天津市红桥区2017届高三二模数学试题(文)含答案
高三数学（文史类）
第Ⅰ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 A {x | x 1}, B {x | x x 0} ，则 A B A． {x | 1 x 1} B． {x | 0 x 1} C． {x | 0 x 1} D． {x | 0 x 1}
3 2
2
其中正确命题的序号是
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 13 分） 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 a （1）求 c 的值； （2）求 sin(2 A
5, b 3,sin C 2sin A .
18、（本小题满分 13 分） 已知数列 an 满足 a1 1, a2 3, an 2 3an 2( n N , n 2) . （1）证明：数列 an 1 an 是等比数列，并求出 an 的通项公式； （2）设数列 bn 满足 bn 2 log 4 ( an 1) 2 ，证明：对一切正整数 n， 有
n 1
4、某几何体的三视图如上图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值 A．2 B．3 C．
3 2
D．
9 2
x
5、设 p : x {x | y lg( x 1)}, q : x {x | 2 A．充分且不必要条件 要条件
1} ，则 p 是 q 的
C．充要条件 D．既不充分也不必
2 x2
1 2 x2
有最小值 2；
②“ x 4 x 5 0 ”的一个必要不充分条件是“ x 5 ”；
2
③命题 p : x R, tan x 1 ；命题 q : x R, x x 1 0 ，则命题“ p (q ) ”是假命 题； ④函数 f x x 3x 1 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y 3 .
B．必要且不充分条件
6、 在 ABC 中，ABC 120 , BA 2, BC 3, D , E 是线段 AC 的三等分点， 则 BD BE 的
0
值为 A．
65 9
B．
11 9
C．
41 9
D．
13 9
) 的图象向右平移 ( 0) 个单位，再讲图象上没一点的横 4 1 坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），所得图象关于直线 x 对称，则 的最小值为 2 4 1 1 3 1 A． B． C． D． 8 4 8 2
7、将函数 f x 2sin(2 x
log2 x ,0 x 2 8 、 已 知 函 数 f x ， 若 存 在 实 数 x1, x2 , x3 , x4 满 足 sin( x ),2 x 10 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) ，且 x1 x2 x3 x4 ，则
3 x ，点 P ( x, y ) 是圆 ( x 2) 2 y 2 1 上的动点，则点 P 到直线 l 的距
13、如图， F1 , F2 是双曲线
x2 y 2 1( a 0, b 0) 的左右焦点， a 2 b2
过 F1 的直线与双曲线的左右两支分别交于点 A, B ，若 ABF2 为 等边三角形，则双曲线的离心率为 14、已知下列命题： ①函数 f x
17、（本小题满分 13 分） 如图， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 侧面 PAD 底面 ABCD ，
且 PA PD
2 AD, E , F 分别为 PC , BD 的中点. 2
（1）求证：平面 EF / / 平面 PAD ； （2）求证：平面 PAB 平面 PDC ；
A． (9, 21) B． (20,32) C． (8, 24)
( x3 1)( x4 1) 的取值范围是 x1 x2
D． (15, 25)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、设 i 为虚数单位，复数 z 满足 z (2 i ) i ，则复数 z 的虚部为 10、 f x
3
1 2 1 x ln x 在 [ , e] 上的最大值是 2 e 3 sin wx cos wx (w 0), f ( x 1) 2, f ( x 2) 0 ，且 x1 x2 的最
11、已知函数 f x 小值 等于 ，则 w 12、已知直线 l : y 离的 最小值为
2
2、盒子装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个，若从中随机取 出 2 个球，则所有取出的 2 个球颜色不同的概率等于 A．
3 10
B．
2 5
C．
3 5
D．
1 2
C． an 2
n
3、根据如下图所示的框图，对大于 2 的正数 N，输出的数列的通项公式是 A． an 2n B． an 2(n 1) D． an 2
) 的值. 4
18、（本小题满分 13 分） 某人准备投资 1200 万元办一所中学， 为了考虑社会效益和经济效益， 对该地区教育市场进 行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）： 市场调查表：
Hale Waihona Puke 根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办 公费外，初中每人每年可以取 600 元，高中每人每年可收取 1500 元，因生源和环境等条件 限制，办学规模以 20 至 30 个班为宜（含 20 个与 30 个），教师实行聘任制，初、高中的教 育周期均为三年，设初中编制为 x 个班，高中编制为 y 个班，请你合理安排招生计划，使年 利润最大.
天津市红桥区高三二模数学(文)试卷 (2).docx
天津市红桥区2016年高三二模数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！ 参考公式：● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．● 柱体体积公式：V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 锥体体积公式：13V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体表面积公式：24πR S =, 其中R 表示球体的半径． ● 球体体积公式：34π3V R =，其中R 表示球体的半径． 第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}2|10,A x x x =-∈R ≥，{|03,}B x x x =<∈R ≤，则A B =（A ）{|13}x x x <<∈R ， （B ）{|13}x x x ∈R ≤≤，（C ）{|13}x x x <∈R ≤，（D ）{|03}x x x <<∈R ，（2）已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 的横坐标为3，且满足||2MF p =，则抛物线方程为（A ）22y x = （B ）24y x =（C ）212y x =（D ）26y x = （3）某程序框图如下图所示，若输出的26S =， 则判断框内为（A ）3?k > （B ）4?k >（C ）5?k > （D ）6?k >（4）函数()|2|x f x x e =--+的零点所在的区间是（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3) （5）“2x >” 是“220x x ->”成立的（A ）既不充分也不必要条件（B ）充要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）充分而不必要条件（6）函数13()sin 2cos2,22f x x x x =+∈R ,将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间ππ[,]63-上的最小值为（A ）0（B ）32- （C ）1-（D ）12（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，以C 的右焦点(,0)F c 为圆心，以a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,A B 两点，若23AB c =，则双曲线C 的离心率为（A ）355（B ）32613 （C ）62 （D ）32（8）已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f （x ），若f (x )在[－1，0]上是减函数，记0.5(log 2)a f =，2(log 4)b f =，0.5(2)c f =则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。
2017届天津市红桥区高三二模数学(理)试题(解析版)
2017届天津市红桥区高三二模数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|1}A x x =<， 2{|0}B x x x =-≤，则A B ⋂（ ） A. {|11}x x -≤≤ B. {|01}x x ≤≤ C. {|01}x x <≤ D. {|01}x x ≤< 【答案】D【解析】1,11x x <∴-<< ，又20,01x x x -≤≤≤ ，则{|01}A B x x ⋂=≤< ，选D.2．设变量x ， y 满足约束条件20,{30,230,x x y x y +≥-+≥+-≤则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A. 6 B. 32C. 0D. 12 【答案】A【解析】画出可行域，令0z =，得12y x =-，画出该直线，由于1122y x z =-+ ， z 取得最大值只需直线的截距最大，根据图形可得最优解为()0,3，目标函数2z x y =+的最大值为6.选A.【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，本题为截距型；二为线性规划的逆向思维问题，给出最值或最优解或最优解的个数，反求参数的范围或参数的值.3．根据如下图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）A. 2n a n =B. ()21n a n =-C. 2n n a =D. 12n n a -= 【答案】C【解析】试题分析：当1,1S i ==时, 11212a =⨯=；当12,2S i ==时,122222a =⨯=；当22,3S i ==时, 233222a =⨯=；…；由此得出数列的通项公式为2n n a =，故选C.【考点】1、等比数列的通项公式；2、程序框图及循环结构. 4．某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值（ ）A. 2B. 3C.32 D. 92【答案】B【解析】原几何体为四棱锥，底面ABCD 为直角梯形， //AD CD ， AB AD ⊥，PD ⊥ 平面ABCD ， ()1111223332P ABCD ABCD V S PD x -=⋅=⨯+⨯=， 3x =.选B.【点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．5．设p ： (){|lg 1}x x y x ∈=-， q ： {|21}x x x -∈<，则p 是q 的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】:p 函数()lg 1y x =-得定义域为{}1x x ， :0q x >， p 是q 的充分不必要条件，选A .6．在ABC 中， 120ABC ∠=︒， 2BA =， 3BC =， D ， E 是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅的值为（ ）A.659 B. 119 C. 419 D. 139-【答案】B 【解析】2133BD BA BC=+,1233BE BA BC=+,则21123333BD BE BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22225999BA BC BA BC =++⋅ 81851112399929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以,BA BC为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果. 7．