(完整版)特殊角的三角函数值的巧记
初中数学巧记特殊角的三角函数值学法指导学法指导
初中数学巧记特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求同学们必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法。
1. 图示法
借助于下面两个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出。
2160cos 30sin =︒=︒， 2245cos 45sin =︒=︒， 2330cos 60sin =︒=︒， 3
330tan =︒， 145tan =︒，
360tan =︒，
【说明】（1）正弦值随角度的变化而变化，即α从︒→︒→︒→︒→︒906045300变化，
正弦值从12
322210→→→→变化，其他类似记忆。
（2）观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
①有界性。
锐角三角函数值都是正值，即当︒<α<︒900时，则有1sin 0<α<，1cos 0<α<，0tan >α。
②增减性。
锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，即当︒<∠<∠<︒90B A 0时，有B s in A s in <，B tan A tan <，B cos A cos >，特别地，若︒<α<︒450，则α<αcos sin ；若︒<α<︒9045，则α>αcos sin 。
3. 口诀记忆法
观察表中的数值特征，可发现正弦、余弦值可表示为
2m 形式，正切值可表示为3
m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七。
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
特殊角的三角函数值口诀是什么
特殊角的三角函数值口诀
三角函数是解决三角形相关问题的重要数学工具，而特殊
角的三角函数值口诀则是帮助我们快速记忆和计算某些特殊角度下的三角函数值的方法。
在数学学习中，熟记这些口诀可以帮助我们更快速地解决问题，提高计算效率。
接下来，我们将介绍特殊角的三角函数值口诀的相关内容。
初步了解：
在正弦函数、余弦函数和正切函数中，特殊角的三角函数
值是我们经常需要计算的。
这些特殊角包括0度、30度、45度、60度和90度，下面是这些特殊角下的三角函数值口诀：
特殊角的三角函数值口诀：
角度正弦值余弦值正切值
0°010
30°1/2√3/21/√3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10无穷
角度的含义:
•0度代表的是水平方向，
•30度代表的是正三角形中底边等于高的斜边与底边夹角，
•45度代表的是等腰直角三角形中的两直角边夹角，
•60度代表的等边三角形的三个内角中的一个，
•90度代表的是直角三角形中其中一个内角。
以上是特殊角的三角函数值口诀以及相应的角度含义。
通过记忆这些口诀，我们可以很方便地计算常见角度下的三角函数值，为解决数学问题提供便利。
希望这篇文档能帮助你更好地理解特殊角的三角函数值口诀。
如果需要进一步深入学习，请继续钻研相关的数学知识，提高数学水平。
中考数学特殊角三角函数值的记法推荐
中考数学特殊角三角函数值的记法推荐一提到知识点，专门多同学们都觉得它专门枯燥，繁琐。
为了扩展大伙儿的知识，查字典数学网为大伙儿预备了专门角三角函数值的记法，欢迎阅读与选择！【识图经历法】三角函数值，若不知其因此然，角多值乱，十分容易混淆，若能结合三角板，恰当标出数据，则通俗易记.明显我们研究的30°，45°，60°这三个角正好是一副三角板的三个锐角我们不妨令三角板的斜边长都为2，则其余各边的长度由勾股定理不难求出，现在，数形结合，形象直观，经历起来自会事半功倍.【表格与口诀经历法】专门角的三角函数值是解直角三角形中常用到的重要数据，是我们必备的差不多知识之一，为关心同学们经历，专门给出以下几种经历方法.1.表格与口诀经历法将三个专门角的三角函数值制成如下的表格并进行适当的加工得:30°45°60°正弦余弦正切不难看出，30°，45°，60°这三个角的正弦值和余弦值的共同点是：分母差不多上2，若把分子都加上根号，则被开方数就相应地变成了1，2，3.正切的特点是将分子全部都带上根号,令分母值为3,则相应的被开方数确实是3，9，27.另外，正弦值和正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.依照此特点不妨编成如下口诀:专门角三角函数值经历口诀三十，四五，六十度，三角函数记牢固;分母弦二切是三，分子要把根号添;一二三来三二一，切值三九二十七;事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
特殊角度值记忆技巧
特殊角度值记忆技巧在数学和几何的学习中，特殊角度值的记忆是一个重要但有时颇具挑战性的任务。
特殊角度通常指的是 0°、30°、45°、60°和 90°等，以及与之相关的三角函数值。
这些角度及其对应的函数值在解决各种几何和数学问题时经常被用到。
下面，我将为您分享一些实用的特殊角度值记忆技巧。
首先，让我们来看看 30°和 60°这对“好兄弟”。
想象一个等边三角形，因为其三个内角相等且总和为 180°，所以每个角都是 60°。
现在从其中一个顶点向对边作垂线，将这个等边三角形分成了两个直角三角形。
那么这条垂线就把 60°的角分成了 30°和 60°。
在这个直角三角形中，斜边是等边三角形的边，长度假设为 2，垂线对应的直角边就是 1，剩下的那条直角边根据勾股定理可得为根号 3 。
这样，对于正弦、余弦和正切函数，我们就有了：sin30°＝ 1/2 ，cos30°＝根号 3 ／ 2 ，tan30°＝根号 3 ／ 3 ；sin60°＝根号 3 ／ 2 ，cos60°＝ 1/2 ，tan60°＝根号 3 。
接下来是 45°角。
可以想象一个等腰直角三角形，两条直角边长度相等，假设为 1，那么斜边的长度根据勾股定理就是根号 2 。
所以，sin45°＝ cos45°＝根号 2 ／ 2 ，tan45°＝ 1 。
对于 0°和 90°，我们可以这样理解。
当角度为 0°时，意味着没有倾斜，所以正弦值为 0，余弦值为 1，正切值为 0 。
而当角度为 90°时，已经完全垂直了，正弦值为 1，余弦值为 0，正切值不存在（因为分母为 0）。
