终点的轴对称最短路径问题：给定多个起点和终点，每个起点和终点都在对称轴的两侧，求所有起点到所有终点的最短路径。
4. 带有权值的轴对称最短路径问题：在轴对称图形中，不同的点或边具有不同的权值，求起点到终点的最短路径。
5. 动态规划解决轴对称最短路径问题：使用动态规划算法解决轴对称最短路径问题，将问题分解为子问题，逐步求解。
6. A*搜索算法解决轴对称最短路径问题：使用A*搜索算法，通过估价函数指导搜索方向，加速求解速度。
7. 双向搜索解决轴对称最短路径问题：从起点和终点同时进行搜索，通过比较两个方向的搜索结果得到最短路径。
以上七种类型是轴对称最短路径问题的常见分类，每种类型都有其特定的解决方法，需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
人教版八年级下册数学蚂蚁爬行最短路线
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
2.转化思想 （1）立体图形转化为平面图形。 （2）复杂图形转化为基本图形。
利用勾股定理解决最短路径问题，我们在 课前视频中设计了哪些类型问题？
类型一：平面图形中的最短路径问题 类型二：台阶中的最短路径问题
类型三：圆柱中的最短路径问题
类型四：长方体中的最短路径问题
小蚂蚁遇难题：
有一天,小蚂蚁在四个不同地方发现 有可口食物，饥饿的它要想尽快吃到这 些食物，应该走哪条路最近呢？
你有何高招？
类型一：平面图形中的最短路径问题
小蚂蚁在平坦无障碍物的草地上,从A地向东 走 3 m ,再向北走 2 m ,再向西走 1 m ,再向北走 1 m ,最后向东走 4 m 到达 B 地去吃可口的食物,求 蚂蚁爬行的最短路线长是多少? 4
从A到C1的最短路径是 a 2 (b c)2
1.建模思想：
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
2.转化思想 （1）立体图形转化平面图形。 （2）复杂图形转化基本图形。
1.必做题：课本P38第 题。
2.选做题： 联欢晚会中，布置会场，有一圆柱，底面
圆的半径为 4 cm，高为12cm，，在它的侧面均匀的缠
C
B
C
B
A
A
有一圆柱，底面圆的周长为12cm， 高为8cm，一只蚂蚁从底面的A处围绕侧 面爬行到垂直上方B处吃食物，它爬行的 最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
类型四：长方体中的最短路径问题
如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿 长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
七年级下册数学最短路径问题
七年级下册数学的最短路径问题通常涉及到图论知识，其中最短路径问题可以归结为寻找图中的两个节点之间的最短路径。
最短路径问题有不同的算法，其中包括：
确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
在解决最短路径问题时，需要注意考虑到图中可能存在的边权重和节点数量，以及选择合适的算法来求解。
(完整)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
![(完整)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧](https://img.taocdn.com/s3/m/24a6edb2f5335a8103d2205b.png)
初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题” 。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。
解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短．解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点．、一点在两相交直线内部例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，AOM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE,所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
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初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型
最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。
对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。
1. 单源最短路径问题
单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。
通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。
2. 多源最短路径问题
多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。
这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。
学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。
3. 无权图最短路径问题
无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。
学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路
径问题的解决方法。
4. 具有负权边的最短路径问题
具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。
学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。
5. 具有负权环的最短路径问题
具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。
学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。
6. 具有边权和顶点权的最短路径问题
具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。
学生可以通过学习和实践约翰逊算法，掌握具有边权和顶点权的最短路径问题的解决方法。
7. 具有时间限制的最短路径问题
具有时间限制的最短路径问题是指在一个给定的有向图中，每条路径都有一个时间限制，求从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
这个问
题可以通过使用迪杰斯特拉算法的改进版来解决。
学生可以通过学习
和理解改进版的迪杰斯特拉算法，解决具有时间限制的最短路径问题。
初中最短路径问题的这七种类型，涵盖了主要的最短路径问题的求解
方法。
学生在学习这些类型时，不仅可以提高自己的逻辑思维和解决
问题的能力，也可以为将来进一步探索离散数学和算法领域打下坚实
的基础。
希望学生们能够积极主动地学习和应用这些方法，不断提升
自己的数学水平。