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A.18π B. 14π C. 38π D. 12π 【答案】C【解析】函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到2sin 224y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到2sin 424y x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，所得图象关于直线4x π=对称，即5sin 214πϕ⎛⎫-=±⎪⎝⎭，则572,4228k k ππππϕπϕ-=+=+， k Z ∈ ，取1k =-，则ϕ的最小值为38πϕ=，选C.【点睛】把函数()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位得到函数()y f x ϕ=+的图象，即“左加右减，上加下减”，把函数()y f x =的图象上每一点的横坐标缩短到原来的1ω（纵坐标不变），得到函数()y fx ω=的图象，即x x ω→，由于三角函数的对称轴穿过函数图象的最高点或最低点，所以根据对称轴方程可求ϕ. 8．已知函数()2log ,02{,2104x x f x sin x x π<<=⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，若存在实数1x ， 2x ， 3x ， 4x 满足()()12f x f x = ()()34f x f x ==，且1234x x x x <<<，则()()341211x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A. ()9,21B. ()20,32C. ()8,24D. ()15,25 【答案】A【解析】画出函数()f x 的图象， ()()122122,log log f x f x x x =∴-= ，212log 0x x = ， 121x x = ， ()()34f x f x = ， 343412,210x x x x +=<<<， ()()()343434341211111x x x xx x x x x x --=-++=- ，由于3412x x =-，则()()2234444441212636x x x x x x x =-=-+=--+ ， 34x x为()2,4上单调增函数，因为 424x << ，则342032x x << ，有3491121x x <-< ，所以由此可得：()()341211x x x x -⋅-⋅的取值范围是()9,21，选A.【点睛】利用数学结合思想解函数题是高考必考解题的解题思想，先画出函数图象，结合题意根据2log y x =找出12,x x 的关系，再根据函数sin 4x y π⎛⎫=⎪⎝⎭找出34,x x 的范围和关系，最后求出()()341211x x x x -⋅-⋅的取值范围，特别说明由34210xx <<<，及3412x x =-代入减元转化为二次函数求34x x 的范围.9．曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l ：{32x y t =+=-+（t为参数）的最短距离是__________． 【答案】1【解析】把2sin ρθ=化为()2211x y +-=50y +-=，圆心到直线的距离为422d ==，曲线C 上的点到直线l 的最短距离为1. 【点睛】本题为选修内容，先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线的参数方程化为普通方程，求圆上一点到一条直线的距离的最小值，转化为圆心到直线的距离减去半径,要熟练使用点到直线的距离公式. 10．已知下列命题： ①函数()f x =2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题p ： R x ∃∈， tan 1x =；命题q ： R x ∀∈， 210x x -+>.则命题“()p q ∧⌝”是假命题；④函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是__________． 【答案】③④ 【解析】()f x =，设t t =≥ ， ()1f t t t=+在)+∞上为增函数，()f x 的最小值为2，①错误； ②25450x x x =⇒--= ，“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”，错误；③命题p ： R x ∃∈， tan 1x =，为真命题；命题q ： R x ∀∈， 210x x -+>，为真命题；则命题“()p q ∧⌝”是假命题，正确；④函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-，正确；正确命题的序号为③④.【点睛】对每个命题进行判断，研究函数的最值首先要考虑函数的定义域；判断充要条件要搞清谁是条件，谁是结论；判断复合命题的真假首先要判断两个简单命题的真假；利用导数求切线方程要明确导数的几何意义.二、填空题11．设i 为虚数单位，则复数32i i=-__________． 【答案】12i 55- 【解析】()()()321212222555i i i i i i i i -+-===---+12．在732x⎛ ⎝的展开式中常数项是__________．【答案】14【解析】()()172173722177212kk kk kk k k T C x x C x ----+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，令7210,62k k -==，则展开式中得常数项为()6671214C -⨯⨯=.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式1r n r rr n T C a b -+=,根据所求项的要求，解出r ，再给出所求答案.13．在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，()()1sin sin sin 2A B a b a c C ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，则cos B =__________． 【答案】14【解析】利用正弦定理“角化边”得：()()12a b a b a c c ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭,则22212a b ac c -=-， 22212a c b ac +-=， 2221cos 24a cb B ac +-==.【点睛】解三角形问题，常应用正弦定理“边化角”“角化边”，或应用余弦定理. 本题利用正弦定理“角化边”，再利用余弦定理求出角的余弦值,注意余弦定理的表达形式，借助已知条件做题.14．如图， 1F 、2F 是22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】试题分析：由题意结合双曲线的定义可知1122,BF AF AF a =-=2122,4,BF BF a BF a -=∴=又因为12122,120,F F c F BF =∠=︒在12BFF ∆中，根据余弦定理得22214416224,2c a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭整理得c a = 【考点】本小题主要考查双曲线定义的应用、双曲线的基本量之间的关系和双曲线的离心率以及余弦定理的应用，考查学生的运算求解能力.点评：本小题在解题过程中，两次利用双曲线的定义，从而表示出12BF F ∆的三条边，进而利用余弦定理求解.三、解答题15．已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为2-【解析】试题分析：（1）首先将函数进行化简，包括两角和的正弦公式展开，以及二倍角公式，以及，然后合并同类项，最后利用辅助角公式化简为，再求函数的周期；（2）根据,求的范围，再求函数的值域，以及函数的最大值和最小值.试题解析：（1）由题意可得∴()f x 的最小正周期为T π=； （2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为-2． 【考点】1.三角函数的恒等变形；2.三角函数的性质.16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ． 【答案】（1）516；（2）分布列见解析，数学期望是72． 【解析】试题分析：（1）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（2）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，即可列出分布列.试题解析：（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为11,44． 记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A ，则()111111542244416P A =⨯+⨯+⨯=．所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为516．（2）设甲、乙两个所付的费用之和为ξ， ξ可能取得值为0，2，4，6，8()()()11111511111150,2,4844221644242416P P P ξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅=，()111136442416P ξ==⋅+⋅=， ()11184416P ξ==⋅=，分布列【考点】1、互斥事件的概率加法公式；2、离散型随机变量的分布列．【方法点睛】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查利用所学知识解决问题的能力．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==， E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证： //EF 平面PAD ； （2）求证：面PAB ⊥平面PDC ；（3）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）线段AB 上存在点14G AG AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得二面角C PD G --的余弦值为13. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，证明EF ∥PA ，留言在线与平面平行的判定定理证明EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）先证明CD ⊥PA ，然后证明PA ⊥PD ．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA ⊥平面PCD ，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB ⊥面PDC ． （Ⅲ）假设在线段AB 上，存在点G ，使得二面角C-PD-G 的余弦值为13，然后以O 为原点，直线OA ，OF ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设G （1，a ，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a 值，即可得出结论． 试题解析： （Ⅰ）证明：连结AC ，由已知，F 为AC 的中点， E 为PC 中点．∴在CPA ∆中， EF //PA且PA ⊂平面PAD ， EF ⊄平面PAD ∴//EF PAD 平面（Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ⋂面ABCD AD = ABCD 为正方形， CD AD ⊥， CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD ． ∴CD PA ⊥又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2APD π∠=，即P A P D ⊥．CD PD D ⋂=，且CD 、PD ⊂面PDC PA ∴⊥面PDC又PA ⊂面PAB ， ∴面PAB ⊥面PDC（Ⅲ）如图，取AD 的中点O ，连结OP ， OF ． ∵PA PD =，∴PO AD ⊥． ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD ABCD AD ⋂=平面平面，∴PO ABCD ⊥平面， 而,O F 分别为,AD BD 的中点，∴//OF AB ，又ABCD 是正方形，故OF AD ⊥．∵2PA PD AD ==，∴PA PD ⊥， 1OP OA ==． 以O 为原点，直线,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则有()1,0,0A ， ()1,0,0D -， ()0,0,1P ．