因式分解复习课(公开课)
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第4章 因式分解复习课 北师大版八年级数学下册课件
解：因式分解且正确的有(5)
【当堂检测】
1.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ C ） A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2 =(x+4y)(x-4y) C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2-2x+1=x(x-2)+1
三、知识回顾
知识点二 因式分解的方法
1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差
解：S阴影 ＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100－99)(100+99)＋(98－97)(98+97)＋…＋(2－1)(2+1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
第四章 因式分解 复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解 3.能利用因式分解的方法解决实际问题
二、知识结构
因式分解 整式乘法
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
方法
提公因式法
(2)原式=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) (4)3x3y-3xy3 (4)原式=3xy(x2-y2)
=3xy(x+y)(x-y)
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992
【当堂检测】
1.下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解的是（ C ） A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.x2-4y2 =(x+4y)(x-4y) C.x2-6x+9=(x-3)2 D.x2-2x+1=x(x-2)+1
三、知识回顾
知识点二 因式分解的方法
1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式.
分析：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差
解：S阴影 ＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100－99)(100+99)＋(98－97)(98+97)＋…＋(2－1)(2+1)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
＝5050
答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.
第四章 因式分解 复习课
一、学习目标
1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解 3.能利用因式分解的方法解决实际问题
二、知识结构
因式分解 整式乘法
概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式
方法
提公因式法
(2)原式=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c) (4)3x3y-3xy3 (4)原式=3xy(x2-y2)
=3xy(x+y)(x-y)
【当堂检测】
4.计算：(1)5752×6－4252×6； (2)20192－2018×2020－9992
因式分解复习课课件
本复习课主要围绕因式分解展开，首先回顾了因式分解的概念，即把一个多项式写成几个整式的积Байду номын сангаас形式。接着介绍了因式分解的两种方法：提公因式法和运用公式法，其中公式法包括完全平方公式和平方差公式。同时，强调了因式分解的步骤，即先看有无公因式，再看能否套公式，并确保因式分解要彻底。在基础训练部分，通过实例让学生辨别哪些变形是因式分解，并练习了多项式的因式分解。能力提升训练则提供了更复杂的因式分解题目，以巩固和提高学生的解题能力。此外，还拓展了因式分解在计算、条件求值以及判断三角形形状等方面的应用。最后，通过本课小结总结了复习要点，并布置了课后巩固题目，以帮助学生进一步巩固因式分解的知识和技能。
《因式分解》复习课课件北师大版八年级下全面版
解：原式=(xy-4)(xy+3)
解：原式=x2+6x+5+4 =(x+3)2
应用：
1、 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k=（±140
2、计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100 =(-2)100(-2+1)=2100·(-1)=-2100
（1）、提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提到括号外面，将多项式写成 乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提 公因即式：法m。a + mb + mc = m（a+b+c）
例题：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
②p（y-x）-q（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1) 解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
=(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)
一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考
虑提取公因式。
二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。
对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相 乘法分解。
三分 ③再考虑分组分解法
四查
④检查：特别看看多项式因式是否 分解彻底
把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)
⑶ -x3y3-2x2y2-xy
(2) x2+xy+式 = ２ (x2+2xy+y2)
2024年《因式分解》教案公开课获奖
