单元数字积分法插补原理
数字积分插补法直线插补
数控原理与系统课程设计课题名称：数字积分插补法直线插补专业：班级：姓名：指导老师：数控原理与系统课程设计任务书班级姓名学号课程设计的目的1）了解连续轨迹控制数控系统的组成原理。
2) 掌握数字积分插补的基本原理。
3）掌握数字积分插补的软件实现方法。
二、课程设计的任务数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital Differential Analyzer)。
数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动及描绘平面各种函数曲线的特点，应用比较广泛。
其缺点是速度调节不便，插补精度需要采取一定措施才能满足要求。
由于计算机有较强的计算功能和灵活性，采用软件插补时，上述缺点易于克服。
本次课程设计具体要求如下：1）数字积分插补法基本原理2）数字积分插补法插补软件流程图3）算法描述（逐点比较法算法在VB中的具体实现）4）编写算法程序清单5）软件运行仿真效果二、课程设计报告要求1）按课程设计任务5点要求为标题，编写课程设计报告，最后加一点：此次课程设计小结（包括设计过程中所碰到的问题、解决办法以及有关设计体会等）。
2）字数在3000字左右。
3）仿真软件一份。
三、学生分组学 生 姓 名数控原理与系统课程设计说明书一、数字积分法直线插补的基本原理数字积分法是利用数字积分的方法，计算刀具沿各坐标轴的位移，使得刀具沿着所加工的轮廓曲线运动利用数字积分原理构成的插补装置称为数字积分器，又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer ），简称DDA 。
数字积分器插补的最大优点在于容易实现多坐标轴的联动插补、能够描述空间直线及平面各种函数曲线等。
因此，数字积分法插补在轮廓数控系统中得到广泛的应用。
从几何角度来看，积分运算就是求出函数Y = f （t ）曲线与横轴所围成的面积，从t ＝t 0到t n 时刻，函数Y= f （t ）的积分值可表述为⎰⎰==n n tt t t dt )t (Ydt S 00f如果进一步将t ∈[t 0，t n ]的时间区划分为若干个等间隔Δt 的小区间，当Δt 足够小时，函数Y 的积分可用下式近似表示t Y Ydt S n i i tt n ∆∑⎰-=≈=1在几何上就是用一系列的小矩形面积之和来近似表示函数f （t ）以下的积分面积。
数字积分法
101 +）001
110
101 +）110 ① 011
101 +） 011 ① 000
经过23 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以 积分值等于5。
(二)数字积分直线插补
如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电 沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐 标移动的微小增量为：
Y
3
A( 5 , 3 )
2 1
O 1 2 34 5
X
插补计算过程如下
累加 次数 (Δt）
X积分器
Y积分器 终点
JVx JRx
溢出 ΔX
JVy
JRy
溢出 计数器 ΔY JE
0 101 000 011 000
000
备注 初始状态
1 101 101 011 011
111 第一次累加
2 101 010 1 011 110
（一）数字积分的基本原理
如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表
示为：S=∫ 0f(t)dt t
Y
若将0～t的时间划分成时间
间隔为Δt的有限区间，当Δt
Y=f(t)
足够小时，可得公式：
S=∫
tf0(t)dt
=
n-1 ∑ Yi Δt
i=0
Yo
即积分运算可用一系列微小
O
矩形面积累加求和来近似。
Δt
tT
若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：
n-1 S=∑ Yi (累加求和公式或矩形公式）
i=0
这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，
被积函数寄存器
存放Y值
5.数字积分法直线插补
床进给，其效果是一样的。在被寄函数寄存器里可只存Xe， 而省略k。
例如，Xe=100101在一个6位寄存器中存放，若k=1/26， kXe=0.100101也存放在6位寄存器中，数字是一样的，若进
行一次累加，都有溢出，余数数字也相同，只是小数点位置
