《特殊角的三角函数值》教案
第2讲：特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值-教案
【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.
∵ ， ，
∴
故选A.
【题干】已知α为锐角，sin（α﹣20°）= ，则α=（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【答案】D
【解析】∵α为锐角，sin（α﹣20°）= ，
∴α﹣20°=60°，
∴α=80°，
故选D．
【题干】计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )
2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，则α等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】C
【解析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°= 即可求解．
解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα= ．∴α=60°．
故选C．
3.计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（ ）
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2× = （cm）．∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2× = （cm）．在Rt△BOC中，OC= BC=1．
2.先化简，再求值： ，其中x＝2sin60°＋1．
【答案】 见解析
【解析】（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°= a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ +1）a．
（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC= ．
在Rt△OBE中，∠OBE= 30°，OB= = a．
28.1特殊角的三角函数值(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与特殊角三角函数值相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示特殊角三角函数值在直角三角形中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊角的三角函数值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对特殊角的三角函数值的概念和应用掌握得还算不错。在导入新课环节，通过日常生活中的例子来引起学生的兴趣，看来效果挺好的，大家都很积极地参与到课堂讨论中。但在讲授理论部分，我发现有些学生对特殊角的记忆不够熟练，需要在这方面多下功夫。
在新课讲授中，我尽量用简单明了的语言解释概念，并通过案例分析让学生更好地理解。不过，我注意到在解释难点时，部分学生还是显得有些困惑。下次我可以尝试用更多直观的图形和实际操作来帮助他们理解。
2.教学难点
-特殊角的三角函数值推导过程的理解。
-运用三角函数值解决实际问题时，对问题模型的建立和转化。
-掌握在坐标平面中，如何利用特殊角的三角函数值来确定点的坐标。
举例：
-难点一：推导sin45°=cos45°=√2/2的过程。教师需要通过直观的图形和逻辑推理，帮助学生理解45°角的正弦和余弦值相等，并且是根号二除以二。
新华师大版九年级上册初中数学 24-3-1课时2 特殊角的三角函数值 教案
24.3.1课时2 特殊角的三角函数值【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值.2.让学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法.【过程与方法】学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，发展学生的推理能力和计算能力.【情感态度与价值观】通过本节课的学习了让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培养学生的数学应用意识.熟记30°、45°、60°角的三角函数值.根据函数值说出对应的锐角度数.多媒体课件.上节课我们学习了锐角三角函数的定义.复习如图所示Rt△DEC，∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D的三个三角函数值.(sinD=4/5,cosD=3/5,tanD=4/3)一、思考探究，获取新知你能否根据锐角三角函数的定义求出30°角的三个三角函数值？1.探究3.填表思考：(1)sinα随着α的增大而增大；（2）cosα随着α的增大而减小；（3）tanα随着α的增大而增大.例1 求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°解：原式1312332323=⨯+⨯=.二、运用新知，深化理解2.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为12，则k的值为_______.4.已知，如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°,AB=6,求BC的长.(结果保留根号）【教师点拨】第1题的计算，注意理清运算顺序；第2题可构造直角三角形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；第3题先求出α的三角函数值，再根据其值求角的度数.1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法.1.布置作业：从教材“习题24. 3”中选取.本节从复习锐角三角函数的定义入手，提出求解30°角的三角函数值，让学生动手探究45°、60°角的三角函数值，加以归纳总结，并学会应用.在教学上充分体现以学生为主体的思想，在教学中以调动学生的思维为主，充分培养学生的自主性和创造性.。
九年级数学下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教案、教学设计
3.教学评价：
-课堂问答：通过提问，了解学生对特殊角的三角函数值的掌握情况。
-作业布置：设计富有层次性的作业，Байду номын сангаас学生在课后巩固所学知识。
-课堂练习：进行计算器操作练习，评价学生的实际应用能力。
-小组讨论：观察学生在小组合作中的表现，评价学生的团队协作能力。
3.总结规律：
-引导学生发现特殊角三角函数值的规律；
-解释特殊角三角函数值与角度之间的关系。
（三）学生小组讨论
在这一环节中，我们将组织学生进行小组讨论，共同探讨三角函数值的记忆方法和计算器操作技巧。
1.分组：将学生分成若干小组，每组4-6人。
2.话题：讨论如何记忆特殊角的三角函数值，以及计算器操作的注意事项。
2.学生练习：学生在课堂上独立完成练习题。
3.交流反馈：学生相互交流答案，讨论解题过程中的困惑。
4.点评讲解：教师对学生的练习情况进行点评，针对共性问题进行讲解。
（五）总结归纳
在这一环节中，我们将对本节课所学知识进行总结，帮助学生巩固记忆。
1.回顾：引导学生回顾本节课所学内容，包括特殊角的三角函数值、计算器操作方法等。
1.提问：请同学们回忆一下，我们之前学习的三角函数有哪些？它们分别表示什么意义？
2.学生回答：正弦、余弦、正切。
3.追问：那么，这些三角函数的值与角度之间有怎样的关系呢？
4.学生回答：角度不同，三角函数的值也会不同。
5.引入新课：今天我们将学习特殊角的三角函数值，以及如何使用计算器求任意角的三角函数值。
2.教学过程：
-导入新课：通过复习一般角的三角函数，自然过渡到特殊角的三角函数值的学习。
新人教版九年级下册数学《特殊角的三角函数值》精品教案
28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝23，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝BCAB，即BCBC＋4＝33，解得BC＝2(3＋1)．方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】判断三角形的形状已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan A)2＋|sin B－32|＝0，试判断△ABC的形状．解析：根据非负性的性质求出tan A及sin B的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解：∵(1－tan A)2＋|sin B－32|＝0，∴tan A＝1，sin B＝32，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ACBC＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝CDBC，tan75°＝BCCD求出即可．解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－ 3.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BCCD＝323－3＝2＋ 3.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题三、板书设计1．特殊角的三角函数值：2.应用特殊角的三角函数值解决问题．课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值教案人教版数学九年级下册
