基本不等式经典题
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b，求证：a + c > b + c。
2. 已知x > 3，求证：x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1，求证：x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数，求证：a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|，求证：x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式：3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式：5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式：2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式：4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式：5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式：x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式：2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式：x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式：3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式：x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式：x / (x 1) > 2。
2. 解不等式：1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式：(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式：(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式：(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式：|x 2| > 3。
2. 解不等式：|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式：|3x 4| < 2。
4. 解不等式：|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式：|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组：$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$，求x的取值范围。
基本不等式习题及答案
基本不等式习题及答案基本不等式习题及答案不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。
在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。
根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。
因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。
由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。
根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。
所以，我们证明了(a+b)²≥ 4ab。
2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。
根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。
将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。
基本不等式专练(含答案)
基本不等式专练一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 若x ，y ∈R +，且3x +1y =5，则3x +4y 的最小值是( )A. 5B. 245C. 2√35D. 1952. 已知直线kx −y +2k −1=0恒过定点A ，点A 也在直线mx +ny +2=0上，其中m ，n 均为正数，则1m +2n 的最小值为( )A. 2B. 4C. 8D. 63. 若x >1，则4x +1+1x−1的最小值等于( )A. 6B. 9C. 4D. 14. 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为( )A. 10B. 11C. 13D. 215. 当x >4时，不等式x +4x−4≥m 恒成立，则m 的取值阀内是( )A. m ≤8B. m <8C. m ≥8D. m >86. 正实数x,y 满足1x +1y =2，则x +2y 的( )A. 最小值为32+√2 B. 最大值为32+√2 C. 最小值为3+2√2D. 最大值为3+2√27. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y−1的最小值为( )A. 2B. 1+√2C. 32 D. 2+2√28. 实数a,b 满足a >0,b >0，a +b =4，则a 2a+1+b 2b+1的最小值是( )A. 4B. 6C. 32D. 839.两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为()A. 49B. 109C. 1D. 3二、多选题（本大题共7小题，共35.0分）10.