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《因式分解》复习 课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解复习课课件
将多项式中的公因式提取 出来，形成积的形式。
公式法
利用平方差公式、完全平 方公式等对多项式进行因 式分解。
分组分解法
将多项式中的项进行分组， 然后对每组进行因式分解。
因式分解的注意ห้องสมุดไป่ตู้项
确保因式分解后的每个整式都 是最简形式。
注意符号和顺序，确保因式分 解后的结果与原多项式相等。
注意因式分解的多样性，不同 的方法可能得到不同的结果。
[ ] $x^3 + 2x^2 + x =$?
提高练习题
[ ] $3x^3 - 6x^2 + 3x =$? [ ] $5x^3 - 10x^2 =$?
[ ] $4x^3 + 8x^2 - 16x =$? [ ] $6x^3 + 12x^2 + 6x =$?
综合练习题
[ ] $4x^4 - 8x^3 + 4x^2 =$?
注意点
使用公式法时，要确保多项式符合相应的公式形 式。
分组分解法
1 2
定义
分组分解法是指将多项式分组后再进行因式分解。
例子
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
3
注意点
分组时，要确保分组后的多项式能够进行因式分 解。
十字相乘法
定义
十字相乘法是指利用十字 交叉相乘的方法进行因式 分解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$
注意点
使用十字相乘法时，要确 保交叉相乘后的结果与多 项式的常数项相等。
04 因式分解的应用
公式法
利用平方差公式、完全平 方公式等对多项式进行因 式分解。
分组分解法
将多项式中的项进行分组， 然后对每组进行因式分解。
因式分解的注意ห้องสมุดไป่ตู้项
确保因式分解后的每个整式都 是最简形式。
注意符号和顺序，确保因式分 解后的结果与原多项式相等。
注意因式分解的多样性，不同 的方法可能得到不同的结果。
[ ] $x^3 + 2x^2 + x =$?
提高练习题
[ ] $3x^3 - 6x^2 + 3x =$? [ ] $5x^3 - 10x^2 =$?
[ ] $4x^3 + 8x^2 - 16x =$? [ ] $6x^3 + 12x^2 + 6x =$?
综合练习题
[ ] $4x^4 - 8x^3 + 4x^2 =$?
注意点
使用公式法时，要确保多项式符合相应的公式形 式。
分组分解法
1 2
定义
分组分解法是指将多项式分组后再进行因式分解。
例子
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
3
注意点
分组时，要确保分组后的多项式能够进行因式分 解。
十字相乘法
定义
十字相乘法是指利用十字 交叉相乘的方法进行因式 分解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$
注意点
使用十字相乘法时，要确 保交叉相乘后的结果与多 项式的常数项相等。
04 因式分解的应用
因式分解单元复习ppt
THANKS
谢谢您的观看
2
练习求解一些基本的因式分解问题，例如解一 元二次方程等。
3
通过解决实际问题来巩固因式分解技能，例如 求解几何中的面积、体积等问题。
03
因式分解的方法
提公因式法
总结词
基础、常用
详细描述
提公因式法是因式分解中最基础和常用的方法之一，通过将一个多项式分解 成两个或多个因式乘积的形式，其中一个因式为所有项的公共因式。
重点、难点和考点
重点
因式分解的基本概念、性质和 常用的方法
难点
因式分解在解方程、求最大公约 数、最小公倍数等领域的应用
考点
因式分解的概念和性质，以及运用 因式分解解决实际问题
02
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
数学上，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式 的过程。
分解因式是重要的数学技能，在解方程、证明定理、解决几 何问题等方面都有广泛的应用。
运用因式分解简化一些代数式，如提取公因式、运用公式等。 掌握因式分解的技巧和方法，如分组、拆项、换元等。
练习与巩固
通过大量的练习来巩固所学的因式分解知识。 通过练习进一步熟悉因式分解的解题思路和技巧。
05
复习总结
因式分解的常用方法总结
提公因式法
公式法
十字相乘法
配方法
待定系数法
适用于各项系数含有公 共因式或相同因式的多 项式，将公因式提出来 ，进行因式分解。
注意分解要彻底
因式分解要将多项式分解到不能再 分解为止，否则会出现遗漏或重复 。
注意分解后的项数
因式分解后的项数应该与原多项式 的次数相同。
注意符号和顺序
因式分解要注意符号和各项的顺序 ，尤其是当多项式含有括号时。
因式分解复习课(公开课)ppt课件
6
公因式
提
解
的
方
平方差公式：
法 公式法
完全平方公式：
可编辑ppt
7
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
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8
2.把下列各式分解因式：
可编辑ppt
9
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意
哪些问题？
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10
三、因式分解的应用
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（2 b c） b（2 b c) 0
c
b
(b c)(a2 b2 ) 0
B
a
C 所以b c 0或者a2 b2 0 因为a2 b2不可能为0
所以b c 0
所以b c
所以三角形是等腰三角形
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14
可编辑ppt
4.已知a、b为有理数,且 a2+b2+2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
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17
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18
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11
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12
2．求值
当 x y 3, xy 2，求 x2 y xy2 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
