高三数学一轮复习课件之7.4直线、平面平行的判定及其性质
39
平行关系中的存在性问题
【例 4】 如图，已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为 菱形．
(1)证明：平面 AB1C∥平面 DA1C1； (2)在直线 CC1 上是否存在点 P，使 BP∥平面 DA1C1？若存在，确定点 P 的 位置；若不存在，请说明理由．
40
[解] (1)证明：由棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的性质知，AB1∥DC1(图 略)，
()
12
2．(教材改编)下列命题中，正确的是( ) A．若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何 平面 B．若直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线平行 C．若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥α，b∥α，那么 a∥b D．若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，则 b∥α D [根据线面平行的判定与性质定理知，选 D.]
行⇒线面平行”)
答案
一条直线与一个平面平行，则 性质定 过这条直线的任一平面与此平
理 面的_交__线__与该直线平行(简记 为“线面平行⇒线线平行”)
6
∵_l_∥__α__， _l⊂__β__，
α_∩__β_＝__b___， ∴l∥b
答案
7
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
解析答案
15
5．设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，给 出下列四个命题：
①若 m⊂α，n∥α，则 m∥n； ②若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ； ③若 α∩β＝n，m∥n，m∥α，则 m∥β； ④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β. 其中是真命题的是________．(填上序号)
04 课后限时集训
4
课前 知识全 通 关
5
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
平 面 外 一 条 直 线 与 _此__平__面__内__
判定定 的一条直线平行，则该直线与 理 此平面平行(简记为“线线平
∵_l∥__a_，_a_⊂_α__， l_⊄__α_，∴_l∥__α___
又因为 GH⊂平面 OHF，
所以 GH∥平面 PAD.
22
►考法 2 直线与平面平行的性质 【例 2】 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1∩平面 BB1D＝FG.
证明：FG∥平面 AA1B1B.
23
[证明] 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1∥CC1，BB1⊂平面 BB1D，CC1⊄平面 BB1D，
16
② [对于①，m∥n 或 m，n 异面，故①错误；易知②正确；对 于③，m∥β 或 m⊂β，故③错误；对于④，α∥β 或 α 与 β 相交，
故④错误．]
17
课堂 题型全突破
18
直线与平面平行的判定与性质 ►考法 1 直线与平面平行的判定 【例 1】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD， E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点． (1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
36
注意：谨记空间平行关系之间的转化
37
在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF∥DB，G，H 分别 是 EC 和 FB 的中点．求证：GH∥平面 ABC.
38
[证明] 取 FC 的中点 I，连接 GI，HI，则有 GI∥EF，HI∥BC. 又 EF∥DB， 所以 GI∥BD， 又 GI∩HI＝I，BD∩BC＝B， 所以平面 GHI∥平面 ABC. 因为 GH⊂平面 GHI， 所以 GH∥平面 ABC.
34
又 DC1⊄平面 A1BD1. BD1⊂平面 A1BD1， 所以 DC1∥平面 A1BD1， 又因为 DC1∩DM＝D， DC1，DM⊂平面 AC1D. 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
35
[规律方法] 1.判定平面与平面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)； (4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面， 那么这两个平面平行(客观题可用)；
31
因为 A1G EB， 所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 因为 A1E∩EF＝E， 所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
32
[拓展探究] 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点， 求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D.
21
因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点，
所以 FH∥PD，因为 FH⊄平面 PAD，PD⊂平面 PAD，所以 FH∥
平面 PAD.
又因为 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，
所以 OH∥AD，因为 OH⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD.所以 OH∥
平面 PAD.
又 FH∩OH＝H，
所以平面 OHF∥平面 PAD.
所以 CC1∥平面 BB1D. 又 CC1 ⊂ 平 面 CEC1 ， 平 面 CEC1∩ 平 面 BB1D ＝ FG ， 所 以 CC1∥FG. 因为 BB1∥CC1，所以 BB1∥FG. 而 BB1⊂平面 AA1B1B，FG⊄平面 AA1B1B， 所以 FG∥平面 AA1B1B.