《28.1.3特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计教学任务分析教学过程设计拓宽思路，灵活应用在正方形网格中，ABC △的三个顶点分别是格点,其位置如2cos 1,sin (2)tan .cos图所示，则Bcos的值为（）.A．12B．22C．32D．333.育才中学在筹备“庆圣诞、迎新年”登山活动中，准备了一些悬挂用的直角三角形小彩旗和一些发给参与登山活动同学的圆锥形圣诞帽.（1）如图1所示一个直角三角形的小彩旗，即Rt△ABC，已知∠C=90°，AB=6，BC=3，求∠A的度数．图1（2）如图2所示一个圆锥形的圣诞帽，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的3倍，求 ．图2学生独立完成，介绍思路与方法；教师在此基础上，归结出本题求解的关键是“找到∠B所在的直角三角形”“已知两边求角”观察所求锐角与所给出数值的两边之间的对应关系,选择适当的三角函数求解.“已知两边的数量关系求角”观察所求锐角与所给出数量关系的两边之间的对应关系,选择适当的三角函数求解.学会利用网格的特性去解题,变换问题的呈现方式,“无中生有”构建直角三角形，把∠B转化为直角三角形的锐角.学生能从实际情境中抽象出直角三角形,把实际问题转化为数学问题.锐角和三角函数值之间是一一对应关系,根据三角函数值可求得唯一的对应的锐角.在实际应用中,我们可以利用直角三角形的两边的数量关系去求锐角的度数.4.(1)小明测得这座山的西坡长AB为1000米,山高为500米,请问西坡坡面与水平地面所成的夹角∠A为多少度?(2)在第(1)问的条件下, 若∠D= 45°,求DC.(3)在第(1)问的条件下, 若∠D= 35°,求DC.学生运用特殊角的三角形函数值解决生活实际中的一些简单的问题.体会锐角三角函数的定义中的方程模型,让学生初步形成解直角三角形的雏形,为学生的后续学习做铺垫。
A BC D2cos1,tan. cos教案设计说明30°、45°和60°这几个特殊角的三角函数值的研究，这实际上是根据三角函数的概念求几个特殊角的三角函数值，可以看成是三角函数概念的应用.求这几个特殊角的三角函数值，一方面让学生进行一步熟悉正弦、余弦和正切函数的概念；另一方面也需要学生熟记这些特殊角的三角函数值,以便利用这些函数值进行一些简单的三角计算.从实际生活情境出发,抽象出两个基本图形,一个是有一个锐角为30°的直角三角形,另一个是有一个锐角为45°30°的三角函数值为例,设30°的对边长为a,则根据“直角三角形中, 30°所对的直角边等于斜边的一半”可知,斜边的长为2a,再根据勾股定理可得,另一条直角边的长为a3,由三角函数的定义可求出30°的正弦、余弦和正切函数值.类似也,可以求出45°和60°正弦、余弦和正切函数值.这些特殊角的三角函数值的求解过程留给学生,让学生独立思考,自主探索,进地步体会角度与比值之间的对应关系,深化对三角函数的理解.用表格呈现出特殊角的三角函数值,让学生从表中发现规律,熟记这些特殊角的三角函数值.在锐角三角函数中,锐角和函数值之间是一一对应关系,根据锐角的度数可以求出其对应的三角函数值,反过来,也可以根据三角函数值求得唯一的对应的锐角.学生能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简,并能解决简单的实际问题.在课堂教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体”的教学宗旨，通过创设有趣的数学活动展开教学，充分调动学生学习的积极性, 使学生能够主动愉快地学习.在教学过程中,让学生独立思考、学会思考,渗透函数思想、模型思想和数形结合思想.在教学采用启发式教学,启发、诱导贯穿教学始终,通过真实、熟悉的情境,借助多媒体进行教学,激发学生的好奇心,唤醒学生的求知欲,积极参与教学全过程,使学生在教师的主导下生动活泼、主动的和富有个性地学习.同时根据新课程标准的评价理念，我在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈.在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心.三角学发展简史三角学这门学科是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的，其最初的研究目的是为了改善天文学中的计算.古代三角学的萌芽可以说是源出于古希腊哲学家泰利斯(Thales ，约前624—前547)的相似理论.古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，约前190年-前125年)，曾著有三角学12卷，可以认为是古代三角学的创始人.到15世纪，德国的雷格蒙塔努斯(J ．Regiomontanus ，1436-1476)的《论三角》一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科.这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形.16世纪法国数学家韦达(F ．Viete ，1540-1603)则更进一步将三角学系统化，他已经对解直角三角形、斜三角形等作出了阐述，并且还有正切定理以及和差化积公式等.直到十八世纪，所有的六个三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌.三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值.这方面的工作是由欧拉作出的.1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”.具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P 向另一边作垂线PM 后，所得的线段OP 、OM 、MP (即函数线)相互之间所取的比值(如图1)，OP MP =αsin ，OPOM =αcos ，OM MP=αtan 等.若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化.欧拉的这个定义是极其科学的，它使使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科.正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算.一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出.这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了.严格地说，这时才是三角学的真正确立.。
《特殊角的三角函数值》 说课稿
《特殊角的三角函数值》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《特殊角的三角函数值》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“特殊角的三角函数值”是人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了锐角三角函数的定义，为本节课的学习奠定了基础。
本节课主要介绍了 30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切值，并要求学生能够熟练记忆和运用这些值进行计算。
特殊角的三角函数值在数学中有着广泛的应用，不仅在解决几何问题、物理问题等方面发挥着重要作用，也是后续学习解直角三角形的必备知识。
同时，通过对特殊角三角函数值的探究和记忆，有助于培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
二、学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，但对于三角函数这一概念的理解可能还不够深入。
在学习本节课之前，学生已经掌握了直角三角形的相关知识和锐角三角函数的定义，这为学习特殊角的三角函数值提供了有利条件。