为了更好地记住这些特殊角度值，我们可以制作一些记忆卡片，正面写上角度，背面写上对应的三角函数值，随时拿出来复习。
华东师大版数学九年级上册24.3巧记特殊角的三角函数值
巧记特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．
1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出：
sin30°=cos60°=
21 sin45°=cos45°=2
2
tan30°=33 tan 45°=1
2
2 2
3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为以下记忆规律： ① 有界性：〔锐角三角函数值都是正值〕即当0°＜α＜90°时， 那么0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ；
②增减性：〔锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小〕，即当0＜A ＜B ＜90°时，那么sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；
cosA ＞cosB ；特别地：
假设0°＜α＜45°，那么sinA ＜cosA ；
假设45°＜A ＜90°，那么sinA ＞cosA ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为
2m 形式，正切值可表示为3
m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．。
巧记特殊角的三角函数值
巧记特殊角的三角函数值
初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。
若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。
仔细观察表1，你会发现重要的规律。
表1中，三角函数值的前三行，分子被开方数排列特征依次为“1，2，3，3，2，1，3，9，27”。
“一二三，三二一，三九二十七”。
记此歌诀即可。
观察表2也可发现重要的规律。
表2中，弦函数分子被开方数分别为1，2，3，3，2，1，分母都是2；切函数分子的幂指数分别是1，2，3，3，2，1，分母都是3。
据此概括歌诀为：“一二三，三二一，弦内切外莫忘记。
分母弦二切为三，正、余只把顺序翻。
”这两个歌诀记住一个即可，两歌诀一起记应用更方便。
1。
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特殊角的三角函数值的巧记
特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．
那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。
1、“三角板”记法
根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．
首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．
对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是3掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：0013sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．
在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶12，那么，就不难记住：002sin 45cos 452
==，00tan 45cot 451==。
这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．
二、列表法：
说明：正弦值随角度变化，即0˚ →30˚→45˚ →60˚ →90˚变化；值从
0→2
1→22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法
口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，
不能丢掉．如tan60°==tan45°=13=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，
则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．
例1.tan30°的值等于（ ）
A ．12
B ．2
C ．3 D
分析：本题考查特殊锐角三角函数值理解情况．解决本题需要熟练记住特殊锐角的三角函数值．
解：选C ．
评注：如果没有记住30°的正切值，可以先画一个含有30°角的直角三角形，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，找到三边关系，根据定义求解．
例2.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ）
A ．12
B
C ．1 D
析解：本题主要考查特殊锐角三角函数值理解情况．解决本题需要熟练记住特殊锐角的三角函数值．因为等腰直角三角形的锐角045a ∠=，所以0tan tan 451α==，故选C 。
评注：如果没有记住45°的正切值，可以在等腰直角三角形中借助勾股定理找到三边关系，然后根据三角函数定义求解．
例3.已知1sin 2
A =，且∠A 为锐角，则∠A=（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 析解：根据2
130sin 0=可得，A 等于30°，故选A ． 评注：特殊锐角三角函数值在解决实际问题中应用非常广泛，所以我们要熟练掌握30°，45°、60°角的三角函数值，
例4.计算tan 602sin 452cos30+-o o o 的结果是（ ）
A ．2
B ．
C
D ．1
分析：本题是一道与锐角三角函数值有关的计算问题，解决问题的关键是先确定函数值，然后再进行实数的运算．
解：tan 602sin 452cos30+-o o o
2222
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