若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13，连结,.PG DG 设()()1,,002G a a ≤≤．由（Ⅱ）知平面PDC 的法向量为()1,0,1PA =-．设平面PGD 的法向量为(),,n x y z =．∵()()1,0,1,2,,0DP GD a ==-- ，∴由0,0n DP n GD ⋅=⋅=可得00{200x y z x a y z +⋅+=-⋅-⋅+⋅=，令1x =，则2,1y z a =-=-，故∴||1cos ,3n PA n PA n PA⋅====，解得， 12a =． 所以在线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得二面角C PD G --的余弦值为13，此时12AG =．【考点】1．平面与平面垂直的判定；2．直线与平面平行的判定；3．二面角的平面角及求法．18．已知椭圆2222:1x y C a b +=， (0)a b >>且过点⎛ ⎝⎭. (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ， B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=； （2）OAB ∆1y x =±． 【解析】试题分析：（1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程；（2）①当k 不存在时，直接求解三角形的面积；②当k 存在时，设直线为y kx m =+，1122A x y B x y （，），（，）联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.试题解析：（1）由题意可得：221213{a b c a +==22223,1,13x a b y ==∴+=（2）①当k 不存在时，x y =∴=，1324OAB S ∆∴==②当k 不存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y , ()22,B x y ,221{3x y y kx m+==+,()222136330k x km m +++-= 2121222633,1313km m x x x x k k --+==++ ()22431d r m k =⇒=+AB===2=当且仅当2219kk=，即k=时等号成立11222OABS AB r∆∴=⨯≤⨯=，OAB∴∆，此时直线方程1y x=±.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；19．设nS是正项数列{}n a的前n项和，且2113424n n nS a a=+-.（Ⅰ）求数列{}n a通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{}n b，使()111222122nn na b a b a b n++++=-⋅+对一切正整数n都成立？并证明你的结论.11na=+（*Nn∈），且数列{}n C的前n项和为n T，试比较n T与16的大小.【答案】（1）21na n=+（2）见解析（3）见解析【解析】解：（Ⅰ）由2113424n n nS a a=+-得2111113424n n nS a a+++=+-，相减并整理得()1n na a++()120n na a+--=又由于1n na a++>，则12n na a+=+，故{}n a是等差数列．因为211114a S a == 2113024a +->， 所以13a =故21n a n =+． （Ⅱ）当1n =，2时， ()211221126a b =⨯-+=， 311222a b a b +=()221226⨯-+=，可解得12b =， 24b =，猜想2n n b = 使1122n n a b a b a b +++ ()12212n n +=-+成立．证明： 23325272⋅+⋅+⋅ ()()12122212n n n n +++=-+ 恒成立．令 23252S =⋅+⋅+ ()372212nn ⋅+++ ……①2323252S =⋅+⋅+ ()4172212n n +⋅+++ ……②②﹣①得：()1212n S n +=+ 1222n +-⋅+= ()12122n n +-+，故存在等比数列{}n b 符合题意． （Ⅲ）()2122n C n =<+()()12123n n ++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭则12n T c c =+ n c ++1111(2355<-+ 1111111)7212323236n n n ⎛⎫-++-=-< ⎪+++⎝⎭ 故16n T <． 【点睛】通过由n S 的表达式求通项公式，利用2n ≥时， 1n n n a S S -=-，转化为关于n a 的关系式，把一般数列转化为特殊数列，求出通项公式；这个关系式在解决数列问题时，使用机会偏多.20．已知函数()ln bf x x ax x=-+（a ， b R ∈），且对任意0x >，都有()10fx f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由. 【答案】（1）b a =（2）见解析（3）见解析【解析】解：（Ⅰ）根据题意：令1x =，可得()1102f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()10f a b =-+=，经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以b a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln af x x ax x=-+，且0x >， 所以()21af x a x x =--' 22ax x a x -+-=，令()2g x ax x a =-+-，要使()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，所以()20,10,{2140,00a a a g a >>=->=-< 或()20,10,{2140,00a a a g a <>=->=-> 解得102a <<或无解，所以a 的取值范围102a <<，可得21028a <<， 由题意知 2222ln 222a a a f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭222ln ln22a a a =+--，令()22ln h x x x =+- 3ln22x -，则()222232x h x x x =-'- 423442x x x -+-=． 而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 4344x x -+-= ()43410x x ---<，即()0h x '<， 所以()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()12h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭12ln24ln216-+-- 633lne 015>-> 即102a <<时， 202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．（Ⅲ）因为()21a f x a x x =--' 22ax x a x-+-=， ()2g x ax x a =-+-． 令()0f x '=得112x a =，212x a=．由（Ⅱ）知102a <<时， ()y g x =的对称轴()11,2x a=∈+∞， 2140a ∆=->， ()00g a =-<，所以21x >.又121x x =，可得11x <，此时， ()f x 在()10,x 上单调递减， ()12,x x 上单调递增，()2,x +∞上单调递减，所以 ()y f x =最多只有三个不同的零点．又因为()10f =，所以()1,1x 在()f x 上递增，即[)1,1x x ∈时， ()0f x <恒成立． 根据（2）可知202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭且21028a <<，所以()21,12a x ∉，即()210,2a x ∈，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =．由0101x x <<<，得11x >，又()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()10f =， 所以()f x 恰有三个不同的零点： 0x ，1，1x ． 综上所述， ()y f x =恰有三个不同的零点．【点睛】利用赋值法求出,a b 关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需()0f x '=在()0,+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，利用函数的导数研究函数的单调性、极值，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.。
天津市红桥区高三二模数学(文)试卷.docx
2016年天津市红桥区高三二模数学（文）试卷一、单选题（共8小题）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知抛物线上一点的横坐标为3，且满足，则抛物线的方程为( )A．B．C．D．3．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（）A ．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．“”是“”成立的（）A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．充分而不必要条件6．函数，将函数的图象上向右平移个单位重复，得到函数的图象，则在区间上的最小值为( )A ．B．C．D．7．已知双曲线，以C的右焦点为圆心，以为半径的圆与C的一条渐近线交于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为( ) A．B．C．D．8．已知函数是定义域为R的偶函数，且，若在上是减函数，记，则A ．B．C ．D．二、填空题（共7小题）9.已知是虚数单位，则10.若直线过点且与直线垂直，则直线的方程是11.设，则不等式的解集为12.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为13.如图，已知圆内接四边形，边延长线交延长线于点，连接，若，则14.矩形中，，点E在BC上，满足，点F在CD 上，若，则15.在钝角中，内角所对的边分别为，已知。
（1）求边和角的大小；（2）求的值。
三、解答题（共4小题）16.某工厂要安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，这些产品要在四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表：设计划每天生产产品Ⅰ的数量为（件），产品Ⅱ的数量为（件），（Ⅰ）用，列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）已知产品Ⅰ每件利润（万元）产品Ⅱ每件利润（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少会使利润最大，并求出最大利润.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面是直角三角形，，点是PC的中点，且平面平面。
2017-2018届天津市红桥区高三第二次模拟考试理科数学试题及答案