24
[规律方法] 判定线面平行的 4 种方法 1利用线面平行的定义无公共点； 2利用线面平行的判定定理a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； 3利用面面平行的性质定理α∥β，a⊂α⇒a∥β； 4利用面面平行的性质α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β.,注意： 构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系 证明两直线平行等.
“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行．
()
(2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无
数条．
()
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面
平行．
()
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
第7章 立体几何初步
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
2
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和 已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
01 课前知识全通关
栏 目
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果 航
42
[规律方法] 解决存在性问题的一般方法 解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发， 寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件， 则存在；若找不到使结论成立的充分条件出现矛盾，则不存在.而对 于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个 三等分点，然后给出符合要求的证明.
29
平面与平面平行的判定与性质
【例 3】 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别 是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
30
[证明] (1)因为 GH 是△A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1. 又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面． (2)因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC， 因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG.
解析答案
14
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平 面 ACE 的位置关系是________．
平行 [如图所示，连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，则 EF 是△BDD1 的中位线，
∴EF∥BD1， 又 EF⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE， ∴BD1∥平面 ACE.]
19
[证明] (1)连接 EC，
因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以 BC AE，
20
所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点． 又因为 F 是 PC 的中点， 所以 FO∥AP， 因为 FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， 所以 AP∥平面 BEF.
(2)连接 FH，OH，
25
如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形 ACEF 是矩形， AB＝2，AF＝1，M 是线段 EF 的中点．
26
(1)求证：MA∥平面 BDE. (2)若平面 ADM∩平面 BDE＝l，平面 ABM∩平面 BDE＝m，试 分析 l 与 m 的位置关系，并证明你的结论．
27
[解] (1)证明：如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.
[证明] 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M， 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD，
解析答案
33
因为 D 为 BC 的中点， 所以 A1B∥DM. 因为 A1B⊂平面 A1BD1， DM⊄平面 A1BD1， 所以 DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1 BD， 所以四边形 BDC1D1 为平行四边形， 所以 DC1∥BD1.
解析答案
13
3．设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，“m∥β ”是
合集下载
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
空间直线、平面的平行课件-2025届高三数学一轮复习
典例2 如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，, ，, 底面，过的平面交于点与不重合，交 于点.求证： .
解析 如图，在梯形中，， 平面， 平面 ，所以平面 ，
又 平面，平面 平面，所以 .
1. 判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理 .（3）利用面面平行的性质 .（4）利用面面平行的性质 .2. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅 助平面确定交线.
符号语言
， ，⑨__________， ，
， ，⑩__________
图形语言
相交
平行
1. 平行关系中的四个重要结论（1）若 ， ，则 .（2）若 ， ，则 .（3）若 ， ，则 .（4）若 ， ,则 .2. 三种平行关系的转化
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）求证：平面 .
解析 如图1，连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
因为四边形为正方形，所以，所以 ， 所以 ， 又因为，所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 .
（2）若是上的点，当为何值时，能使平面平面 ？请说明理由.
解析 当的值为时，平面平面 ，如图2所示.
理由如下：因为，所以，所以.所以 . 又 平面， 平面，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 .
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ).平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
解析 如图，在梯形中，， 平面， 平面 ，所以平面 ，
又 平面，平面 平面，所以 .
1. 判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理 .（3）利用面面平行的性质 .（4）利用面面平行的性质 .2. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅 助平面确定交线.
符号语言
， ，⑨__________， ，
， ，⑩__________
图形语言
相交
平行
1. 平行关系中的四个重要结论（1）若 ， ，则 .（2）若 ， ，则 .（3）若 ， ，则 .（4）若 ， ,则 .2. 三种平行关系的转化
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）求证：平面 .
解析 如图1，连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
因为四边形为正方形，所以，所以 ， 所以 ， 又因为，所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 .
（2）若是上的点，当为何值时，能使平面平面 ？请说明理由.
解析 当的值为时，平面平面 ，如图2所示.
理由如下：因为，所以，所以.所以 . 又 平面， 平面，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 .