原式 3 2 6
巩固练习： 教科书17页复习题第6,11题
可编辑ppt
13
3．几何应用 已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
因式分解复习课课件
常见的因式分解方法
公因式分解
将多项式分解为一个或多个共同的因子，然后提取出公因式。
差平方分解
将一个完全平方的差表示为两个不同的数的乘积。
分组分解
将多项式中的项进行分组，并找到各组之间的共同因子。
特殊因式分解的例子
1
立方差公式
2
用于分解完全立方差的特殊公式：
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)
因式分解复习课ppt课件
欢迎来到因式分解复习课程！在本课程中，我们将深入探讨因式分解的基本 概念、步骤以及常见的方法。我们还将研究特殊因式分解的一些例子，以及 因式分解在实际生活中的应用。最后，我们将进行一些练习题，帮助您巩固 所学。让我们开始吧！
因式分解的基本概念
1 什么是因式分解？
因式分解是将一个多项 式分解为不可再分解的 因子乘积的过程。
科学实验
在科学实验中，因式分解可以 帮助我们更好地2 练习题二
分解多项式 \(3x^2 + 6x + 3\)
分解多项式 \(x^3 - 8\)
3 练习题三
分解多项式 \(4x^2 - 25\)
总结和复习提示
在本课程中，我们学习了因式分解的基本概念、步骤和常见方法。我们还研 究了特殊因式分解的例子，并讨论了因式分解在实际生活中的应用。通过练 习题，您可以巩固所学知识。继续练习和实践，因式分解将变得更加容易和 自然。
2 为什么重要？
因式分解有助于简化算 术和代数运算，并在解 决数学问题时提供更清 晰的视角。
3 基本术语
多项式：由系数和幂次 方组成的表达式。因子： 可整除一个多项式的表 达式。
因式分解的步骤
因式分解的复习PPT课件(华师大版)：
因式分解的复习
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１ 下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）分组分解法 （4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的 最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合 公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１ 下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）分组分解法 （4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的 最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合 公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2
八年级数学上册第十四章整式的乘法因式分解复习课件
式或完全平方公式的形式，
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
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目标达成（一）
1.下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A.x3 x x(x2 1) B.4x2 4x 1 4x(x 1) 1 C.a2 b2 (a b)2 D.6x 9 x2 (x 3)2
2.已知二次三项式 2x2 mx n分解因式为 2(x 3)(x 1) ， 则m （ ），n （ ） 3.甲乙两个同学在分解因式 x2 ax b 时，甲看错了b,分解的结 果为 (x 2)(x 4)，乙看错了a，分解结果为 (x 1)(x 9)，则a=（ ）， b=（ ）
（三）典例解析 提升能力
例2：用简便方法进行计算： (1)20112 2011 4020 20102 (2)3.145.52 3.14 4.52
(3)50 2 49 2 482 47 2 22 12
(4)(1 1 )(1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )
22
32
42
92
学习目标
1.通过常见错误题型的解析，巩固对因式分解要求与注意事 项的理解，明确因式分解与整式乘法之间的互逆关系. 2.能正确掌握因式分解的方法、基本步骤及要求，能熟练、 准确地进行多项式的因式分解. 3.通过运用因式分解进行简便计算，进一步感受学习因式分 解的必要性，提高运用因式分解解决问题的能力.
10 2பைடு நூலகம்
目标达成（三）
用简便方法进行计算：
(1)8002 1600 798 7982 (2)1.222 9 1.332 4
学而有思，学有所获，本节 课你有哪些收获？
独立思考后对照学习目标和 同伴分享一下自己的收获.
学习目标
1.通过常见错误题型的解析， 巩固对因式分解要求与注意事 项的理解，明确因式分解与整 式乘法之间的互逆关系.
（三）典例解析 提升能力
例1：将下列各式因式分解： (1)5a2 20b2 (2) ab 2a2b a3b (3)a4 8a2b2 16b4 (4)6(x 2) 2x(2 x) (5)(2n 1)2 (n 2)2
(6) x2 4 2 10(x2 4) 25
1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意哪些问题？ 2.你能想办法把下列各式因式分解吗？
(1)x2 2xy y2 1 (2)a2 4a 3
目标达成（二）
将下列各式因式分解：
(1) 2m3 4m2 2m (2)16(x 2 y)2 (x y)2 (3) a4 2(a2 1)
2 (4)(x2 1)2 4x2
当a,b为何值时，代数式 a2 b2 2a 4b 6的值最小？最小值 是多少？
（一）梳理知识 初成体系
（二）纠错练习 完善体系
下列各式的因式分解是否正确？如果不正确，应怎样改正？ 你能从中得到什么启示？
(1)2x3 4x2 2x 2x(x2 2x) (2) a2 ab ac a(a b c) (3)mn(m n) m(n m)2 mn(m n) m(m n)2 m(m n)(n m n) m2 (m n) (4)a2 4b2 (a 4b)(a 4b) (5) p4 1 ( p2 1)( p2 1) (6)4xy2 4x2 y y3 y(4xy 4x2 y2 ) (7)a2 2a 8 a(a 2) 8 (8)x2 5x 6 (x 2)(x 3)
2.能正确掌握因式分解的方法、 基本步骤及要求，能熟练、准 确地进行多项式的因式分解.
3.通过运用因式分解进行简便 计算，进一步感受学习因式分 解的必要性，提高运用因式分 解解决问题的能力.