高三数学(理)本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P(A B)=P(A)+P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·锥体的体积公式V=13Sh ．其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．·球的体积公式V=334R ．其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．气， (1)复数512ii-= A ．2-i B ．1-2i C ．-l+2i D ．-2+i (2)已知集合A={2|230x x x --<}，集合B={1|21x x +>}，则B A ð= A ．(3，+∞) B ．[3，+∞) C ．(-∞，-1] [3，+∞) D ．(-∞，-1) (3，+∞)(3)在∆ABC 中，“AB BC>0”是“∆ABC 是钝角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (4)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩， 所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为A ．2B ．13-C ．12- D ．1(5)己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．92cm 3C ．84cm 3D ．100 cm 3(6)函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内 A ．(0，1) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5) (7)以下命题中，真命题有①已知平面α、β和直线m ，若m //α且αβ⊥，则m β⊥．②“若x 2<1，则-1<x <1”的逆否命题是“若x <-1或x >1，则x 2>1”．③已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+ ，则23λ=．④极坐标系下，直线cos()4πρθ-=ρ=有且只有l 个公共点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(8)函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0，l]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)=0；②1()()32x f f x =；③(1)1()f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= A ．34B ．45C ．1D ．23第II 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二．填空题：本大题共6小题。
【数学】天津市红桥区2017届高三下学期期末考试(文)(word版,附答案)
天津市红桥区2017届高三下学期期末考试（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．1．在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知随机变量),,0(~2σξN 若,023.0)3(=>ξP 则=≤≤-)33(ξP （ ）A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 3．若n=2xdx ，则（x ﹣）n 的展开式中常数项为（ ）A ．B ． ﹣C ．D ． ﹣4．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（ ） A ． P 1+P 2B ． P 1P 2C ． 1﹣P 1P 2D ． 1﹣（1﹣P 1）（1﹣P 2）5．随机变量ξ～B （n ，P ），Eξ=15，Dξ=11.25，则n=（ ） A ． 60B ． 55C ． 50D ． 456．6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ） A ． 288B ． 480C ． 600D ． 6407．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.20243 8．已知x ＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n ∈N *），则a=（ ）A ． 2nB ． 3nC ． n 2D ． n n9．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )A ．0.146 2B ．0.153 8C ．0.996 2D ．0.853 810．已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11．已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，与双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ） A ．+=1 B ．+=1 C ．+=1 D ．+=112.已知函数，e x ex a x f ≤≤-=1(,)(2为自然对数的底数)与x x g ln 2)(=的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y=x 3+x 在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 14.如图所示，直线kx y =分抛物线2y x x =-与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，则实数k 的值为 . 15.若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是.16.已知f （x ）=x 3﹣x 2+2x+1，x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，且0＜x 1＜1＜x 2＜3，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点．(1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积．e x a 21[1,2]e +221[2,2]e e+-2[1,2]e -2[2,)e -+∞18．（本小题满分12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃10 11 13 12 8发芽数y/颗23 25 30 26 16（Ⅰ）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．（Ⅱ）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+．（参考公式：=，=﹣）19．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望.20．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ^平面ABC，1A A =AB =2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：BC ⊥平面1A AD ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1的左焦点F1的坐标为（﹣，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．22．（本小题满分12分）已知函f（x）=ax2﹣e x（a∈R）．（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：﹣．（注：e是自然对数的底数）参考答案一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、14、3412- 15、[2,)+∞ 16、（3，）三、解答题：本大题共6小题，共70分．17解： (1) 曲线1C 的普通方程为2212x y +=，2:cos sin 1C ρθρθ+=, 则2C 的普通方程为10x y +-=，则2C 的参数方程为：()122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数……………………2分代入1C 得23140t +=，123AB t t =-==………………………… 6分(2) 12143MA MB t t ==. ……………………10分 18解：（Ⅰ）用数组（m ，n ）表示选出2天的发芽情况， m ，n 的所有取值情况有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个 设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26） 所以P （A ）=，故m ，n 均不小于25的概率为；……………………………….6分（Ⅱ）由数据得=12，=27，3•=972，x i y i =977，x i 2=434，32=432．由公式，得==，=27﹣×12=﹣3．所以y 关于x 的线性回归方程为=x ﹣3．............12分 19解：（1）706.23804010020)10301070(1202>=⨯⨯⨯⨯-⨯=k有%90的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关……………4分（2）设3名选手中在20~30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1,2,………5分 20~30岁之间的人数是2人……………6分51)0(3634===C C P ξ,53)1(361224===C C C P ξ,51)2(362214===C C C P ξ………10分…………11分()1=ξE……………………12分20解：（Ⅰ）以AB 、AC 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC = ，13BD BC \= ．D \点坐标为203÷÷÷÷桫，，．\203AD ÷÷=÷÷桫 ，，，1(0)(00BC AA =-= ，，． 10BC AA =，0BC AD = ，1BC AA \^，BC AD ^，又1A A AD A = ，BC \^平面1A AD ……………………………….5分（Ⅱ）BA ^ 平面11ACC A，取0)AB ==，m 为平面11ACC A 的法向量，设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC == ，n n ．200m m ìï-+=ï\íï-+=ïî，，l n \==，，如图，可取1m =，则3÷÷=÷÷，，n ， 222222322010153cos 53(2)00(2)13???<>==骣÷ç÷++++ç÷ç÷ç桫 ，m n …………12分21解：（1）∵椭圆C ：=1的左焦点F 1的坐标为（﹣，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2，∴，解得a=2，b=1， ∴椭圆C 的方程为．.............4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0，△=（﹣16k ）2﹣48（1+4k 2）＞0， 由根与系数关系得x 1+x 2=，x 1•x 2=，．.............8分∵y 1=kx 1﹣2，y 2=kx 2﹣2， ∴y 1y 2=k 2x 1•x 2﹣2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，∴﹣+4=0，解得k=±2，∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2．．.............12分22解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣e x，f（x）在R上单调递减．事实上，要证f′（x）=x2﹣e x在R上为减函数，只要证明f′（x）≤0对∀x∈R恒成立即可，设g（x）=f′（x）=2x﹣e x，则g′（x）=2﹣e x，当x=ln2时，g′（x）=0，当x∈（﹣∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．∴函数g（x）在（﹣∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2﹣2＜0，故f′（x）＜0恒成立所以f（x）在R上单调递减；．.............4分（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣e x，所以，f′（x）=2ax﹣e x．若f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，故方程2ax﹣e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程有两个根，设，得．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程有两个根，需2a＞h（1）=e，故且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为．．.............8分（ii）证明：由f′（x1）=0，得：，故，x1∈（0，1）=，x1∈（0，1）设s（t）=（0＜t＜1），则，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即．．.............12分。
天津市红桥区2017届高三数学一模试题 文(扫描版)