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ).平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
高考数学一轮复习 7.4直线、平面平行的判定及其性质课件 文
完整版ppt
14
解析：连接AB1、AD1，
∵点P是面AA1D1D的中心， ∴点P是AD1的中点，
完整版ppt
15
∵PQ∥面AB1，
PQ⊂面D1AB1，
面D1AB1∩面AB1＝AB1， ∴PQ∥AB1，
∴PQ＝12AB1＝
2 2.
答案：
2 2
完整版ppt
16
பைடு நூலகம்
考点
互动探究
完整版ppt
17
考点一 直线与平面平行的判定与性质
判定直线与平面平行，主要有三种方法 (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直 线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直 线．常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线 作一平面找其交线．
完整版ppt
18
(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个 平面内的任一直线平行于另一平面．
6
2．平面与平面平行 (1)判定定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内有两条相 判
交的直线都平行于另一个 定
平面，那么这两个平面平 定
行(简记为“线面平行⇒ 理
面面平行”)
符号语言
a⊂α
b⊂α
a∩b＝P⇒
a∥β
b∥β
α∥β
完整版ppt
7
(2)两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两平行平 性
完整版ppt
27
(2)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝ AD，
四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD. ∴CD⊥PA. 又PA＝PD＝ 22AD，∴△PAD是等腰直角三角形， 且∠APD＝2π，即PA⊥PD.
一轮复习直线平面平行的判定及其性质 ppt课件
C1 B1
助线?
D
C
O
A
B
2020/10/22
一轮复习直线平面平行的判定及其
13
性质
巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO.
D1
C1
∵O 为矩形ABCD对角线的交点, A1
B1
∴DO=OB,
E
又∵DE=ED1,
《直线与平面平行的判定》
2020/10/22
一轮复习直线平面平行的判定及其
1
性质
复习提问
直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
2020/10/22
一轮复习直线平面平行的判定及其
2
性质
精品资料
2020/10/22
一轮复习直线平面平行的判定及其
19
性质
当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。
（１）平面内有一条直线与 平面平行，，平行吗？
（２）平面内有两条直线与平 面平行，的判定及其
20
性质
（1）中的平面α，β不一定 平行。如图，借助长方体模 型，平面ABCD中直线AD平行 平面BCC'B'，但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。
归纳结论
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 .
(线线平行 线面平行)
高考数学一轮复习 7.4 直线、平面平行的判定及其性质精品课件 理 新人教A版
3．利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平 面内的任一直线平行于另一平面．
特别警示：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平 行于一平面，另一条不一定平行于该平面．
[例1] 如右图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的 面A1B1BA和面ABCD的中心．
证明：PQ∥平面BCC1B1.
答案：D
4．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与 平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：各中点连线如下图，只有面EFGH与面ABB1A1平行， 在四边形EFGH中有6条符合题意．
D 中，M∈AB，N∈AD，若AMMB ＝NAND，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________．
又PE、QE⊂平面PQE，PE∩QE＝E， ∴平面PQE∥平面BCC1B1， 又PQ⊂平面PQE， ∴PQ∥平面BCC1B1.
即时训练 如右图所示，在三棱锥P－ABC中，若D，E，F
分 别 为 PB ， PC ， AC 的 中 点 ， 问 在 PB 上 是 否 存 在 一 点 G ， 使 得 FG∥平面ADE?
[ 例 5] (2010· 湖 南 高 考 ) 如 右 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的 结论．
[解] (1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E 是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
[思路探究] 可考虑用线面平行的判定定理，在平面BCC1B1 内构造与PQ平行的直线；也可利用面面平行的定义来证明，需构 造过PQ且与平面BCC1B1平行的平面．
高考数学一轮复习 直线、平面平行的性质定理课件
两个平面平行.
若平面 内有无数条直线与 平行,则 与 可能相交,不一定平行,所以由不能推
出.故选A.
2.如图,在三棱锥S − ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF//平面ABC,
则( B )
A.EF与BC相交
B.EF//BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
[解析] 因为平面 ∩ 平面 = ,//平面,所以//.
AF = 5,则EG
20
=___.