若正实数a，b满足a+b=1，则下列选项中正确的是()A. ab有最大值14B. √a+√b有最大值√2C. 3a−b>13D. 2a+1b有最小值9211.下列命题正确的有()A. 若a>b>c，ac>0，则bc(a−c)>0;B. 若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4C. 若x>0，y>0，x+y=xy，则x+2y+xy的最小值为5+2√6;D. 若实数a≥2，则log a+1(a+2)<a+2a+112.若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A. 1a +1b≥1 B. √ab≤2 C. 1a2+b2≤18D. 0<1ab≤1413.已知a>0，b>0，下面四个结论正确的是()A. 2aba+b ≤a+b2；B.2222baba+≤+C. 若a>b，则c2a ≤c2b；D. 若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；14.下列各式中，最小值为4的是()A. y=x2+8xB. y=sinx+4sinx(0<x<π)C. y=e x+4e−xD. y=√x2+1+√x2+115.已知a>0，b>0，且a2+b2=1，则()A. a+b⩽√2B. 12<2a−b<2C. log2√a+log2√b⩾−12D. a2−b2>−116.下列命题为真命题的是A. 若a>b，则2a−b>12>1B. 若a>b>0，则lgalgbC. 若a>0，b>0，则√ab≥2aba+bD. 若a>b，则ac2>bc2三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）+2(x>0)的最小值为______．17.函数y=x+4x18.已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为______．四、解答题（本大题共1小题，共12.0分）(x>3)．19.已知函数f(x)=x+9x−3(1)求函数f(x)的最小值．(2)若不等式f(x)≥t2−t+7恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.C解：分别过A ，B 向准线作垂线，垂足分别为A′，B′，由抛物线定义可知AA′=AF ，BB′=BF ， 不妨设A 在P ，F 之间，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ1>0，λ2<0，且PA =λ1AA′，PB =−λ2BB′， ∴λ1=PA AA′=1sin∠APA′，λ2=−PB BB′=−1sin∠BPB′， ∴λ1+λ2=0．2.A解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 为抛物线E 的准线上一点得： x A =−p2，x B =0， ∴x C =p 4； ∴y C =±√22p ； 又F(p2,0)， ∴k AF =k CF =±√22p−0p 4−p 2=±2√2；∴直线AF 的斜率为±2√2．3.D解：依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x =−4的距离， 因此点M 的轨迹是抛物线，且p =8，顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上， 则点M 的轨迹方程为y 2=16x ． 故选D ．4.A解：∵x ，y ∈R +，且3x +1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y)(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4yx)≥135+35⋅2√xy ⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1,y =12时等号成立，5.B解：已知直线kx−y+2k−1=0整理得：y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(−2,−1)．点A也在直线mx+ny+2=0上，所以：2m+n=2.整理得：m+n2=1．由于m，n均为正数，则1m +2n=(m+n2)(1m+2n)=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m⋅2mn=4．6.B解：由x>1，得x−1>0，∵4x+1+1x−1=4(x−1)+1x−1+5≥2√4+5=9，当且仅当4(x−1)=1x−1，即x=32时，等号成立．7.B解：正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，=2+(1a +4b)(a+b)，=7+ba +4ab≥7+4=11，当且仅当ba =4ab且a+b=1即b=23，a=13时取等号，8.A解：∵x>4，∴x−4>0，∴x+4x−4=x−4+4x−4+4≥2√(x−4)⋅4x−4+4=8当且仅当x−4=4x−4，即x=6时取等号，∵当x>4时，不等式x+4x−4≥m恒成立，∴只需m≤(x+4x−4)min=8．∴m的取值范围为：(−∞,8]．9.A解：∵正实数x、y满足1x +1y=2，，当且仅当xy y x2 ，即x =√2y 时，等号成立， 所以x +2y 的最小值为32+√2，10.A解：∵G 为△ABC 的重心，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且x ≥1,y >1， 又∵G 在线段MN 上，∴13x +13y =1，∴x +y =3， ∴x +(y −1)=2，∴1x +1y −1=12[x +(y −1)](1x +1y −1) =12(1+1+x y −1+y −1x) ≥12(2+2)=2，当且仅当{x =y −1x +(y −1)=2，即x =1,y =2时等号成立．