天津市红桥区2017届高三数学一模试题文（扫描版）高三数学（文）(1703)一、选择题（每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBCADCDB二、填空题(每小题5分，共30分） 9． 10．0。
74 11．23 12．13．8114．①②④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）在 中,因为，，，故由正弦定理得,于是，所以。
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4（Ⅱ)由（1）知 ，所以．。
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.5又因为 ，所以，从而 .。
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8 在 中，因为,所以 ，.。
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11因此由正弦定理得 。
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13(16）（本小题满分13分）设供应空调机 台，洗衣机 台,由题意，得 。
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5 利润．....。
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.7作出上述不等式组对应的可行域，如图所示．.。
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.10由⎩⎨⎧=+=+2223023y x y x ，解得则当 ，时， 最大，且此时 （百元)，答:空调机 台，洗衣机 台，可获最大利润 元．.。
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13（17）（本小题满分13分） （Ⅰ）连接 与相交于点 ，连接．。
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1因为 为矩形，所以 为 中点．因为 为棱 中点，所以．。
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.3 因为 ，，所以直线 ．.。
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6 （Ⅱ）因为 ，,所以 ．因为四边形 为矩形，所以 ． 因为 ,,，所以．.。
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..10因为,所以．。
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2017年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}2．“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30 B．10 C．15 D．214．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．1 D．5．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A．B．3 C．D．46．已知等比数列{a n}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（）A．B．2 C．D．7．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）二、填空题9．设i为虚数单位，则复数=．10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．11．函数f（x）=sin2x﹣2sin2x的最大值为．12．已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，则周长最小的圆C的方程是．13．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为．14．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是．（只填写序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）设函数g（x）=f（x）﹣b，若a=1，求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则∁R A={x|x≤0}，所以（∁R A）∩B={﹣2，﹣1}．故选：C．2．“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若y=sin（x+φ）关于y轴对称，则φ=+kπ，k∈Z，故“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．3．如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．30 B．10 C．15 D．21【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3，t=3当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6，t=4当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10，t=5当S=15时，不满足进入循环的条件，故输出的S值为15故选C．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）A．B．2 C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC ⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC⊥底面ABC．取AB的中点D，连接CD，PD，则CD⊥AB，PD⊥AB，CD=，PD===．==．∴S△PAB故选：A．5．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A．B．3 C．D．4【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故选B．6．已知等比数列{a n}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（）A．B．2 C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】等比数列{a n}的首项为1，由4a1，2a2，a3成等差数列，可得2×2a2=a3+4a1，即为4a1q=a1（q2+4），解得q．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴2×2a2=a3+4a1，∴4a1q=a1（q2+4），解得q=2．∴a n=2n﹣1，=．则数列{}的前5项和==．故选：C．7．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可．【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则f（1）=ln1﹣1+1=0，f（e）=lne﹣e+1=1﹣e+1=﹣e＜0，排除B，故选：A．8．已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π）B．（2π，2018π）C．（，）D．（π，2017π）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案．【解答】解：当x∈[0，π]时，f（x）=cos（x﹣）=sinx，∴f（x）在[0，π]上关于x=对称，且f max（x）=1，又当x∈（π，+∞）时，f（x）=log2017是增函数，作出y=f（x）的函数图象如图所示：令log2017=1得x=2017π，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=π，c∈（π，2017π），∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．故选：B．二、填空题9．设i为虚数单位，则复数=﹣4﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：=，故答案为：﹣4﹣3i．10．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是0.74．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由互斥事件的概率公式可得．【解答】解：由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74故答案为：0.7411．函数f（x）=sin2x﹣2sin2x的最大值为2﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变形公式，函数f（x）=2sin（2x+）﹣．【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣2×=sin2x+=2sin（2x+）﹣．故答案为：2﹣．12．已知圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，则周长最小的圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，由此能求出周长最小的圆C的方程．【解答】解：∵圆C的圆心为C（1，1），且经过直线x+y=4上的点P，∴当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，此时r=d==，∴周长最小的圆C的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．13．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，并连接AE，得到AE⊥BC，根据条件可得出，从而，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，连接AE，则AE⊥BC；根据条件，DE=，且DE=2EF；∴；∴=；∴====．故答案为：．14．已知下列命题：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题是①②④⑤．（只填写序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，根据含有量词的命题的否定形式判定；②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），；③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=1时，f（x）=1；④，，；⑤，若A＞B，则a＞b，⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，．【解答】解：对于①，命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；对于②，若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），正确；对于③，对于函数f（x）=x+，当且仅当x=0时，f（x）=1，故错；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A＞B，则a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，故正确．故答案为：①②④⑤三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．【考点】余弦定理．【分析】（1）依题意，利用正弦定理=及二倍角的正弦即可求得cosA 的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，b=2，B=2A，∴由正弦定理得：=，即=，∴cosA=；（2）由（1）知cosA=，A∈（0，π），∴sinA=，又B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，B∈（0，π），∴sinB=，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴c===5．16．