9
[解析] 因为// , ∩ 平面 = , ⊂ 平面,所以//,
即//,所以
=
=
,则
+
=
×
+
=
×
+
=
.
规律方法
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,常常将线面平行转化为该线与过该线的
的中点,在线段B1 C1 上是否存在点F,使得平面A1 AF//平面ECC1 ？若存
在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
解 存在,当F为线段B1 C1 的中点时,平面A1 AF//平面ECC1 .
理由如下:如图,连接A1 F,AF,
在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中,AA1 //CC1 ,AD//B1 C1 .
②
证明 ∵ G为BC的中点,E为PC的中点,∴ GE//BP.
∵ GE ⊄ 平面PAB,BP ⊂ 平面PAB,
∴ GE//平面PAB.
由F为PD的中点,得EF//DC.
∵ AB//DC,∴ EF//AB.
∵ EF ⊄ 平面PAB,AB ⊂ 平面PAB,
∴ EF//平面PAB. ∵ EF ∩ GE = E,
若平面 内有无数条直线与 平行,则 与 可能相交,不一定平行,所以由不能推
出.故选A.
2.如图,在三棱锥S − ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF//平面ABC,
则( B )
A.EF与BC相交
B.EF//BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
[解析] 因为平面 ∩ 平面 = ,//平面,所以//.
AF = 5,则EG
20
=___.
9
[解析] 因为// , ∩ 平面 = , ⊂ 平面,所以//,
即//,所以
=
=
,则
+
=
×
+
=
×
+
=
.
规律方法
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,常常将线面平行转化为该线与过该线的
的中点,在线段B1 C1 上是否存在点F,使得平面A1 AF//平面ECC1 ？若存
在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
解 存在,当F为线段B1 C1 的中点时,平面A1 AF//平面ECC1 .
理由如下:如图,连接A1 F,AF,
在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中,AA1 //CC1 ,AD//B1 C1 .
②
证明 ∵ G为BC的中点,E为PC的中点,∴ GE//BP.
∵ GE ⊄ 平面PAB,BP ⊂ 平面PAB,
∴ GE//平面PAB.
由F为PD的中点,得EF//DC.
∵ AB//DC,∴ EF//AB.
∵ EF ⊄ 平面PAB,AB ⊂ 平面PAB,
∴ EF//平面PAB. ∵ EF ∩ GE = E,
高考数学一轮复习直线平面平行的判定及其性质课件
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1 与平面AEC的位置关系为________.
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1 的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面 ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
第4节 直线、平面平行的判定及其性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行 的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形 的平行关系的简单命题.
知识梳理 1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝2 5.所以四面体
N－BCM
的体积
VN－BCM＝13×S△BCM×P2A＝4
3
5 .
角度 2 直线与平面平行性质定理的应用 【例 2－2】 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均
2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，
不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
∴BC 綉 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面平行的判定及性质》ppt
本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点 F 特殊的数量关系．
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
空间直线平面的平行课件-2024届高三数学一轮复习
D.A1B1∥NE
)
答案 B
解析 ∵在▱AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN.又AM∥BN,
∴四边形ABNM是平行四边形,∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面
MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.
3.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题正确的是(
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
D.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
答案 D
解析 A选项,若m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交或m,n异面,A错误;
EMGHIJ∥平面ACD1,EF∥平面ACD1,则F⊂平面EMGHIJ,观察各选项,ACD
满足.
考点二
线面平行的判定与性质(多考向探究)
考向1.直线与平面平行的判定
典例突破
例2.(2023江西南昌三模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD与ABEF
均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面
∴BB1=2CD, =2,
∴OE∥GD,又OE⊄平面AA1C1C,GD⊂平面AA1C1C,
∴OE∥平面AA1C1C.
(2)解连接AC1,则GD∥AC1,OE∥AC1,
∴A,C1,O,E四点共面.
又AO∩BC=F,∴F∈AO,F∈平面AC1EO.
又F∈BC,BC⊂平面BB1C1C,
∴F∈平面BB1C1C.
系如何?
提示 平行或异面.