终点坐标值，每经过一个时间间隔t，将被积函数值向各自的累加器中
累加，当累加结果超出寄存器容量时，就溢出一个脉冲，若寄存器位 数为n，经过2n次累加后，每个坐标轴的溢出脉冲总数就等于该坐标的 被积函数值，从而控制刀具到达终点。
机电工程学院
=k
刀具在X，Y方向移动的微小增量分别为：
X = Vxt = kXet Y = Vyt = kYet
机电工程学院
动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过
一个单位时间间隔t，分别以增量kXe及kYe同时累加的结果。
m
m
X = X i = kX eti
i =1
i＝1
m
m
Y = Yi = kYeti
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如果存放Xe，Ye寄存器的位数是n，对应最大允许数字量
为 2n 1（各位均为1），所以Xe，Ye最大寄存数值为 2n 1
则： k (2n 1，不妨取
k
=
1 2n
代入得：
2
n 2n
1
1
累加次数为： m = 1 = 2n
5. 数字积分法直线插补
如右图所示第一象
限直线OE，起点为坐标 Y
原点O，终点坐标为E （Xe，Ye），直线OE的
长度L为：
Vy V E(Xe,Ye) Vx
二、数字积分法插补
例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存 器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位 二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y 3 2 1 O 1 2 3 4 5 X A( 5 , 3 )
∆X,∆Y同时溢出 JE=0，插补结束
110 000
加工轨迹如下：
Y 6 5 4 3 2 1 O 1 2
A( 2 , 6 )
X
(三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB， 坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye) 为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。 Y B(Xe,Ye) Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo) O X
插补计算过程如下：
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
010 000 010 010 010 100 010 110 010 000 1 010 010 010 100 010 110 010 000 1
插补计算过程如下
累加 次数 (∆t） X积分器 Y积分器 终点 JVx JRx 溢出 JVy JRy 溢出 计数器 JE ∆X ∆Y
备注
0 1 2 3 4 5 6 7 8
101 000 101 101 101 010 101 111 101 100 101 001 101 110 101 011
1 1 1 1
O ∆t
t T
若∆t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： n-1 S=∑ Yi
5.3 数字积分法插补原理
主讲人：罗福源原理利用数字积分的原理，计算各坐标轴的位移，形成插补轨迹。
在计算机里，积分即是求和，也就是累加。
那么加数是什么？是微位移(Δx、Δy、......），因此数字积分法又称为DDA法，（Digital Differential Analyzer），即数字微分分析器法。
特点允许多个坐标轴同时输出脉冲。
优点运算速度快、脉冲分配均匀，易于实现多坐标联动。
X Δx01234取微位移Δx（<1个脉冲当量）进行累加运算。
随着累加次数逐渐增加，对应动点的x坐标也不断增大。
当完成若干次累加后，位移之和已经超出1个脉冲当量。
此时，利用这个溢出信号让数控系统向x坐标轴发出一个控制脉冲，使之产生一个脉冲当量的位移。
如此不断累加，每当位移之和超出1个脉冲当量，就向x 坐标轴发出一个控制脉冲，直至到达终点，插补结束。
保证Δx 与Δy 符合斜率关系即可：DDA法直线插补e ex y x y =∆∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=∆<=∆11m y y m x x e e设经累加m 次到达终点，则若取m ＝2n ,（n 为累加器位数），则易于计算机实现。