11.D解：令a +1=m ，b +1=n ，则m >1,n >1，m +n =6． a 2a+1+b 2b+1=(m−1)2m+(n−1)2n=m +n +1m +1n −4=2+6mn ⩾2+6(m+n 2)2=83，当且仅当m =n =3时取等号．12.C解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x +a)2+y 2=4，x 2+(y −2b)2=1，圆心分别为(−a,0)，(0,2b)，半径分别为2和1，故有√a 2+4b 2=3，∴a 2+4b 2=9， ∴a 2+4b 29=1，∴1a 2+1b 2=a 2+4b 29a 2+a 2+4b 29b 2=19+49+4b 29a 2+a 29b 2≥59+2√481=1，当且仅当4b 29a =a 29b，并且a 2+4b 2=9时，等号成立， 13.ABC解：对于选项A ：∵ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取“= “)，故选项A 正确；对于选项B：∵(√a+√b)2=a+b+2√ab⩽a+b+a+b=2，∴√a+√b≤√2(当且仅当a=b=12时取“=“)，故选项B正确；对于选项C：∵正实数a，b满足a+b=1，∴a−b=2a−1>−1，∴3a−b>3−1=13，故选项C正确；对于选项D：∵a+b=1，∴2a+1b=(2a+1b)(a+b)=3+2ba+ab⩾3+2√2(当且仅当{a+b=12ba=ab时取“=“)，故选项D错误．14.【答案】ACD解：由a>b>c，ac>0，可得a，b，c同号且a−c>0，所以bc(a−c)>0;故A正确；若x>0，y>0，x+y=2，则2x+2y⩾2√2x·2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2x+2y的最小值为4，故B错误；若x>0，y>0，x+y=xy，则1x +1y=1，所以x+2y+xy=2x+3y=(2x+3y)(1x +1y)=5+3yx+2xy⩾5+2√3yx·2xy=5+2√6，当且仅当3y2=2x2时等号成立，故C正确；令f(x)=lnxx ，则f′(x)=1−lnxx2<0在x∈(e,+∞)上恒成立，所以函数f(x)=lnxx在(e,+∞)上单调递减，因为a≥2，a+1≥3，所以log a+1(a+2)<a+2a+1⇔ln(a+2)ln(a+1)<a+2a+1⇔ln(a+2)a+2<ln(a+1)a+1;故选项D正确．15.ABC解：由题意得4=a+b⩾2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)则√ab⩽2，故B正确，则1ab ⩾14，故D错误；因为1a +1b=a+bab=4ab⩾1，故A正确；因为a2+b2=(a+b)2−2ab⩾8，则1a2+b2≤18，故C正确．故选ABC ．16.ACD解：对于A.∵a 2+b 2⩾2ab,∴(a +b )2⩾4ab,a >0,b >0,∴2aba+b ⩽a+b 2，A 成立；对于B.当a =b =1时1>1不成立，B 错误； 对于C ．a >b >0⇒0<1a<1b,c 2⩾0,∴c 2a⩽c 2b，C 成立；对于D.∵a +2b +3=(a +1)+2(b +1)=[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1) =1+2+a+1b+1+2(b+1)a+1⩾3+2√2，当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时,即a =√2,b =√22时等号成立，故a +2b 的最小值为2√2.故选ACD ．17.CD解： 对于A ，当x <0时，y <0，则y =x2+8x 无最小值，A 不符合题意; 对于B ，由0<x <π，得0<sinx ≤1， 又，当即sinx =2时，取等号，而sin x 的最大值为1，所以等号取不到，所以的最小值不是4，即B 不符合题意;对于C ，y =e x +4e −x ≥2√e x ×4e −x =4，当且仅当e x =4e −x 即x =ln2时，取等号， 所以y =e x +4e −x 最小值为4，C 符合题意; 对于D ，y =√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1×4√x 2+1=4，当且仅当√x 2+1=√x 2+1，即x =±√3时，取等号， 所以y =√x 2+1+√x 2+1 的最小值为4，所以符合题意．18.ABD解：对于A ，，则a +b ⩽ √2，当且仅当a =b 时取“=”号，A 正确； B .(a −b)2=a 2+b 2−2ab <a 2+b 2=1， 故−1<a −b <1，由2−1<2a−b <21，即12<a −b <2，B 正确；对于C ，取a =14，b =√154，则log 2√b <0，故log 2√a +log 2√b =−1+log 2√b <−1，C 错误；对于D ，b 2<1，则−b 2>−1，故a 2−b 2>−1，D 正确．19.AC解：对A ，若a >b ，则a −b >0，由指数函数性质知2a−b >20=1>12，A 正确； 对B ，若a >b >0，取a =2，b =12，则lg alg b =−1，不满足lgalgb >1，故B 错误； 对C ，若a >0，b >0，则a +b ⩾2√ab ，则2aba+b ⩽2√ab =√ab ，当且仅当a =b 时，等号成立，C 正确；对D ，当c =0时，结论不成立，故D 错误．20.6解：∵x >0，∴函数y =x +4x+2≥2√x ⋅4x+2=2×2+2=6当且仅当x =4x ，x >0，即x =2时，上式取等号．21.18解：根据题意，正实数x ，y 满足2x +y =1， 则xy =12(2x)y ≤12(2x+y 2)2=12×14=18，当且仅当2x =y =12，时等号成立， 即xy 的最大值为18；22.解：(1)因为x >3，所以x −3>0，所以f(x)=x +9x−3=(x −3)+9x−3+3， ≥2√(x −3)⋅9x−3+3=9，当且仅当x −3=9x−3，即(x −3)2=9时，上式取得等号， 又因为x >3，所以x =6，所以当x =6时，函数f(x)的最小值是9； (2)由(1)知f(x)的最小值是9，∴不等式f(x)≥t 2−t +7恒成立等价于9≥t 2−t +7， 即t 2−t −2≤0，解得：−1≤t ≤2，即实数t的取值范围是[−1,2]．。