2024年《因式分解》教案公开课获奖一、教学内容本节课选自2024年教材《数学》八年级下册，第3章《整式的乘除与因式分解》中的第2节“因式分解”。
详细内容包括因式分解的定义、方法及应用。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的基本方法，并能解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：理解因式分解的概念，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，并能够熟练运用。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、自主探究的学习习惯。
三、教学难点与重点重点：因式分解的概念及提公因式法、平方差公式、完全平方公式的应用。
难点：如何找出多项式的公因式，并熟练运用公式进行因式分解。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺等。
学具：练习本、铅笔、橡皮等。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个实际生活中的问题，引出因式分解的概念。
例如：小明和小华去超市购物，小明花了3个苹果的钱，小华花了5个苹果的钱，问他们一共花了多少个苹果的钱？2. 知识讲解（15分钟）（1）因式分解的概念：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫因式分解。
（2）因式分解的方法：a. 提公因式法：找出多项式的公因式，然后提出公因式，将多项式分解为两个或多个整式的乘积。
b. 平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)c. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 2ab + b^2 = (a b)^23. 例题讲解（15分钟）讲解两道例题，一道涉及提公因式法，另一道涉及平方差公式和完全平方公式。
4. 随堂练习（10分钟）布置两道练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论（5分钟）将学生分成小组，讨论如何解决实际问题时应用因式分解。
六、板书设计1. 因式分解的概念2. 因式分解的方法：a. 提公因式法b. 平方差公式c. 完全平方公式3. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：a. 将多项式x^2 4分解因式。
因式分解复习公开课课件
2 2
1 2 D、 m 9n 2 4
(3)、 (3x 2 y) (2x 3 y)
2
2
5(x+y)(x-y)
基础过关：完全平方公式法
1、下列各式可以用完全平方公式因式分解的 是（ D ） A、 a 2 1 B、 9x2 9x 1 1 2 2 2 C、 a ab b D、m m 4 2、因式分解
(1) a a a( a-1 )
2
(2) 3xy 6 y -3y ( x + 2)
(3) 6( x y ) 3( y x)
2
6( x y ) + 3( x y )
2
3( x y ) 2(x-y) 1 3( x y )( 2x-2y+1)
3、分解因式：mn-2mn-1=
mn-1(m-2) （n为正整数）
4、计算： 20.13×25+20.13×49+20.13×26= 2013 5、若4x2+mx+25是完全平方式，则m= ± 20
超越自我
思考：已知a、b、c分别为三角形的三边，且 满足a2-2ab+b2-ca+cb=0，试判断三角形的形 状。
x 7 x 10
2
7、已知a、b、c分别为三角形的三边，且满足 a2-2ab+b2-ca+cb=0，试判断三角形的形状。
2
基础过关：提公因式法
多项式6ab3+12a3b2c的公因式（ C ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2c 公因式确定
（1）系数：取各系数的最大公约数；
（2）字母：取各项相同的字母；
（3）相同字母的指数：取最低指数。
1 2 D、 m 9n 2 4
(3)、 (3x 2 y) (2x 3 y)
2
2
5(x+y)(x-y)
基础过关：完全平方公式法
1、下列各式可以用完全平方公式因式分解的 是（ D ） A、 a 2 1 B、 9x2 9x 1 1 2 2 2 C、 a ab b D、m m 4 2、因式分解
(1) a a a( a-1 )
2
(2) 3xy 6 y -3y ( x + 2)
(3) 6( x y ) 3( y x)
2
6( x y ) + 3( x y )
2
3( x y ) 2(x-y) 1 3( x y )( 2x-2y+1)
3、分解因式：mn-2mn-1=
mn-1(m-2) （n为正整数）
4、计算： 20.13×25+20.13×49+20.13×26= 2013 5、若4x2+mx+25是完全平方式，则m= ± 20
超越自我
思考：已知a、b、c分别为三角形的三边，且 满足a2-2ab+b2-ca+cb=0，试判断三角形的形 状。
x 7 x 10
2
7、已知a、b、c分别为三角形的三边，且满足 a2-2ab+b2-ca+cb=0，试判断三角形的形状。
2
基础过关：提公因式法
多项式6ab3+12a3b2c的公因式（ C ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2c 公因式确定
（1）系数：取各系数的最大公约数；
（2）字母：取各项相同的字母；
（3）相同字母的指数：取最低指数。
因式分解复习教案新部编本PPT课件
第12章 整式的乘除
（因式分解）复习
定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系 互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
3、用完全平方分式因式分解：
(1)a2－4a＋4 (2)a2－12ab＋36b2 (3)25x2＋10xy＋y2 (4)16a4＋8a2＋1 (5) (m＋n)2－4(m＋n)＋4 (6) 16a4－40a2＋25
4、用十字相乘法因式分解
1、x2 4x 3
3、y 2 7 y 12
2、a 2 7a 10 4、q 2 6q 8
(5)x 2 4 12 y 9 y 2 (6)a 2 a b2 b
6、因式分解综合：
（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y （3）a2(x－y)－b2(x－y) （4）a4－16 （5）81x4－72x2y2＋16y4 （6）(a2＋b2)2－4a2b2 （7） (x y)2 2(x y) 1 （8）a4－2a2b2＋b4 （9）－2xy－x2－y2 （10）3ax2＋6axy＋3ay2