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96（百元）．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，则EF∥PB，又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，则PB∥平面EAC；（2）由PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，底面ABCD为矩形，则CD⊥AD，又PA∩AD=A，则有CD⊥平面PAD，由CD⊂平面ABCD，则有平面PAD⊥平面ABCD．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2（q2﹣2），解得q．进而得出a1，可得a n．（II）n为奇数时，b n===．n为偶数时，b n=．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．【解答】解：（I）∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2（q2﹣2），∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．∴a n=2n．（II）n为奇数时，b n===．n为偶数时，b n=．∴T2n=++…+++…+=++…+=++…+．设A=+…+，则A=+…++，∴A=+…+﹣=﹣，∴A=﹣．∴T2n=+﹣．19．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）设函数g（x）=f（x）﹣b，若a=1，求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得g（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；（2）先求出f（x）的导函数，然后求出导函数的根，讨论a的取值范围分别求出函数的单调增区间，使（0，2）是增区间的子集即可，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数g（x）=f（x）﹣b=﹣x3+x2，导数为g′（x）=﹣3x2+2x，函数g（x）在（1，g（1））处的切线斜率为﹣3+2=﹣1，切点为（1，0），可得切线的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）由题意，得f'（x）=﹣3x2+2ax，令f′（x）=0，解得x=0或x=a，当a＜0时，由f′（x）＞0，解得＜x＜0，所以f（x）在（，0）上是增函数，与题意不符，舍去；当a=0时，由f'（x）=﹣3x2≤0，与题意不符，舍去；当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜，所以f（x）在（0，）上是增函数，又f（x）在（0，2）上是增函数，所以≥2，解得a≥3，综上，a的取值范围为[3，+∞）．20．已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，e==，a2﹣b2=c2，∵点在椭圆上，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线过点，∴AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k=0时，x1=﹣x2，y1=y2，=•2|x|•|y|=|x|•∴S△AOB=≤•=1，当且仅当x12=4﹣x12，取得等号，）max=1；∴时，（S△AOB当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得4k2+1＞m2①，x1+x2=﹣，x1x2=，可得，，∴AB的中点为，由直线的垂直关系有，化简得1+4k2=﹣6m②由①②得﹣6m＞m2，解得﹣6＜m＜0，又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为，，=，∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，．由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得；）max=1；即时，（S△AOB综上：（S）max=1．△AOB7C教育资源网（)，百万资源免费下载，无须注册！2017年4月5日7C教育资源网（）域名释义：7c学科网，联系QQ：372986183，78763217。
天津红桥区2017高三二模数学试题(理)(word版含答案)
河北区2016-2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 （理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3x R B x ∈≥=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,2,3}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{4,5}2.若,x y 满足20,20,0,x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．-123.在ABC ∆中，已知1,,3BC B ABC π==∆AC 的长为（ ）A ．3 B．4.执行如图所示的程序框图，如果输入5n =，则输出S 的值为（ ）A ．49 B ．89 C.511 D ．10115.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥ C. 1a ≥- D ．3a ≤-6.已知点(2,3)A 在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．-2B ．43-C.34- D ．12- 7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形 C.等腰直角三角形 D ．等边三角形 8.对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(,lg lg lge ]e -∞- B ．(,1]-∞ C.()1,lg lg lge e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lge ,e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.i 是虚数单位，复数3223ii+=- ． 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ．11.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ． 12.若()5a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a = ．13.在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB = ．14.设函数()y f x =是定义在R 上以1为周期的函数，若()()2g x f x x =-在区间[2,3]上的值域为[-2,6]，则函数()g x 在[-2017,2017]上的值域为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()2cos cos tan tan 11A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a c b +=ABC ∆的面积16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （Ⅰ）求袋中原有白球的个数：（Ⅱ）求取球次数X 的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，222AB AD CD ===，E 是PB 上的一点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）如图（1），若13PE PB =，求证：//PD 平面EAC ；（Ⅲ）如图（2），若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.已知等差数列{}n a 满足：()*111,n n a a a n N +=>∈，11a +，21a +，31a +成等比数列，22log 1n n a b +=-.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e a b =+=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设MN 的斜率为m ，BP 的斜率为n ，试证明：2m n -为定值.20.已知函数()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（Ⅱ）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）探讨函数()12lnx x F x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点，若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDBCB 6-8: CBA二、填空题9.i ； 10.16； 11.4； 12.1； 13.2； 14. [-4030,4044].三、解答题15.解：（Ⅰ）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭.∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=. ∴()1cos 2A C +=-. ∴1cos 2B =. 又0B π<<， ∴3B π=.（Ⅱ）由2222cos b a c ac B =+-，得()223a c ac b +-=，又a c b +== ∴4ac =.∴11sin 4222ABC S ac B ∆==⨯⨯=. 16.解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，由题意知()()24271112=767672n n n n C C --==⨯⨯，所以()1=6n n -.解得3n = (2n =-，舍去). 即袋中原有3个白球.（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4,5.()317P X ==；()4322767P X ⨯===⨯； ()4336376535P X ⨯⨯===⨯⨯；()432334765435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；()43213157654335P X ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯.所以，取球次数X 的分布列为.所以()12345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.（Ⅰ）证明：∵PC ⊥底面ABCD ， ∴PC AC ⊥.∵222AB AD CD ===，//,AB CD AB AD ⊥, ∴AC BC =∴222AC BC AB +=.∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：连BD 交AC 于点F ，连EF ， ∵//,2AB CD AB CD =，∴12DF CD FB AB ==. ∵13PE PB = ，∴PE DFEB FB=. ∴//EF PD .又EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴//PD 平面EAC .（Ⅲ）解：以点C 为原点，建立如图的空间直角坐标系，则000,(1,1,0)(11,0)()C A B -，，,，， 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∴()()111,1,0,0,0,,,,222a CA CP a CE ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. 取()1,1,0m -，则0m CP m CA ⋅=⋅= ，∴m为平面PAC 的法向量.设(),,n x y z =为平面PAC 的法向量，则0n CE n CA ⋅=⋅= .∴0,0.x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取x a =，则,2y a z =-=-, ∴(),,2n a a =--.∵cos ,m n m n m n ⋅<>===， ∴2a =.∴()2,2,2n =--.