2.面面平行的判定与性质
)
答案 B
解析 ∵在▱AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN.又AM∥BN,
∴四边形ABNM是平行四边形,∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面
MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.
3.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题正确的是(
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β
D.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
答案 D
解析 A选项,若m∥α,n∥α,则m∥n,或m,n相交或m,n异面,A错误;
EMGHIJ∥平面ACD1,EF∥平面ACD1,则F⊂平面EMGHIJ,观察各选项,ACD
满足.
考点二
线面平行的判定与性质(多考向探究)
考向1.直线与平面平行的判定
典例突破
例2.(2023江西南昌三模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD与ABEF
均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面
∴BB1=2CD, =2,
∴OE∥GD,又OE⊄平面AA1C1C,GD⊂平面AA1C1C,
∴OE∥平面AA1C1C.
(2)解连接AC1,则GD∥AC1,OE∥AC1,
∴A,C1,O,E四点共面.
又AO∩BC=F,∴F∈AO,F∈平面AC1EO.
又F∈BC,BC⊂平面BB1C1C,
∴F∈平面BB1C1C.
系如何?
提示 平行或异面.
2.面面平行的判定与性质
高考数学总复习 第7章 第4讲 直线、平面平行的判定及性质课件 理 新人教A版
平行”).
图形语言
符号语言
⇒α∥β
12
• (2)性质定理
文字语言 如果两个平行平 性 面同时和第三个 质 平面______，那 定 么它们的______ 理 平行.
图形语言
符号语言
⇒a∥b
13
• (1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面平行吗？
• (2)如果一个平面内有无数条直线都平行于另 一个平面，那么两个平面一定平行吗？
直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个 点的平面与这个平面相交，选项B不正确；
20
• 如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作 平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d，∵a∥α， ∴a∥c，∵a∥β，∴a∥d，
• ∴d∥c，∵c⊂α，d⊄α，∴d∥α，又∵d⊂β， ∴d∥b，∴a∥b，选项C正确；
• 2种必会方法 • 直线与平面平行的判定方法 • (1)利用判定定理：关键是找平面内与已知直
线平行的直线. 常考虑三角形的中位线、平行 四边形的对边或过已知直线作一平面找其交 线． • (2)利用面面平行的性质定理：当两平面平行 时，其中一个平面内的任一直线平行于另一 平面．
5
• 3项必须防范 • 1. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在
• 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个 平面可平行、可相交，选项D不正确．
• [答案]系的各个定理，无论是 单项选择还是多项选择，都可以从中先选最熟悉最容易作出 判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项．要特别注 意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等．
• C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条 直线与这两个平面的交线平行
• D．若两个平面都垂直于第三个平面，19 则这两
图形语言
符号语言
⇒α∥β
12
• (2)性质定理
文字语言 如果两个平行平 性 面同时和第三个 质 平面______，那 定 么它们的______ 理 平行.
图形语言
符号语言
⇒a∥b
13
• (1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线与另一个平面平行吗？
• (2)如果一个平面内有无数条直线都平行于另 一个平面，那么两个平面一定平行吗？
直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个 点的平面与这个平面相交，选项B不正确；
20
• 如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作 平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d，∵a∥α， ∴a∥c，∵a∥β，∴a∥d，
• ∴d∥c，∵c⊂α，d⊄α，∴d∥α，又∵d⊂β， ∴d∥b，∴a∥b，选项C正确；
• 2种必会方法 • 直线与平面平行的判定方法 • (1)利用判定定理：关键是找平面内与已知直
线平行的直线. 常考虑三角形的中位线、平行 四边形的对边或过已知直线作一平面找其交 线． • (2)利用面面平行的性质定理：当两平面平行 时，其中一个平面内的任一直线平行于另一 平面．
5
• 3项必须防范 • 1. 在推证线面平行时，一定要强调直线不在
• 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个 平面可平行、可相交，选项D不正确．
• [答案]系的各个定理，无论是 单项选择还是多项选择，都可以从中先选最熟悉最容易作出 判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项．要特别注 意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等．
• C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条 直线与这两个平面的交线平行
• D．若两个平面都垂直于第三个平面，19 则这两