（5）已知 x2 2x y2 10 y 26 0 ，
求（1）x+2y的平方根（2）2y+2x的立方根
（因式分解）复习
定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这
种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系 互为逆过程，互逆关系
分解因式 方法
步骤
提公因式法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式a2±2ab+b2=(a±b)2
二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
3、用完全平方分式因式分解：
(1)a2－4a＋4 (2)a2－12ab＋36b2 (3)25x2＋10xy＋y2 (4)16a4＋8a2＋1 (5) (m＋n)2－4(m＋n)＋4 (6) 16a4－40a2＋25
4、用十字相乘法因式分解
1、x2 4x 3
3、y 2 7 y 12
2、a 2 7a 10 4、q 2 6q 8
(5)x 2 4 12 y 9 y 2 (6)a 2 a b2 b
6、因式分解综合：
（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y （3）a2(x－y)－b2(x－y) （4）a4－16 （5）81x4－72x2y2＋16y4 （6）(a2＋b2)2－4a2b2 （7） (x y)2 2(x y) 1 （8）a4－2a2b2＋b4 （9）－2xy－x2－y2 （10）3ax2＋6axy＋3ay2
（5）已知 x2 2x y2 10 y 26 0 ，
求（1）x+2y的平方根（2）2y+2x的立方根
人教版数学九年级(上)因式分解法(16张)-公开课
21.2.3因式分解法
一、情景导入，初步认识
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直向上抛，那么经过xs物体离地面的高 度（单位：m）为10x-4.9x²。你能根据上述规律求出物 体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）
解：依题意可列方程：10x-4.9x²=0
二、思考探究，获取新知
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3因式分解法(共16张PPT)-公开 课课件 （推荐 ）
(2)2( 2x3)212
解：原方程可化为
2
2x3 6
两边开平方得， 2x36
即 2x3 6 2x36
∴
x1
3 63 2
22 2
3名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3因式分解法(共16张PPT)-公开 课课件 （推荐 ）
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3因式分解法(共16张PPT)-公开 课课件 （推荐 ）
三、典例精析，掌握新知
例1 解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0 故有x-2=0或x+1=0 ∴x1=2，x2=-1
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3因式分解法(共16张PPT)-公开 课课件 （推荐 ）
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2.当x= 1或2 时，代数式x²-3x的值是-2。 3.已知y=x²+x-6，当x= 2或-3 时，y的值等于0， 当x= 5或-6 时，y的值等于24。
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一、情景导入，初步认识
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直向上抛，那么经过xs物体离地面的高 度（单位：m）为10x-4.9x²。你能根据上述规律求出物 体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）
解：依题意可列方程：10x-4.9x²=0
二、思考探究，获取新知
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3因式分解法(共16张PPT)-公开 课课件 （推荐 ）
(2)2( 2x3)212
解：原方程可化为
2
2x3 6
两边开平方得， 2x36
即 2x3 6 2x36
∴
x1
3 63 2
22 2
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三、典例精析，掌握新知
例1 解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0 故有x-2=0或x+1=0 ∴x1=2，x2=-1
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2.当x= 1或2 时，代数式x²-3x的值是-2。 3.已知y=x²+x-6，当x= 2或-3 时，y的值等于0， 当x= 5或-6 时，y的值等于24。
【名师示范课】人教版数学九年级上 册 21.2.3因式分解法(共16张PPT)-公开 课课件 （推荐 ）
(公开课) 第六章 因式分解的复习课
2-8x+m=(x-4)( x-4 ),且m= 16 x+a ),且 2．x 8x+m=(x-
。
右边=x 右边 2+(a-4)x-4a=左边 左边 a-4=-8 -4a=m
有关完全平方式 例5:有关完全平方式的运用 有关完全平方式的运用
1.若9x2+mx+16是完全平方式 则m= ±24 . 若 是完全平方式,则 是完全平方式 2.若x2-6xy+m,是完全平方式 则m= 9y2 . 若 是完全平方式,则 是完全平方式 ²x²-2﹒x﹒3y +(3y)2 4.若16x2+1与一个单项式的和是一个完全平方 若 与一个单项式的和是一个完全平方 8x或-8x 或64x2 . 或 式,则这个单项式可以是 则这个单项式可以是
整体的思想
(6)3a(x - y) - 6b(y - x)
=3a(y-x)2-6b(y-x) =3(y-x)[a（y-x）-2b] （ ） =3(y-x)(ay-ax-2b)
2
变形规律（添括号法则） 变形规律（添括号法则） （1）x-y=-(y-x) ） (2) -x-y=-(x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3
3、两项可写成数或式的平方形式 、 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项 用完全平方公式分解因式的关键： 式是否为一个完全平方式； 式是否为一个完全平方式； 完全平方公式： 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