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,=3PA n PA n PA nθ⋅=<>=. ∴直线PA 与平面EAC所成角的正弦值为3. 18.解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，11a =， 则231,12a d a d =+=+，∵11a +，21a +，31a +成等比数列， ∴()()22242d d +=+. ∵0d >， ∴2d =. ∴21n a n =-. ∵22log 1n n a b +=-， ∴2log n b n =-. ∴12n n b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知212n n nn a b -⋅=， ∴23135212222n nn T -=++++ ，234111352122222n n n T +-=++++ . ①-②得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ ， 2-111111111211132322211222222212n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+-=--，∴2332n nn T +=-.19.解：（Ⅰ）∵2ce a==，∴,a b ==. 代入3a b +=解得2,1,a b c ==∴椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2,0B ，因为P 不为椭圆顶点， 则直线BP 的方程为()2y n x =-，10,2n n ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭. 将①代入2214x y +=，解得222824,4141n n P n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为112y x =+. ①与②联立解得424,2121n n M n n +⎛⎫⎪--⎝⎭.由()()2228240,1,,,,14104n n P n n D N x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭三点共线得22410141820041nn n x n ---+=---+， 解得42,021n N n -⎛⎫⎪+⎝⎭.∴MN 的斜率为()()()22404212121424242212212121nn n n n m n n n n n n -++-===+-+----+. ∴211222n m n n +-=-=（定值）. 20.解（Ⅰ）()()ln 10f x x x '=+>， 由()0f x <得10x e <<，由()0f x '>得1x e>， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时，12t e+>， ∴()min 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当1t e>时，()f x 在上[],2t t +单调递增，()()min ln f x f t t t ==， ∴()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）原问题可化为32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()231x x h x x +-'=， 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在（0,1）上单调递减； 当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增： ∴()()min 14h x h ==. ∴a 的取值范围为(,4]-∞. （Ⅲ）令()0F x =，得12ln 0x x e ex -+=，即()2ln 0x x x x x e e=->， 由（Ⅰ）知当且仅当1x e=时，()()ln 0f x x x x =>的最小值是11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()()20x x x x e e ϕ=->，则()1xxx eϕ-'=， 易知()x ϕ在（0,1）上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， ∴当且仅当1x =时，()x ϕ取最大值，且()11eϕ=-， ∴对()0,x ∈+∞都有，2ln x x x x e e >-，即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立. ∴函数()F x 无零点.。
红桥区2017届高三二模数学(文)试题含答案
高三数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|1},{|0}A x x B x xx =<=-≤,则A B =A ．{|11}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤< 2、盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所有取出的2个球颜色不同的概率等于A ．310B ．25C ．35D ．123、根据如下图所示的框图,对大于2的正数N,输出的数列的通项公式是A ．2nan = B ．2(1)nan =- C ．2n na= D ．12n na-=4、某几何体的三视图如上图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值A ．2B ．3C ．32D ．925、设:{|lg(1)},:{|21}xp x x y x q x x -∈=-∈<，则p 是q 的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、在ABC ∆中，0120,2,3,,ABC BA BC D E ∠===是线段AC 的三等分点,则BD BE⋅的值为A ．659B ．119C ．419D ．139-7、将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位,再讲图象上没一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为A ．18π B ．14π C ．38π D ．12π8、已知函数()2log ,02sin(),2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x --的取值范围是A ．(9,21)B ．(20,32)C ．(8,24)D ．(15,25)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卷的横线上..9、设i 为虚数单位,复数z 满足3(2)z i i -=，则复数z 的虚部为10、()21ln 2f x xx =-+在1[,]e e上的最大值是11、已知函数()12cos (0),()2,()0f x wx wx w f x f x =+>=-=，且12x x -的最小值等于π，则w =12、已知直线:l y =，点(,)P x y 是圆22(2)1x y -+=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为13、如图，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点,过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于点,A B ,若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 14、已知下列命题： ①函数()22122f x x x=+++有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题:,tan 1p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R xx ∀∈-+>，则命题“()p q ∧⌝”是假命题;④函数()3231f x xx =-+在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =-。
2017年天津市部分区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{0，1，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0，1，2，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{0，4}2．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．54．（5分）已知a＝log0.50.3，b＝log30.5，c＝0.50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a5．（5分）设x∈R，则“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（）A．2B．C．8D．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，f（2）＝1，则满足|f（x）|＞1的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，）∪（4，+∞）8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝的虚部是．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应程序，输出s的值为．12．（5分）过点P（﹣1，2），圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与直线2x+y＝0相切的圆的方程为．13．（5分）函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+在[0，]上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x ）＝若关于x的方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c ，已知sin2C+cos （A+B）＝0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝4sin A，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A类型机械可获纯利润4万元，组装1台B类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A，B两种类型机械分别为x台，y台．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该机械厂分别组装A，B两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．17．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA＝，E，F分别是CD，SB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x+2a2+1（a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（﹣2，3）内极值点的个数；（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．2017年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{0，1，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0，1，2，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{0，4}【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，∴∁U A＝{0，2，4}，∵B＝{0，1，4}，∴（∁U A）∩B＝{0，4}．故选：D．2．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．3．（5分）一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．5【解答】解：该组合体为由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的，由侧视图可得底面正三角形的高为，可得底面边长为2，由正视图可得三棱柱的高为3，三棱锥的高为2，则该组合体的体积为××2××2+×2××3＝．