基本不等式经典题型
基本不等式是数学中的一个重要的工具，它可以帮助我们求解一些问题的最值。
以下是一些基本不等式的经典题型：
1. 平方和不等式：对于任何实数a和b，都有a^2 + b^2 ≥2ab。
这个不等式经常用于解决最大面积、最小距离等问题。
2. 算术-几何平均不等式：对于任何正实数a和b，都有(a+b)/2 ≥√(ab)。
这个不等式常用于解决最大/最小化问题。
3. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量x和y，有|x|^2 * |y|^2 ≥(x·y)^2。
这个不等式在向量分析中非常常见，用于证明或计算相关的问题。
4. Holder不等式：对于任意p, q > 1且1/p + 1/q = 1，对任意非负实数序列{a_n}和{b_n}，都有(sum a_n^p)^(1/p) * (sum b_n^q)^(1/q) ≥sum a_n*b_n。
这个不等式在概率论和统计学中有重要应用。
以上只是基本不等式的一部分，它们在不同的领域和问题中有广泛的应用。
理解这些不等式及其背后的原理，并能够灵活运用它们，是提高数学能力的重要一步。
基本不等式训练题(含答案)
基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2B．有最小值2C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400B．100C．40D．20答案：A3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：244．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.∴12x＋4x≥212x•4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，∴－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x• －4x ＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12xB．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－xD．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3B．－3C．62D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()A．200B．100C．50D．20解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx•lgy；③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－(－xy)＋(－yx)]≤－2 －xy －yx ＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a•a＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64B．最大值164C．最小值64D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x•2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y≥2x•4y＝4xy，∴xy≤116.答案：大1169．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2 x＋1 •4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.∴(x－1)＋9x－1＋2≥2 x－1 •9x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，∴y有最小值8.11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)•(1b－1)•(1c －1)≥8.证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200＝800×(x＋225x)＋12000≥1600x•225x＋12000＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。
基本不等式50练(答案)
基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ． 【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 .【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ） A. 47B. 2233C. 2D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________.【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa， 则ba 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
基本不等式例题