因为Δx=x e •2-n 与x e 相比，只是小数点位置不同，不影响累加运算后的有效数位与溢出的判别。
这样，把对Δx 、Δy的累加转变为对x e 与y e 的累加。
Y XA(x e ,y e )Δx2ΔxΔy 2Δy OX -Y平面第一象限直线DDA插补器的示意图：Δt Y轴溢出脉冲X轴溢出脉冲+Y 积分累加器J RYX积分累加器J RX被积函数寄存器J VX (x e )+控制脉冲被积函数寄存器J VY (y e )其它象限的直线DDA插补，参照前述逐点比较法，对终点坐标进行取绝对值并按实际方向进给即可。
累加次数m JVX（存xe）JRX（∑xe）△x JVY（存ye）JRY（∑ye）△y0100000011000 11000001100 20000111000 31000000101 40000110000 51000011100 60000101001 71000010100 80000100001 91000001100 100000111000 111000000101 120000110000 131000011100 140000101001 151000010000 160000100001A (8,6)插补轨迹理想轨迹8756123456O1234YX以第一象限逆圆弧为例V yV x VARYOXP (x i ,y j )B (x e ,y e )DDA法圆弧插补222x y R+=等式两边同时对时间参数t 求导，可得220dx dy x dy dxx y dt dt dt dty+=⇒=-由此可导出第一象限逆圆弧加工时动点沿坐标轴方向的速度分量为=x j y i dx V ky ky dt dy V kx kx dt ⎧==--⎪⎪⎨⎪===⎪⎩在一个单位时间Δt 内，X 和Y 方向上的移动距离微小增量Δ x 、Δ y 为：⎪⎩⎪⎨⎧∆=∆=∆∆=∆=∆tkx t V y t ky t V x i y j x -⎪⎩⎪⎨⎧=∆=∆=∆=∆n --n22--i i j j x t kx y y t ky x 令Δt =1，取k=2-n ，得：插补时寄存的是动点坐标x i 或y j ，是变量。
dda数字积分插补算法
dda数字积分插补算法DDA（Digital Differential Analyzer）数字积分插补算法是计算机图形学中常用的一种直线段插值算法。
它的主要作用是根据给定的两个端点坐标，通过在直线上等间距采样的方式，计算出直线上各个点的坐标值，从而实现直线的平滑插值。
DDA算法的基本思想是利用直线的斜率来逐步逼近直线的路径，从而计算出直线上各个点的坐标。
具体步骤如下：1. 计算出直线的斜率k，即直线在x轴上的单位增量Δx与在y轴上的单位增量Δy的比例：k = Δy / Δx。
2. 选择直线上两个端点中x值较小的一个作为起始点，并以其坐标值（x0，y0）作为起始值。
3. 将起始点的坐标值作为当前点的坐标值，并将其绘制到屏幕上。
4. 通过递增x坐标值的方式，计算出下一个点的y坐标值，即y = y0 + k。
5. 将下一个点的坐标值（x0+1，y）作为当前点的坐标值，并将其绘制到屏幕上。
6. 重复步骤4和步骤5，直到达到直线的结束点。
通过以上步骤，可以得到直线上各个点的坐标值，从而实现直线的平滑插值。
DDA算法的优点是计算简单、速度快，适用于直线斜率变化不大的情况。
但由于采用等间距采样的方式，可能导致插值结果与实际直线存在误差。
为了更好地理解DDA算法的原理，下面以一个具体的例子来说明。
假设有两个端点坐标分别为（2，2）和（8，5），我们来计算出直线上各个点的坐标。
计算出直线的斜率k = (5-2) / (8-2) = 3/6 = 1/2。
然后，选择起始点（2，2）作为起始值，并将其绘制到屏幕上。
接下来，通过递增x坐标值的方式，依次计算出下一个点的y坐标值。
根据步骤4，我们可以得到以下结果：x | y--------2 | 23 | 2 + 1/2 = 2.54 | 2.5 + 1/2 = 35 | 3 + 1/2 = 3.56 | 3.5 + 1/2 = 47 | 4 + 1/2 = 4.58 | 4.5 + 1/2 = 5我们得到直线上各个点的坐标值为（2，2）、（3，2.5）、（4，3）、（5，3.5）、（6，4）、（7，4.5）和（8，5）。
简述数字积分法进行插补运算的基本原理
５ ２・
பைடு நூலகம்
科技论 坛
筒述 数字积分 法进 行插 补运算 的基 本原理
杨方 明 王 昊
（ 河北农业大 学机 电工程 学院， 河北 保定 ０ ７ １ ０ ０ ０ ）