首2 ± 2 × 首 × 尾 + 尾 2
4 y 2 − 1 = (2 x + 1)(2 x − 1) （7） ）
。
右边=x 右边 2+(a-4)x-4a=左边 左边 a-4=-8 -4a=m
有关完全平方式 例5:有关完全平方式的运用 有关完全平方式的运用
1.若9x2+mx+16是完全平方式 则m= ±24 . 若 是完全平方式,则 是完全平方式 2.若x2-6xy+m,是完全平方式 则m= 9y2 . 若 是完全平方式,则 是完全平方式 ²x²-2﹒x﹒3y +(3y)2 4.若16x2+1与一个单项式的和是一个完全平方 若 与一个单项式的和是一个完全平方 8x或-8x 或64x2 . 或 式,则这个单项式可以是 则这个单项式可以是
整体的思想
(6)3a(x - y) - 6b(y - x)
=3a(y-x)2-6b(y-x) =3(y-x)[a（y-x）-2b] （ ） =3(y-x)(ay-ax-2b)
2
变形规律（添括号法则） 变形规律（添括号法则） （1）x-y=-(y-x) ） (2) -x-y=-(x+y) (3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3
3、两项可写成数或式的平方形式 、 用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项 用完全平方公式分解因式的关键： 式是否为一个完全平方式； 式是否为一个完全平方式； 完全平方公式： 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
首2 ± 2 × 首 × 尾 + 尾 2
4 y 2 − 1 = (2 x + 1)(2 x − 1) （7） ）
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因式分解复习课
一
二 三
因式分解的概念 因式分解的方法
因式分解的应用
一、因式分解的相关概念
1、因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的 形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法互为逆变形 多项式
因式分解
整式乘法
几个整式的积
1.下列各式从左到右的变形中，哪些 是因式分解？为什么？
3.如果|x-y-2|+(x+y+5)2=0,则x2-y2的 值是( -10 ) . 4.已知a、b为有理数,且 2 2 a +b +2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
平方差公式：
公式法
完全平方公式：
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
2.把下列各式分解因式：
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意 哪些问题？
三、因式分解的应用
2．求值
2 2 x y xy x y 3 , xy 2 当 ，求 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
(1)c(a b) ac bc 2 2 2 (2)(a b) a 2ab b
(3)a b (a b)(a b) 2 2 2 (4) x 1 y ( x 1)(x 1) y
2 2
二、因式分解的方法
因 式 分 解 的 方 法
提公因式法
公因式 找公因式 提公因式
2 2
所以三角形是等腰三角 形
课堂检测
1.把下列各式分解因式：
(1)4 x 16
2
(2)a 2a b b
4 2 2
4
(3)9(a b)2 4(a b)2
(4)a 2 b2 a b
2.若多项式x2+ax+b因式分解为 (x+1)(x-2),则a=(-1 ),b=( -2 ).
原式 3 2 6
巩固练习： 教 是△ ABC 的三边长，且满足 2 2 3 2 a b a c b b c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（b c） b（b c) 0
2 2
c
B
b
a
C
(b c)(a b ) 0 2 2 所以b c 0或者a b 0 因为a 2 b 2不可能为 0 所以b c 0 所以b c
一
二 三
因式分解的概念 因式分解的方法
因式分解的应用
一、因式分解的相关概念
1、因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的 形式，这种变形叫做因式分解。 2、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法互为逆变形 多项式
因式分解
整式乘法
几个整式的积
1.下列各式从左到右的变形中，哪些 是因式分解？为什么？
3.如果|x-y-2|+(x+y+5)2=0,则x2-y2的 值是( -10 ) . 4.已知a、b为有理数,且 2 2 a +b +2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
平方差公式：
公式法
完全平方公式：
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
2.把下列各式分解因式：
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意 哪些问题？
三、因式分解的应用
2．求值
2 2 x y xy x y 3 , xy 2 当 ，求 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
(1)c(a b) ac bc 2 2 2 (2)(a b) a 2ab b
(3)a b (a b)(a b) 2 2 2 (4) x 1 y ( x 1)(x 1) y
2 2
二、因式分解的方法
因 式 分 解 的 方 法
提公因式法
公因式 找公因式 提公因式
2 2
所以三角形是等腰三角 形
课堂检测
1.把下列各式分解因式：
(1)4 x 16
2
(2)a 2a b b
4 2 2
4
(3)9(a b)2 4(a b)2
(4)a 2 b2 a b
2.若多项式x2+ax+b因式分解为 (x+1)(x-2),则a=(-1 ),b=( -2 ).
原式 3 2 6
巩固练习： 教 是△ ABC 的三边长，且满足 2 2 3 2 a b a c b b c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（b c） b（b c) 0
2 2
c
B
b
a
C
(b c)(a b ) 0 2 2 所以b c 0或者a b 0 因为a 2 b 2不可能为 0 所以b c 0 所以b c