故选：A．4．（5分）已知a＝log0.50.3，b＝log30.5，c＝0.50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝log0.50.3＞1，b＝log30.5＜0，0＜c＝0.50.3＜0.50＝1∴b＜c＜a．故选：A．5．（5分）设x∈R，则“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的必要不充分条件．故选：A．6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（）A．2B．C．8D．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝4x的焦点为（，0），则双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（，0），即c＝则有a2+b2＝5，①双曲线＝1的渐近线为y＝±x，又由P（2，1）在双曲线的渐近线上，则＝2，②，联立①、②可得a＝2，b＝1，则有ab＝2，故选：A．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，f（2）＝1，则满足|f（x）|＞1的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，）∪（4，+∞）【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递增，又f（2）＝1，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣1．由|f（x）|＞1，得|f（﹣log2x）|＞1，即|﹣f（log2x）|＞1，∴|f（log2x）|＞1，得f（log2x）＞1或f（log2x）＜﹣1，由f（log2x）＞1，得f（log2x）＞f（2），即log2x＞2，得x＞4；由f（log2x）＜﹣1，f（log2x）＜f（﹣2），即log2x＜﹣2，得0＜x＜．∴x的取值范围是（0，）∪（4，+∞）．故选：D．8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5【解答】解：∵＝0，∴BA⊥BC，∵||＝1，∴M在以A为原点，1为半径的圆A上，∵＝2，∴N是MC的中点，以BC，BA为坐标轴建立坐标系，如图：则B（0，0），C（4，0），A（0，3），设M（cosθ，3+sinθ），则N（cosθ+2，sinθ+），∴||＝＝＝，∴||的最大值为＝3，最小值为＝2，∴||的最大值与最小值的和为5．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝的虚部是．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部是．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为1．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f′（x）＝＝，则f′（1）＝＝1；故答案为：1．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应程序，输出s的值为87．【解答】解：模拟程序的运行，可得s＝1，k＝4执行循环体，s＝6，k＝5不满足条件k＞7，执行循环体，s＝17，k＝6不满足条件k＞7，执行循环体，s＝40，k＝7不满足条件k＞7，执行循环体，s＝87，k＝8满足条件k＞7，退出循环，输出s的值为87．故答案为：87．12．（5分）过点P（﹣1，2），圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与直线2x+y＝0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5．【解答】解：因为圆心在直线x﹣y+2＝0上，所以设圆心坐标为（a，2+a）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2﹣a）2＝r2，圆经过点P（﹣1，2），和直线2x+y＝0相切，所以有（﹣1﹣a）2+（2﹣2﹣a）2＝r2且＝r解得r＝，a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，故答案为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5．13．（5分）函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+在[0，]上的最大值为2．【解答】解：函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+化简可得：f（x）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）当x在[0，]上时，可得2x﹣∈[﹣，]，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为2．故答案为2．14．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．【解答】解：f（x）＝，作出f（x）的函数图象如图所示：不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜1，1＜x2＜4，x3＞4由图象可知4＜x3＜5，且﹣log4x1＝log4x2，∴log4x2+log4x1＝log4（x1x2）＝0，即x1x2＝1，∴x1x2x3＝x3．∴x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．故答案为：（4，5）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin2C+cos （A+B）＝0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝4sin A，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由sin2C+cos（A+B）＝0，得sin C cos C﹣cos C＝0．∵C为锐角，∴cos C＞0，∴sin C＝，∴C＝；（Ⅱ）由正弦定理可得＝＝4，∴c＝4×＝6，由余弦定理可得36＝a2+b2﹣2ab×，∴36＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，∴S△ABC＝ab sin C＝ab≤×36＝9，故△ABC面积的最大值为9．16．（13分）某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A 类型机械可获纯利润4万元，组装1台B 类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A ，B 两种类型机械分别为x 台，y 台．（Ⅰ）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该机械厂分别组装A ，B 两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．【解答】解：（Ⅰ）由已知x ，y 满足生产条件的数学关系式，，即， 画出相应的平面区域；图中阴影部分．（Ⅱ）设纯利润为z 万元，则目标函数为：z ＝4x +2y ，直线的斜率为﹣2，随z 变化的一系列直线，求出直线的截距的最大值，即可得到z 的最大值，由图象可知直线经过M 时取得最大值，由解得M （2，3）．所以Z 的最大值为：4×2+2×3＝14．所以，该机械厂分别组装A ，B 两种类型机械各2台，3台，才能获得最大利润14万元．17．（13分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AC 交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA＝，E，F分别是CD，SB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取SA得中点为G，连接GD，GF，∵E，F分别是CD，SB的中点．∴GF∥AB，GF＝AB，DE∥AB，DE＝AB．∴GF∥DE，GF＝DE，∴四边形DEFG为平行四边形．∵DG⊂面SAD，EF⊄面SAD，∴EF∥面SAD．（Ⅱ）证明：连接SO，因为，△SBD是边长为2的正三角形，O为中点，∴SO⊥BO．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC．（Ⅲ）如图2过A作AH⊥SO与H，由（Ⅱ）得面SAC⊥面SDB．∴AH⊥面SDB，∴∠ABH就是AB与平面SBD所成角．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△SBD是边长为2的正三角形，∴AB＝2，AO＝SO ＝，∵SA＝，∴△SAO是边长为的正三角形．又因为AH⊥SO，∴H时SO得中点，∴AH＝，在Rt△ABH中，sin．∴直线AB与平面SBD所成角的正弦值为．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由S n＝，得当n＝1时，，得a1＝1；当n≥2时，，化简得：（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2）．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）∵b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n＝b1+b2+b3+b4+…+b2n＝（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2]＝2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝2n+8•＝8n2+2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：e＝＝，则a＝2c，由上顶点与右焦点的距离为2，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由△＝256k2﹣4×4（3+4k2）＞0，解得：k＜﹣，k＞，∵|DA|＝|DB|，则（+）•＝0，解得：t＝﹣，t∈[﹣，﹣]，则﹣≤﹣≤﹣，整理得：，由k＜﹣，k＞，则＜k≤，∴实数k的取值范围（，]．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x+2a2+1（a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（﹣2，3）内极值点的个数；（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3（x﹣a）（x+a），（a≥0），a＝0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R递增，无递减区间；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣a），（a，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣a，a）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ），a＝0时，f（x）在R递增，函数无极值点，a＞0时，由（Ⅰ）得：x＝﹣a是极大值点，x＝a是极小值点，当即0＜a＜2时，f（x）在（﹣2，3）内有2个极值点，当或即2≤a＜3时，f（x）在（﹣2，3）内有1个极值点，a≥3时，x＝a和x＝﹣a均不在区间（﹣2，3）内，此时f（x）无极值点，综上，a＝0或a≥3时，f（x）在（﹣2，3）无极值点，2≤a＜3时，f（x）在（﹣2，3）内有1个极值点，0＜a＜2时，f（x）在（﹣2，3）内有2个极值点；（Ⅲ）证明，a＝0时，∵0≤x≤1，∴f（x）+|1﹣a2|＝x3+2＞1，0＜a＜1时，由（Ⅰ）（Ⅱ）得，f（x）在（﹣a，a）递减，在（a，1）递增，且x＝a是极小值点，故0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥f（a）+|1﹣a2|＝﹣2a3+a2+2＝（1﹣a3）+（a2﹣a3）+1＞1，a≥1时，由（Ⅱ）得，f（x）在（﹣a，a）递减，故0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥f（1）+|1﹣a2|＝1，综上，0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．。