摘 要： 数 字积分法 ， 也称 Ｄ Ｄ Ａ法 ， 它是建 立在数 字积分 器基础上 的一种插补 算法 ， 可 实现 多坐标联动 与空 间曲线的插补 ， 在数控 系统 中得到广泛的应用。主要描述数 字积分法的基本原理 ， 为初学者提供原理方 法的基本认 知理 解。 关键词 ： 数 字积 分 法 ； 累加 ； 直线插补 ； 圆弧 插 补 Ｓ
结 束 语 总 的来说 ， 数字积分法就是用累加的方法实现积分 的过 程。主 要 由被积 函数寄存器 与累加 器完成运算 ， 运算过程 中 ， 累加 、 溢出、
ｆ＝ｌ
ｈ． △ ￡
进给 、 终 点判别循环进行 ， 直到插补结束。
参 考 文 献
取△ ｌ 后 ， 上 式 变 为ｆ ： ｚ ｋ
１ 数字 积 分 法基 本 原 理 数字积分法类似微积 分的基本 思想 ， 即无 限细分 与无 限求 和的 ｙ ∑ ｙ 思想 。 如图 １ 所示 ， 求 函数 ｙ － ｆ （ ｔ ） 在 区间［ ｔ ｏ ， ｔ ０ 的定积分 ， 转换为几何关 矗 系就是求 函数在该区间内与 ｔ 轴所 围成的面积
△ｔ＝ ＇
由上式可得 ｌ 口 Ｉ ｌ ，Ａ ｙ＝ｋ ｙ 。 ，Ａ ｘ＝ｌ 口 ｃ 。 为使每次的进给脉冲不多于一个脉冲 ， 必须满足 Ａ ｙ ＜ｌ ，△ ｘ ＜１ ，
即 ｋ ｙ 叠《Ｉ ，ｋ ｘ ｌ＜ ｌ 。而 ｙ ・ 、ｘ ・ 的值受寄存器容量限制 ，
若 寄存器为 Ｎ位寄存器 ， 则其最大值为 ２ Ｎ—ｌ 。
第三章 插补原理及控制方法
昆明学院戴丽玲
12
3-1 逐点比较法插补
6）四个象限直线的插补 第二、三、四象限的 直线插补，其逐点比较法 直线插补原理与第一象限 直线相同，只是注意在处 理时计算公式
+Y F≽0
F x y x i e i iy e
中的各坐标值取做绝对值 即可。
-X
F<0
F<0
+X
F≽0 -Y
图3.6 四象限直线插补
2019/2/14
昆明学院戴丽玲
23
3-2 数字积分法插补
数字积分法又称数字微分分析法（ DDA ，Digital Differential Analyzer），数字积分法具有运算速度快，脉 冲分配均匀的特点，易于实现多坐标的联动及描绘平面各 种函数曲线。 一、数字积分法的数学原理 Y 如右图，函数在 [t0 , tn ]的定积分，即 为函数在该区间的面积： Yi-1 Yi Y=f(t)
终点判别
Σ=4+4=8 Σ=8-1=7 Σ=7-1=6 Σ=5 Σ=4 Σ=3 Σ=2 Σ=1 Σ=0
F0=0 F1<0 F2<0 F3<0 F4>0 F5<0 F6>0 F7>0
-x +y +y +y -x +y -x -x
2
3 4 5 6
F1=F0-2x0+1 =0-2*4+1=-7 F2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6 F3=F2+2y2+1=-3 F4=F3+2y3+1=2 F5=F4-2x4+1=-3 F6=F5+2y5+1=4 F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
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3.2
3.3 3.4
试用数字积分法插补一条直线OE，己知起点为O(0，0)，终点为E(7，3)。写出插补
计算过程并绘出轨迹。 已知O(0，0)，
S f ( t ) dt y ( t ) dt y t i 0 0
i 1
n
t
t
n
S 若△t 取“1”，上式简化为：
t n
yi
i 1
S y ( t ) dt y t y i i 0
t 1 i 1 i 1
n
3单元 数字积分法插补原理
现多坐标联动。只需输入不多的几个数据，就能加工圆弧等形状较为
复杂的轮廓曲线。直线插补时脉冲较均匀。并具有运算速度快，应用 广泛等特点。
3单元 数字积分法插补原理
一 基本原理
如图所示，从时刻到t求函数曲线所包围的面积时，可用积分公式表示，如 果将0～t的时间划分成时间间隔为的有限区间，当足够小时，可得近似公式 ：
i 1
y
Ky e ti
i 1
n
动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每经过一个单位 时间间隔t，分别以增量kXe及kYe同时累加的结果。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
若经过m 次累加后，x和y分别到达终点 ( x e , y e ) ，即有下式成立：
x K x x x e K em e
D(6，7)，被积函数寄存器和余数寄存器的最大可 寄存数值为Jmax＝7(即J ≥8时溢出)，写出插补过程 并绘出轨迹。