1、已知正数a, b满足a + b = 1，则下列不等式中成立的是？A. ab ≤ 1/4B. ab ≥ 1/4C. ab < 1/4D. ab > 1/2（答案：B）2、设x, y为正实数，且x + y = 2，则下列不等式中正确的是？A. xy ≤ 1B. xy ≥ 1C. xy < 1D. xy > 2（答案：A）3、若a, b, c为正数，且a + b + c = 3，则下列不等式中不成立的是？A. a2 + b2 + c2 ≥ 3B. abc ≤ (a + b + c)3 / 27C. (a + b + c)/3 ≥√(abc)D. a3 + b3 + c3 ≥ 9（答案：D）4、已知x > 0, y > 0，且x + y = 4，则下列不等式中错误的是？A. 1/x + 1/y ≥ 1B. xy ≤ 4C. √(xy) ≤ (x + y)/2D. x2 + y2 ≥ 8（答案：A）5、设a, b为正实数，且a + b = 5，则下列不等式中正确的是？A. ab ≤ 25/4B. ab ≥ 25/4C. ab < 25/4D. ab > 10（答案：A）6、若x, y为正数，且xy = 100，则下列不等式中不成立的是？A. x + y ≥ 20B. x2 + y2 ≥ 200C. 1/x + 1/y ≤ 1/10D. x + y ≤ 50（答案：D）7、已知a, b, c为正数，且a + b + c = 1，则下列不等式中正确的是？A. a3 + b3 + c3 ≥ 3(abc)2B. a2b + b2c + c2a ≤ 1/3C. abc ≥ (a + b + c)3 / 27D. 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1（答案：B）8、设x, y为正实数，且x + y = 6，则下列不等式中错误的是？A. xy ≤ 9B. x2 + y2 ≥ 18C. √(xy) ≥ 3D. 1/x + 1/y ≤ 1/3（答案：D）9、若a, b为正数，且ab = 8，则下列不等式中不成立的是？A. a + b ≥ 4B. a2 + b2 ≥ 16C. 1/a + 1/b ≤ 1/2D. √(a) + √(b) ≤ 4（答案：D）10、已知x, y, z为正数，且x + y + z = 3，则下列不等式中正确的是？A. xyz ≤ 1B. x2 + y2 + z2 ≥ 3C. √(xyz) ≥ (x + y + z)/3D. 1/x + 1/y + 1/z ≥ 3（答案：B）。
基本不等式经典题目
基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\) 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 \(p\) 和 \(q\) 是大于 \(1\) 的实数且满足\(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则对于任意 n 维实数序列\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \dots, y_n\)，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots,x_n\)，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 \(a\) 和 n 维实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量，\(E(X)\) 为期望，\(V(X)\) 为方差。
5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 \(a > 0\) 和 n 维非负实数序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 \(X\) 为序列 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 的随机变量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式经典题
在数学中，基本不等式是解决各种不等式问题的基础。
它们是我们
在数学学习早期就需要掌握和运用的关键知识。
在本文中，我们将介
绍一些经典的基本不等式题目，并结合具体例子进行分析和解答。
1. 题目一：证明：对于任意正实数 a 和 b，有(a+b)^2/4 ≥ ab。
解析：我们可以利用基本不等式中的平方差公式来解决这道题目。
首先，将(a+b)^2 展开，得到a^2 + 2ab + b^2。
观察等式两边的表达式，我们可以发现a^2 + b^2 是一个不小于零的数，而2ab 是两个正数的乘积，所以最小值为零。
因此，根据平方均值不等式，我们有(a+b)^2/4 ≥ ab。
2. 题目二：证明：对于任意正实数 a，b 和 c，有(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ (a+b+c)/3。
解析：我们可以利用基本不等式中的均值不等式来解决这道题目。
首先，我们观察等式两边的表达式，可以发现a^3 + b^3 + c^3 是一个
不小于零的数，而a+b+c 是三个正数的和，所以最小值为零。
因此，
根据均值不等式，我们有(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a+b+c)/3。
3. 题目三：已知 a 和 b 是正实数，并且满足 a+b=2，求证：a^2 +
b^2 ≥ 2。
解析：我们可以利用基本不等式中的平方不等式来解决这道题目。
首先，我们观察等式两边的表达式，可以发现a^2 + b^2 是一个不小于
零的数。
然后，我们利用平方不等式来证明这个不等式成立。
根据平
方不等式，我们有(a+b)^2 ≥ 4ab。
代入 a+b=2，得到4 ≥ 4ab。
将等式两
边同时除以4，得到1 ≥ ab。
由于 a 和 b 是正实数，所以ab≥ 0。
因此，我们有1 ≥ ab ≥ 0。
将其代入原始不等式中，得到 a^2 + b^2 ≥ 2。
通过以上三个例子，我们可以看出基本不等式在解决不等式问题中
的重要性。
熟练掌握基本不等式的运用，不仅可以帮助我们解答各种
数学题目，还能提升数学思维能力和解决实际问题的能力。
总结：
在本文中，我们介绍了基本不等式中的三个经典题目，并结合具体
的解析和证明进行了讲解。
通过这些例子，我们清晰地展示了基本不
等式在解决不等式问题中的运用方法。
基本不等式是我们数学学习中
的重要知识，掌握了基本不等式的运用技巧，我们就能够在解题过程
中更加得心应手。
希望本文对大家的数学学习有所帮助。