然而，由于三角函数值的计算较为抽象，学生在记忆和应用这些值时可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析和归纳来理解和掌握特殊角的三角函数值，同时通过适量的练习来巩固所学知识。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）能够推导并熟记 30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
（2）能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数式的值。
2、过程与方法目标（1）通过对特殊角三角函数值的推导，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。
（2）通过对三角函数值的应用，提高学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）在探究特殊角三角函数值的过程中，让学生体验数学的乐趣，激发学生的学习兴趣。
《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计1
28.1特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值教学目的：1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用特殊锐角的三角函数值进行计算以及由三角函数值求相应的锐角．2．让学生熟悉计算器一些功能键的使用，能熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角； 教学重点：1．掌握特殊角的三角函数值及运用它进行计算。
2．运用计算器处理三角函数中的值或角的问题； 教学难点：1．根据三角函数值求相应的锐角。
2．知道三角函数值求角的处理，比较三角函数的大小。
教学过程 一、复习回顾1．在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，则c a A =sin ，c b A =cos ，ba A =tan2．在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=10，BC=6，则sinB=________，cosB=_______.tan B=_______ 二、引入新课(一)探究30°、45°、60°角的三角函数值1．两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦、余弦、正切值各是多少？ 2．归纳30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：性质小结：通过上面的表格所显示的三角函数值你能观察出三角函数值的变化情况吗？ 3．例题讲解例1．求下列各式的值（1）02260sin 60cos + （2）0045tan 45sin 45cos - 例2 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=6，BC=3，求∠A 的度数． （2）如图，已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求 a 的度数．ABC斜边c∠A 的对边a∠A 的邻边b4．练习：课本第67页练习1、2(二)用计算器求角的三角函数值1．已知角度求函数值教师讲解：例如求sin18°，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18°=0.309016994．又如求tan30°36′，•利用tan•键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．因为30°36′=30.6°，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，•同样得到答案0.591398351．2．已知函数值，求锐角教师讲解：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：依次按键SHIFT sin，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．还可以利用SHIFT °’”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A•精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．教师提出：怎样验算求出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，•然后教师总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，•则我们原先的计算结果就是正确的．3．随堂练习课本第68页1、23、角a为锐角，且tan α=2，那么α在（）。
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28．1锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)
一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算
计算：
(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－3
2＝－1；
(2)原式＝
12
－22
12
＋22
＝22－3. 方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围
若cos α＝2
3，则锐角α的大致范围是( )
A ．0°＜α＜30°
B ．30°＜α＜45°
C ．45°＜α＜60°
D ．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝
32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜2
2
，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度
若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( ) A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°
解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝
33.∵tan30°＝3
3
，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，
AD ＝4，求BC 的长．
解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．
解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33
，解得BC ＝2(3＋1)．
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列
出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状
已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －
3
2
|＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tan A )2＋|sin B －
32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝3
2
，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题
要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C
＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝1
3＝
3
3
.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CD
BC ，
tan75°＝BC
CD
求出即可．
解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE 中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－3
3＝2－3，
tan75°＝BC CD ＝3
23－3
＝2＋ 3.
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计
1．特殊角的三角函数值：
30° 45° 60° sin α 12 22 32 cos α 32 22 12 tan α
33
1
3
2.应用特殊角的三角函数值解决问题．
课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的
教学很成功，学生理解的很好.。