圆弧插补时，x轴的被积函数值 等于动点y坐标的瞬时值，y轴的被积 函数值等于动点x坐标的瞬时值。
用累加器来近似积分为
x
y
y ti
i 1
n
n
i 1
x ti
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
DDA逆圆插补框图
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
3单元 数字积分法插补原理
3单元 数字积分法插补原理
三 圆弧插补
圆心为坐标原点的圆弧方程式为 x2 y2 r 2 可得圆的参数方程为 x r cos t
y r sin t
对t 微分得、方向上的速度分量为
d x v rs i n t y x d t
vy
d y rc o st x d t
三 圆弧插补
圆弧插补与直线插补比较 （1）直线插补时为常数累加，而圆弧插补时为变量累加。 （2）圆弧插补时，x轴动点坐标值累加的溢出脉冲作为y轴的 进给脉冲，y轴动点坐标值累加溢出脉冲作为x轴的进给脉冲。 （3）直线插补过程中，被积函数值 x 及 y e 不变。圆弧插补 过程中，被积函数值必须由累加器的溢出来修改。圆弧插补x
二 直线插补
设在平面中有一直线OA，其起点坐标为坐标原点O，终点坐为 A( xe , ye ) ，则该 直线的方程为 y y e x ，将方程化为对时间t的参数方程，再求积分可得： xe
x K xe dt
上式积分用累加的形式近似表达为：
n
y K yedt
x Kx e t i
i 1
n
y K y y y e k em e
i 1
n
由此可见，比例系数k与累加器之间有如下关系：
Km 1
设累加器有n位，则
m
1 K
关键是如何选择m、k
1 K n 2
m
1 2n k
上式表明，若寄存器位数是n，则直线整个插补过程要进行2n 次 累加才能到达终点。
3单元 数字积分法插补原理
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
例：设有一直线OA，起点为原点O，终点A坐标为(4,6)，试用数字 积分法进行插补计算并画出走步轨迹。
解：选取累加器和寄存器的位数为3位，即n=3，则累加次数
m 23 8
插补前，余数寄存器=0。x被 积函数寄存器=4，y被积函数寄 存器=6。其插补过程如表（下 页）所示。插补轨迹如右图所 示。
e
轴累加器初值存入轴起点坐标
点坐标 x
0
y
0
，y轴累加器初值存入x轴起
。
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
四 改进DDA插补质量的措施
作业与思考题
二 直线插补
右图为直线的插补框图， 它由两个数字积分器组成，每 个坐标轴的积分器由累加器和 被积函数寄存器组成，被积函 数寄存器存放终点坐标值，每 经过一个时间间隔△t ，将被积 函数值向各自的累加器中累加， 当累加结果超出寄存器容量时， 就溢出一个脉冲，若寄存器位 数为n，经过2n次累加后，每个 坐标轴的溢出脉冲总数就等于 该坐标的被积函数值，从而控 制刀具到达终点。
3单元 数字积分法插补原理
二 直线插补
表 2-7 DDA 直线插补运算过程 累加次数 m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 轴数字积分器 x 被积函数 寄存器 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0＋4=4 4＋4=8＋0 0＋4=4 4＋4=8＋0 0＋4=4 4＋4=8＋0 0＋4=4 4＋4=8＋0 x 累加器 0 0 1 0 1 0 1 0 1 x 累加器 溢出脉冲 0 6 6 6 6 6 6 6 6 y 被积函数寄 存器 0 0＋6=6 6＋6=8＋4 4＋6=8＋2 2＋6=8＋0 0＋6=6 6＋6=8＋4 4＋6=8＋2 2＋6=8＋0 y 轴数字积分器 y 累加器 0 0 1 1 1 0 1 1 1 y 累加器 溢出脉冲
单元数字积分法 插补原理
本单元学习目标
掌握数字积分法插补基本原理 掌握数字积分直线插补运算过程、特点及其应用
掌握数字积分圆弧插补运算过程、特点及其应用
理解改进数字积分插补质量的措施
3单元 数字积分法插补原理
一 基本原理
数字积分法又称数字积分分析法DDA(Digital differential Analyzer)， 简称积分器，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。具 有逻辑能力强的特点，可实现一次、两次甚至高次曲线插补，易于实